河南省A20联盟2025-2026学年九年级上学期期末质量检测（一） 数学试题

河 南 省 A20 联 盟 期 末 质 量 检 测 （一） 数 学 试 题 注意事项： 1.本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。 答在试卷上的答案无效。 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是 （     ） A． B． C． D． 2．斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为 （     ） A B C D 3．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为 （     ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是 （    ） A． B． C． D． （第4题） （第5题） 5．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 （     ） A． B． C． D． 6．一个不透明的袋子中装有3个红球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从中任意摸出1个球后不放回，小刚再从中任意摸出一个球，则两人摸出的球都为红球的概率为 （    ） A． B． C． D． 7．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值为 （      ） A．3 B． C． D． 8．电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达亿元，设增长率为x，则方程可以列为 （     ） A． B． C． D． 9．设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为 （    ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 10．如图，在中，，正方形的四个顶点在的边上，连接分别交于点两点．则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为 ． 12．如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则点，之间的距离是 ． （第13题） （第14题） 13．如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是 ． 14．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，，点在轴的负半轴上，，连接，过点作交轴于点，点在上，连接，．则的面积为 ． 15．如图1，在矩形中，是边上的一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为与之间的函数关系如图2所示，则 ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（10分）解方程 (1) (2) 17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在第四象限画出的位似图形，与的相似比为； (2)若是内部任意一点，点在内部的对应点的坐标为______． 18．（9分）小明和小聪玩“配紫色”游戏（红色、蓝色配成紫色）：一个盒子中装有两个红球、一个蓝球、一个白球，这些球除颜色不同外其余都相同．从中随机摸出一个球不放回，再从中随机摸出一个球．解决下列问题： (1)若任意摸出一球，摸出红球的概率是______； (2)游戏规则为：若两次摸到球能配成紫色，小明获胜，否则小聪获胜．请用列表或画树状图的方法求出小明获胜的概率． (3)在（2）的规则下，不改变球的总数，只改变其中一个球的颜色，把______球改成_____球（填颜色）可以使游戏公平． 19．（9分）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 20．（9分）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 21．（9分）【问题情境】 乐乐所在的数学实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔． 图1                              　　图2 　图3 (1)乐乐准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？_____（填序号）； (2)图2是乐乐的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“祝”字相对的字是______； (3)乐乐所在的数学实践小组把折叠成的6个无盖正方体纸盒摆成如图3的立体图形，请分别画出这个立体图形从正面看和上面看的形状图．如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 22．（10分）如图，一次函数的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数的图象于C、D两点，已知：， (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)在一次函数上找一点M，在平面上找一点N， 使四点O，C，M，N能够组成一个菱形，请直接写出M点坐标． 23．（10分）综合与实践 问题情境 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片和满足，．将两张纸片放置在同一平面内，点F在边上，绕点F旋转纸片，使交边于点交边于点G． 下面是创新小组的探究过程． 操作发现 （1）如图1，当的顶点F与的中点O重合时，在旋转过程中，发现下列结论： ①与的数量关系为 ； ② ． 类比探究 （2）如图2，当时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由． 拓展延伸 （3）在（2）的条件下，连接，如图3．当为等腰三角形时，请直接写出的长． 数学试题 * 第 页（共4页）1 数学试题 * 第 页（共4页）1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C A D B D A C 1．B 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程是一元二次方程，符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程，即方程的未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2．C 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 3．A 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴点A和点B在第三象限，点C在第一象限， ∴， 故选：A． 4．C 【详解】解：连接，如图， 设，则有， 在中，， 在中，， 在中，， ∵，即， 在中，， 即，解得， ∴． 故选：C． 5．A 【详解】由题意得：， ∴ ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴ 即小孔到的距离为， 故选：A． 6．D 【详解】解：设个红球分别为红、红、红，蓝球为蓝．列表如下： 小明小刚 红 红 红 蓝 红 - （红，红） （红，红） （红，蓝） 红 （红，红） - （红，红） （红，蓝） 红 （红，红） （红，红） - （红，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红） - 共有种等可能的结果，其中两人摸出的球都为红球的结果有种． 所以两人都摸出红球的概率． 故选：D． 7．B 【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∴， ∵点A为反比例函数图象上的一点，点B为反比例函数图象上的一点， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 8．D 【详解】解：由题意，得 第一天票房为亿元， 第二天票房为亿元， 第三天票房为亿元． ∵三天累计票房为亿元， ∴． 故选D． 9．A 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ． 故选：A． 10．C 【详解】解：过点A作交与点H，如图： 设正方形边长为a，则， 在中 ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 11．4 【详解】解：设另一个根为 m， 则根据根与系数的关系，有， 解得． 即另一个根为4． 故答案为：4． 12． 【详解】解：∵公路与互相垂直，的长为，的长为， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴． 故答案为：． 13．或 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为． ∴正方形的边长为2，正方形的边长为4， ∴，，，． 分以下两种情况讨论： ①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． 设直线解析式为，可得： ，解得：。 ∴， 当时，，即点. 正方形与正方形的位似中心的坐标是； ②如图②，连接，交于点． 由题意，得，，，． 易求出直线的表达式为，直线的表达式为． 联立解得． 点的坐标为， 正方形与正方形的位似中心的坐标是． 综上所述，正方形与正方形的位似中心的坐标为或． 故答案为或． 14． 【详解】解：∵矩形的顶点在反比例函数的图象上， 又∵， 设，则， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∵，依据同底等高的原理， ∴的面积等于的面积． 故答案为：． 15． 2 【详解】解：如图： 当时，如图示中的位置， 由题意和矩形及折叠的性质可得，四边形是正方形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； ∴， 当最大时，与重合，即如图示位置， 此时，， ∴， 由折叠可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2；． 16．（1）解：， ∴， ∴或， 解得：． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 17．（1）解：以点为位似中心，在第四象限作出与相似比为的位似图形，如下图所示： （2）解：是内部任意一点，与的相似比为，且点为位似中心， 点在内部的对应点的坐标为． 故答案为：． 18．（1）解：盒子中共有4个球，其中有2个红球， ∴摸出红球的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意，把所有等可能结果表示出来如下（2个红球分别用红1，红2表示）， 共有12种等可能结果，其中配成紫色的结果有4种， ∴小明获胜的概率为； （3）解：把白球改成红球，则有3个红球，分别表示为红1，红2，红3，如图所示， 共有12种等可能结果，其中配成紫色的结果有6种， ∴小明获胜的概率为，此时游戏公平， 故答案为：白，红． 19．（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 20．（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 21．（1）①③④经过折叠能围成无盖正方体纸盒． 故答案为：①③④； （2）“祝”字相对的字是好， 故答案为：好； （3）主视图，左视图如图所示． 保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加3个小正方体． 故答案为：3． 22．（1）解：依题意，将点的坐标代入一次函数表达式， 得， 解得， 故一次函数表达式为：， 将代入反比例函数表达式，得 ∴， 故反比例函数表达式为：； （2）解：由（1）得一次函数表达式为：，反比例函数表达式为： 依题意，， ∴， 解得或， ∵， ∴，则， ∴， 在中，令，得， ∴． ∵点 ∴ ． （3）解：∵ ∴ ∵点M在直线上， ∴设， ①当为菱形的边时，则， ∴， 即， 解得或1（不合题意舍去）， ∴， ∴； 或， 即 ∴ 解得或 ∴或； ②当为菱形的对角线时，， 即， ∴， 整理得， 解得， 则 ∴ 综上所述，M的坐标为或或或． 23．解：（1）①， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②∵的顶点F与的中点O重合， ∴， 由①知：，， ∴， ∴， ∴； （2）①成立，②不成立，证明如下： ∵， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）由（2）可知：，，， ∴， ①当时，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴； ③当时，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，此时点不在边上，不符合题意； 综上：或． 答 案 * 第 页（共10页）1 答 案 * 第 页（共10页）1 学科网（北京）股份有限公司 $