广东省A20联盟2025-2026学年八年级上学期期末质量检测（一） 数学试题

广 东 省 A20 联 盟 期 末 质 量 检 测 （一） 数 学 试 题 (试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟) 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 3．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源，综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．如图，这是四款新能源汽车的标志，其中不是轴对称图形的是 （     ） A B C D 2．已知一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长度可能是 （    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是 （    ） A． B． C． D． 4．已知，，则代数式的值为 （    ） A．30 B． C． D． 5．在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为 （     ） A． B． C．5 D． 6．如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为 （    ） A． B． C． D． 7．下列命题中，是真命题的是 （    ） A．面积相等的两个三角形是全等图形 B．三角形的外角一定大于内角 C．对应角都相等的两个三角形全等 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 8．如图，在中，，，，直线，分别是，的垂直平分线，D，E分别是，上的动点（点D与点E不重合，且点A，D，E不在同一直线上），以点A，D，E为顶点的三角形的周长的最小值为 （    ） A．5 B．7 C．8 D．12 9．若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和是 （    ） A． B．3 C．0 D．1 10．现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为 （    ） A． B． C．或 D．无法确定 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11．分解因式： ． 12．已知，那么 ． 13．如图，将一副分别含，角的直角三角板叠放在一起，角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果，那么为 度． 14．如图，的内角的外角平分线与的外角平分线相交于点，若点到的距离为，则点到的距离为 ． 15．如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E， 使得，连接，过点E作交的延长线于点F， 若的面积为10，则的面积为 16．对于一个四位正整数，它的个位数字比千位数字少5，十位数字比百位数字少2，则称为“哈罗数”，如：四位数6421，，，是“哈罗数；四位数5204，，不是“哈罗数”，则最小的“哈罗数”为 ． 一个“哈罗数”是，记，若能被18整除，则所有满足条件的的和为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分4分） 计算： 18．（本题满分4分） 先化简，再求值：，其中 19．（本题满分6分） 现有、、三个有理数，，． (1)求、、的值； (2)若、、分别是三条边的长度，求出此时的周长． 20．（本题满分6分） 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴对称的； (2)请在轴上标出点的位置，使得的值最小（不要求写作法，保留作图痕迹）． 21．（本题满分8分） 如图，在中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（本题满分10分） 探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 23．（本题满分10分） 某校八年一班学生去距学校的爱国主义教育基地参观，一部分学生乘甲客车先出发，过了，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度是甲客车的平均速度的倍． (1)求甲客车的平均速度； (2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为，在后半段路程的平均速度是；乙客车返回全程的平均速度为．如果，哪辆客车用时少先返回学校？请说明理由． 24．（本题满分12分） 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)分式，，判断与是否互为“和常分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”的值； (2)分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． 求代数式（用含的式子表示）； 若分式的值为正整数，求的值； (3)分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”的值． 25．（本题满分12分） 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点H．设的面积为，的面积为，请猜想大小关系，并说明理由． 数学试题 * 第 页（共6页）1 数学试题 * 第 页（共6页）1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D B A D B A C 1．C 2．B 【详解】解：设第三边长为， 三角形两边之和大于第三边， ，即， 又三角形两边之差小于第三边， ，即， ， 选项中只有在此范围内， 故选：． 3．D 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相减，故A错误； B、，故B错误； C、 ，故C错误； D、，符合运算法则，故D正确， 故选：D． 4．D 【详解】解：∵ ， 又∵, ， ∴ 原式． 5．B 【详解】解：∵ ， ∴ 又 ∵ ∴ ， 比较得 ， ∴ ， ， ∴ ， 故选：B. 6．A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．D 【详解】解：面积相等的两个三角形不一定全等，如底为4高为3与底为2高为6的三角形，面积均为6但不全等，A是假命题． 三角形的外角不一定大于每一个内角，如钝角三角形中，钝角的相邻外角小于该钝角，B是假命题． 对应角都相等的两个三角形边不一定相等，即不一定全等，C是假命题． 全等图形的定义是能够完全重合的两个图形，D是真命题． 故选：D． 8．B 【详解】解：连接，， ∵直线，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴以点A，D，E为顶点的三角形的周长为 ， ∵， ∴当B、D、E、C四点共线，即D、E在时，取最小值为， ∴以点A，D，E为顶点的三角形的周长的最小值为7， 故选：B． 9．A 【详解】解：解不等式组，得 ∵不等式组无解， ∴， ， 解分式方程，得， ∴且， 且， 且， ，，，，． ． 故选：A． 10．C 【详解】解：∵，E是边的中点， ∴， ∵，且与全等， ∴，或，， 当，时， ∵，， 设运动时间为t，， 解得：， ∴， 此时妞妞的运动速度为：， 当，时，， 解得：， 此时，妞妞的运动速度为：， 故选：C． 11． 【详解】解：． 故答案为：． 12．37 【详解】解：设， 则： ， ∴， ∴； 故答案为：37 13．100 【详解】解：由题意，，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：100． 14． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，作于点， 的外角平分线与的外角平分线相交于点， ， 即点到的距离为． 故答案为：． 15． 【详解】解：为等边三角形，是边上的中线，， ，，，，， ， ， ，， ， 为等边三角形， ，， 为线段的中点， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 16． 5200 12171 【详解】解：∵“哈罗数”的个位数字比千位数字少5，十位数字比百位数字少2， ∴当个位和十位上的数最小时，“哈罗数”最小， 即个位和十位上的数均为0时，“哈罗数”最小，此时千位上的数字为5，百位上数为2， ∴最小的“哈罗数”为5200； ∵“哈罗数”， ∴，，，且a，b，x，y均为非负整数， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵能被18整除， ∴，此时M为5640； 当时，， ∵能被18整除， ∴，此时M为6531； 当时，， ∵能被18整除，此时x的值均不符合题意； 当时，， ∵能被18整除，此时x的值均不符合题意； 当时，， ∵能被18整除，此时x的值均不符合题意； 综上所述，所有满足条件的的和为． 故答案为：5200；12171． 17．解：原式 ． 18．解： ， 当时， 原式． 19．（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴或， 解得：或2． 综上所述，，，或2． （2）解：当时，边长为2、3、6， ，不满足三角形三边关系，无法构成三角形， 当时，边长为2、3、2， ，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴的周长为． 20．（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求； 21．（1）证明是边上的中线， ， ， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：，， ， △△， ， ， ． 22．（1）解：根据规律； （2）解：根据规律：； （3）解：原式． 23．（1）解：设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲客车的平均速度为； （2）解：乙客车用时少先返回学校，理由如下： 甲客车所用时间为， 乙客车所用时间为 ， ，，， ，， ， 乙客车用时少先返回学校． 24．（1）解：与互为“和常分式”．理由如下： ， 与互为“和常分式”，且“和常值”． （2）解： ， 与互为“和常分式”，且“和常值”， ， ，即， ． 由可知，． 分式的值为正整数， 或， 或． （3）解： ． 与互为“和常分式”， ． ， ， ，解得， 由得， ，均为整数，满足题意， “和常值”的值为． 25．解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）答：． 证明：∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）答：． 证明：如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 答 案 * 第 页（共8页）1 答 案 * 第 页（共8页）1 学科网（北京）股份有限公司 $