江西省2025-2026学年高三数学一轮复习自编模拟练习卷（一）

高三数学一轮复习自编模拟练习（一） 一、单选题 1．若，则的虚部是 A．3 B． C． D． 2．若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．若双曲线：的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．下列函数中，以点为对称中心的函数是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象关于原点对称，且周期为4，若，则f（2021）=（    ） A．2 B．0 C．-2 D．-4 6．已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．3 C．-1 D．-1或2 7．某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（    ） A．2.40米 B．2.66米 C．2.80米 D．3.00米 8．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在棱长为2的正方体ABCD—中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是（    ） A．CN与QM异面 B．三棱锥的体积跟λ的取值无关 C．不存在λ使得 D．当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为 10．已知抛物线与直线交于A，B两点，则下列说法正确的有（    ） A．若直线过抛物线的焦点，则 B．若线段的长度为8，则 C．当时，抛物线上恰有三个点到直线的距离为 D．无论p为何值，抛物线上都恰有三个点M，使得为等腰三角形 11．在中，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．存在满足 C．若，则为钝角三角形 D．若，则 三、填空题 12．若函数，则 ． 13．已知等比数列的前n项和为，，，若，则 . 14．某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为 ． 附：，， 四、解答题 15．现用分层抽样的方法从某中学的学生中抽取100名学生参加知识竞赛，对其成绩进行统计分析．得到如下图所示的频率分布直方图． (1)估计该校学生知识竞赛成绩的第60百分位数（精确到0.1）；估计该校学生知识竞赛成绩的众数、平均数； (2)从样本中成绩是90分以上（包括90分）的学生中选一人，求选到前3名学生的概率（前3名分数各不同） 16．已知数列满足，（），（） （1）是否存在实数，使得为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （2）利用（1）的结论，求数列的前n项和. 17．如图，在直三棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若异面直线与所成角为，求直三棱柱的体积. 18．已知椭圆的左、右焦点为，，P是椭圆上的点，当点P在椭圆上运动时，面积的最大值为4，当轴时，面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，若直线、交椭圆另一点分别是A、B，点P不在x轴上，且，求点P的坐标． 19．已知函数的导函数为，函数. (1)求在上的最小值； (2)若数列满足，且，证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高三数学一轮复习自编模拟练习（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D C A B B BD AC 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】因为，所以的虚部是.故选B． 2．B 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】由，得或，而， 所以. 故选：B 3．C 【解析】依题意知，根据条件列方程求解即可. 【详解】的标准方程为，依题意可得，解得，则. 故选：C 4．D 【分析】根据正弦、余弦、正切函数的性质计算可得. 【详解】对于A：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故A错误； 对于B：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故B错误； 对于C：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故C错误； 对于D：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故D正确. 故选：D 5．C 【分析】结合为奇函数且周期为4，可得，即得解 【详解】因为函数的图象关于原点对称，且周期为4， 所以为奇函数， 所以 故选：C 6．A 【分析】根据，，可得，再根据，即可代入向量平行的公式，即可得解. 【详解】由题意可得：， 因为， 所以， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量的平行，考查了公式的理解记忆及其简单的应用，属于简单题. 7．B 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的方程，令，求出相应的y值，即可求得答案. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为x轴，过桥的最高点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 设图中矩形为船刚好能通过桥下时的位置， 则， 设圆拱桥所在圆的方程为， 将坐标代入，得，解得， 即圆的方程为， 令，则， 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为（米）， 故选：B 8．B 【分析】运用作差法、对数运算公式及基本不等式可比较与，再运用构造函数研究其单调性可比较与. 【详解】∵， ， ∴，所以. ∵ ∴比较与的大小，即比较与的大小. 令，则. 令，则. 所以在上单调递减， 所以当时，，所以，所以在上单调递减. 又因为， 所以，即.所以，即. 综上所述，. 故选：B. 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 9．BD 【分析】证明可判断A；由等积法可判断B；建立坐标利用向量数量积可判断C；求出截面梯形的面积可判断D 【详解】连AC，CQ，则M，N分别为AC，AQ的中点，MN为的中位线. ∴，则CN，QM共面，A错. 为定值，B对. 如图建系，，则 ， ，C错. 截面如图所示，图形ACFQ，过Q作AC的垂线 垂足为G. ， ∴，D对.     故选：BD 10．AC 【分析】对于A，利用抛物线的标准方程即可得出答案；对于B，利用弦长公式求出弦长，令弦长等于8，将代入验证即可；对于C，利用点到直线的距离公式，列出方程，判断解的个数即可；对于D，分类讨论，根据不同的边相等列出等式，计算解的个数即可判断. 【详解】对A，若直线过抛物线的焦点，所以焦点为，即，故A正确； 对B，， 设，，则， ， 代入验证不成立，故B错误； 对C，当时，，直线， 设抛物线上点，， 则到直线距离， 即有两个解，或， 所以共有3个这样的点P，故C正确； 对D，为等腰三角形, ∴，，三种情况， 当时，M在AB垂直平分线上，设AB中点为，， 即AB垂直平分线的方程为，联立， 得到， ，所以方程有两个解， 故此时符合题意的点M有2个，如下图， 当时，M在以B为原点，AB为半径的圆上，如图， ∵直线，∴倾斜角为，， 故此时符合题意的点M至少一个，且不与重合， 当时，M在以A为原点，AB为半径的圆上，如图， 故此时符合题意的点M至少一个， 综上，无论p为何值，使得为等腰三角形的点M至少4个，故D错误， 故选：AC. 11．ACD 【解析】A项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断； B项，由和余弦函数在递减可判断； C项，显然，分和两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断； D项，根据和正弦函数的单调性得出和，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A选项，若，则，则，即，故A选项正确； 对于B选项，由，则，且，在上递减，于是，即，故B选项错误﹔ 对于C选项，由，得，在上递减， 此时：若，则，则，于是； 若，则，则， 于是，故C选项正确； 对于D选项，由，则，则，在递增，于是， 即，同理， 此时， 所以D选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键. 12．5 【分析】先对函数求导，然后令可求出的值，再求结果即可. 【详解】∵， ∴，解得， ∴ ∴． 故答案为：5. 13．5 【分析】根据，求得公比，再由求解. 【详解】解：在等比数列中，，， 所以，解得， 又， 即，解得， 故答案为：5 14．4 【分析】依题意可得，设，利用错位相减法求出，即可得到，从而得到，再根据指数函数的性质及所给数据判断即可. 【详解】因为蓝莓果重量服从正态分布其中， ， 设第次抽到优等果的概率（）， 恰好抽取次的概率，所以， 设，则， 两式相减得：， 所以， 由，即，的最大值为． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设，利用错位相减法求出，进而求出，利用指数函数的单调性解不等式即可. 15．(1)估计第60百分位数为76.7，众数估计值为75，平均数估计值为71 (2) 【分析】（1）利用百分位，平均数及众数的概念直接求解； （2）利用古典概型求解. 【详解】（1）得分在70以下的学生所在比例为，      得分在80以下的学生所占比例为，       所以第60百分位数位于内，                               由，估计第百分位数为，             由图可，得众数位于之间，则估计值为，                   平均数估计值为． （2）样本中成绩是以上（包括）的学生共，      则选到前3名学生的概率． 16．（1）存在；；（2）（）. 【分析】（1）假设存在实数，使得为等差数列，由，解出，再证明为常数即可； （2）由（1）得，，再分组利用错位相减法可得结果. 【详解】（1）假设存在实数，使得为等差数列，则， ，，， 当时，是一个与n无关的常数， 是以为首项，1为公差的等差数列， 存在实数； （2）由（1）得， ，（）， ， 设， ， ，， （）. 【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等比数列的求和公式，考查了错位相减法，属于中档题. 17．（1）见证明；（2） 【分析】（1）由已知中的几何体为直三棱柱，，是的中点，结合直三棱柱的几何特征以及等腰三角形三线合一的性质，易得平面， （2）根据异面直线所成角的定义，以及角的大小，求得，利用柱体的体积公式求得结果. 【详解】（1）证明：由，得， 而平面平面，平面平面，平面. 又平面， 平面平面. （2）解：连接，由知是异面直线与所成角, ，易知是正三角形， 依题意得，， 三棱柱的体积为. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，异面直线所成的角，柱体的体积公式，属于简单题目. 18．（1）；（2）点P的坐标为. 【解析】（1）由面积的最大为4，得，由轴时，面积为，得，又，解得，即可求得椭圆方程； （2）设,，，直线为：，联立方程，消x有：，利用弦长公式求得，同理，由，得出，利用斜率公式知，分类讨论求出点P的坐标． 【详解】（1）当点P是椭圆上的上顶点时，面积的最大，即，即 当轴时，面积为，即． 又，解得 所以椭圆方程为 （2）设直线为：，直线为： 联立方程，消x有：， ，设,， 由韦达定理得： 则 同理可得：， 由，所以， 即，则， 又，则， 若，又，有，不成立； 若，又，所以， 所以点P的坐标为． 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆相交求弦长，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题. 19．(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）先求得，结合函数的单调性求得在上的最小值. （2）利用导数证得，结合证得不等式成立. 【详解】（1）， ， 当时，， 单调递减，. （2）， ， 由时，单调递减， 随变大而单调递增， ，又时，单调递减， ， 即， 由（1）知时，可得 ， 结合式与可得， 整理得. 【点睛】对于复杂结构的不等式证明，要注意观察已知函数的解析式的结构，结合导数判断函数的单调性，从而化简证得不等式成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $