2025-2026学年高三上学期数学一轮复习自编模拟练习卷（二）（河北专用）

高三数学一轮复习自编模拟练习（二） 一、单选题 1．已知复数满足，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 2．已知集合，下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 3．若双曲线满足，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．“”是“函数的图象关于原点中心对称”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．定义在上的函数的周期为4，且满足，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 6．已知向量，，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 8．定义：对于任意实数，符号表示的“临近整数”，即（为整数）当且仅当.已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知正方体的棱长为为底面内一动点，且，则（    ） A．点的轨迹的长度为 B．平面 C．恰有一个点，满足 D．与平面所成的角的正弦值的最大值为 10．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作准线的垂线，垂足依次为．若长的最小值为4，则（   ） A．若，则 B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点在抛物线上，且，则 11．已知函数相邻对称轴间的距离为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，的取值范围是 D．若函数在上有3个零点，则a的取值范围是 三、填空题 12．若函数的导函数为，且满足，则 ． 13．已知正项等比数列的前项和为，若有，使得，则数列的公比为 . 14．为了解甲、乙两个农场某种水果的品质，某调研小组利用分层随机抽样的方法抽取500个甲、乙两个农场的该种水果，并将这500个水果分为大果和小果两种品级，其中来自甲农场的该种水果数量为200，来自甲、乙农场的大果数量均为80．抽取的该批水果中色泽红润，果实饱满的水果作为精品果售出，剩余水果作为普通果售出．已知精品果中大果的占比为，普通果中大果与小果的数量之比为，精品果利润为10元/个，普通果利润为5元/个．现从这500个水果中随机抽取4个，设这4个水果中精品果的个数为X，这4个水果的总利润为Y元，则． ， ． 四、解答题 15．DeepSeek是一种基于人工智能的大型语言模型，它是人们学习、工作与生活的得力助手，但也有部分人认为DeepSeek将在未来取代一部分人的工作．现对300家企业开展调查，统计DeepSeek的应用程度与一年内招聘人数是增加还是减少，得到统计数据如下表所示． DeepSeek的应用程度 招聘人数减少的企业数 招聘人数增加的企业数 合计 广泛应用 90 70 m 未广泛应用 80 140 合计 150 150 300 (1)求； (2)记广泛应用DeepSeek的企业招聘人数减少的概率为，求的估计值； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16．已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，且是直二面角的平面角，两点分别在棱上，. (1)若两点分别是棱的中点，证明：平面平面； (2)若，求三棱锥外接球的体积. 18．已知分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆上异于的两点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，直线（其中），直线与椭圆相交于两点，且满足. （i）求与的关系式； （ii）求面积的取值范围. 19．已知函数. (1)若，求的最值； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高三数学一轮复习自编模拟练习（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B C C D A BC BD 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】根据条件，利用复数的运算得到，即可求解. 【详解】由，得到， 所以的虚部为， 故选：B. 2．D 【分析】求出，再一一分析即可. 【详解】， 对A，，正确； 对B，空集是任何集合的子集，则B正确； 对C，为无理数集，而中的元素均为无理数，故C正确； 对D，集合与集合之间不能用符号，故D错误. 故选：D. 3．C 【分析】根据离心率公式计算可得答案. 【详解】由，得， 即. 故选：C. 4．B 【分析】根据正切函数的性质可判断充分性成立，必要性不成立，即可. 【详解】当时，， 则其图象关于原点对称，故充分性成立， 当函数的图象关于原点中心对称时， 则，不一定成立， 则必要性不成立， 则“”是“函数的图象关于原点中心对称”的充分不必要条件， 故选：B. 5．C 【分析】根据给定条件，利用周期函数的性质求出函数值. 【详解】对于，令，得， 又定义在上的函数的周期为4，所以，所以， 所以. 故选：C 6．C 【分析】利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：C 7．D 【分析】先根据焦点到渐近线的距离为1列出等式，求出，然后结合离心率求出，进而可得到双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线方程为（）， 所以渐近线方程为，即. 因为焦点到一条渐近线的距离为1 ，则有， 化简解得，又离心率，所以. 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 8．A 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，以及指数运算法则和对数运算法则，构造法求出各参数的值，进而比较大小. 【详解】因为，即，所以， 因为，即， 所以，即，所以， 因为，又因为， 所以，所以， 所以. 故选：A 9．BC 【分析】根据线面垂直、面面垂直、线面平行、面面平行的判定和性质进行逐项判断即可. 【详解】对于A选项， 根据正方体的特性和性质可知，， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 根据正方体的特性和性质可知，，又平面， 平面，因为，为底面内一动点， 所以点在对角线上，即点的轨迹的长度为选项错误； 对于B选项， 因为平面，而不在平面内， 所以平面，同理，平面， 又平面， 所以平面平面，又平面，所以平面选项正确； 对于C选项， 因为平面， 所以平面，由选项A知点在上， 所以当且仅当为的中点时，满足，C选项正确； 对于D选项， 因为平面，所以与平面所成的角即为， 因为，所以要使得取最大值，则取最小值， 所以当为的中点时，取得最大值， 此时，D选项错误. 故选：BC.    10．BD 【分析】根据通径为焦点弦最短弦列式求得，利用焦点弦的性质，判断A；联立直线与抛物线，利用韦达定理，结合焦半径公式判断B；根据焦半径公式列式求解判断C；利用向量坐标运算得，进而利用焦半径公式求解判断D. 【详解】由题意得抛物线的焦点，准线方程为， 因为长的最小值为4，所以，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点，准线方程为， 对于A：由焦点弦的性质，将代入， 解得，故A错误； 对于B： 设直线的方程为，，， 联立，得， 所以，， 所以， ， 由抛物线的定义可得，， ，若的倾斜角为，则， 所以，，所以，，所以，， 所以，，所以，故B正确； 对于C：若，则，所以， 所以，所以，所以， 解得，所以直线的斜率为1或，故C错误； 对于D：设，， 由，得为的重心， 所以，， 所以，故D正确. 故选：BD. 11．BD 【分析】先利用和角的正弦公式与辅助角公式将函数化成正弦型函数，再根据正弦函数的相关性质逐一判断各选项即可. 【详解】. 对于A，由题意可得函数的最小正周期，满足，则有，故A错误； 对于B，由A可得，因为函数的最大值，故必有，即B正确； 对于C，当 时，，则有，故的取值范围是 ，故C错误； 对于D，当时，，由正弦函数的图象性质， 要使函数 在 上有3个零点，需使，即，故D正确. 故选：BD. 12．/ 【分析】先求导，然后代入求出，进而可得，接着代入计算即可. 【详解】由得， 所以，得， 所以， 所以. 故答案为：. 13．/ 【分析】依题意可得，依题意可判断且，从而得到，即可得解. 【详解】因为，， 所以， 即. 依题意且，且， 所以，故. 故答案为： 14． 28 【分析】设抽取的该批水果中精品果的数量为x个，求出普通果的数量，根据题意列出方程求解即可求解. 【详解】设抽取的该批水果中精品果的数量为x个， 则普通果的数量为个， 由题意得， 解得，由超几何分布可知，. 故答案为：； 15．(1)，； (2)； (3)认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关，理由见解析． 【分析】（1）根据列联表数据计算出，； （2）用频率估计概率，估计； （3）零假设，计算出卡方，与6.635比较后得到结论. 【详解】（1），． （2）根据统计数据，广泛应用DeepSeek的企业有160家，其中招聘人数减少的有90家， 因此用频率估计概率，估计． （3）零假设：企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关． 因为， 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关． 16．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用等式变形，可以得到等差数列递推关系，从而问题得证； （2）利用裂项法来求和，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 由，两边同时除以可得：， 两边再同时乘以可得：， 又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． （2）由（1）可得：，则， 即， 所以. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形全等的性质证得，根据线面角的性质定理得，然后利用线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可； （2）利用补体法求解三棱锥外接球的半径，代入体积公式求解即可. 【详解】（1）因为为正方形，是棱的中点， 又， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 因为是直二面角的平面角， 所以平面，又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）三棱锥的外接球与四棱锥的外接球是同一个， 所以将四棱锥补成一个底面为边长为2的正方形，高为3的长方体，体对角线就是外接球的直径， 因为，所以，即. 18．(1); (2)（i）,（ii） 【分析】（1）利用椭圆和菱形的中心对称性可得参数的方程组，来求解椭圆方程； （2）（i）利用直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理和垂直关系，可得与的关系式； （ii）利用弦长公式和点到直线的距离来求面积，再利用换元法来求值域即可. 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形， 由四边形为菱形，根据椭圆的中心对称性可得，是椭圆的短轴顶点， 再由椭圆的性质，由四边形的周长为，面积为可得： ，解得， 所以椭圆的方程为； （2）如图，作出符合题意的图形， （i）直线与椭圆，联立方程组消去得： ， 设交点，则， 且， 由，则， 即， 所以有， 得到， 代入， 可得恒成立，故； （ii）由弦长公式得：， 由原点到直线的距离公式得：， 所以 再令，则上式可化为： ， 因为，所以，即， 即当时，即时，面积取到最大值， 当时，即时，面积取到最小值，由于，此情况排除， 故面积. 19．(1)最小值为，无最大值 (2) 【分析】（1）求导，再利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可求出函数的最值； （2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）易知的定义域为， 当时，，则， 由，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值； （2）由，得， 令，则，则， ①当时，， 所以在上单调递减， ②当时，令， 则， 令，则， 当时，， 所以当时，， 所以函数，即在上单调递减， 因为，， 所以存在唯一的，使得，故，即在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以当时，， 所以在上单调递增. 所以当时，， 所以，即实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $