精品解析：海南省海口市2026届高三上学期一模调研考试数学试题

海口市2026届高三年级调研考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. i 3. 已知，则（ ） A. 1或9 B. 1 C. 9 D. 1或 4. 下列椭圆中，形状最接近圆的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，，外接圆面积为，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 6. 海南有着深厚排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是随机事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，设满足方程，满足方程，则（ ） A. a B. 2a C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某高中学校高一年级、高二年级、高三年级的学生分别有400、500、300人．现用比例分配的分层随机抽样的方法，按年级从这些学生中抽取n人开展“教师作业批改情况”问卷调查，若高二年级抽到学生15人，则下列说法正确的是（ ） A. 从高二年级学生500人中抽取15人可采用简单随机抽样的方法 B. 高一年级抽到学生12人 C 样本容量 D. 三个年级中高三年级每个学生被抽取到的概率最小 10. 在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点，则（ ） A. B. C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 异面直线AN，CM所成角的余弦值为 11. 已知函数（，且）为偶函数，，恒成立，则实数的可能取值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则_______． 13. 已知直线与曲线相切，则实数_______． 14. 在某市科技馆举行的“科普进校园”活动中，“双曲狭缝”实验立板面吸引了众多学生参与．双曲狭缝模型如图所示，直杆PQ与固定轴l成一定夹角，且均和连杆OA垂直，连杆OA绕固定轴l旋转过程中，带动直杆PQ旋转，直杆PQ始终穿过立板上的双曲狭缝（双曲狭缝即为直杆运动轨迹（双曲面）被立板面截取的双曲线的一部分）．若直杆PQ与固定轴l所成角的大小为60°，连杆OA的长度为3，以O为坐标原点，固定轴l所在直线为y轴，则该双曲线的标准方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5岁儿童的平均身高如下表所示． 年龄x/岁 1 2 3 4 5 平均身高y/cm 76.0 865 975 103.5 111.5 （1）儿童的平均身高y与年龄x之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y关于年龄x的回归直线方程（或函数解析式）； （2）能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不能，请简要说明理由． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 16. 已知是半径为1，圆心角为的扇形（O为圆心），C是扇形弧上的动点，过C作，垂足为D，作，垂足为B，连接，记． （1）若，求线段的长度； （2）求当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值． 17. 已知抛物线C：上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）已知点，为抛物线上一点，连接，线段的中点也在抛物线上，为坐标原点，，求点的坐标． 18. 如图，在棱长为3的正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且． （1）求证：平面； （2）求直线EF与平面所成角的大小； （3）设为平面内任意一点，点到平面ABCD，，的距离分别为，，，求的最小值． 19. 设函数，． （1）令，，． （i）求的表达式； （ii）当时，恒成立，求的最大值； （2）求（令，结果用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口市2026届高三年级调研考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集、补集定义，求解即可. 【详解】，， ， ， . 故选：B 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. i 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算，分子分母同乘分母的共轭复数，化简即可得出结果. 【详解】由复数z满足， 则. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. 1或9 B. 1 C. 9 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】运用对数的运算性质进行化简，结合对数的真数的范围，即可得解. 【详解】由题可得，，且，（即）， 得，即， 两边同除以，得， 解得或， 又因为，故. 故选：C. 4. 下列椭圆中，形状最接近圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的性质：离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，进行判断即可. 【详解】在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率. 根据椭圆的性质知，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，又， 所以椭圆更接近于圆 故选：. 5. 在中，已知，，外接圆面积为，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的面积求出外接圆的半径，利用正弦定理求出，结合已知求出，进而求出. 【详解】设外接圆的半径， 外接圆面积为，，解得：， 由正弦定理, ，， ，即， ， ，即， ，， ，则， ，. 故选：B 6. 海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件列算式计算数据即可. 【详解】依题意可得，这个排球第5次着地时，它经过的总路程为： ， 故选：A. 7. 已知，是随机事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件概率公式得出与的关系，然后代入公式化简即可. 【详解】由条件概率公式得， 因此， 将 代入得， 解得. 故选：D 8 已知，设满足方程，满足方程，则（ ） A. a B. 2a C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】通过变量替换将第二个方程变形为与第一个方程相同的形式，利用函数单调性得到，从而求解出的值. 【详解】由题意可得，满足方程， 满足方程， 令，则， 将代入可得： ，进一步化简可得：， 观察与，发现两个方程形式相同， 设，对函数求导可得：， 在时，，所以在时单调递增，即方程有唯一解， 所以，，即，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某高中学校高一年级、高二年级、高三年级的学生分别有400、500、300人．现用比例分配的分层随机抽样的方法，按年级从这些学生中抽取n人开展“教师作业批改情况”问卷调查，若高二年级抽到学生15人，则下列说法正确的是（ ） A. 从高二年级学生500人中抽取15人可采用简单随机抽样的方法 B. 高一年级抽到学生12人 C. 样本容量 D. 三个年级中高三年级每个学生被抽取到的概率最小 【答案】AB 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的概念与性质进行求解判断即可. 【详解】对于，从高二年级学生500人中抽取15人，由于总体数量比较少，可采用简单随机抽样方法，故正确； 对于，根据题意知抽样比为，所以高一年级应抽取人，高三年级应抽取人，故样本容量，故正确，错误； 对于，在分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，故错误. 故选：AB. 10. 在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点，则（ ） A. B. C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 异面直线AN，CM所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】将三棱锥补形为长方体并求出棱长，再建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AB；求出三棱锥的外接球的半径，进而求出表面积判断C；利用线线角的向量法求解判断D． 【详解】在三棱锥中，，， 将三棱锥补形为长方体，如图所示： 则有，解得， 以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则有，， 对于A，，则，A正确； 对于B，，向量不共线，不平行，B错误； 对于C，三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 其半径为，则三棱锥的外接球表面积为，C正确； 对于D，，， 因此异面直线，所成的角的余弦值是，D错误. 故选：AC 11. 已知函数（，且）为偶函数，，恒成立，则实数的可能取值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】由偶函数定义可得，令，分离参数得，由对勾函数性质计算即可求解. 【详解】由是偶函数可得， 即，得， 所以，令， ，此时，，即， 令，因为在上单调递减， 所以，即可以取，0，1. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示直接求解即可. 【详解】根据题意，， 又因为，则， 解得. 故答案为： 13. 已知直线与曲线相切，则实数_______． 【答案】4 【解析】 【分析】设切点坐标为，利用切点既在曲线上又在切线上及导数的几何意义，解方程组即可求出. 【详解】由题意，定义域为，， 设切点坐标为，又切点既在曲线上又在切线上，， 解得或（舍掉），则. 故答案为：4. 14. 在某市科技馆举行的“科普进校园”活动中，“双曲狭缝”实验立板面吸引了众多学生参与．双曲狭缝模型如图所示，直杆PQ与固定轴l成一定夹角，且均和连杆OA垂直，连杆OA绕固定轴l旋转过程中，带动直杆PQ旋转，直杆PQ始终穿过立板上的双曲狭缝（双曲狭缝即为直杆运动轨迹（双曲面）被立板面截取的双曲线的一部分）．若直杆PQ与固定轴l所成角的大小为60°，连杆OA的长度为3，以O为坐标原点，固定轴l所在直线为y轴，则该双曲线的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合勾股定理列出方程化简即得. 【详解】当直杆的端点P恰好通过双曲狭缝时，模型转换后如图所示，，，， 则，由平面平面，得， 而平面，则平面，即， 设，则，，又，， 于是，在直角中，，即， 所以双曲线标准方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5岁儿童的平均身高如下表所示． 年龄x/岁 1 2 3 4 5 平均身高y/cm 76.0 86.5 97.5 103.5 111.5 （1）儿童的平均身高y与年龄x之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y关于年龄x的回归直线方程（或函数解析式）； （2）能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不能，请简要说明理由． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 【答案】（1）相关关系， （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先计算出和，然后计算，用题目中给的数据代入公式计算. （2）按照回归直线的定义分析，言之有理即可. 【小问1详解】 解：相关关系 得 ∴ 【小问2详解】 不能 因为该回归模型是基于儿童数据建立的，仅适用于描述该年龄段的统计规律，对30岁成年人的预测超出了模型的适用范围． 16. 已知是半径为1，圆心角为的扇形（O为圆心），C是扇形弧上的动点，过C作，垂足为D，作，垂足为B，连接，记． （1）若，求线段的长度； （2）求当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值． 【答案】（1） （2）当时，的面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）在中，可求得，同理求得，根据余弦定理可求得； （2）在中，，在中，，用表示出的面积，根据三角函数的性质可求得最大值. 【小问1详解】 如图，在中，，∴.同理，. 在中，由余弦定理可得：， ∴， . 【小问2详解】 在中，， 在中，. 在四边形中，. 设的面积为S， 则 由，得， ∴当，即时，S最大，. 因此，当时，的面积最大，最大面积为. 17. 已知抛物线C：上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）已知点，为抛物线上一点，连接，线段的中点也在抛物线上，为坐标原点，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义可得，，代入计算即可求解； （2）设，则，由平面向量数量积坐标运算可得，因为M，Q均在抛物线上，建立方程组计算即可求解. 小问1详解】 由题意知，， 代入抛物线方程得 因为，即，解得， 所以方程为． 【小问2详解】 设，， 因为点为线段的中点，所以，， 即，，则， 所以， 又M，Q均在抛物线上， 所以，解得，即． 18. 如图，在棱长为3正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且． （1）求证：平面； （2）求直线EF与平面所成角的大小； （3）设为平面内任意一点，点到平面ABCD，，的距离分别为，，，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解法1：由线面平行的判定定理证明即可；解法2：建立空间直角坐标系，由空间位置关系向量法证明即可； （2）解法1：建立空间直角坐标系，由空间位置关系向量法可得平面，即可求得线面角；解法2：建立空间直角坐标系，由线面角向量法计算即可求解； （3）设，则，根据点到平面距离向量法计算即可求解. 【小问1详解】 解法1：证明：如图1，连接AE并延长交BC于点G，∵， ∴，且，∴， 即：G点是BC的中点，连接并延长交BC于点H， 同理，H点是BC的中点，所以G与H重合，连接， ∴，∴， 在，∴∴， 又平面，平面，∴平面； 解法2：证明：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，， 则，，，，，， ，∴，∴，∴， 又平面，平面，∴平面； 【小问2详解】 解法1：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，， ，，，，， ∵，，，， 因为，所以，， ，平面，平面， 平面，∴平面， ∴EF与平面所成角为； 解法2：，，，，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 所以平面的法向量为， 设直线EF与平面所成角为， 则， ∴与平面所成角为； 【小问3详解】 设，则，，，， 求的最小值转化为求点A到平面的距离的平方， ∵，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 所以平面的法向量为， 设点A到平面的距离为d，则， 所以. 19. 设函数，． （1）令，，． （i）求的表达式； （ii）当时，恒成立，求的最大值； （2）求（令，结果用表示）． 【答案】（1）（i）；（ii）4． （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）先由题意求得，再根据，运用构造法，得到是等差数列，即可得解； （ii）先将该不等式化简为，再令，求导研究其单调性，求得其最小值的取值范围，再结合，即可得解； （2）利用以及差角的正弦公式，可得，再运用裂项相消法，即可得解. 【小问1详解】 （i）∵，， ∴， ∴， ∴是一个首项为，公差为1的等差数列， 故， ∴. （ii）当时，由条件得， ∴，∴， ∴. 令，则， 令，， 所以在单调递增，又， ， 所以存在唯一的，使得，即， 所以当时，，即，故在上单调递减； 当时，，即，故在上单调递增， 所以，即， 又∵，， 因为，所以n的最大值为4． 【小问2详解】 由（1）知，则， ， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $