6.2.4向量的数量积（一）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

讲课人： 日期： 6.2.4 向量的数量积（一） 学习目标 学习目标 核心素养 1.理解向量的数量积、向量的模及夹角的表示，掌握数量积的性质及运算律. 数学抽象 2.了解向量投影的概念及投影向量的意义. 数学运算 复习回顾 问题1：向量的线性运算包括哪些？ 向量的线性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘运算 规定实数与向量的积是一个向量 长度： 方向：当时，与的方向相同； 当时，与的方向相反； 当时， 三角形法则 平行四边形法则 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α有什么关系？ 角 β, α 的三角函 数值之间有什么关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 新课引入 前面我们学习了向量的数乘运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量与向量之间能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 探索新知 θ 一个物体在力 的作用下产生的位移 ，那么力 所做的功应当怎样计算？ 与 的夹角 标量 探索新知 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先定义向量的夹角该概念 探索新知 探索新知 注：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定. （3）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 [0°,180°]． （2） 中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写成 ． 对比向量的线性运算发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关． 典例分析 解： 例9：已知 与 的夹角 ，求 典例分析 例10：已知 与 的夹角θ. 解：由 得 因为 所以 探索新知 求向量 求夹角θ的思路 （1）求向量 的夹角的关键是计算 及 ,在此基础上 结合数量积的定义或性质计算 最后借助θ∈[0,π] 求出θ的值. (2)在个别含有 与 的等量关系式中，常利用整体思想计算 的值. 探索新知 投影向量的概念 探索新知 探索新知 当θ为锐角时， 当θ为直角时， 与 共线，于是 与 方向相同 M M1 N O θ 探索新知 当θ为钝角时， 当θ=0时， 与 方向相反 M M1 N O θ 当θ=π时， 综上，对任意的 都有 探索新知 练习.在已知，为单位向量,当向量，的夹角等于时 (1)求向量在向量上的投影；(2)求向量在向量上的投影向量 解：由定义可得，向量在向量上的投影为 （1）向量在向量上的投影： 求投影的两种方法： （在上的投影） ① ② （2）向量在向量上的投影向量： 探索新知 当两个非零向量相互平行或垂直时，他们的数量积有何特点？ 探索新知 思考：如果 是否有 或 当 时，由 不能推出 一定是零向量，因为任一与 垂直的非零向量 ,都满足 课堂小结 向量的数量积 向量数量积的定义 投影向量的概念 向量数量积的性质 课堂检测 课堂检测 课堂检测 课堂检测 4.已知，，则在方向上的投影向量是？ 解：向量在向量上的投影为 所以向量在向量上的投影向量为： 为向量的单位向量，即 所以向量在向量上的投影向量为：= = = 作业 对应课后习题 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 则 叫做向量 与 的夹角.如图： 特别注解：当 时， 与 同向；当 时， 与 反向. 向量垂直： 数量积（内积）： 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积（内积），记作 ，即 规定： 零向量与任一向量的数量积为 如果 与 的夹角是 ，我们就说 与 垂直，记作 . 如图，设a，b是两个非零向量， ， ，作如下变换：过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ， ，得到 ，称上述变换为向量a向向量b投影， 叫做向量a在向量b上的投影向量. 思考：如图, 设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为 , 那么 与 ， ， 之间有怎样的关系? 思考：如图, 设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为 , 那么 与 ， ， 之间有怎样的关系? （4） （5） 1、　对于任意非零向量a，b，下列说法中错误的是(　　) A.若a⊥b，则|a＋b|＝|a－b| B.|a＋b|＝|a|＋|b| C.若|a|＝|b|，则(a＋b)·(a－b)＝0 D.|a|＝ 根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|， 只有当a，b同向时取“＝”， 所以B错误；其它选项均正确. 答案　B 2、已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A.[－1，＋1] B.[－1，＋2] C.[1，＋1] D.[1，＋2] ∵a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1. ∴|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1. 又|a|＝|b|＝1，且a·b＝0， ∴2c·(a＋b)＝c2＋1，|a＋b|＝， ∴c2＋1＝2|c|cos θ(θ是c与a＋b的夹角). 又－1≤cos θ≤1， ∴1≤c2＋1≤2|c|， ∴c2－2|c|＋1≤0. 根据二次函数y＝x2－2x＋1的图象， 可得－1≤|c|≤＋1. 答案　A 3、　已知a，b都是非零向量，且(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)， 求向量a与b的夹角. 由题意得 即 1 －②，得2a·b＝b2.③ 把③代入①，得a2＝b2，即|a|＝|b|. 设θ为向量a与b的夹角，则有cos θ＝＝＝. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. $