第25章一次函数第1讲 函数概念与正比例函数培优讲义 (讲+练）2025-2026学年沪教版（五四制）八年级下册

本讲义聚焦函数概念及正比例函数核心知识点，从常量与变量的辨识切入，逐步构建函数定义、关系式、自变量取值范围、函数图像的认知框架，为后续一次函数学习奠定基础。 资料以刹车距离、水龙头滴水等生活实例引导学生用数学眼光观察现实，通过函数图像辨析、自变量取值范围推理等题目培养数学思维，讲练结合设计助力课堂教学效率提升，课后练习可帮助学生巩固概念，查漏补缺。

沪教版(新) 8年级下培优讲义 (讲+练) 《一次函数》第1讲 函数概念及正比例函数 函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正比例函数和一次函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质． 模块一：函数的概念 1. 函数的概念 （1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量； （2）在某个变化过程中有两个变量，设为和，如果在变量允许的取值范围内，变量随着变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量．函数用记号表示，表示时的函数值； （3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式． 2. 函数的定义域和函数值 （1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域． （2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域． 模块二：正比例函数 1．正比例函数的概念 (1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数． (2)解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数．正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式 2．正比例函数的图象 (1)一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； (2)图像画法：列表、描点、连线． 3．正比例函数的性质 (1)当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大． (2)当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的 值则随着逐渐减小． 一．常量与变量（共3小题） 1．圆周长C与圆的半径r之间的关系为C＝2πr，其中变量是 C、r ，常量是 　2π　 ． 【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 【解答】解：∵在圆的周长公式C＝2πr中，C与r是改变的，π是不变的； ∴变量是C，r，常量是2π． 故答案为：C，r；2π． 【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 2．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为4，则最后输出因变量y的值为 　20　 ． 【分析】将x＝4代入关系式x（x+1），进而解决此题． 【解答】解：当x＝4，则x（x+1）＝4×5＝20＞15． ∴输出因变量y＝20． 故答案为：20． 【点评】本题主要考查求因变量的值，熟练掌握自变量对应的因变量的值的求法是解决本题的关键． 3．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过120km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表： 刹车时的速度（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 下列说法中，错误的是（　　） A．自变量是刹车时的速度 B．刹车时的速度每小时增加10km，刹车距离就增加2.5m C．当刹车距离为15m时，刹车时的速度为70km/h D．当刹车时的速度为80km/h时，与其前方距离25m的车辆不会追尾 【分析】根据常量和变量的定义以及表格中对应值的变化规律进行判断即可． 【解答】解：A．刹车距离随着刹车时的速度的变化而变化，所以刹车时的速度是自变量，刹车距离是因变量，因此选项A不符合题意； B．由表格中刹车距离与刹车时的速度对应值的变化规律可知，刹车时的速度每小时增加10km，刹车距离就增加2.5m，因此选项B不符合题意； C．表格中刹车距离与刹车时的速度对应值的变化规律可知，当刹车距离为15m时，刹车时的速度为60km/h，因此选项C符合题意； D．当刹车时的速度为80km/h时，刹车距离为2.5×8＝20，而20＜25，所以与其前方距离25m的车辆不会追尾，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查常量和变量，理解常量和变量的定义以及表格中对应值的变化规律是正确解答的关键． 二．函数概念（共4小题） 4．圆柱的体积V的计算公式是V＝πr2h，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的 　正比例　 函数． 【分析】由正比例函数的定义，即可得到答案． 【解答】解：V＝πr2h，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的正比例函数． 故答案为：正比例． 【点评】本题考查函数的概念，常量与变量，关键是掌握正比例函数的概念． 5．下列各图象中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的定义，每一个x的值，只能有一个y的值与之对应，反映在函数图象上，就是任何一条与x轴垂直的竖线，与函数图象最多只有一个交点．根据这个条件逐一判断． 【解答】解：选项A，根据图象，当x＝0时，y有两个值与之对应，因此不是函数，符合题目要求． 选项B、C、D，根据图象，每一个x的值，都有唯一的y值与之对应，因此是函数，不符合题目要求． 故选：A． 【点评】本题考查函数的定义．理解函数图象的特点是解题关键． 6．已知变量x和变量x﹣2，那么x﹣2是否为 　是　 x的函数？（填“是”或“否”） 【分析】根据函数的概念进行判断即可解答． 【解答】解：∵对于变量x的每一个确定的值，变量x﹣2有且只有一个值与之对应， ∴根据函数的概念可知，x﹣2是x的函数， 故答案为：是． 【点评】本题主要考查了函数，解决问题的关键是掌握函数的概念．设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 7．如果y＝（m+2）x+m﹣1是常值函数，那么m＝　﹣2　 ． 【分析】因为y＝（m+2）x+m﹣1是常值函数，所以m+2＝0，即可求得m的值． 【解答】解：由题意得，m+2＝0， m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了函数的概念﹣常值函数，是指函数值是固定不变的． 三．函数关系式（共6小题） 8．一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米（0＜x＜10），则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 y＝﹣x2+20x．　 ． 【分析】根据正方形的面积公式计算即可． 【解答】解：y＝102﹣（10﹣x）2＝﹣x2+20x， ∴y关于x的函数解析式是y＝﹣x2+20x． 故答案为：y＝﹣x2+20x． 【点评】本题考查函数关系式，掌握正方形的面积计算公式是解题的关键． 9．将写成y＝f（x）的形式为 y＝（x≠）　 ． 【分析】根据等式的基本性质，将y表含x的代数式表示出来即可． 【解答】解：去分母，得x（3y﹣3）＝2+2y， 去括号，得3xy﹣3x＝2+2y， 移项、提取公因式y，得（3x﹣2）y＝3x+2， y的系数化1，得y＝（x≠）． 故答案为：y＝（x≠）． 【点评】本题考查函数关系式，掌握等式的基本性质是解题的关键． 10．上海与杭州两地之间的距离是140km，若汽车以每小时60km的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程s与行驶的时间t之间的函数关系式为　　 ． 【分析】根据题意得到时间t的取值范围，再结合路程、时间、速度之间的关系列出函数关系式即可． 【解答】解：由条件可知． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，正确掌握路程、时间、速度之间的关系是解题关键． 11．直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是 s＝πx2+2πx ． 【分析】根据“增加的面积＝半径增加后的圆的面积﹣半径增加前的圆的面积”作答即可． 【解答】解：根据题意，得s＝π（x+）2﹣（）2π＝πx2+2πx， 故答案为：s＝πx2+2πx． 【点评】本题考查函数关系式，掌握圆的面积公式是本题的关键． 12．如图，在△ABC中，边BC＝60，高AD＝40，四边形EFGH是内接矩形，HG交AD于P，设HE＝x，则矩形EFGH的面积S与x的函数关系式 　　 ． 【分析】通过证明△AHG∽△ABC，得出，根据矩形的面积公式求解． 【解答】解：∵四边形EFGH是内接矩形，AD⊥BC， ∴HG∥BC，四边形EDPH为矩形， ∴AD⊥HG，DP＝HE＝x， ∵AD＝40， ∴AP＝40﹣x， ∵HG∥BC， ∴△AHG∽△ABC， ∴，即， 整理得：， ∴， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相似三角形高的比等于相似比，以及矩形对边平行且相等是解题的关键． 13．据测试，拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小明洗手后没有把水龙头拧紧，水龙头以测试速度滴水，当小明离开x分钟后，水龙头滴水y毫升水，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝0.05x B．y＝5x C．y＝100x D．y＝0.05x+100 【分析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升，则x分钟可滴100×0.05x毫升，据此即可求解． 【解答】解：根据题意可得：y＝100×0.05x， 即y＝5x． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确表示出一分钟滴的水的体积是解题的关键． 四．函数自变量取值范围（共5小题） 14．函数y＝的定义域是 x≠0　 ． 【分析】根据分母不为0，可得x≠0，即可得出答案． 【解答】解：由题意得：x≠0， 故答案为：x≠0． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键． 15．下列y关于x的函数中，定义域为一切实数的是（　　） A．y＝x﹣3 B． C． D．y＝（x﹣3）0 【分析】根据分式的分母不为零、二次根式的被开方数是非负数、零指数幂的概念判断． 【解答】解：A、定义域为一切实数，符合题意； B、定义域为x﹣3≥0，即x≥3，不符合题意； C、定义域为x﹣3≠0，即x≠3，不符合题意； D、定义域为x﹣3≠0，即x≠3，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记分式的分母不为零、二次根式的被开方数是非负数、零指数幂的概念是解题的关键． 16．小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为x、y和z，如果在变量x和y的允许取值范围内，变量z随着x和y的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量z叫做变量x和y的二元函数，例如，小明认为x、y两数的积z，就是x和y的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“z是x和y的二元函数”用记号z＝f（x，y）来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数f（x，y），满足特征f（x，x）＝0，f（x，f（y，z））＝f（x，y）﹣z，那么f（2025，2024）＝　﹣1　 ． 【分析】根据题意先推出f（x，f（x，z））＝﹣z，然后推出f（z，0）＝﹣z，再通过把f（2025，2024）＝f（2025，f（2024，2024））+2024化简求解即可． 【解答】解：∵f（x，x）＝0，f（x，f（y，z））＝f（x，y）﹣z， ∴f（x，f（x，z））+z＝f（x，x）＝0， ∴f（x，f（x，z））＝﹣z， 令x＝z，则f（z，f（z，z））＝f（z，0）＝﹣z． ∴f（2025，2024）＝f（2025，f（2024，2024））+2024＝f（2025，0）+2024＝﹣2025+2024＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了函数的新定义，通过变量代换对函数进行变形是解答本题的关键． 17．函数的定义域为 　　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件计算即可得解． 【解答】解：由题意可得3x﹣2≥0， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了求函数的定义域、二次根式有意义的条件， 18．已知：函数f（x）＝﹣3x． （1）求这个函数的定义域； （2）计算． 【分析】（1）根据分母不等于0即可得到函数定义域； （2）把自变量x＝2和分别代入函数解析式进行计算即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得，x﹣1≠0， 解得x≠1， ∴定义域为x≠1； （2）f（2）＝﹣3×2 ＝3﹣6 ＝﹣3， f（）＝﹣3 ＝3（+1）﹣3 ＝3+3﹣3 ＝3． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． 五．函数的值（共3小题） 19．已知f（x）＝2x2﹣1，那么＝ 　5　 ． 【分析】将x＝﹣代入f（x）计算即可． 【解答】解：f（﹣）＝2×（﹣）2﹣1＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查函数值，掌握代入自变量的值求函数值的方法是解题的关键． 20．如果，那么f（2）＝　　 ． 【分析】把x＝2代入关系式，进行有理数的运算即可． 【解答】解：∵， ∴当x＝2时，f（2）＝＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数值，把所给的自变量的值代入关系式进行计算是解题的关键． 21．已知，则f（2）＝ 　﹣　 ． 【分析】将x＝2代入f（x）的表达式并计算即可． 【解答】解：f（2）＝＝﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查函数值，理解用f（x）表示函数的方法及代入自变量的值求函数值是解题的关键． 六．函数图像（共6小题） 22．已知点A（﹣2，m）、B（2，m）、C（4，m+1）在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由点A（﹣2，m）、B（2，m）、C（4，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案． 【解答】解：∵点A（﹣2，m）、B（2，m）， ∴A与B关于y轴对称，故A，C不符合题意； ∵B（2，m）、C（4，m+1）， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故B符合题意，D不符合题意． 故选：B． 【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 23．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（小时），航行过的路程为S（千米），则S关于t的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】理解函数图象横纵坐标表示的意义，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【解答】解：第一段是顺水航行，速度大于静水速度，图象陡一些， 到达乙地后停留一段时间，路程没有变化，图象平行于横轴， 从乙地逆水航行返回到甲地，路程逐步增加，是逆水航行，速度小于静水速度，图象平缓一些， ∴图象D符合上述特征， 故选：D． 【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是关键． 24．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是（　　） A．37.2分钟 B．48分钟 C．33分钟 D．30分钟 【分析】首先小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，回家也是先上坡后下坡，而据图象知道上坡路程是36百米，下坡路程是60百米，由此先求出上坡和下坡的速度，再根据返回时原来上坡变为下坡，下坡变为上坡，利用时间＝路程÷速度即可求出小亮从学校骑车回家用的时间． 【解答】解：由图可得，去校时，上坡路的距离为36百米，所用时间为18分， ∴上坡速度＝36÷18＝2（百米/分）， 下坡路的距离是96﹣36＝60百米，所用时间为30﹣18＝12（分）， ∴下坡速度＝60÷12＝5（百米/分）； ∵去学校时的上坡回家时变为下坡、去学校时的下坡回家时变为上坡， ∴小亮从学校骑车回家用的时间是：60÷2+36÷5＝30+7.2＝37.2（分钟）． 故选：A． 【点评】此题主要考查学生的读图获取信息的能力，需要注意去学校时的上坡，返回家时是下坡，去学校时的下坡，返回家时是上坡． 25．小文家与学校相距1000米，某天小文上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是小文与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图象，下列说法错误的是（　　） A．小文走了200米后返回家拿书 B．小文在家停留了3分钟 C．小文以每分钟200米的速度加速赶到学校 D．小文在第10分钟的时候赶到学校 【分析】从图象可以知道，2分钟时小文返回家，在家一段时间后，5分钟又开始回学校，10分钟到达学校． 【解答】解：A、小文走了200米后返回家拿书，正确，不合题意； B、小文在家停留了3分钟，错误，从回家到拿到书，一共用3分钟，故符合题意； C、小文以每分钟：＝200米的速度加速赶到学校，正确，不合题意； D、小文在第10分钟的时候赶到学校，正确，不合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了函数图象，正确认识图象和熟练运用待定系数法是解好本题的关键． 26．某客运公司规定旅客可免费携带质量不超过40千克的行李，超过40千克的部分，需购买行李票，行李票y（元）与行李质量x（kg）之间的函数关系如图所示，旅客甲携带75kg的行李，需购买行李票　21　 元． 【分析】由图象知：一次函数经过（40，0）、（60，12），则由待定系数法可求得一次函数解析式，再令x＝75，计算即可求得． 【解答】解：设一次函数解析式为：y＝kx+b，由条件可得：， 解得：， ∴， 令x＝75，可得：， ∴需购买行李票21元． 故答案为：21． 【点评】本题考查了一次函数的应用．熟练掌握从函数图象中获取准确信息是关键． 27．定义：如果函数图象上的一个点向左平移n个单位，再向上平移2（n+1）个单位后仍在这个函数图象上，我们称这个函数是“可回旋”函数，n称为这个函数的“可回旋单位”．如果y＝﹣6x是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 　　 ． 【分析】根据题意，表示出该点平移后的坐标（a﹣n，﹣6a+2n+2），再代入函数解析式中，得到n的值，即可得到结果． 【解答】解：∵设y＝﹣6x图象上一点（a，﹣6a）， ∴向左平移n个单位，再向上平移2（n+1）个单位，该点坐标为（a﹣n，﹣6a+2n+2）， ∵y＝﹣6x是“可回旋”函数， ∴﹣6a+2n+2＝﹣6（a﹣n）， ∴﹣6a+2n+2＝﹣6a+6n， ∴4n＝2， ∴n＝， ∴“可回旋单位”是， 故答案为：． 【点评】本题考查了新定义，读懂题意并加以正确应用是解题的关键． 七．正比例函数的概念（共5小题） 28．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝ 【分析】根据形如y＝kx（k≠0）的是正比例函数，逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：A．y＝3x+1是一次函数，不是正比例函数，故不符合题意； B．y＝3x2是二次函数，故不符合题意； C．y＝是反比例函数，故不符合题意； D．y＝是正比例函数，故符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握定义是关键． 29．下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B．y＝2x2 C．y＝3x+1 D． 【分析】根据正比例函数的一般形式：y＝kx（k为常数且k≠0），逐一判断即可解答． 【解答】解：A、y＝是反比例函数，故不符合题意； B、y＝2x2是二次函数，故不符合题意； C、y＝3x+1是一次函数，不是正比例函数，故不符合题意； D、y＝是正比例函数，故符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 30．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2（x﹣1） B． C． D． 【分析】形如y＝kx（k为常数且k≠0）的函数叫做正比例函数，由此判断即可． 【解答】解：A、y＝2（x﹣1）＝2x﹣2，是一次函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、是反比例函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项不符合题意； D、是正比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数，熟知其定义是解题的关键． 31．如果y＝（m﹣3）x是正比例函数，那么m＝　﹣3　 ． 【分析】根据正比例函数的定义，k为常数且k≠0，自变量次数为1，从而解出m的值． 【解答】解：根据正比例函数的定义， 可得：； 解得：m＝﹣3 故答案为：﹣3 【点评】此题考查正比例函数定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件，满足正比例函数y＝kx的条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 32．阅读材料，回答问题：如果对于任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c（不妨设a≤b≤c）都在某个函数f（x）的定义域内，并且f（a），f（b），f（c）也能构成一个三角形，我们就称这样的函数f（x）为“保三角函数”． （1）试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”． （2）试判断：f（x）＝是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明：如果不是，请举出反例． （3）试判断：g（x）＝是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例． 【分析】（1）根据“保三角函数”的定义判断即可； （2）根据“保三角函数”的定义判断即可； （3）根据“保三角函数”的定义判断即可． 【解答】解：（1）设f（x）＝kx（k＞0）， 则f（a）+f（b）＝ka+kb＝k（a+b），f（c）＝kc， ∵a+b＞c，k＞0， ∴k（a+b）＞kc， ∴f（a）+f（b）＞f（c）， ∴f（x）＝kx为“保三角函数”； （2）对于f（x）＝，设a＝3，b＝7，c＝9，a，b，c能够成三角形， ∵f（a）＝，f（b）＝，f（c）＝， ∵， ∴f（a），f（b），f（c）不能构成一个三角形，故f（x）＝不是“保三角函数”； （3）对于g（x）＝，由a+b＞c，可得a+2+b＞c， ∴+＞， ∴g（x）＝是“保三角函数”． 【点评】本题考查了正比例函数，三角形的三边关系，正确的理解“保三角函数”的定义是解题的关键． 八．正比例函数的图像（共5小题） 33．下列各点中，在正比例函数的图象上的是（　　） A． B．（﹣3，﹣1） C．（0，﹣1） D．（6，3） 【分析】将点横坐标代入，求函数值，然后判断作答即可． 【解答】解：当时，y＝，不在正比例函数的图象上，故A不符合要求； 当x＝﹣3时，y＝﹣1，（﹣3，﹣1）在正比例函数的图象上，故B符合要求； 当x＝0时，y＝0，（0，﹣1）不在正比例函数的图象上，故C不符合要求； 当x＝6时，y＝2，（6，3）不在正比例函数的图象上，故D不符合要求； 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数的图象．熟练掌握正比例函数的图象是解题的关键． 34．如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【分析】在图中画出直线x＝1，得出此直线与三个正比例函数图象的交点，再根据它们的位置关系即可解决问题． 【解答】解：作直线x＝1如图所示， 则点A坐标为（1，b），点B坐标为（1，a），点C坐标为（1，c）， 结合A，B，C三个点的位置可知， c＜a＜b． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正比例函数的图象，熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键． 35．在水管放水的过程中，放水的时间x（分）与流出的水量y（立方米）是两个变量．已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟，则y关于x的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟”列出函数关系式，然后确定函数的图象即可． 【解答】解：∵水管每分钟流出的水量是0.2立方米， ∴流出的水量y和放水的时间x的函数关系为：y＝0.2x， ∵放水的过程共持续10分钟， ∴自变量的取值范围为（0≤x≤10）， 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，解题的关键是能够根据实际问题列出函数关系式，难度不大． 36．下列各图象中，表示函数y＝x的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】由于正比例函数的图象是一条经过原点的直线，由此即可确定选择项． 【解答】解：∵k＝1＞0， ∴函数y＝x的值随自变量x的增大而增大，且函数为正比例函数， 故选：A． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，正确地理解题意是解题的关键． 37．如果正比例函数y＝m的图象在二、四象限，那么m的值是 　﹣2　 ． 【分析】首先根据正比例函数的定义可得m2﹣3＝1，且m≠0，解出m的值，再根据图象经过第二、四象限，可得m＜0，进而确定m． 【解答】解：由题意得：m2﹣3＝1，且m≠0， 解得：m＝±2． ∵图象经过第二、四象限， ∴m＜0， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握正比例函数的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 九．正比例函数的性质（共7小题） 38．若正比例函数y＝mx的图象经过第二、四象限，则（　　） A．m≥0 B．m＞0 C．m≤0 D．m＜0 【分析】对于正比例函数y＝mx（m≠0），当m＞0时，函数图象经过第一、三象限，当m＜0时，函数图象经过第二、四象限，据此可得答案． 【解答】解：由条件可知m＜0， 故选：D． 【点评】本题主要考查了正比例函数图象的性质，熟练掌握该知识点是关键． 39．正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k、m、n的大小关系是 k＞m＞n （用“＞”号连接）． 【分析】由y＝nx经过二、四象限，y＝kx与y＝mx经过一、三象限，可知n＜0，k＞0，m＞0；再由当x＝1时，y＝kx的图象在y＝mx的上方，即可判断k与m的大小． 【解答】解：∵正比例函数y＝nx经过二、四象限，y＝kx与y＝mx经过一、三象限， ∴n＜0，k＞0，m＞0． 又∵y＝kx经过（1，k），y＝mx经过（1，m）， 当x＞0时，y＝kx的图象在y＝mx的上方， ∴k＞m， 故答案为：k＞m＞n． 【点评】本题考查了正比例函数图象及性质，掌握正比例函数的性质是解题关键． 40．已知正比例函数y＝（k+2）x（其中k为常数，且k≠﹣2），如果y的值随x的值增大而增大，那么下列k的值中，不可能的是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 【分析】根据正比例函数的定义得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝（k+2）x（其中k为常数，且k≠﹣2）中，y的值随x的值增大而增大， ∴k+2＞0， 解得k＞﹣2， ∵﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜2， ∴k不可能是﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 41．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣3，2），则该函数的图象（　　） A．在第二、四象限，y随x的增大而增大 B．在第二、四象限，y随x的增大而减小 C．在第一、三象限，y随x的增大而增大 D．在第一、三象限，y随x的增大而减小 【分析】根据正比例函数的性质进行判断即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣3，2）， ∴2＝﹣3k， 解得， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过原点，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小是解题的关键． 42．已知，且y是关于x的正比例函数． （1）求y与x的函数关系式； （2）若x≤2，求函数y的最小值． 【分析】（1）根据正比例函数定义求出k值即可； （2）根据正比例函数性质解答出最小值即可． 【解答】解：（1）∵，且y是关于x的正比例函数， ∴k2﹣3＝1，k≠2， ∴k＝﹣2， ∴y＝﹣4x， （2）∵y＝﹣4x中k＝﹣4＜0，y随x的增大而减小，且x≤2， ∴当x＝2时，函数有最小值，最小值为y＝﹣8． 【点评】本题考查了正比例函数的定义和性质，熟练掌握该知识点是关键． 43．函数y＝kx+（k2﹣4）是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则k＝　﹣2　 ． 【分析】根据题意，得k＜0且k2﹣4＝0，解答即可． 【解答】解：根据题意，得k＜0且k2﹣4＝0， 解得k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，图象分布，熟练掌握定义和图象分布是解题的关键． 44．已知点P（m，n）在第四象限，则正比例函数图象经过第　二、四　 象限． 【分析】由点P（m，n）在第四象限可知，m＞0，n＜0，则；再根据正比例函数图象的性质即可得． 【解答】解：由点P（m，n）在第四象限得，m＞0，n＜0， 则， 根据正比例函数图象的性质得，图象经过第二、四象限， 故答案为：二、四． 【点评】本题考查了平面直角坐标系的性质、正比例函数图象的性质．对于正比例函数y＝kx（k≠0）有：（1）当k＞0，函数图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k＜0，函数图象经过第二、四象限，y随x的增加而减小． 1．一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间的函数关系用图象可以表示为图中的（　　） A． B． C． D． 【分析】根据蜡烛剩余的长度＝总长度﹣燃烧的长度就可以得出函数的解析式，由题意求出自变量的取值范围就可以得出函数图象． 【解答】解：由题意，得 y＝30﹣5t， ∵y≥0，t≥0， ∴30﹣5t≥0， ∴t≤6， ∴0≤t≤6， ∴y＝30﹣5t是降函数且图象是一条线段． 故选：B． 【点评】本题考查了蜡烛剩余的长度＝总长度﹣燃烧的长度关系的运用，一次函数的解析式的运用，一次函数的图象的运用，自变量的取值范围的运用，解答时求出函数解析式及自变量的范围是关键． 2．一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】由于m、n的符号不确定，故应先讨论m、n的符号，再根据一次函数的性质进行选择． 【解答】解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0， 一次函数y＝mx+n的图象一、二、三象限， 正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项； （2）当m＞0，n＜0时，mn＜0， 一次函数y＝mx+n的图象一、三、四象限， 正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，C选项符合； （3）当m＜0，n＜0时，mn＞0， 一次函数y＝mx+n的图象二、三、四象限， 正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项； （4）当m＜0，n＞0时，mn＜0， 一次函数y＝mx+n的图象一、二、四象限， 正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，无符合项． 故选：C． 【点评】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限． 3．下列各函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B．y＝2x2 C．y＝x﹣1 D． 【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k为常数且k≠0）的函数是正比例函数，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、y＝，是正比例函数，故A符合题意； B、y＝2x2，是二次函数，故B不符合题意； C、y＝x﹣1，是一次函数但不是正比例函数，故C不符合题意； D、y＝，是反比例函数，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 4．函数y＝中，自变量x的取值范围是 x＞1　 ． 【分析】从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分． 【解答】解：根据题意得到：x﹣1＞0， 解得x＞1． 故答案为：x＞1． 【点评】本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆． 5．已知直线y＝kx+b（k≠0）经过第一、三、四象限，那么直线y＝﹣kx﹣b（k≠0）经过第　一、二、四　 象限． 【分析】根据k、b的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【解答】解：由题意得，k＞0，b＜0， ∴﹣k＜0，﹣b＞0， ∴直线y＝﹣kx﹣b（k≠0）经过第一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟知对于一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，一次函数图象必过一、三象限；当k＜0时，一次函数图象必过二、四象限；当b＞0时，一次函数图象与y轴交于正半轴；当b＜0时，一次函数图象与y轴交于负半轴；或者说：当k＞0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键． 6．函数的定义域是　　 ． 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可知：2x﹣3≥0，解得x的范围． 【解答】解：要使函数有意义， 则2x﹣3≥0， 解得x． 故答案为x≥． 【点评】本题主要考查自变量的取值范围的知识点，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 7．函数y＝x+k+2是正比例函数，则k的值为　﹣2　 ． 【分析】根据正比例函数的定义，函数解析式中常数项必须为零即可解答． 【解答】解：由题意可得：k+2＝0， 解得：k＝﹣2． 故答案为：﹣2 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义． 8．下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．圆的面积S与它的半径r B．三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h C．正方形的周长C与它的边长a D．周长不变的长方形的长a与宽b 【分析】根据正比例函数的定义计算． 【解答】解：A、圆的面积＝π×半径2，不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、三角形面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系S＝ah，不是正比例函数，故此选项不符合题意； C、正方形的周长C＝边长×4＝4a，是正比例函数，故此选项符合题意； D、设周长为C，则依题意得C＝2（a+b），则a与b不是正比例关系，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查正比例函数的定义．解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数． 9．某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为x千克（x＞1），那么快递费y（元）关于物品重量x（千克）的函数解析式为y＝8x+2　 ． 【分析】依据题意得，y＝10+8（x﹣1），从而可以判断得解． 【解答】解：由题意得，y＝10+8（x﹣1）， ∴y＝8x+2． 故答案为：y＝8x+2． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． 10．函数的定义域是 x≥﹣1　 ． 【分析】根据完全平方公式得到x+10﹣6≥0，再根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：x+10﹣6 ＝x+1﹣6+9 ＝（﹣3）2≥0， ∴当x+1≥0时，函数有意义，即x≥﹣1， 故答案为：x≥﹣1． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 11．某苹果种植合作社通过网络销售苹果，如图所示的线段AB反映了苹果的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）间的函数关系，已知1千克苹果的成本是5元，如果某天该合作社的苹果销售单价为8元/千克，那么这天销售苹果的盈利是 　6600　 元． 【分析】求出AB的解析式，将x＝8代入可得这天销售苹果的日销售量，即可求得这天销售苹果的盈利． 【解答】解：设AB的解析式是y＝kx+b， ∴，解得， 即苹果日销售量y（千克）与苹果售价x（元）的函数解析式是y＝﹣600x+7000（5≤x≤10）， x＝8时，苹果日销售量y＝﹣600×8+7000＝2200， ∴这天销售苹果的盈利是2200×（8﹣5）＝6600（元）． 故答案为：6600． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 12．互联网经济已经成为了我国经济的重要发展方向，如图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图象，线段OA表示某商品以原价销售时的函数图象，线段AB表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图象，线段BC表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图象， （1）求线段OA所在直线的函数解析式； （2）该商品原价每件为　10　 元．第二次降价后该商品每件为　7　 元． （3）该商品每次降价的百分率为　20%　 ． 【分析】（1）根据点（100，1000），利用待定系数法求解即可得； （2）根据函数图象可得每件的原价等于销售额1000元除以销售量100件；第二次降价后该商品每件的价格为销售额（10000﹣9300）元除以销售量100件，由此即可得； （3）设该商品每次降价的百分率为m，结合（2）的结果，建立一元二次方程，解方程即可得． 【解答】解：（1）设线段OA所在直线的函数解析式为y＝ax（a≠0）， 将点（100，1000）代入得：100a＝1000，解得a＝10， 则线段OA所在直线的函数解析式为y＝10x． （2）由线段OA表示的函数图象可知，该商品原价每件为（元）， 由线段BC表示的函数图象可知，第二次降价后该商品每件为（元）， 故答案为：10，7． （3）设该商品每次降价的百分率为m， 由题意得：10（1﹣m）2＝6.4， 解得m＝0.2＝20%或m＝1.8＞1（不符合题意，舍去）， 所以该商品每次降价的百分率为20%， 故答案为：20%． 【点评】本题考查了正比例函数的图象与性质、从函数图象中获取信息、一元二次方程的应用，从函数图象中正确获取信息是解题关键． 13．某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是 　时间（或t）　 ； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是 　5　 分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 　25　 米/分； （4）图中a表示的数是 　2　 ；b表示的数是 　15　 ； （5）图中点A表示的实际意义是 　在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米　 ． 【分析】（1）根据图象信息得出自变量； （2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间12﹣7＝5分钟即可； （3）根据“速度＝路程÷时间”计算即可； （4）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可； （5）根据点的实际意义解答即可． 【解答】解：（1）横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间（或t），因变量是高度（或h）； 故答案为：时间（或t）； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是12﹣7＝5（分钟）； 故答案为：5； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度＝25（米/分）； 故答案为：25； （4）图中a表示的数是（分钟）；b表示的数是（分钟）； 故答案为：2，15； （5）图中点A表示在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米； 故答案为：在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米． 【点评】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握． 14．一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地．两车之间的距离s（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知私家车的速度是90千米/时，客车的速度是60千米/时； （1）点A的坐标是　（4，0）　 ，点B的坐标是　（，400）　 ； （2）求线段BC的表达式，并写出定义域． 【分析】（1）根据图象，可以计算出点A和点B的坐标； （2）先计算出点C的坐标，然后根据（1）中点B的坐标，即可计算出线段BC的表达式，并写出定义域． 【解答】解：（1）由图可得， 点A的横坐标为：600÷（90+60）＝4， 点B的横坐标为：600÷90＝，纵坐标为：（90+60）×（﹣4）＝400， ∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（，400）， 故答案为：（4，0），（，400）； （2）由图可得， 点C的横坐标为：600÷60＝10， ∴点C的坐标为（10，600）， 由（1）知点B的坐标为（，400）， 设线段BC的表达式为s＝kx+b， ， 解得， ∴线段BC的表达式为s＝60x（≤x≤10）． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系． （1）甲、乙两地之间的距离为 　1200　 km； （2）请解释图中的点B的实际意义； （3）求慢车和快车的速度； （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【分析】（1）由函数图象可以直接求出甲乙两地之间的距离； （2）由函数图象的数据就即可得出； （3）由函数图象的数据，根据速度＝路程÷时间就可以得出慢车的速度，由相遇问题求出速度和就可以求出快车的速度进而得出结论； （4）由快车的速度求出快车走完全程的时间就可以求出点C的横坐标，由两车的距离＝速度和×时间就可以求出C点的纵坐标，由待定系数法就可以求出结论． 【解答】解：（1）由图象得：甲、乙两地之间的距为1200km． 故答案为：1200； （2）根据题意知：点B的实际意义是慢车行驶4h时，慢车和快车相遇； （3）由题意得：快车与慢车的速度和为：1200÷4＝300（km/h）， 慢车的速度为：1200÷12＝100（km/h）， 快车的速度为：300﹣100＝200 （km/h）． 答：快车的速度为200km/h，慢车的速度为100km/h； （4）由题意，得快车走完全程的时间按为：1200÷200＝6（h）， 6h时两车之间的距离为：300×（6﹣4）＝600km． ∴C（6，600）， 设线段BC的解析式为y＝kx+b，由题意得： ， 解得：， ∴y＝300x﹣1200，自变量x的取值范围是4≤x≤6． 【点评】本题考查了行程问题的数量关系路程÷时间＝速度的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，相遇问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． 16．某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，若每月租书数量为x册． （1）写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式； （2）写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式； （3）小军选取哪种租书方式更合算？ 【分析】（1）因为零星租书每册收费1元，所以y1和x是相等的关系； （2）会员卡租书，每册是0.4元，x册的费用就是0.4x，加上办卡费12元，所以y2＝12+0.4x； （3）比较两种租书方式哪种花的费用最少就哪种方式更合算． 【解答】解：（1）∵零星租书每册收费1元， ∴应付金额与租书数量之间的函数关系式为：y1＝x； （2）∵在会员卡租书中，租书费每册0.4元，x册就是0.4x元，加上办卡费12元， ∴应付金额与租书数量之间的函数关系式为：y2＝0.4x+12； （3）当y1＝y2时，x＝12+0.4x，解得：x＝20 当y1＞y2时，x＞12+0.4x，解得x＞20 当y1＜y2时，x＜12+0.4x，解得x＜20 综上所述，当小军每月借书少于20册时，采用零星方式租书合算；当每月租书20册时，两种方式费用一样；当每月租书多于20册时，采用会员租书的方式更合算． 【点评】本题属于简单的经济应用题，题目不难，但需要细心不要将两种租书方式搞混了，在问题（3）当中需要通过解不等式来比较租书金额的大小，同学们应熟练掌握． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/23 11:07:04；用户：初中数学；邮箱：18149062085；学号：30310948 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版(新) 8年级下培优讲义 (讲+练) 《一次函数》第1讲 函数概念及正比例函数 函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正比例函数和一次函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质． 模块一：函数的概念 1. 函数的概念 （1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量； （2）在某个变化过程中有两个变量，设为和，如果在变量允许的取值范围内，变量随着变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量．函数用记号表示，表示时的函数值； （3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式． 2. 函数的定义域和函数值 （1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域． （2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域． 模块二：正比例函数 1．正比例函数的概念 (1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数． (2)解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数．正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式 2．正比例函数的图象 (1)一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； (2)图像画法：列表、描点、连线． 3．正比例函数的性质 (1)当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大． (2)当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的 值则随着逐渐减小． 一．常量与变量（共3小题） 1．圆周长C与圆的半径r之间的关系为C＝2πr，其中变量是 　 　 ，常量是 　 　 ． 2．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为4，则最后输出因变量y的值为 　 　 ． 3．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过120km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表： 刹车时的速度（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 下列说法中，错误的是（　　） A．自变量是刹车时的速度 B．刹车时的速度每小时增加10km，刹车距离就增加2.5m C．当刹车距离为15m时，刹车时的速度为70km/h D．当刹车时的速度为80km/h时，与其前方距离25m的车辆不会追尾 二．函数概念（共4小题） 4．圆柱的体积V的计算公式是V＝πr2h，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的 　 　 函数． 5．下列各图象中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 6．已知变量x和变量x﹣2，那么x﹣2 是否为　 　 x的函数？（填“是”或“否”） 7．如果y＝（m+2）x+m﹣1是常值函数，那么m＝　 　 ． 三．函数关系式（共6小题） 8．一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米（0＜x＜10），则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 　 　 ． 9．将写成y＝f（x）的形式为 　 　 ． 10．上海与杭州两地之间的距离是140km，若汽车以每小时60km的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程s与行驶的时间t之间的函数关系式为　 　 ． 11．直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是 　 　 ． 12．如图，在△ABC中，边BC＝60，高AD＝40，四边形EFGH是内接矩形，HG交AD于P，设HE＝x，则矩形EFGH的面积S与x的函数关系式 　 　 ． 13．据测试，拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小明洗手后没有把水龙头拧紧，水龙头以测试速度滴水，当小明离开x分钟后，水龙头滴水y毫升水，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝0.05x B．y＝5x C．y＝100x D．y＝0.05x+100 四．函数自变量取值范围（共5小题） 14．函数y＝的定义域是 　 　 ． 15．下列y关于x的函数中，定义域为一切实数的是（　　） A．y＝x﹣3 B． C． D．y＝（x﹣3）0 16．小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为x、y和z，如果在变量x和y的允许取值范围内，变量z随着x和y的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量z叫做变量x和y的二元函数，例如，小明认为x、y两数的积z，就是x和y的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“z是x和y的二元函数”用记号z＝f（x，y）来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数f（x，y），满足特征f（x，x）＝0，f（x，f（y，z））＝f（x，y）﹣z，那么f（2025，2024）＝　 　 ． 17．函数的定义域为 　 　 ． 18．已知：函数f（x）＝﹣3x． （1）求这个函数的定义域； （2）计算． 五．函数的值（共3小题） 19．已知f（x）＝2x2﹣1，那么＝ 　 　 ． 20．如果，那么f（2）＝　 　 ． 21．已知，则f（2）＝ 　 　 ． 六．函数图像（共6小题） 22．已知点A（﹣2，m）、B（2，m）、C（4，m+1）在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 23．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（小时），航行过的路程为S（千米），则S关于t的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 24．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是（　　） A．37.2分钟 B．48分钟 C．33分钟 D．30分钟 25．小文家与学校相距1000米，某天小文上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是小文与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图象，下列说法错误的是（　　） A．小文走了200米后返回家拿书 B．小文在家停留了3分钟 C．小文以每分钟200米的速度加速赶到学校 D．小文在第10分钟的时候赶到学校 26．某客运公司规定旅客可免费携带质量不超过40千克的行李，超过40千克的部分，需购买行李票，行李票y（元）与行李质量x（kg）之间的函数关系如图所示，旅客甲携带75kg的行李，需购买行李票　 　 元． 27．定义：如果函数图象上的一个点向左平移n个单位，再向上平移2（n+1）个单位后仍在这个函数图象上，我们称这个函数是“可回旋”函数，n称为这个函数的“可回旋单位”．如果y＝﹣6x是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 　 　 ． 七．正比例函数的概念（共5小题） 28．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝ 29．下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B．y＝2x2 C．y＝3x+1 D． 30．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2（x﹣1） B． C． D． 31．如果y＝（m﹣3）x是正比例函数，那么m＝　 　 ． 32．阅读材料，回答问题：如果对于任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c（不妨设a≤b≤c）都在某个函数f（x）的定义域内，并且f（a），f（b），f（c）也能构成一个三角形，我们就称这样的函数f（x）为“保三角函数”． （1）试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”． （2）试判断：f（x）＝是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明：如果不是，请举出反例． （3）试判断：g（x）＝是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例． 八．正比例函数的图像（共5小题） 33．下列各点中，在正比例函数的图象上的是（　　） A． B．（﹣3，﹣1） C．（0，﹣1） D．（6，3） 34．如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 35．在水管放水的过程中，放水的时间x（分）与流出的水量y（立方米）是两个变量．已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟，则y关于x的函数图象是（　　） A． B． C． D． 36．下列各图象中，表示函数y＝x的大致图象是（　　） A． B． C． D． 37．如果正比例函数y＝m的图象在二、四象限，那么m的值是 　 　 ． 九．正比例函数的性质（共7小题） 38．若正比例函数y＝mx的图象经过第二、四象限，则（　　） A．m≥0 B．m＞0 C．m≤0 D．m＜0 39．正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k、m、n的大小关系是 　 　 （用“＞”号连接）． 40．已知正比例函数y＝（k+2）x（其中k为常数，且k≠﹣2），如果y的值随x的值增大而增大，那么下列k的值中，不可能的是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 41．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣3，2），则该函数的图象（　　） A．在第二、四象限，y随x的增大而增大 B．在第二、四象限，y随x的增大而减小 C．在第一、三象限，y随x的增大而增大 D．在第一、三象限，y随x的增大而减小 42．已知，且y是关于x的正比例函数． （1）求y与x的函数关系式； （2）若x≤2，求函数y的最小值． 43．函数y＝kx+（k2﹣4）是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则k＝　 　 ． 44．已知点P（m，n）在第四象限，则正比例函数图象经过第　 　 象限． 1．一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间的函数关系用图象可以表示为图中的（　　） A． B． C． D． 2．一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（　　） A． B． C． D． 3．下列各函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B．y＝2x2 C．y＝x﹣1 D． 4．函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　 ． 5．已知直线y＝kx+b（k≠0）经过第一、三、四象限，那么直线y＝﹣kx﹣b（k≠0）经过第　 　 象限． 6．函数的定义域是　 　 ． 7．函数y＝x+k+2是正比例函数，则k的值为　 　 ． 8．下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．圆的面积S与它的半径r B．三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h C．正方形的周长C与它的边长a D．周长不变的长方形的长a与宽b 9．某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为x千克（x＞1），那么快递费y（元）关于物品重量x（千克）的函数解析式为　 　 ． 10．函数的定义域是 　 　 ． 11．某苹果种植合作社通过网络销售苹果，如图所示的线段AB反映了苹果的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）间的函数关系，已知1千克苹果的成本是5元，如果某天该合作社的苹果销售单价为8元/千克，那么这天销售苹果的盈利是 　 　 元． 12．互联网经济已经成为了我国经济的重要发展方向，如图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图象，线段OA表示某商品以原价销售时的函数图象，线段AB表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图象，线段BC表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图象， （1）求线段OA所在直线的函数解析式； （2）该商品原价每件为　 　 元．第二次降价后该商品每件为　 　 元． （3）该商品每次降价的百分率为　 　 ． 13．某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是 　 　 ； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是 　 　 分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 　 　 米/分； （4）图中a表示的数是 　 　 ；b表示的数是 　 　 ； （5）图中点A表示的实际意义是 　 　 ． 14．一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地．两车之间的距离s（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知私家车的速度是90千米/时，客车的速度是60千米/时； （1）点A的坐标是　 　 ，点B的坐标是　 　 ； （2）求线段BC的表达式，并写出定义域． 15．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系． （1）甲、乙两地之间的距离为 　 　 km； （2）请解释图中的点B的实际意义； （3）求慢车和快车的速度； （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 16．某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，若每月租书数量为x册． （1）写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式； （2）写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式； （3）小军选取哪种租书方式更合算？ 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/23 11:07:04；用户：初中数学；邮箱：18149062085；学号：30310948 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $