北京师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

北京师大附中2025一2026学年（上)高一期末考试 数学试卷 班级： 姓名： 学号： 考 1.本试卷有三道大题，共6页。考试时长120分钟，满分150分。 生 须 2.考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效。 知 3.考试结束后，考生应将答题卡交回。 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项。 （1)已知全集U=R,集合A={x|x<3},B={x|-2≤x≤2}，则A∩CuB= (A)(2,3) (B)(-0,-2]U[2,3) (C)[2,3) (D)(-∞，-2)U(2,3) （2)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递增的是 (A)y=Inxl (B)y=x2 (C)y=2 (D)y=x2+x (3)从1,2,3,4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是 (B)! (D) 12 (4)正方形ABCD的边长为1，则|AB+2AD= (A)1 (B)3 (C)√5 (D)√5 北京师大附中2025一2026学年（上）高一期末数学试卷第1页（共6页） 设a=log,02,b=10g3,c则 (A)b<c<a (B)a<b<c c (C)a<c<b (D)c<a<b (6)已知平面向量a,b,则“a+b=a+b”是“a,b共线”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)已知函数f(x)= -x2+ax,x≤1， 若3x,x2∈R,x≠x2,使得f(x)=f(x2)成立， ax-1,x>1, 则实数a的取值范围是 (A)-2<a<2 (B)a>2 (c)a<2 (D)a>2或a<-2 (8)香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和 信噪比及信道带宽的关系，即C=m0g1+》,其中C是信道容量，单位p:印为信道带 宽，单位Hz:代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频(HS) 技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz,为了将敌方干扰效 率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps,依据香农定理，则大约需将 信号的信噪比提升至原来的 (参考数据：23.46≈11,25.93≈60.97） (A)5倍 (B)6倍 (C)7倍 (D)8倍 (9) 已知函数f(x)= x3, x≥0， x,x<0. 若函数g(x)=f(x)-ka2-2x(化∈R)恰有4个零点， 则实数k的取值范围是 (a)(m,》U25,+o) (B) (C)(-0,0U0,2W2) (D)(-0,0)U(2W2,+) 北京师大附中2025一2026学年（上)高一期末数学试卷第2页（共6页） (10)在平面直角坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点.点P从原点出发， 在平面直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点 Q(33,33)所跳跃次数的最小值是 (A)8 (B)9 (c)10 (D)11 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （1)函数/)=士+h1-)的定义城是 （12)已知随机事件A、B相互独立，且P=号P®=}，则P=一：P丽= （13)如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，且DE=2EC,若AD=xAC+yAE, 则x= y= E B （14)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A,的横、纵 坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数， 点B,的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和 ◆零件数（件） 加工的零件数，i=1,2,3. .4 ①记2，为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则 ·B 9,22,2中最大的是 4 ②记p,为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件 ·B, 4。 数，则P,P2,P3中最大的是 工作时间（小时） 北京师大附中2025一2026学年（上）高一期末数学试卷第3页（共6页） 2x+1 (15)已知函数f(x)= g(x)=x2-4x-4.若f)=-1,则1=_： ln(x+,x∈[-2to). 设b为实数，若存在实数a,使得f(a)+g(b)=0.则b的取值范围为 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过 程。 (16)(本小题13分) 己知向量a=(1,3),b=(3,4),c=(1,-2) (I)分别求出a,Ib的值： (IⅡ)若c=ma+nb,求实数m,n的值： (II)若(a-b)∥(-b+kc),求实数k的值 (17)(本小题13分) 已知函数f(x)=log(1-x)-log(1+x). (1)求f分的值： (Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论： ()解不等式f(x)>1. 北京师大附中2025一2026学年（上）高一期末数学试卷第4页（共6页) (18)（本小题14分) 某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之 比为4：1.现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分 统计数据如下表所示（单位：件） 一等品 二等品 甲生产线 76 b 乙生产线 a 2 (I)请直接写出a,b的值： （Ⅱ)从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率： (Ⅲ)以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取2件产品， 记？表示从甲生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，P表示从乙生产线 随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，试比较P和卫的大小（只需写出结论） (19)(本小题15分) 已知函数f(x)=2x-2x（x∈R). (I)求函数f(x)的单调区间，并用函数单调性的定义证明： (Ⅱ)求不等式f(k2-3)+f(1)<0的解集： (Ⅲ)设函数h(x)=a·2-2-x_4 a,若函数f(x)与h(x)的图像有且只有一个公共点， 求实数a的取值范围. 北京师大附中2025一2026学年（上）高一期末数学试卷第5页（共6页） (20)(本小题15分) 已知函数f(x),g(x),h(x)的定义域均为R,给出下面两个定义： ①若存在唯一的x∈R,使得f(g(x)=h(f(x),则称g(x)与h(x)关于f(x)唯一交换： ②若对任意的x∈R,均有f(g(x)=h(f(x),则称g(x)与h(x)关于f(x)任意交换. （I)请判断函数g(x)=x+1与h(x)=x-1关于f(x)=x2是唯一交换还是任意交换， 并说明理由： （IⅡ)设f(x)=a(x2+2)(a≠0)，g(x)=x2+bx-1,若存在函数h(x),使得g(x)与 h(x)关于f(x)任意交换，求b的值： ()在（Ⅱ）的条件下，若g)与)关于w=e-唯一交换，求a的值. e"+1 (21)(本小题15分) 给定正整数N≥3，已知项数为m且无重复项的数对序列A:(x,),(x2,2),…,(xm,ym) 满足如下三个性质： ①x,y∈{1,2，，N},且x≠y(i=1,2,…,m): ②x41=y(i=1,2,…,m-): ③(Pp,9)与(9，p)不同时在数对序列A中. （I)当N=3,m=3时，请直接写出所有满足x1=1的数对序列A: (IⅡ)当N=6时，求m的最大值： (Ⅲ)当N为奇数时，记m的最大值为T(N),求T(W). 北京师大附中2025一2026学年（上)高一期末数学试卷第6页（共6页）