2026年高考数学信息必刷卷02（江苏专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年高考二轮信息必刷卷02 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 3 5 6 1 8 D C D D B C C 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 10 11 BCD ABC ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 6 13.±2 14.2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 【解析】(1)因为4 bsin A=√3 b cos A+asin B, 由正弦定理可得4 sin Asin B=V3 sin B cos A+sin Bsin A, 即√3 sin Asin B=sin B cosA, 因为sinB0,所以V5sinA=cosA,则anA=5 3 又0<A<π，所以A=匹 6 选择条件① 由sinA= b,得b=2V3sinA=25sin亚=V3, 6 6 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A, 1/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即T=5+c-25cos名，解得c=1或e=2, 当c=2时，c2=a2+b2,ABC是直角三角形，不符合题意； 当c=1时，A=C=交，B= 2π 6 3， ABC是钝角三角形，符合题意； 所以c=1。 选择条件②， 因为sinC=5sinB,由正弦定理可得b=V5c, 3 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA, 即1P=(5c)}2+c2-2V3cc~cosz,解得c=1. 6 (2)由(1)知，&BAD中，BA=14D=名4C=名×5-2y5 3 ,A 6 由余弦定理可得BD2=BA+AD2-2BA·AD.cos A, 即BD2=12 2W3 299-5故0 2×1 3 16. (15分) 【解析】解：(1)因为c=√2，a=√5，所以b=1, 所以椭圆的方程为：号+产=1小考中图的方程为：2+产=4。 (2)①当4，中有一条无斜率时，不妨设无斜率， 因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=√5或x=-√5 当方程为x=√时，此时1与“海中圆”交于点(5，，（5，-， 此时经过点(5，或5，-1且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1), 即Z2为y=1(或y=-1),显然直线4，Z垂直： 同理可证方程为x=-√5时，直线，垂直. ②当4，马都有斜率时，设点P(k,y),其中x行+y=4, 设经过点P(k,y),与椭圆只有一个公共点的直线为 y=t(x-xo)】 y=(x-x)+y,则 3+2=1, 消去y得到x2+3[+(%-门-3=0， 2/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即1+32）x2+61(y。-x)x+3(。-tx)}2-3=0, △=[6(。-x]=-41+32)[3y-t)'-3=0, 化简得：(3-x)+2x1+1-后=0， 因为x+=4,所以有(3-x)2+2xy1+(x-3)=0, 设4，的斜率分别为4,12， 因为，马与椭圆都只有一个公共点， 所以，2满足上述方程(3-x)2+2xy+(x号-3)=0， 所以t2=-1,即☑，垂直. 17.(15分) 【解析】设答对A,B,甲，乙各题分别为事件A,B,C,D, 则r4=克P川B到=PC=P川D= (P(AB)=P(4)P(B)=x=P(CD)=P(C)P(D)=x=1 236 224 :该同学板公司聘用的概家P=石1-》 (Ⅱ)由题意知：所有可能的取值为0,1,2,3,4； Pn=0号所s=方P6=25安 1111,11111 1.11.11 P叫5=3到=2×3*2×2+2×3*2*2i2P5=4到=2×3*2*224 “的分布列为： 0 2 3 A 1 1 P 3 2 24 12 24 4*3x1 +2x 则数学期望E(5)=0×兮+1×号 18.(17分) 【解析】(1)由于AB2+PA=PB2,所以AB⊥PA, 在三角形ABC中，由余弦定理得AC=V22+42-2×2×4xc0s60°=2√5， 所以AB2+AC2=BC2,所以AB⊥AC, 依题意可知PA⊥AD, 由于AB AD=A,所以PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AC,PA⊥CD. 3/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以A为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， P0,0,4),B(2,0,0,C(0,25,0,D-2,25,0, ①当0<元<1时： BE=Bc=1(-2,25,0)=(-2元，23,0)，PD=-2,2V5,-4, PE=PB+BE=(2,0,-4)+-2元，252,0=(2-2元，252，-4， 设平面PAE的法向量为n=(x,y,), n·AP=4z1=0 则 m·PE=(2-2)x+232y-4z,=01 故可设网-5，只0小 设平面PED的法向量为n2=x2,y2,22), m·PD=-2x+25y2-42=0 则 n,·PE=(2-2元)x2+2V32y2-4z2=0 2-λ1 故可设”=1， 31-21-元” 由于平面PAE⊥平面PED, 质以455+生2=0，解得月 2√3(1-2) ②当元=0时，E点与B点重合， 平面PAB(即平面PAE)的法向量为AC=(0,25,0, 设平面PBD(即平面PED)的法向量为n=(x,y3,2), 则5P西=-2x+25-45,=0 n3·PB=2x-4z3=0 故可设m=(25,4,5), AC·n,=8V3≠0，即平面PAB⊥平面PBD不成立，也即平面PAE⊥平面PED不成立 ③当1=1时，E点与C点重合， 平面PAC即平面PAE,设平面PCD即平面PED, 由于PA⊥CD,AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC 由于CDc平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD,也即平面PAE⊥平面PED成立. 综上所述，1的为2或1 4/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①当0≤1<1时： 由(1)可知，平面PED的法向量为n= 2- 平面ABCD的法向量为n4=(0,0,1, 1 n2·n4 21-2】 所以cosa 2- 「1 74 31-)2(1-) BC=（-2,2V5,0, 1 所以sinB n·BC 2(1-2 72 「1 21-元) cosa=sinβ， 由于a,Be0引，所以a+= ②当元=1时，E点与C点重合，PD=(-2,2V5,-4,PE=PC=(0,25,-4, 设平面PED的法向量为n=(x,y,z), m·PD=-2x+2W3y-4z=0 则 n·PE=23y,-4z,=0 故可设n=0,2,3) 八，·BC 45√3√2I cos a BC 4W万7 7 所以a+B= 2 综上所达，a+B=号 5/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 19. (17分) 【解析】(1)求函数定义域，然后对函数求导，根据函数单调性，得出x=时，f(x)有极大值，即可算出实 数k的值 (2)()由(1)知f=血x+1,代入g(x)中，根据g()≥af),整理至即xe-alnx--a≥0对 x∈(0，+o)恒成立，设新函数h(x)=xe-alnx-ax-a,将原问题转化为：pt)=e-at-a≥0对HteR恒成立， 分a的取值范围分类讨论即可得出实数a的取值范围.()要证x2f(x)>asinx+x2-l, 转化为证证xhx+1>asinx+x2-1,整理至nr+>asinx,设两个新函数F=nx+ x G(x)=x-sinx,分别对两个新函数求导，判断单调性，即可证得x2f(x)>asinx+x2-1成立. 【详解】解：(1)f(x)的定义域为(0+oo), f"()=1-nx x2, 令f'(x)>0,解得：0<x<e, 令f'(x)<0,解得：x>e, 所以当x∈(0，e),f(x)为增函数，当x∈(e,+o),f(x)为减函数， 所以x=e时，f(x)有极大值fe)=+k=1+e e e 所以k=1； (2)()由(1)知，f=nx+1, 则g)≥a),即e-≥alnx+a对x∈(0，o)恒成立， xx 所以xe-a≥alnx+ax对Vx∈(0，+o)恒成立， 即xe-alnx-ar-a≥0对x∈(0，+o)恒成立， 设h(x)=xe-alnx-ax-a,则h(x)≥0对x∈(0，+o)恒成立， 6/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 h(x)em*e*-alnx-ax-a elx+*-a(Inx+x)-a, 设lnx+x=t,teR, 原问题转化为：p(t)=e'-at-a≥0对VteR恒成立， ①若a<0,当t∈(-0,0)时， o(t)=e'-at-a<1-at-a 不合题意： ②若a=0,则p()=e≥0对teR恒成立， 符合题意 ③若a>0,则o')=e-a, 令p'()>0,t>lna,令p'(t)<0,t<lna, 所以当t∈(-o,lna)时，p()为减函数， 当t∈(na,+oo)时，p(t)为增函数， 所以p(t)≥pna)=ena-alna-a=-alna20, 即lna≤0，即0<a≤1； 综上0≤a≤1. (i)要证x2f(x)>asinx+x2-l, 只证(+小asnx*-1 即xlnx+x2>asinx+x2-1,即xlnx+1>asinx, 只需证nx+L>asinx F(x)=x+G(x)=x-sin 因为F《x)=L↓-x- xX-X 所以F(x)在(0,1)上单调递减，在(L,+∞)上单调递增， 所以F(x)≥FI)=1: 因为G'(x)=1-cosx≥0恒成立， 所以G(x)在(0，+o)上单调递增， 所以G()>G(0)=0,则x>sinx,则si血x<1, 由(2)可知，0≤a≤1，所以asinx<1 7/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以F(d>asinx 即nx+>asinx,得证 所以x2f(x)>asinx+x2-1成立. 8/8 2026年高考二轮信息必刷卷02 数 学 考情速递 高考·新动向：2026 年江苏卷延续“6 大板块轮动”命题策略：解三角形、立体几何、数列、解析几何、统计与概率、函数与导数在解答题中的座次继续“洗牌”。本卷将解三角形前置到第 15 题，解析几何与概率“对调”到第 17、18 题，函数与导数依旧压轴但拆成多问，明显复制 2025 八省联考“增加中档得分点”的做法——前两道大题均设多问，计算量抬升的同时，给中等生更多“踩点”机会。选择题总量 58 分保持不变，继续强化“部分得分”机制，降低套题押宝风险。 高考·新考法：1. 知识融合：第11题把数列通项与二项式定理捆绑，先找周期，再配系数，最后放缩，传统套路全部失效。2. 批判思维：第 18 题立体几何第二问给出“平面夹角 + 线面角”双条件，却故意不给出垂足位置，迫使考生质疑“唯一性”并自行分类讨论。 高考·新情境：真实场景占比高。第17题以“企业招聘笔试+面试”为背景，把二项分布、期望决策、条件概率打包成“求职闯关”链式情境；第8题用“书架整理”生活场景考排列组合，要求“同科不相离”且“理化交替”，将数学建模嵌入日常。全卷共4处情境题，均提供原始数据表格或对话截图，考生需自主提取变量、建立模型，延续“多想少算”导向。 命题·大预测：1. 顺序轮动仍是大趋势：预测 2026 正式高考中，数列与概率将再次“对调”，函数导数题继续拆成多问，压轴位置或让位于“数列+新定义”组合。 2. 情境题跨学科加深：物理“光的干涉”、化学“反应级数”都有可能成为题干背景，数学任务集中在“建立函数→拟合参数→误差分析”三步，复习需补充常见实验公式。 3. 备考方向：①放弃“题型固化”训练，改为“知识块”随机组合限时刷题；②每天一道“现场学定义”小阅读，练 5 分钟现场笔记+3 分钟速解；③情境题专练数据清洗，学会从 200 字背景里 30 秒内锁定数学量。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列数列不是等差数列的是（    ） A．0，0，0，…，0，… B．－2，－1，0，…，n－3，… C．1，3，5，…，2n－1，… D．0，1，3，…，，… 2．已知命题，，若命题是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，满足且，则（    ） A．4 B．-4 C．1 D．-1 4．在中，若，则的形状一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 5．函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若是等差数列，表示的前项和，，则中最大的项是（    ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若 的面积为，则该圆锥的侧面积为（    ）. A． B． C． D． 8．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书全部放在一个单层的书架上，且同科目的书不分开，则不同的放法种数为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面，且，则下列结论正确的是（　　　） A．与可能是异面直线 B．若，则 C．若，则 D．若两两垂直，则l，m，n也两两垂直 10．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（    ） A．0 B． C． D． 11．已知随机变量服从二项分布，.记为偶数的概率为，为奇数的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．当时，是等比数列 B．当时， C．当时， D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正方体，点O，P分别为面的中心，则与夹角的正弦值为 ． 13．已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为 14．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线相切于点，与轴相切于点，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知钝角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且___________，，，求c的值. (1)从条件①，②中选择一个填到横线上，并解决问题； (2)以（1）中结论为条件，若D是边AC上一点，且，求线段BD的长度. 16．（15分） 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“海中圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为． （1）求椭圆的方程和其“海中圆”方程； （2）点是椭圆的“海中圆”上的一个动点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点．求证：． 17．（15分） 某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有两个题目，该学生答对两题的概率分别为、，两题全部答对方可进入面试．面试要回答甲、乙两个问题，该学生答对这两个问题的概率均为，至少答对一题即可被聘用（假设每个环节的每个问题回答正确与否是相互独立的）． （I）求该学生被公司聘用的概率； （II）设该学生答对题目的个数为，求的分布列和数学期望． 18．（17分） 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，，点是线段（包括端点）上的动点． (1)若（）时，平面平面，求的值； (2)平面和平面的夹角为，直线与平面所成角为，求的值． 19．（17分） 已知函数的极大值为,其中为自然对数的底数. （1）求实数的值； （2）若函数,对任意,恒成立. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 试卷第2页，共6页 1 / 5学zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考二轮信息必刷卷02 数 学 考情速递 高考·新动向：2026 年江苏卷延续“6 大板块轮动”命题策略：解三角形、立体几何、数列、解析几何、统计与概率、函数与导数在解答题中的座次继续“洗牌”。本卷将解三角形前置到第 15 题，解析几何与概率“对调”到第 17、18 题，函数与导数依旧压轴但拆成多问，明显复制 2025 八省联考“增加中档得分点”的做法——前两道大题均设多问，计算量抬升的同时，给中等生更多“踩点”机会。选择题总量 58 分保持不变，继续强化“部分得分”机制，降低套题押宝风险。 高考·新考法：1. 知识融合：第11题把数列通项与二项式定理捆绑，先找周期，再配系数，最后放缩，传统套路全部失效。2. 批判思维：第 18 题立体几何第二问给出“平面夹角 + 线面角”双条件，却故意不给出垂足位置，迫使考生质疑“唯一性”并自行分类讨论。 高考·新情境：真实场景占比高。第17题以“企业招聘笔试+面试”为背景，把二项分布、期望决策、条件概率打包成“求职闯关”链式情境；第8题用“书架整理”生活场景考排列组合，要求“同科不相离”且“理化交替”，将数学建模嵌入日常。全卷共4处情境题，均提供原始数据表格或对话截图，考生需自主提取变量、建立模型，延续“多想少算”导向。 命题·大预测：1. 顺序轮动仍是大趋势：预测 2026 正式高考中，数列与概率将再次“对调”，函数导数题继续拆成多问，压轴位置或让位于“数列+新定义”组合。 2. 情境题跨学科加深：物理“光的干涉”、化学“反应级数”都有可能成为题干背景，数学任务集中在“建立函数→拟合参数→误差分析”三步，复习需补充常见实验公式。 3. 备考方向：①放弃“题型固化”训练，改为“知识块”随机组合限时刷题；②每天一道“现场学定义”小阅读，练 5 分钟现场笔记+3 分钟速解；③情境题专练数据清洗，学会从 200 字背景里 30 秒内锁定数学量。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列数列不是等差数列的是（    ） A．0，0，0，…，0，… B．－2，－1，0，…，n－3，… C．1，3，5，…，2n－1，… D．0，1，3，…，，… 【答案】D 【解析】选项A中，后项减前项所得差均为0，是等差数列； 选项B中，后项减前项所得差都是1，是等差数列； 选项C中，后项减前项所得差都是2，是等差数列； 选项D中，，不是等差数列， 故选：D． 2．已知命题，，若命题是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，是真命题，则， 即 则实数a的取值范围是 故选：C 3．已知是定义在上的奇函数，满足且，则（    ） A．4 B．-4 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】由，可知周期为4，又是定义在上的奇函数， 所以. 故选：D. 4．在中，若，则的形状一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【解析】由得，，即， 因为，所以为钝角， 所以的形状一定是钝角三角形， 故选：D． 5．函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得 ， 令 ，则， 二次函数图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的最小值为， 即 的最小值为， 故选：B 6．若是等差数列，表示的前项和，，则中最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，即中最大的项是. 故选：C. 7．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若 的面积为，则该圆锥的侧面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：其中O是底面圆心，设半径为r，则AO=r， ， ， 由于SA，SB都是母线，所以SA=SB， 的面积 ， 在等腰直角三角形SAO中， ， 所以侧面积= ； 故选：C. 8．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书全部放在一个单层的书架上，且同科目的书不分开，则不同的放法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将同科目的书视为一个整体，排列3个科目的书有种方法， 再分别排列同科目的书，分别有种方法， 所以不同的放法种数为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面，且，则下列结论正确的是（　　　） A．与可能是异面直线 B．若，则 C．若，则 D．若两两垂直，则l，m，n也两两垂直 【答案】BCD 【解析】对于A，由，得，因此与不可能是异面直线，A错误； 对于B，，，则，于是， 又，，因此，B正确； 对于C，由，得，由，得， 则，又，因此，C正确； 对于D，令，，在平面内取点（不与点重合），并在内作， 而，则，又，于是， 而，则，又，因此，则是二面角的平面角， 由，得，即，因此l，m，n两两垂直，D正确. 故选：BCD    10．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（    ） A．0 B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由正弦定理可得，故， 因为有且仅有一个解，故或， 由可得，由可得，结合为三角形内角可得， 故， 由正弦定理得 ， 而，，故， 故选：ABC. 11．已知随机变量服从二项分布，.记为偶数的概率为，为奇数的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．当时，是等比数列 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【解析】由题意知，二项分布的概率为， 为偶数 为奇数， 由，根据二项式定理， ， 则，. 选项A：当时，（非零常数）， 且，所以是等比数列，A正确. 选项B：二项分布的期望，当时，，即，B正确. 因为，所以， 得， 当时，，，得， 所以，， 当时， ， 即，又，所以，故C错误，D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正方体，点O，P分别为面的中心，则与夹角的正弦值为 ． 【答案】 【解析】如图，连结，设其中点为Q，连结，则． 因此与夹角的正弦值为． 不妨设，则在中应用余弦定理， 有， 在中，．根据余弦定理， 有， 因此所求正弦值为． 故答案为： 13．已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，， 所以，所以，， 所以， 所以直线的斜率为. 故答案为： 14．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线相切于点，与轴相切于点，则 ． 【答案】2 【解析】抛物线的焦点为，准线为， 依题意不妨令在第一象限，设，则圆的半径，设（）， 则圆的方程为， 由，可得，则，所以抛物线在点处的切线的斜率， 依题意可得与抛物线在点处的切线垂直， 所以，则①， 又点在圆上，所以， 则②， 所以， 整理可得，解得或（舍去）， 所以，即，所以.    故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知钝角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且___________，，，求c的值. (1)从条件①，②中选择一个填到横线上，并解决问题； (2)以（1）中结论为条件，若D是边AC上一点，且，求线段BD的长度. 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 因为，所以，则， 又，所以. 选择条件①： 由，得， 由余弦定理得， 即，解得或， 当时，，是直角三角形，不符合题意； 当时，，是钝角三角形，符合题意； 所以. 选择条件②， 因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 即，解得. （2）由（1）知，中，， 由余弦定理可得， 即，故. 16．（15分） 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“海中圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为． （1）求椭圆的方程和其“海中圆”方程； （2）点是椭圆的“海中圆”上的一个动点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点．求证：． 【解析】（1）因为，，所以， 所以椭圆的方程为：，“海中圆”的方程为：． （2）①当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率， 因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或． 当方程为时，此时与“海中圆”交于点，， 此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是（或）， 即为（或），显然直线，垂直； 同理可证方程为时，直线，垂直． ②当，都有斜率时，设点，其中， 设经过点，与椭圆只有一个公共点的直线为 ，则， 消去得到， 即， ， 化简得：， 因为，所以有， 设，的斜率分别为，， 因为，与椭圆都只有一个公共点， 所以，满足上述方程， 所以，即，垂直． 17．（15分） 某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有两个题目，该学生答对两题的概率分别为、，两题全部答对方可进入面试．面试要回答甲、乙两个问题，该学生答对这两个问题的概率均为，至少答对一题即可被聘用（假设每个环节的每个问题回答正确与否是相互独立的）． （I）求该学生被公司聘用的概率； （II）设该学生答对题目的个数为，求的分布列和数学期望． 【解析】设答对，，甲，乙各题分别为事件， 则，，； （I），， 该同学被公司聘用的概率； （II）由题意知：所有可能的取值为； ；；；；； 的分布列为： 则数学期望. 18．（17分） 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，，点是线段（包括端点）上的动点． (1)若（）时，平面平面，求的值； (2)平面和平面的夹角为，直线与平面所成角为，求的值． 【解析】（1）由于，所以， 在三角形中，由余弦定理得， 所以，所以， 依题意可知， 由于，所以平面，所以，. 以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ①当时： ，， ， 设平面的法向量为， 则， 故可设， 设平面的法向量为， 则 故可设， 由于平面平面， 所以，解得. ②当时，点与点重合， 平面（即平面）的法向量为， 设平面（即平面）的法向量为， 则， 故可设， ，即平面平面不成立，也即平面平面不成立. ③当时，点与点重合， 平面即平面，设平面即平面， 由于，所以平面. 由于平面，所以平面平面，也即平面平面成立. 综上所述，的为或. （2）①当时： 由（1）可知，平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以. ， 所以. ，由于，所以. ②当时，点与点重合，，， 设平面的法向量为， 则， 故可设. ，. ，由于，所以. 综上所述，. 19．已知函数的极大值为,其中为自然对数的底数. （1）求实数的值； （2）若函数,对任意,恒成立. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【解析】（1）的定义域为, , 令,解得：, 令,解得：, 所以当,为增函数,当,为减函数, 所以时,有极大值, 所以; （2）（i）由（1）知,, 则,即对恒成立, 所以对恒成立, 即对恒成立, 设,则对恒成立, , 设,, 原问题转化为：对恒成立, ①若,当时, 则, 不合题意; ②若,则对恒成立, 符合题意 ③若,则, 令,,令,, 所以当时,为减函数, 当时,为增函数, 所以, 即,即; 综上. （ii）要证, 只需证, 即,即, 只需证, 设,, 因为 所以在上单调递减,在上单调递增, 所以： 因为恒成立, 所以在上单调递增, 所以,则,则, 由（2）可知,,所以; 所以, 即,得证. 所以 成立. 试卷第16页，共17页 7 / 16学zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $