第7章 概率初步（续）（单元自测卷·提升卷）高二数学沪教版选择性必修第二册

第7章 概率初步（续） 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则 . 2．设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是 . ①；②事件，相互独立； ③；④ 3．已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是 . 4．已知随机变量的分布列如下表，其中. 0 1 -1 若，，依次成等差数列，则的最大值为 ，若，，依次成等比数列，则的最大值为 . 5．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望 . 6．已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）5个红球，个黑球.现从袋中随机摸出3个球，设表示摸出红球的个数，若，则 . 7．一个袋中装有个白球和个黑球，甲从袋中有放回的随机取次球，每次取个球，取到次白球得分，取到次黑球得分．记甲取球总得分为，则 ． 8．某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖．现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立．记中奖人数为X，则X的数学期望为 ． 9．已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若表示取得白子的个数，则的均值 ． 10．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（若随机变量服从正态分布，则），则下列结论正确的序号是 ． ①；②；③；④ 11．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为 . 12．某比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员答 3 道题，若 3 次都错，则该队被淘汰，比赛成绩为 0 分；若至少答对一题， 则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员答 3 道题， 每次答对得 5 分， 答错得 0 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成， 设甲每题答对的概率为 ，乙每题答对的概率为 ，各题答对与否相互独立. 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由 参加第一阶段比赛. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．在A，B，C三种活动中，甲、乙、丙、丁、戊五人需每人选择一个活动参加，在3人选择了A活动的条件下，甲、乙选择A活动的概率为（    ） A． B． C． D． 14．已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 15．中心极限定理是概率论中的一个重要定理.根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（    ）（参考数据：） A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865 16．有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 18．某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 19．口袋里装有大小与质地相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人从袋中摸球，每次摸1个球. (1)若甲、乙两人无放回地摸球，由甲先摸1个球，乙再摸1个球，求甲摸到白球的条件下，乙摸到红球的概率； (2)制定规则如下：若一方摸出1个红球，则此人继续下一次摸球，若一方摸出1个白球，则由对方接替下一次摸球，由甲进行第一次摸球. ①若甲、乙两人无放回地摸球，求第三次仍由甲摸球的概率； ②若甲、乙两人每次摸球后都放回地摸球，求在前两次摸球中，甲摸得的红球次数的分布及期望. 20．由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率分布直方图. (1)从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人， ①若将频率视为概率，求至少4人每周活动时间在（单位：h）的概率；（结果用数值表示） ②若抽取的5人中每周活动时间在（单位：h）的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在（单位：h）的人数为X，求X的分布和期望与方差； (2)当老人每周活动时间不少9小时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到k人为“活动爱好者”的可能性最大，试求k的值. 21．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 概率初步（续） 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则 . 【答案】 【分析】根据条件概率公式进行计算即可. 【详解】掷出点数是偶数记为事件，有3种情况：2，4，6，所以， 由于掷出点数为4记为事件，所以掷出点数是偶数且掷出点数为4的事件为， 所以，所以. 故答案为：. 2．设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是 . ①；②事件，相互独立； ③；④ 【答案】②③④ 【分析】对于①，利用条件概率公式进行求解；对于②，先得到，进而得到，②正确；对于③，根据概率的性质进行求解；对于④，先得到，从而利用条件概率公式进行求解. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，， 又，故， 事件，相互独立，②正确； 对于③，，③正确； 对于④，，故， 故，④正确. 故答案为：②③④ 3．已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是 . 【答案】 【分析】利用全概率公式求出第一次摸到红球的概率以及第一次和第二次都摸到红球的概率，再根据条件概率公式进行计算． 【详解】设事件A表示“第一次摸到红球”，事件B表示“第二次摸到红球”． 设事件表示“选择甲袋”，事件表示“选择乙袋”， 且，，， 根据全概率公式，得 ， 在甲袋中，第一次摸出红球后，还剩2个红球和3个黑球，共5个球， 所以从甲袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 在乙袋中，第一次摸出红球后，还剩1个红球和3个黑球，共4个球， 所以从乙袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 根据全概率公式，得 ， 所以，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为． 故答案为：． 4．已知随机变量的分布列如下表，其中. 0 1 -1 若，，依次成等差数列，则的最大值为 ，若，，依次成等比数列，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据分布列和等差中项的性质可得，再根据数学期望和方差的公式用含的式子表示 ，利用配方法，即可得的最大值；利用分布列和等比中项的性质可得，设，则，代入上式，化简得，根据，得出的取值范围后，再进行验证，即可得解. 【详解】若，，依次成等差数列， 则，解得， ，， ，， 故当时，的最大值为 若，，依次成等比数列， 则，整理可得， 设，则，代入上式， 化简得， 此方程在上有解，则， 解得， 将代入方程，检验可知时，方程在上有解， 所以， 故答案为：； 【点睛】本题考查了随机变量的数学期望与方差、数学期望的性质以及等差数列、等比数列，考查了计算能力与分析能力，属于中档题. 5．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望 . 【答案】/ 【分析】确定的可能取值，求得相应概率，由期望定义即可求解. 【详解】由题意，2，5，8模3同余，3，6，9模3同余，则取球次数的可能取值为3，4，5， ， ，， 所以， 故答案为：. 6．已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）5个红球，个黑球.现从袋中随机摸出3个球，设表示摸出红球的个数，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定的概率求出，进而求出的期望和方差. 【详解】依题意，， 整理得，而，解得， 的可能值为，，，， ，， 所以. 故答案为： 7．一个袋中装有个白球和个黑球，甲从袋中有放回的随机取次球，每次取个球，取到次白球得分，取到次黑球得分．记甲取球总得分为，则 ． 【答案】 【分析】设甲3次取球取到的白球数为，根据二项分布可得，由二项分布的数学期望及期望的性质即可得甲取球总得分为的期望的值. 【详解】依题意，得甲每次取到白球的概率为， 设甲3次取球取到的白球数为，则， 所以， 又甲取球总得分满足， 所以． 故答案为：. 8．某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖．现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立．记中奖人数为X，则X的数学期望为 ． 【答案】 【分析】先求得每位顾客中奖的概率，由题意，然后利用二项式的期望公式求解即可. 【详解】由题意，三次抽奖的所有情况共有种，和为5的倍数的情况有： ①三个编号均不相同1，3，6；1，4，5；2，3，5；4，5，6共种； ②恰有两个编号相同1，1，3；2，2，1；2，2，6；3，3，4；4，4，2；6，6，3共种， ③三个编号都相同5，5，5共1种，所以中奖的概率， 由题意，所以X的数学期望． 故答案为： 9．已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若表示取得白子的个数，则的均值 ． 【答案】/ 【分析】方法一：随机变量的可能取值为0，1，2，利用超几何分布求得对应的概率，利用数学期望公可求数学期望.方法二：利用超几何分布的概率公式求解即可. 【详解】方法一：随机变量的可能取值为0，1，2， 则 ． 所以． 方法二：由题意知，随机变量服从超几何分布，其中， 则由超几何分布的均值公式知． 故答案为：. 10．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（若随机变量服从正态分布，则），则下列结论正确的序号是 ． ①；②；③；④ 【答案】②③ 【分析】根据正态分布概率几何意义以及对称性，可得答案. 【详解】由题意可知，， 所以 ， 所以 ， 所以①错误，②正确． 因为，所以， 所以 ，所以，所以③正确，④错误． 综上，答案为②③． 故答案为：②③． 11．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为 . 【答案】128 【分析】先由题设条件得到，再转化得，从而利用正态分布原则可得可得结果. 【详解】依题意，得， 所以，即， 而，所以且， 又因为，所以，， 所以且，即，解得， 故至少要测量的次数为. 故答案为：128. 12．某比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员答 3 道题，若 3 次都错，则该队被淘汰，比赛成绩为 0 分；若至少答对一题， 则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员答 3 道题， 每次答对得 5 分， 答错得 0 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成， 设甲每题答对的概率为 ，乙每题答对的概率为 ，各题答对与否相互独立. 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由 参加第一阶段比赛. 【答案】甲 【分析】根据题意，分别求得甲，乙参加第一阶段比赛时，队伍比赛成绩的期望，然后比较大小，即可得到结果. 【详解】若甲参加第一阶段比赛，设队伍比赛成绩，则的可能取值为， 则， ， ， ， 则 ， 若乙参加第一阶段比赛，设队伍比赛成绩，则的可能取值为， 所以， 且 ， 因为，所以，， 则，即， 应该由甲参加第一阶段比赛. 故答案为：甲 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．在A，B，C三种活动中，甲、乙、丙、丁、戊五人需每人选择一个活动参加，在3人选择了A活动的条件下，甲、乙选择A活动的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率公式即可求解. 【详解】设事件表示“3人选择了活动”，事件表示＂甲、乙选择活动＂，则． 故选：D. 14．已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【详解】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A 15．中心极限定理是概率论中的一个重要定理.根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（    ）（参考数据：） A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865 【答案】B 【分析】设向上的点数为偶数的次数为X，易得，满足且，可得，，，进而结合正态分布的对称性求解. 【详解】投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，设向上的点数为偶数的次数为X， 则，，， 由于且，由中心极限定理可知， 且，， 因为， 故， 所以利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数小于1300的概率为. 故选：B. 16．有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分别对与计算对应的概率和期望，进而比较大小可得结果. 【详解】当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和， 放入后，取出白球的概率分别为1和， 故，． 当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布， 取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为1； 取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为； 取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为， 则， 且放入的两个球中白球数的期望， 则， 则， 所以，又，，故． 故选：B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件概率公式计算即可； （2）假设相应的事件并求出其概率，然后根据全概率公式即可求解. 【详解】（1）设事件“第次抽到歌曲”（），则，， 所以； 故在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率为； （2）设事件“取到歌曲”，事件“掷出的点数为1或2”，则事件“掷出的点数为3，4，5，6”，显然与为对立事件； 所以，，，； 由全概率公式得 . 所以取到歌曲的概率为 18．某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 【答案】(1) (2)可靠性为,变差了 【分析】（1）首先根据优品的范围，再结合正态分布的数据，以及参考公式，分别求解改造前后的优品率，即可求解； （2）根据二项分布概率公式，分别求增加元件前后系统正常工作的概率，再比较. 【详解】（1）由条件可知，技术改造前，，优品率为， 技术改造后，，优品率为， ， 所以这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为. （2）设为原有3个元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 所以该系统的可靠性为 为增加一个元件后，元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 则， 所以该系统增加一个元件，可靠性变差了. 19．口袋里装有大小与质地相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人从袋中摸球，每次摸1个球. (1)若甲、乙两人无放回地摸球，由甲先摸1个球，乙再摸1个球，求甲摸到白球的条件下，乙摸到红球的概率； (2)制定规则如下：若一方摸出1个红球，则此人继续下一次摸球，若一方摸出1个白球，则由对方接替下一次摸球，由甲进行第一次摸球. ①若甲、乙两人无放回地摸球，求第三次仍由甲摸球的概率； ②若甲、乙两人每次摸球后都放回地摸球，求在前两次摸球中，甲摸得的红球次数的分布及期望. 【答案】(1)； (2)①；②分布列见解析，. 【分析】（1）应用条件概率的求法求甲摸到白球的条件下，乙摸到红球的概率； （2）①由题设，满足要求的情况有甲第一次摸到红球，第二次也摸到红球；甲第一次摸到白球，乙第二次摸到白球，应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法求概率；②根据已知确定随机变量的可能值及其对应的概率，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）口袋共有12个球，甲先摸球，摸到白球的概率为， 甲摸到白球后，口袋还剩11个球，其中红球有4个，则甲摸到白球且乙摸到红球的概率为， 综上，甲摸到白球的条件下，乙摸到红球的概率为； （2）①由题设，满足要求的情况有甲第一次摸到红球，第二次也摸到红球；甲第一次摸到白球，乙第二次摸到白球； 所以若甲、乙两人无放回地摸球，第三次由甲摸球的概率为； ②由题意，的可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 则. 20．由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率分布直方图. (1)从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人， ①若将频率视为概率，求至少4人每周活动时间在（单位：h）的概率；（结果用数值表示） ②若抽取的5人中每周活动时间在（单位：h）的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在（单位：h）的人数为X，求X的分布和期望与方差； (2)当老人每周活动时间不少9小时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到k人为“活动爱好者”的可能性最大，试求k的值. 【答案】(1)①；②分布列答案见解析，数学期望为，方差为. (2)2. 【分析】（1）①记“至少有4人每周活动时间在(单位：h)”为事件A，求出P(A)的值即可； ②分别计算的值，求出E(ξ)的值即可； （2）求出，若k人的可能性最大，则，得到，得到关于k的不等式，求出k的范围即可判断. 【详解】（1）由直方图可知，事件“到活动中心参加活动的老人任意选取1人， 每周活动时间在内”概率为， 记“至少有4人每周活动时间在(单位：h)”为事件A， 则； 随机变量ξ所以可能的取值为0，1，2， 则， 故的分布列如下： 0 1 2 P 故， . （2）老人每周活动时间不少9小时，则老人中“活动爱好者”的活动时间为， 由直方图可得，参加活动的老人中为“活动爱好者”的概率为， 若从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到X人为“活动爱好者”， 则， 若人的可能性最大，则， 由， 即 且， 解得，，由于，故. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键时求k的值，先根据题意得出，利用单调性列出不等式求解即可. 21．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案. （2）①先求得的关系式，然后利用构造法证得为等比数列； ②先求得，然后求得的最大值，由此求得的取值范围. 【详解】（1）设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”， 则为“第一天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. （2）①：证明：设为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，，， 由全概率公式得： 因此，. 是以为首，为公比的等比数列. ②：根据①可得， 所以，下求的最大值， 要求的最大值，则为偶数， 当为偶数时，， 此时是单调递减数列， 所以的最大值为， 因此，则m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 概率初步（续） 单元自测卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.. 2.②③④ 3.． 4.； 5.. 6. 7.. 8 9. . 10.②③． 11. 128 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13 14 15 16 D A B B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）设事件“第次抽到歌曲”（），则，， 所以； 故在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率为； （6分） （2）设事件“取到歌曲”，事件“掷出的点数为1或2”，则事件“掷出的点数为3，4，5，6”，显然与为对立事件； 所以，，，； 由全概率公式得 . 所以取到歌曲的概率为 （8分） 18．（14分）【详解】（1）由条件可知，技术改造前，，优品率为， 技术改造后，，优品率为， ， 所以这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为. （7分） （2）设为原有3个元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 所以该系统的可靠性为 为增加一个元件后，元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 则， 所以该系统增加一个元件，可靠性变差了. （7分） 19．（14分）【详解】（1）口袋共有12个球，甲先摸球，摸到白球的概率为， 甲摸到白球后，口袋还剩11个球，其中红球有4个，则甲摸到白球且乙摸到红球的概率为， 综上，甲摸到白球的条件下，乙摸到红球的概率为； （6分） （2）①由题设，满足要求的情况有甲第一次摸到红球，第二次也摸到红球；甲第一次摸到白球，乙第二次摸到白球； 所以若甲、乙两人无放回地摸球，第三次由甲摸球的概率为； ②由题意，的可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 则. （8分） 20．（18分）【详解】（1）由直方图可知，事件“到活动中心参加活动的老人任意选取1人， 每周活动时间在内”概率为， 记“至少有4人每周活动时间在(单位：h)”为事件A， 则； 随机变量ξ所以可能的取值为0，1，2， 则， 故的分布列如下： 0 1 2 P 故， . （9分） （2）老人每周活动时间不少9小时，则老人中“活动爱好者”的活动时间为， 由直方图可得，参加活动的老人中为“活动爱好者”的概率为， 若从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到X人为“活动爱好者”， 则， 若人的可能性最大，则， 由， 即 且， 解得，，由于，故. （9分） 21．（18分）【详解】（1）设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”， 则为“第一天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. （5分） （2）①：证明：设为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，，， 由全概率公式得： 因此，. 是以为首，为公比的等比数列. （6分） ②：根据①可得， 所以，下求的最大值， 要求的最大值，则为偶数， 当为偶数时，， 此时是单调递减数列， 所以的最大值为， 因此，则m的取值范围是. （7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $