专题03 分式方程（巩固培优） 2025--2026学年人教版八年级数学上册

专题03 分式方程（巩固培优） 【人教版2024八年级上册】 目录 【知识要点】 1 题型一 解分式方程 1 题型二、增根问题 3 题型三、整数解的问题 5 题型四 分式方程无解问题 8 题型五 阅读与新定义问题 11 题型六 分式方程实际应用 16 类型一、销售问题 16 类型二、方案问题 22 类型三、工程问题 30 类型四、行程问题 35 【知识要点】 1．分式方程 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的一般步骤 【温馨提示】 1．用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母．但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项． 2．解分式方程可能产生使分式方程无解的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤． 题型一 解分式方程 1．方程的解是 ． 【答案】x=6 解析：去分母，得2x+3＝3(x－1)，解得x＝6，经检验x＝6是原方程的解． 2．解分式方程：． 【答案】解：方程两边乘，得，解得．检验：当时，＝0，故不是原方程的解，所以，原分式方程无解． 3．解分式方程：+＝． 【答案】解：方程两边乘x(x+2)，得3x+x+2=4，解得x=．经检验：x=是原方程的解． 4．解分式方程 (1)=0 ； (2). 【答案】（1）x=﹣1；（2）x=. 【分析】（1）先乘以最简公分母去分母，再加减运算求出x并检验即可； （2）先乘以最简公分母去分母，再加减运算求出x并检验即可. 【详解】（1）去分母得：x﹣2﹣3x=0， 解得：x=﹣1， 经检验x=-1是分式方程的解． （2）去分母得，x﹣1+2（x﹣2）=﹣3， 3x﹣5=﹣3， 解得x=， 检验：把x=代入x﹣2≠0，所以x=是原方程的解． 【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练的掌握分式方程的运算法则. 5．解方程： （1）； （2）． 【解析】（1）方程两边乘（x+2）（x-2），得3x（x-2）+2（x+2）=3（x+2）（x-2）． 化简得-4x=-16，解得x=4． 经检验，x=4是原方程的解． 所以原方程的解是x=4． （2）方程两边都乘以（x+1）（x-1），去分母，得4-（x+1）（x+2）=-（x+1）（x-1）． 解得x=．经检验，x=是原方程的解． 所以原方程的解是x=． 题型二、增根问题 1.若关于x的分式方程有增根，则m的值为（       ） A．1.5 B．-6 C．1或-2 D．1.5或-6 【答案】D 【详解】解：， 方程两边同乘以，得，即， 关于的分式方程有增根， 或，即或， （1）当时，则，解得， （2）当时，则，解得， 综上，的值为或， 故选：D． 2.关于x的分式方程：． （1）当m＝3时，求此时方程的根； （2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值． 【答案】（1）x=-5；（2）-4或6 【详解】解：（1）把m=3代入方程得：，去分母得：3x+2x+4=3x-6，解得：x=-5， 检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0，∴分式方程的解为x=-5； （2）去分母得：mx+2x+4=3x-6，∵这个关于x的分式方程会产生增根，∴x=2或x=-2， 把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4；把x=-2代入整式方程得：-2m=-12， 解得：m=6． 3.关于x的分式方程有增根，则m的值为（          ） A． B． C．1 D．6 【答案】A 【详解】解：由题意得，分式两边同乘（x-2）得：， 化简得：， ∵方程有增根，∴x=2， 即：， 解得：， 故选：A． 4.若关于x的分式方程有增根，则增根是______． 【答案】1 【详解】解： ， 方程两边都乘以 ∴方程的增根是使的x的值， 故答案为1 5.若关于x的方程有增根，则的值为___________． 【答案】-1 【详解】解：方程两边同乘以x−2 得① ∵原方程有增根，∴x−2=0， 即x=2. 把x=2代入①，得 m=−1. 故答案为：-1． 6．若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______． 【答案】1 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】 解：方程两边都乘，得 ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时， 故m的值是1， 故答案为1 【点睛】 本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 题型三、整数解的问题 1．关于x的不等式组有解，且使关于x的分式方程有非负整数解的所有m的值的和是（       ） A．-1 B．2 C．-7 D．0 【答案】C 【详解】解：关于的不等式组有解， 由可得： ，解得， 由解得， 分式方程有非负整数解， 是非负整数， ，，，， 故选：． 2.若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（       ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【详解】解：， 由①得，x＞2，由②得x＞a-1， ∵不等式组的解集为x＞2，∴a-1≤2， ∴a≤3，，3-ay+3=3-y，（a-1）y=3，y= ∵方程的解为整数，∴a=-2，0，2，4， ∵y≠3，∴≠3，∴a≠2， ∵a≤3，∴a的取值为-2，0， ∴所有满足条件的整数a的值之和是-2+0=-2， 故选：D． 3.若关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数m的和是（       ） A．7 B．10 C．18 D．21 【答案】C 【详解】解不等式组： 由①得： 由②得：，， ∴不等式组的解集为 ∵不等式组有且只有两个奇数解 ∴，解得： ∵分式方程有解，则分母不为零 ∴ 解分式方程： ，解得： ∴满足条件的m值为5，6，7 ∴所有满足条件的整数m的和是，故选C． 4.若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解．则符合条件的所有整数k的和为（       ） A．3 B．1 C．0 D．6 【答案】B 【详解】解：，解不等式①得x≤k， 解不等式②得x＜5，由题意得k＜5， 解分式方程得，y＝， 由题意得，≥0，且≠1，解得，k≥﹣3且k≠﹣1， ∴k的取值范围为：﹣3≤k＜5，且k≠﹣1的整数， ∴k的取值为﹣3，﹣2，0，1，2，3，4， 当k＝﹣3时，＝0，当k＝﹣2时，＝，当k＝0时，＝， 当k＝1时，＝2，当k＝2时，＝，当k＝3时，＝3，当k＝4时，＝， ∵为整数，且k为整数，∴符合条件的整数k为﹣3，1，3， ∵﹣3＋1＋3＝1，∴符合条件的所有整数k的和为1． 故选：B 5.已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解：，去分母得，，解得 ， 时，方程产生增根，，即，， ，且，， 解不等式①得：，解不等式②得：， 不等式组有解，∴不等式组的解集为：， 恰好有三个整数解，，解得， 又且，且，整数为，其和为1+3=4，故选C． 题型四 分式方程无解问题 1．关于x的分式方程无解，则m的值是（　　） A．1 B．0 C．2 D．–2 【答案】A 解析：方程两边成x－1，得x－2（x－1）=m，解得x=2－m．∵当x=1时分母为0，方程无解，∴2－m=1，即m=1时，方程无解．故选A． 2.若关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．-2 B．2 C．1 D．-4 【答案】A 3．若关于x的方程无解，则m的值是______． 【答案】0 解析：去分母，得，，即3x=6－m．∵方程无解，∴x=2．把x=2代入3x=6－m，得m=0． 4．若关于x的分式方程无解，则m的值为__________． 【答案】± 解析：方程两边都乘x－3，得x－2（x－3）=m2．∵原方程无解，∴x=3．把x=3代入x－2（x－3）=m2，得m=±． 5．已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3 【答案】C 【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，整理，得：（m+2）x＝﹣3， 解得：， ①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解， ②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，即无解或3（m+2）＝﹣3， 解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3． 故选C． 6.如果关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：，方程两边同时乘以x﹣5得，2﹣（m+1）＝x﹣5， 去括号得，2﹣m﹣1＝x﹣5，解得x＝6﹣m， ∵原分式方程无解，∴x＝5，∴m＝1， 故选：B． 7.若关于x的分式方程无解，则m的值是（       ） A．－1 B．1 C．0 D．0或1 【答案】D 【详解】方程左右两边同乘（x-1）得， 2m+x-1=m（x-1），化简整理后得， （m-1）x=3m-1， 当m-1=0，m=1时，0·x=2，此时x无解； 当x=1时，是分式方程的增根，则分式方程无解，将x=1代入，得， m-1=3m-1，则m=0， 所以当m=0或1时，分式方程无解，故选D． 8.已知关于的分式方程无解，则的值为（       ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【详解】解：由得x= ∵分式方程无解 ∴=±2或m+4=0 ∴m=0或m=-8或 ∴或或 故答案为D. 【点睛】 本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点. 9.（拔高题）若分式方程无解，则的值为（   ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 【答案】C 【详解】情况一：解是方程的增根 分式方程转化为一元一次方程为：mx=6x－18 移项并合并同类项得：(6－m)x=18 解得： ∵分式方程无解，∴这个解为分式方程的增根 要想是分式方程的增根，则x=3或x=0 显然不可能为0，则 解得：m=0 情况二：转化的一元一次方程无解 由上知，分式方程可转化为：(6－m)x=18 要使上述一元一次方程无解，则6－m=0 解得：m=6，故选：C 题型五 阅读与新定义问题 1.对于正数，规定．请解答下列问题． （1）计算：； （2）计算：； （3）探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 【答案】（1）解：由题意得： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：存在，理由如下： 由（1）可知，得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即. ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是方程的解， 由上可得，时，题中等式成立． 【解析】【分析】（1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解； （2）根据题意得出，结合新定义，即可求解； （3）根据，可得，把等式中的和替换掉，再利用完全平方公式进行展开，化简得到.再根据定义，代入计算即可求解． 2．（2023八上·台州竞赛）【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”例如分式，，，，是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，，请直接判断是不是的“关联分式”？ （2）求分式的“关联分式”； （3）【拓展延伸】 观察的结果，直接写出分式的“关联分式”：　 　． 【答案】（1）解： ， ， ， 是的“关联分式”； （2）解：设分式的“关联分式”为，根据新定义得： ， ， 分式的“关联分式”为 （3） 【解析】【解答】解：(3)设分式的“关联分式”为N， 根据新定义得： 解得：， 故答案为：. 【分析】(1)根据关联分式的定义判断即可； (2)根据关联分式的定义判断即可； (3)根据关联分式的定义判断即可. 3.阅读理解： 定义：若分式A 和分式B 满足A—B=n(n为正整数)，则称 A 是 B 的“n差分式”. 例如： 我们称 是 的“3差分式”. 解答下列问题： （1）是分式 的“　 　差分式”. （2）已知 是分式 的“2 差分式”. ①C=　 　(用含x 的代数式表示)； ②若 A 的值为正整数，x为正整数，求A的值. （3）已知 是 的“4差分式”(其中x，y为正数)，求x-y 的值. 【答案】（1）1 （2）①18+6x解：②∵分式∵A的值为正整数，x为正整数∴当3-x=1时，x=2；当3-x=2时，x=1；当3-x=3时，x=0(舍去)；当3-x=6时，x=-3(舍去)，∴当x=2时，A=6；当x=1时，A=3； （3）解：∵分式 是 的“4差分式”， 【解析】【解答】解：(1) ∴分式 是分式 的1差分式. 故答案为：1； （2）①∵分式 是分式 的“2差分式”， 故答案为：18+6x； 【分析】(1)根据题意把两个分式作差即可； (2)①根据题意得出 用x表示出C即可； ②根据A的值为正整数，x为正整数得出x的值，进而可得出结论； (3)由分式 是 的“4差分式”得出分式运算的式子，再由xy=2代入计算即可. 4.阅读材料：解分式不等式＜0 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：①或② 解①得：无解； 解②得：﹣2＜x＜1 所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1 请仿照上述方法解下列不等式： （1） （2）（x+2）（2x﹣6）＞0． 【答案】解：（1）原不等式可转化为：①或② 解①得无解， 解②得﹣＜x≤2， ∴原不等式的解集是﹣＜x≤2； （2）原不等式可转化为：①或② 解①得x＞3， 解②得x＜﹣2， ∴原不等式的解集是x＞3或x＜﹣2． 【解析】【分析】（1）把分式不等式转化为不等式（组）即可求出答案. （2）把整式不等式转化为不等式（组）即可求出答案. 5.阅读材料，下列关于的方程： 的解为：，； 的解为：，； 的解为：，； 的解为：，； 根据这些材料解决下列问题： （1）方程的解是____________； （2）方程的解是____________； （3）解方程：． 【答案】（1）， （2）， （3）解：将方程变形为， 可得或， 解得， 【解析】【解答】（1）解：由题意可得： 方程 的解为， 故答案为：， （2）由题意可得“ ”由方程可得或， 解得，， 故答案为：， 【分析】（1）根据材料所给方法即可求出答案. （2）根据材料所给方法即可求出答案. （3）先将方程化为，再根据材料所给方法即可求出答案. 题型六 分式方程实际应用 类型一、销售问题 1．（2024八上·腾冲期末）某公司会计欲查询乙商品的每件进价（如下表），发现进货单已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额 甲 7200 乙 3200 李师傅：我记得甲商品数量比乙商品的数量多50%． 王师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高20元． 请同学们帮该公司求出甲、乙两商品的数量分别是多少件？ 【答案】解：设乙商品的数量为x件，则甲商品的数量为件， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解 甲商品的数量：（件） 答：甲商品的数量为120件，乙商品数量为80件． 【解析】【分析】设乙商品的数量为x件，则甲商品的数量为件，根据“甲商品进价比乙商品进价每件高20元”列出方程，再求解即可. 2．为提升青少年的身体素质，弘扬中国传统文化，市教育局在全市中小学推行“趣味体育”活动.某校为满足学生的需求，准备购买一批毽球和空竹，已知毽球的单价是空竹单价的，已知用1350元购买毽球的数量比购买空竹的数量多20个. （1）毽球、空竹的单价各是多少元? （2）若决定用不多于3500元购进毽球和空竹共100个，最多可以购买多少个空竹? 【答案】（1）解：设空行的单价为元，则毽球的单价为元. 由题意，得； 解得： 经检验，是原方程的解； 答：毽球和空竹的单价分别为27元和45元。 （2）设购买a个空竹，则购买（100-a）个毽球，由题意得： 解得： 为正整数 最大为44 答，最多购买44个空竹. 【解析】【分析】（1）设空行的单价为元，则毽球的单价为元.根据用1350元购买毽球的数量比购买空竹的数量多20个，即可列出关于x 的分式方程，然后解方程并检验即可可出结论. （2）设购买a个空竹，则购买（100-a）个毽球，根据总价=单价×购买的数量，结合总价钱不多于3500元，即可得到关于a的一元一次不等式，然后可以求出m的取值范围，取其最小正整数即可. 3．自2014年以来，全民阅读连续十年写入政府工作报告，2023年全国教育工作会议进一步提出，要把开展读书活动作为-件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书.某校为了提高学生读书兴趣，为各班购买学生读本《三国演义》和《水浒传》若干，其中《三国演义》的单价比《水浒传》的单价贵10元；用5760元购买《水浒传》的数量是用3480元购买《三国演义》数量的2倍.求： （1）《水浒传》《三国演义》单价分别是多少元? （2）学校准备用不超过10320元的经费，购买这两种书共200本，那么三国演义最多可买多少本? 【答案】（1）解：设《水浒传》单价为元， 则《三国演义》的单价为元，由题意可知 - 解得： 经检验是原方程的根且符合题意 ∴ 答：《水浒传》单价为48元，则《三国演义》的单价为58元． （2）解：设三国演义买本，则《水浒传》买本， ， ∴， 解得：， 答：三国演义最多可买72本． 【解析】【分析】（1）设《水浒传》单价为x元，根据题中的相等关系“ 用5760元购买《水浒传》的数量=2×用3480元购买《三国演义》数量”可得关于x的分式方程，解之并检验可求解； （2）设三国演义买m本，则《水浒传》买(200-m)本，根据题中的不等关系“买m本三国演义得费用+买(200-m)本《水浒传》的费用≤10320”可得关于m的不等式，解不等式即可求解. 4．“成都成就梦想”，第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日在成都举行，某特许经销商试销售A，B两类大运会纪念品，若A类纪念品每个进价比B类纪念品每个进价少5元，且用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同． （1）求A，B两类纪念品每个进价分别是多少元？ （2）若该经销商购进A类纪念品数量比B类纪念品数量的3倍还少5个，两类纪念品的总数不超过95个，且B类纪念品的个数多于24个，求该经销商应购进B类纪念品多少个？ 【答案】（1）解：设每个A种纪念品为元、则每个B种纪念品的进价为元，由题意得： ，解之得， 经检验：x=45是原方程的解， 则． 答：每个A种纪念品为45元、则每个B种纪念品的进价为50元． （2）解：设购进种纪念品个，则购进A种纪念品为个，由题可得： 解之得：． ∵为整数， ∴． 答：该经销商应购进B类纪念品25个． 【解析】【分析】（1）设每个A种纪念品为元、则每个B种纪念品的进价为元 ，根据“ 用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同”列出分式方程，解之并检验即可； （2）设购进种纪念品个，则购进A种纪念品为个 ，根据" 两类纪念品的总数不超过95个，且B类纪念品的个数多于24个 "列出不等式组，求出其整数解即可. 5.根据素材，完成任务. 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9. 素材二 某商店的店内广告牌如右所示.5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根. 1．短管子售价：α元/根，长管子售价：2a元/根. 2、6月1日起，购买3根长管子赠送Ⅰ根短管子. 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求α的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费. 【答案】任务一：解，设制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长管子x根，y根，则制作一个甲、乙款雪花模型分别需要短管子7x根，9y根， ∴， 解得 ∴7x=21，9y=27 ∴制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子3，3根和21，27根； 任务二：由题意可知：， 解得a= 经检验：a=是原方程的解 ∴2a=1，故长管子1元 /根，短管子售价：元/根； 6月份制作甲款雪花模型的材料共需长管子3根，短管子21根， 供需费用为：（元） ∴ 6月只制作个甲款雪花模型的材料采购费13元. 【解析】【分析】（1）先设制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长管子x根，y根，则制作一个甲、乙款雪花模型分别需要短管子7x根，9y根，根据制作两种雪花模型需要长管子6根，短管子48根，列出方程组求解即可； （2）根据“ 花费320元购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根 ”，列出方程，求出a值，即知道长短管子的单价；6月份共有长短管子3和21根，根据单价求出采购费即可. 6.某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同． (1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价均为30元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元 (2)购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元 【解析】(1)解：设A款销售单价为x元，则B款销售单价为（）元， 根据题意得：，解得，经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， 答：A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元； (2)解：设购进A款保温杯m个，则购进B款保温杯（120－m）个，总利润为W元， ∵，∴， 根据题意得：， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴时，W最大，且，此时， 答：购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元 类型二、方案问题 1．为了贯彻双减要求，丰富校园文化生活，增强班级团队凝聚力，某校八年级今年计划举办一场主题为“缤纷六月，篮出梦想”的首届“校”班际篮球赛．该校计划为班际篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品店经销商沟通，型号篮球的单价比型号的篮球单价多40元，且用1200元购买型号篮球个数与用600元购买型号篮球的个数相等． （1）求型号篮球和型号篮球的单价分别是多少元？ （2）该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案． 方案一：所有商品打9折销售 方案二：买3个型号篮球，免费赠送1个型号篮球（不足3个不赠送）． 若该校需要购买15个型号篮球和（）个型号篮球，则上述两种购买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由． 【答案】（1）解：设型号篮球的单价为元，则型号篮球的单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， （元）， 答：型号篮球的单价为80元，则型号篮球的单价为40元； （2）解：根据题意可得： 方案一所花费的金额为：， 方案二所花费的金额为：， 当时，即， 解得：， ， 当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案二购买更省钱； 当时，即， 解得：， 当型号篮球购买15个，型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多； 当时，即， 解得：， 当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案一购买更省钱； 综上所述：当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案二购买更省钱；当型号篮球购买15个，型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多；当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案一购买更省钱． 【解析】【分析】（1）设A型的单价为x元，根据“A型单价比B型单价多40元”，可表示出B型的单价为（x-40元），然后结合“购买数量=购买金额÷单价”，分别用分式表示出1200元购买A型的数量，600元购买B型的数量，然后建立等式求解分式方程.特别注意，分式方程求出解后要检验. （2）先求出方案一的总金额的代数式：（A型金额+B型金额）×0.9，得36x+1080；方案二总金额的代数式：A型金额+B型金额（其中有15÷3个B型是免费赠送，不用付费），得40x+1000.然后分类讨论列式比较两个代数式的大小：36x+1080＞40x+1000；36x+1080＞=40x+1000；36x+1080＜40x+1000，分别求解即可. 2．某学生用品超市准备购进，两种类型的文具袋进行销售，若每个型文具袋比每个型文具袋的进价少2元，且用800元购进型文具袋的数量与用1000元购进型文具袋的数量相同． （1）每个型，型文具袋的进价分别是多少元？ （2）设该超市购进型文具袋个． ①若购进型文具袋的数量比型文具袋的数量的3倍少50个，且购进型，型文具袋的总数量不超过910个，该超市最多购进型文具袋多少个？ ②在①的条件下，若型、型文具袋的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的型、型文具袋全部售出后，可使销售两种文具袋的总利润超过3795元，则该超市购进两种文具袋共有 ▲ 种方案． 【答案】（1）解：设型文具袋的进价为元，则型文具袋的进价为元， 由题意可得： 解得 经检验，是分式方程的解， 答：型文具袋的进价为元，型文具袋的进价为元； （2）解：①由题意可得，购进型文具袋的数量为个， 则， 解得 答：该超市最多购进型文具袋个； ②5 【解析】【解答】解：（2）②设购进B型文具袋m个，则购进A型文具袋（3m-50）个，则： （12-8）（3m-50）+（15-10）m＞3795， 解不等式得：m＞235， 由①知m≤240， ∴235＜m≤240， 所以m可取236，237，238，239，240， 所以共有5种方案。 故答案为：5. 【分析】（1） 设B型文具袋的进价为x元，则型文具袋的进价为（x-2）元，根据用800元购进A型文具袋的数量与用1000元购进B型文具袋的数量相同，可列分式方程：，解分式方程并进行检验，可得答案； （2）①设购进B型文具袋m个，则购进A型文具袋（3m-50）个，根据购进A型，B型文具袋的总数量不超过910个 ，可得不等式： ，解不等式求得不等式的解集，并求出m的最大整数解即可； ②设购进B型文具袋m个，则购进A型文具袋（3m-50）个，根据销售两种文具袋的总利润超过3795元，可得不等式 （12-8）（3m-50）+（15-10）m＞3795，得出解集为m＞235，结合①的解集m≤240，可得235＜m≤240，并取m的整数解，可得共5种方案。 3．（2024八上·凤山期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？ （3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】（1）解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元， 根据题意，得， 解得：x=10， 经检验，x=10是原方程的根， 每件甲种商品的进价为：10-2=8（元）． 答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元． （2）解：设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个． 由题意得：3y-5+y≤95． 解得y≤25． 答：商场最多购进乙商品25个； （3）解：由（2）知，（12-8）（3y-5）+（15-10）y＞380， 解得：y＞． ∵y为整数，y≤25， ∴y=24或25． ∴共有2种方案． 方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个； 方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个． 【解析】【分析】（1） 设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元， 根据用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同可列方程：，解方程并检验，同时求出x-2的值，最后作答即可； （2） 设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个 ，根据购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个 ，可列不等式 ：3y-5+y≤95 ，解不等式求出解集，取它的最大整数解即可； （3）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个，根据销售两种商品的总利润超过380元 ，可得不等式 （12-8）（3y-5）+（15-10）y＞380， 解得：，由（2）知 y≤25 ，所以，然后取符合条件的整数解为24，25，可得商场购进甲、乙两种商品有 2种方案，进一步写出具体方案即可。 4．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为3∶2． 素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张(1≤m<10)兑换券(如图)用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 （1）【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． （2）【探究购买方案】探究购买钢笔和笔记本的数量． （3）【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方式． 【答案】（1）解：设笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为2x元，根据题意得： 解得：x=5， 经检验，x=5是原方程的根，且符合题意. ∴2x=10 (元)， 答：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元. （2）解：设购买钢笔的数量为a支，笔记本数量为b支，根据题意得： 解得： 答：购买钢笔的数量为30支，笔记本数量为20支. （3）解：当购买钢笔的数量为30支，笔记本数量为20支时，设有a张兑换券兑换钢笔，则有( m-a )张兑换券兑换笔记本，根据题意得： 30+10a=20+20×( m-a)， 整理得： ∵1≤m<10， ∴ ∵m，a均为正整数， ∴3a+1为偶数(2的倍数)， ∴a可取1，3，5. 当a=1时，m=2，则30+10=20+20×(2-1) ，成立； 当a=3时，m=5，则30+10×3=20+20×(5-3)，成立； 当a=5时，m=8，则30+10×5=20+20×(8-5)，成立； 根据题意可知， 当a=3时，赠送的总价为3×10×10+（5-3）×5×20=500元； 当a=5时，赠送的总价为5×10×10+（8-5）×5×20=800元； 赠送的总价比出的钱还多，不合理， ∴文具店赠送2张兑换券，其中有1张兑换券兑换钢笔，有1张兑换券兑换笔记本. 答：文具店赠送2张兑换券，其中有I张兑换券兑换钢笔，有1张兑换券兑换笔记本. 【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系： 钢笔的单价=笔记本的单价×2，用120元购买笔记本的数量=用160元购买钢笔的数量+8，设笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为2x元，代入等量关系列方程求解即可，注意检验. （2）根据题意得等量关系：10×购买钢笔的数量+5×购买笔记本的数量=400；购买钢笔的数量：购买笔记本的数量=3：2，设购买钢笔的数量为a支，笔记本数量为b支，代入得方程，求解即可. （3）设有a张兑换券兑换钢笔，则有( m-a )张兑换券兑换笔记本，根据题意得：30+10a=20+20× ( m-a)，整理得，根据m的取值范围分类讨论即可. 5．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素 材 一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与． 素 材 二 某商店的店内广告牌如右所示.5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根 2.6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！ 素 材 三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任 务 一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任 务 二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任 务 三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 【答案】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，根据题意得： ， 解得：， ∴，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，短管子21根；制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，短管子根； 任务二：由题意得： ∴， 解得：， 经检验是原方程的根； ∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子， ∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为：（元）； 任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据题意得： ， 解得：， ∵一款甲款雪花和一款乙款雪花都需要3根长管子， ∴m根长管子可制作两款雪花模型共个， ∴需要的短管子数量最少为个，最多为个，可得， ∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根， ∴， 解得：， ∵m必须能被3整除， ∴，，264，267. 当时，，， ∴可以购买258根长管子，2130根短管子，能制作甲、乙两款雪花模型共86个； 当时，，， ∴可以购买261根长管子，2125根短管子，能制作甲、乙两款雪花模型共87个； 当时，，， ∴可以购买264根长管子，2120根短管子，能制作甲、乙两款雪花模型共88个； 当时，，， ∴可以购买267根长管子，2115根短管子，能制作甲、乙两款雪花模型共89个； 86<87<88<89， ∴当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多． 【解析】【分析】任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，根据题意“6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型”，“ 制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与 ”，列出方程组并求解即可； 任务二：根据题意得等量关系：花费320元购得的长管子数量＋80＝花200元购得的短管子数量，据此列出关于a的方程，解方程即可得a的值；根据a的值和6月份的优惠方案即可求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可； 任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据总费用1280元可列出方程，得出， 制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与 ”可得；再根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，可列出不等式组，求出，根据m必须能被3整除，得出m的能取得的值，再分别计算对应的n和的值，即可得出所有的购买方案. 类型三、工程问题 1．第19届亚洲运动会于2023年9月23日在杭州开幕，杭州奥体博览城是该届亚运会的主场馆.某工厂承包了主场馆建设中某一零件的生产任务，需要在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件. （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数. （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数. 【答案】（1）解：设原计划每天生产的零件x个， 由题意得. 解得x=2400. 经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意. ∴规定的天数为24000÷2400=10(天). 答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天 （2）解：设原计划安排的工人人数为y人，依题意有 解得y=480. 经检验，y=480是原方程的根，且符合题意. 答：原计划安排的工人人数为480人 【解析】【分析】(1)根据题意可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数； (2)设原计划安排的工人人数为y人，根据等量关系：恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，列出方程求解即可. 2．以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元． （1）乙队单独完工需要几个月才能完成任务？ （2）为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？ 【答案】（1）解：设乙单独完成需要个月，则 ， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； 答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务． （2）解：由题意可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∵都为正整数， ∴为3的倍数， ∴或或， ∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式， 方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元）， 方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元）， 方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元）， ∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元． 【解析】【分析】（1）设乙单独完成需要个月，根据“规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务”列出分式方程，进而即可求解； （2）先根据题意即可得到，再结合题意即可列出不等式组，从而得到b的取值范围，再根据题意列出方案，进而即可求解。 3．为稳步推进网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与基站建设工程． （1）已知乙队的工作效率是甲队的倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ （2）当甲队施工天完成基站建设工程的时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前天完成了剩余的工程． ①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ ②若乙队参与该项工程施工的时间不超过天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？ 【答案】（1）乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．（2）①36天，②至少40天 【详解】解：（1）设乙队单独施工，需要天才能完成该项工程，题意，得，解方程，得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：乙队单独施工，需要天才能完成该项工程． （2）①由题意得，甲队单独施工天完成该项工程的， 所以甲队单独施工天完成该项工程. 甲队单独施工完成剩余的工程的时间为（天）， 于是甲、乙两队共同施工的时间为（天）． 设乙队单独施工需要天才能完成该项工程， 则，解方程，得. 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：若乙队单独施工，需要天才能完成该项工程． ②设甲队从开始施工到完成该工程需要天， 依题意列不等式，得， 解得： 4.某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程，并派旗下第五、六两个施工队前去修筑，要求在规定时间内完成． （1）已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，第六施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果第五、六施工队先合作20天，剩下的由第五施工队单独施工，则要误期2天完成那么规定时间是多少天？ （2）实际上，在第五、六施工队合作完成这项工程的时，公司又承包了更大的工程，需要调走一个施工队．你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程？ 【答案】（1）规定的时间是28天；（2）留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程，见解析． 【详解】解：（1）设规定的时间是x天，根据题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合实际意义． 答：规定的时间是28天； （2）设第五、六施工队合作完成这项工程的用了y天， 根据题意，得，解得， 由第五、六施工队单独完成剩下的工程，所需的时间分别为： （天），（天）， 因为， 所以留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程． 答：留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程． 5.某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用天时间完成整个工程．当一号施工队工作天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程． （1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ （2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？ 【答案】（1）若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要天；（2）若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要天 【详解】（1）设二号施工队单独施工需要天， 根据题意得：，解得：， 经检验，是原分式方程的解 ∴若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要天； （2）一号、二号施工队同时进场施工需要的天数为x天 根据题意得： ∴ ∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要天． 类型四、行程问题 1．（2025·福田模拟）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行使费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/干瓦时，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 元． （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1）解：由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； （2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【解析】【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，解方程即可求出答案. ②根据题意，可以列出相应的不等式，解不等式即可求出答案. 2．供电局的电力维修工人要到30 km远的郊区进行电力抢修．维修工人骑摩托车匀速先从供电局出发，15 min 后，抢修车装载着所需材料出发，沿着与维修工人相同的路线匀速行驶，结果他们同时到达．已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度． 【答案】解：设摩托车的速度为 ， 则抢修车的速度为 ， 依题意， 得 ， 解得 ． 经检验： 是原方程的解， 且符合题意． 答： 摩托车的速度为 ． 【解析】【分析】由题意可知，本题的等量关系是： 维修工人骑摩托车匀速从供电局出发到30km远的郊区所用的时间－抢修车从供电局出发到30km远的郊区所用的时间=h.然后设摩托车的速度为 xkm/h，那么抢修车的速度为1.5xkm/h.根据：时间=路程÷速度，可以得到维修工人骑摩托车匀速从供电局出发到30km远的郊区所用的时间=h，抢修车从供电局出发到30km远的郊区所用的时间为h.所以可得方程-=，解出此方程，检验，即可得出结论. 3．（2023八上·遵化期中）一小船由港顺流而下到港需，由港逆流而上到港需.某天早晨6点，该船由港出发驶向港，到达港时，发现船上一救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回，Ih后遇到救生圈. （1）该船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？ （2）救生圈是何时掉入水中的？ 【答案】（1）解：设小船按水流速度由A港漂流到B港需要小时，根据题意得： 解得， 经检验符合题意， 答：小船按水流速度由港漂流到港需要48小时. （2）解：设救生圈是在点钟落下水中的，由（1）小题结果，救生圈每小时顺水漂流的距离等于全 程的， 小船早晨6时从港出发，顺流航行需6小时， 它在中午12点钟到达港.而救生圈在点钟就已掉下水，到这时已漂流的时间为（12-y） 小时，在这段时间里，每小时船行驶全程的 ，救生圈沿着航行方向漂流全程的 船与救生圈同向而行，距离拉大，船到港后立刻掉头去找救生圈，1小时后找到，在这一小时内，船与救生圈相向而行，将原已拉开的距离缩短为0， 由此得方程： 解得：， 答：救生圈是在上午11点钟掉下水的 【解析】【分析】(1)本题求静水速度下的漂流时间，将路程看作单位1，根据顺水流速等于船速加上静水速度、逆水速度等于船速减静水速度的逻辑关系，船速不变列等式，解方程即可； （2）救生圈以静水速度漂流，船以顺流速度到B再以逆流速度返回，救生圈落水后与船的路程差也就是1小时相遇的路程，据此列等式求解，注意分析隐含的多个等量关系，找准一个列方程即可。 4.（2023·嘉定模拟）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米． （1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值； （2）如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定?请说明理由． 【答案】（1）解：由题意得：提速前从A城到B城的所用时间为： （小时）， 提速后的速度为100千米/小时， ∴提速后从A城到B城的所用时间为： （小时）， ∴提速后从A城到B城的行驶时间减少 （小时）； （2）解：设列车提速前速度是每小时x千米， 则 解得： （舍去）， ， ∴提速后的速度为 ，符合规定. 【解析】【分析】（1）根据题意列出算式求解即可； （2）设列车提速前速度是每小时x千米，根据题意列出方程求解即可。 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式方程（巩固培优） 【人教版2024八年级上册】 目录 【知识要点】 1 题型一 解分式方程 1 题型二、增根问题 2 题型三、整数解的问题 3 题型四 分式方程无解问题 4 题型五 阅读与新定义问题 4 题型六 分式方程实际应用 7 类型一、销售问题 7 类型二、方案问题 10 类型三、工程问题 13 类型四、行程问题 15 【知识要点】 1．分式方程 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的一般步骤 【温馨提示】 1．用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母．但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项． 2．解分式方程可能产生使分式方程无解的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤． 题型一 解分式方程 1．方程的解是 ． 2．解分式方程：． 3．解分式方程：+＝． 4．解分式方程 (1)=0 ； (2). 5．解方程： （1）； （2）． 题型二、增根问题 1.若关于x的分式方程有增根，则m的值为（       ） A．1.5 B．-6 C．1或-2 D．1.5或-6 2.关于x的分式方程：． （1）当m＝3时，求此时方程的根； （2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值． 3.关于x的分式方程有增根，则m的值为（          ） A． B． C．1 D．6 4.若关于x的分式方程有增根，则增根是______． 5.若关于x的方程有增根，则的值为___________． 6．若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______． 题型三、整数解的问题 1．关于x的不等式组有解，且使关于x的分式方程有非负整数解的所有m的值的和是（       ） A．-1 B．2 C．-7 D．0 2.若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（       ） A．4 B．2 C．0 D． 3.若关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数m的和是（       ） A．7 B．10 C．18 D．21 4.若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解．则符合条件的所有整数k的和为（       ） A．3 B．1 C．0 D．6 5.已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 题型四 分式方程无解问题 1．关于x的分式方程无解，则m的值是（　　） A．1 B．0 C．2 D．–2 2.若关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．-2 B．2 C．1 D．-4 3．若关于x的方程无解，则m的值是______． 4．若关于x的分式方程无解，则m的值为__________． 5．已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3 6.如果关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7.若关于x的分式方程无解，则m的值是（       ） A．－1 B．1 C．0 D．0或1 8.已知关于的分式方程无解，则的值为（       ） A． B．或 C． D．或或 9.（拔高题）若分式方程无解，则的值为（   ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 题型五 阅读与新定义问题 1.对于正数，规定．请解答下列问题． （1）计算：； （2）计算：； （3）探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 2．（2023八上·台州竞赛）【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”例如分式，，，，是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，，请直接判断是不是的“关联分式”？ （2）求分式的“关联分式”； （3）【拓展延伸】 观察的结果，直接写出分式的“关联分式”：　 　． 3.阅读理解： 定义：若分式A 和分式B 满足A—B=n(n为正整数)，则称 A 是 B 的“n差分式”. 例如： 我们称 是 的“3差分式”. 解答下列问题： （1）是分式 的“　 　差分式”. （2）已知 是分式 的“2 差分式”. ①C=　 　(用含x 的代数式表示)； ②若 A 的值为正整数，x为正整数，求A的值. （3）已知 是 的“4差分式”(其中x，y为正数)，求x-y 的值. 4.阅读材料：解分式不等式＜0 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：①或② 解①得：无解； 解②得：﹣2＜x＜1 所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1 请仿照上述方法解下列不等式： （1） （2）（x+2）（2x﹣6）＞0． 5.阅读材料，下列关于的方程： 的解为：，； 的解为：，； 的解为：，； 的解为：，； 根据这些材料解决下列问题： （1）方程的解是____________； （2）方程的解是____________； （3）解方程：． 题型六 分式方程实际应用 类型一、销售问题 1．（2024八上·腾冲期末）某公司会计欲查询乙商品的每件进价（如下表），发现进货单已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额 甲 7200 乙 3200 李师傅：我记得甲商品数量比乙商品的数量多50%． 王师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高20元． 请同学们帮该公司求出甲、乙两商品的数量分别是多少件？ 2．为提升青少年的身体素质，弘扬中国传统文化，市教育局在全市中小学推行“趣味体育”活动.某校为满足学生的需求，准备购买一批毽球和空竹，已知毽球的单价是空竹单价的，已知用1350元购买毽球的数量比购买空竹的数量多20个. （1）毽球、空竹的单价各是多少元? （2）若决定用不多于3500元购进毽球和空竹共100个，最多可以购买多少个空竹? 3．自2014年以来，全民阅读连续十年写入政府工作报告，2023年全国教育工作会议进一步提出，要把开展读书活动作为-件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书.某校为了提高学生读书兴趣，为各班购买学生读本《三国演义》和《水浒传》若干，其中《三国演义》的单价比《水浒传》的单价贵10元；用5760元购买《水浒传》的数量是用3480元购买《三国演义》数量的2倍.求： （1）《水浒传》《三国演义》单价分别是多少元? （2）学校准备用不超过10320元的经费，购买这两种书共200本，那么三国演义最多可买多少本? 4．“成都成就梦想”，第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日在成都举行，某特许经销商试销售A，B两类大运会纪念品，若A类纪念品每个进价比B类纪念品每个进价少5元，且用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同． （1）求A，B两类纪念品每个进价分别是多少元？ （2）若该经销商购进A类纪念品数量比B类纪念品数量的3倍还少5个，两类纪念品的总数不超过95个，且B类纪念品的个数多于24个，求该经销商应购进B类纪念品多少个？ 5.根据素材，完成任务. 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9. 素材二 某商店的店内广告牌如右所示.5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根. 1．短管子售价：α元/根，长管子售价：2a元/根. 2、6月1日起，购买3根长管子赠送Ⅰ根短管子. 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求α的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费. 6.某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同． (1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价均为30元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 类型二、方案问题 1．为了贯彻双减要求，丰富校园文化生活，增强班级团队凝聚力，某校八年级今年计划举办一场主题为“缤纷六月，篮出梦想”的首届“校”班际篮球赛．该校计划为班际篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品店经销商沟通，型号篮球的单价比型号的篮球单价多40元，且用1200元购买型号篮球个数与用600元购买型号篮球的个数相等． （1）求型号篮球和型号篮球的单价分别是多少元？ （2）该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案． 方案一：所有商品打9折销售 方案二：买3个型号篮球，免费赠送1个型号篮球（不足3个不赠送）． 若该校需要购买15个型号篮球和（）个型号篮球，则上述两种购买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由． 2．某学生用品超市准备购进，两种类型的文具袋进行销售，若每个型文具袋比每个型文具袋的进价少2元，且用800元购进型文具袋的数量与用1000元购进型文具袋的数量相同． （1）每个型，型文具袋的进价分别是多少元？ （2）设该超市购进型文具袋个． ①若购进型文具袋的数量比型文具袋的数量的3倍少50个，且购进型，型文具袋的总数量不超过910个，该超市最多购进型文具袋多少个？ ②在①的条件下，若型、型文具袋的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的型、型文具袋全部售出后，可使销售两种文具袋的总利润超过3795元，则该超市购进两种文具袋共有 ▲ 种方案． 3．（2024八上·凤山期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？ （3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 4．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为3∶2． 素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张(1≤m<10)兑换券(如图)用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 （1）【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． （2）【探究购买方案】探究购买钢笔和笔记本的数量． （3）【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方式． 5．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素 材 一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与． 素 材 二 某商店的店内广告牌如右所示.5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根 2.6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！ 素 材 三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任 务 一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任 务 二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任 务 三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 类型三、工程问题 1．第19届亚洲运动会于2023年9月23日在杭州开幕，杭州奥体博览城是该届亚运会的主场馆.某工厂承包了主场馆建设中某一零件的生产任务，需要在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件. （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数. （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数. 2．以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元． （1）乙队单独完工需要几个月才能完成任务？ （2）为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？ 3．为稳步推进网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与基站建设工程． （1）已知乙队的工作效率是甲队的倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ （2）当甲队施工天完成基站建设工程的时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前天完成了剩余的工程． ①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ ②若乙队参与该项工程施工的时间不超过天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？ 4.某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程，并派旗下第五、六两个施工队前去修筑，要求在规定时间内完成． （1）已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，第六施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果第五、六施工队先合作20天，剩下的由第五施工队单独施工，则要误期2天完成那么规定时间是多少天？ （2）实际上，在第五、六施工队合作完成这项工程的时，公司又承包了更大的工程，需要调走一个施工队．你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程？ 5.某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用天时间完成整个工程．当一号施工队工作天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程． （1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ （2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？ 类型四、行程问题 1．（2025·福田模拟）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行使费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/干瓦时，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 元． （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 2．供电局的电力维修工人要到30 km远的郊区进行电力抢修．维修工人骑摩托车匀速先从供电局出发，15 min 后，抢修车装载着所需材料出发，沿着与维修工人相同的路线匀速行驶，结果他们同时到达．已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度． 3．（2023八上·遵化期中）一小船由港顺流而下到港需，由港逆流而上到港需.某天早晨6点，该船由港出发驶向港，到达港时，发现船上一救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回，Ih后遇到救生圈. （1）该船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？ （2）救生圈是何时掉入水中的？ 4.（2023·嘉定模拟）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米． （1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值； （2）如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定?请说明理由． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $