专题04 圆周运动模型 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

专题04 圆周运动模型 模型一 圆周运动的动力学 【解题指导】1．对公式v＝ωr的理解 当ω一定时，v与r成正比． 当v一定时，ω与r成反比． 2．对an＝＝ω2r的理解 在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比． 3．常见的传动方式及特点 (1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB. (2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB. (3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比． 【例题精讲】 1．如图所示，某同学利用滚筒洗衣机对洗好的袜子进行脱水，滚筒绕水平转动轴转动，可认为袜子在竖直平面内做匀速圆周运动，滚筒上有很多漏水孔，附着在袜子上的水从漏水孔中被甩出从而达到脱水的目的。已知滚筒半径为R，重力加速度为g，袜子可视为质点，下列说法正确的（　　） A．袜子在最高点A处时脱水效果最好 B．袜子在B、D两处，洗衣机对袜子的摩擦力方向相反 C．袜子在B、D两处，地面对洗衣机的摩擦力方向相反 D．要保证袜子能始终贴着筒壁，滚筒匀速转动的角速度不得小于 【答案】C 【解答】解：A.当衣物做匀速圆周运动时，衣物上的水由于所受合外力不足以提供向心力而做离心运动，在最高点时 在最低点时，可知衣物转动到最低点时水滴更容易被甩出，故A错误； B.做匀速圆周运动，衣服在B、D两处竖直方向合力为零，所以所受摩擦力方向相同，均为竖直向上，洗衣机对袜子的摩擦力方向相同，故B错误； C.袜子在B、D两处，袜子的向心力有内壁的支持力提供，此时地面对洗衣机的摩擦力和袜子受到支持力的的大小相等方向相反，则袜子在B、D两处时，地面对洗衣机的摩擦力方向相反，故C正确； D.为了保证衣物在脱水过程中能做完整的圆周运动始终贴着筒壁，则在最高点由牛顿第二定律得mg＝mω2R 可知滚筒转动的角速度至少为，故D错误。 故选：C。 2．首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点。已知c点所在圆弧雪道的半径为r，a、c两处的高度差为h，h＝3r，运动员可视为质点，忽略一切阻力。则运动员经过c点时对滑雪板的压力为自身所受重力的（　　） A．4倍 B．5倍 C．7倍 D．8倍 【答案】C 【解答】解：设运动员的质量为m，重力加速度为g，则有，h＝3r。 代入数据得 利用牛顿第二定律计算运动员在c点时对滑雪板的压力。在c点，运动员受到重力和滑雪板的支持力，这两个力的合力提供向心力。根据牛顿第二定律F一 其中F是滑雪板对运动员的支持力。将 代入数据得F＝7mg，故ABD错误，C正确。 故选：C。 3．图示为“感受向心力”的小实验。在绳子的一端拴一个小沙袋，另一端握在手中，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于绳对手的拉力。则（　　） A．只减小沙袋的质量，实验者感受到拉力不变 B．只减小沙袋的质量，实验者感受到拉力变大 C．只增大沙袋转动的速度，实验者感受到拉力变小 D．只增大沙袋转动的速度，实验者感受到拉力变大 【答案】D 【解答】解：AB.由向心力公式 知，只减小沙袋的质量m，实验者感受的拉力减小，故AB错误； CD.由向心力公式 知，只增大转动速度v，实验者感受的拉力增大，故C错误，D正确。 故选：D。 4．自行车是一种常见的代步工具，骑自行车出行不仅环保，还兼具健身作用。图为某自行车的传动结构示意图，大齿轮上安装踏板，小齿轮固定在后轮上，两个齿轮通过链条相连。A、B、C分别为两个齿轮及后轮边缘上的点，大齿轮半径为r1、小齿轮半径为r2、后轮半径为r3，已知r1：r2：r3＝2：1：4。则A、B、C三点（　　） A．线速度大小之比为2：1：4 B．线速度大小之比为1：2：4 C．向心加速度大小之比为2：1：4 D．向心加速度大小之比为1：2：8 【答案】D 【解答】解：AB．由题可知，大、小齿轮由链条传动，所以A、B两点线速度大小相等，即v1＝v2 小齿轮与后轮属于同轴转动，所以B、C两点角速度相等，即ω2＝ω3 根据公式v＝ωr 代入数据得v2：v3＝r2：r3＝1：4 则A、B、C三点线速度大小之比为v1：v2：v3＝1：1：4，故AB错误； CD．由公式 代入数据得A、B、C三点向心加速度大小之比为 代入数据得an1：an2：an3＝1：2：8，故C错误，D正确。 故选：D。 5．如图所示，小物块A随圆盘一起做角速度为ω的匀速圆周运动，其圆周运动的半径为r，则小物块A的向心加速度大小为（　　） A．ωr B． C．ω2r D． 【答案】C 【解答】解：小物块A随圆盘一起做角速度为ω的匀速圆周运动，其圆周运动的半径为r， 根据向心加速度公式得小物块A的向心加速度大小为，故ABD错误，C正确。 故选：C。 （多选）6．如图是一皮带传动装置的示意图，右轮半径为r，A是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r。B点在小轮上，到小轮中心的距离为r。C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。如果传动过程中皮带不打滑，那么关于A、B、C、D点，以下说法正确的是（　　） A．线速度之比是1：1：2：4 B．角速度之比是2：1：1：1 C．周期之比是1：1：2：2 D．向心加速度之比是4：1：2：4 【答案】BD 【解答】解：A.由于b、c、d为同轴转动，角速度相同，由v＝ωr 可知vb：vc：vd＝1：2：4 由于c与a线速度相等，代入数据得va：vb：vc：vd＝2：1：2：4，故A错误； B.c与a线速度相等，由 可知ωc：ωa＝1：2由于b、c、d为同轴转动，角速度相同，代入数据得ωa：ωb：ωc：ωd＝2：1：1：1，故B正确； C.根据ω，ωa：ωb：ωc：ωd＝2：1：1：1 代入数据得Ta：Tb：Tc：Td＝1：2：2：2，故C错误； D.根据a 代入数据得aa：ab：ac：ad＝4：1：2：4，故D正确。 故选：BD。 （多选）7．下列关于几种圆周运动实例的说法中，正确的是（　　） A．图甲中小球竖直面内做圆周运动，过最高点的速度至少等于 B．图乙中放在水平转台上的物体随转台一起匀速转动，物体受到的静摩擦力方向始终指向圆心 C．图丙中小球做圆锥摆运动，细绳的拉力与小球重力的合力提供小球运动所需的向心力 D．图丁的圆筒匀速转动的角速度越大，紧贴圆筒壁一起运动的物体a所受摩擦力也越大 【答案】BC 【解答】解：A、图甲中小球竖直面内做圆周运动，当杆对小球的支持力等于小球重力时，小球过最高点的速度为0，故A错误； B、图乙中物体放在水平转台上并随转台一起匀速转动，受到重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力提供向心力，方向始终指向圆心，故B正确； C、图丙中小球做圆锥摆运动，对小球受力分析，受到重力和绳子的拉力，细绳的拉力与小球重力的合力提供小球运动所需的向心力，故C正确； D、物体随圆筒匀速转动，静摩擦力与重力平衡（竖直方向），向心力由弹力提供，故角速度增大时，静摩擦力大小不变，故D错误。 故选：BC。 模型二 水平面的圆周运动 【解题指导】1．向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 2．向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力． 3．几种典型运动模型 运动模型 向心力的来源图示 运动模型 向心力的来源图示 飞机水平转弯 圆锥摆 火车转弯 飞车走壁 汽车在 水平路 面转弯 水平转台 4方法技巧：求解圆周运动问题必须进行的三类分析, 几何分析 目的是确定圆周运动的圆心、半径等 运动分析 目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等 受力分析 目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力 类型1 圆锥摆模型 1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝. 2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和运动所需向心力也越大． 类型2 生活中的圆周运动 一、火车转弯 1.铁路弯道的特点 铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)。 2．汽车转弯特点 (1)水平弯道：由静摩擦力提供向心力，汽车速度最大时，μmg＝，可得vm＝。 (2)增大汽车安全转弯速度的有效方法 ①增大转弯半径。 ②把转弯处设计成外高内低(填“外高内低”或“外低内高”)路面(类似火车转弯)。 二、汽车过拱形桥　航天器中的失重现象 1．汽车过拱形桥和凹形路面 项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力分析 桥或路面对汽车的支持力 G－FN＝m，FN＝G－m FN－G＝m，FN＝G＋m 汽车对桥或路面的压力 FN′＝FN＝G－m<G FN′＝FN＝G＋m>G 处于超重还是失重状态 失重 超重 讨论 v增大，FN′减小；当v增大到时，FN′＝0 v增大，FN′增大 2．航天器中的失重现象 (1)在近地圆形轨道上，航天器(包括卫星、飞船、空间站)的重力提供向心力，满足关系：mg＝m，则v＝。 (2)质量为m′的航天员，受到的座舱的支持力为FN，则m′g－FN＝。 当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态。航天器内的任何物体都处于完全失重状态。 三、离心运动 1．定义：做圆周运动的物体沿切线方向飞出或做逐渐远离圆心的运动。 2．物体做离心运动的原因 提供向心力的合力突然消失，或者合力不足以提供所需的向心力。 3．离心运动、近心运动的判断 物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小关系决定。(如图所示) (1)当F合＝0时，物体沿切线方向做匀速直线运动； (2)当0<F合<mω2r时，“提供”不足，物体做离心运动。 (3)当F合＝mω2r时，“提供”等于“需要”，物体做匀速圆周运动； (4)当F合>mω2r时，“提供”超过“需要”，物体做近心运动。 4．离心运动的应用和防止 (1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机。 (2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能过高；在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度。 【例题精讲】 1．2025年9月，我国在浙江杭州启用了“时空压缩机”，该装置是全球最大容量超重力离心模拟与实验装置，如图甲所示。该装置的离心主机如图乙所示，最大容量为1300g•t（重力加速度•吨），最大可模拟300倍地球重力环境。离心主机的转臂半径约为6.4m，在旋转的过程中，由于惯性，待测实验物体会有一个向外飞出的趋势，对容器壁产生压力，就像放在水平地面上的物体受到重力挤压地面一样，离心机转动越快，模拟的重力加速度越大。根据上面资料结合所学知识，g取10m/s2，下列说法不正确的是（　　） A．离心机容量的单位用基本单位可表示为kg•m/s2 B．在超重力环境下，可缩短沉淀分离一杯混浊泥水所用的时间 C．为达到300倍地球重力环境，该离心机的角速度约为22rad/s D．该离心机的待测实验物体的最大质量为4.3t 【答案】D 【解答】解：A.离心机容量的单位为g•t，其中g的单位是m/s2，吨（t）的单位是kg，所以用国际基本单位表示就是kg•m/s2，故A正确。 B.在超重环境下，泥沙颗粒受到的等效重力远大于正常重力，下沉的加速度也会相应增大，所以沉淀分离一杯混浊泥水所用的时间会显著缩短，故B正确。 C.要达到300倍地球重力环境，即离心加速度a＝300g＝3000m/s2，根据离心加速度公式a＝ω2r，代入半径r＝6.4m，可得，故C正确。 D.题目中提到的容量1300g•t指的是最大等效重力，即m×300g＝1300g×1t，解得的m≈4.3t是等效质量，并非实验物体的真实质量，真实质量在任何加速度下都是不变的，故D错误。 本题选不正确的，故选：D。 2．2025年9月，杭州超重力场启动全球最大的离心机主机。如图为离心机结构的俯视图，质量均为m的模型舱和配重系统通过转臂连接，在水平面内绕竖直转轴以角速度ω做匀速圆周运动。正常转动时，两者重心到转轴的距离均为R，转轴受到的水平作用力为0。若某次实验中，模型舱的重心到转轴的距离增加了d，其余条件不变，则转轴受到的水平作用力大小为（　　） A．mω2R B．mω2d C．mω2（R+d） D．mω2（R﹣d） 【答案】B 【解答】解：若某次实验中，模型舱的重心到转轴的距离增加了d，其余条件不变，以配重系统为对象，水平方向根据牛顿第二定律可得 以模型舱为对象，水平方向根据牛顿第二定律可得 以转臂为对象，可得转轴对转臂的水平作用力大小为F＝F'2﹣F'1，其中， 可得转轴受到的水平作用力大小F＝mω2d，故B正确，ACD错误。 故选：B。 3．如图甲所示，两个完全一样的小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度，a、b与圆盘保持相对静止的过程中所受摩擦力与ω2满足如图乙所示关系，图中f2＝3f1，下列判断错误的是（　　） A．图线（1）对应物体b B．绳长为2l C． D．ω＝ω2时绳上张力大小为 【答案】C 【解答】解：AB.设木块的质量为m，它们与圆盘之间的动摩擦因数为μ，b到圆心的距离为L。两木块随圆盘一起转动，先由静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知，木块a受到的静摩擦力fa＝mω2l 木块b受到的静摩擦力fb＝mω2L 由于图中a距离圆心近，相同的角速度情况下a受到的摩擦力小，所以图线（1）对应物体b，又由于f2＝3f1，则L＝3l，所以绳子的长度：L绳＝L﹣l＝3l﹣l＝2l，故AB正确； C.当滑块a、b保持相对静止时，根据向心力公式F向＝mω2r可知，滑块b所需要的向心力大，即绳子上恰好有拉力时b受到的摩擦力先达到最大，最大值为 f2＝μmg＝mLω12； 当滑块a刚要滑动时设绳子时的拉力为T 对滑块a，根据牛顿第二定律得μmg﹣T＝ml 对滑块b，根据牛顿第二定律得T+μmg＝mL 联立解得绳子拉力T 角速度 ω2，故C错误； D.根据上述C的分析可知，当 ω＝ω2时，绳上张力大小为T＝fa，故D正确。 本体选错误的，故选：C。 4．.如图所示，放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动，三者质量均为m，B与转台、C与转台、A与B间的动摩擦因数均为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．B对A的摩擦力有可能为μmg B．C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力 C．转台的角速度有可能恰好等于 D．若角速度在题干所述基础上缓慢增大，B与桌面间将最先发生相对滑动 【答案】C 【解答】解：AC．对AB整体，根据牛顿第二定律结合摩擦力提供向心力有 2mω2r≤μ×2mg 对物体C，有 mω2（1.5r）≤μmg 对物体A有 mω2r≤μmg 联立解得 即满足不发生相对滑动，转台的角速度 A与B间的静摩擦力最大值 f＝mω2r，解得fμmg 故A错误，C正确； B．由于A与C转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力；A所受摩擦力 fA＝mω2r C所受摩擦力 fC＝1.5mrω2 即C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力，故B错误； D．据A项分析知，当转速增加时，物块C最先达到最大静摩擦力，则最先发生相对滑动的是物块C，故D错误。 故选：C。 5．如图，可以绕着对称轴OO'转动的圆盘水平放置。质量为2m的物体A和质量m物体B分别静止在圆盘对称轴的两侧，A距O点的距离为r，B距O点的距离为2r。已知A、B与圆盘的动摩擦因数分别为μ和3μ，重力加速度大小为g。现让圆盘的角速度ω从0开始缓慢增大，下列说法正确的是（　　） A．B比A先开始滑动 B．当时，A发生滑动 C．在发生滑动之前，A、B所受摩擦力的大小相等 D．当时，B受到的摩擦力大小为3μmg 【答案】C 【解答】解：AB.物体滑动的临界条件是向心力等于最大静摩擦力，对A有，解得，此时A发生滑动；对B有，解得，可知ωA＜ωB，所以A比B先滑动，故AB错误。 C.两物体角速度相同，在发生滑动前，A的摩擦力，B的摩擦力，可知两者摩擦力大小相等，故C正确。 D.角速度等于A的临界角速度，但小于B的临界角速度，所以B仍处于静止状态，摩擦力未达最大值，B的摩擦力，故D错误。 故选：C。 （多选）6．如图所示，水平圆盘绕过圆心O的竖直轴以角速度ω匀速转动，A、B、C三个木块放置在圆盘上面的同一条直径上，已知B的质量为2m，B与圆盘间的动摩擦因数为2μ，A和C的质量均为m，与圆盘间的动摩擦因数均为μ，OA、OB、BC长均为L，开始时，圆盘匀速转动时的角速度ω比较小，随后使圆盘转动的角速度ω不断缓慢增大，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．随着圆盘转动的角速度ω不断增大，木块与圆盘发生相对滑动的顺序依次是C、A、B B．若B、C之间用一根长L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度ω时，轻绳无张力 C．若B、C之间用一根长L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度ω时，B、C均与圆盘发生相对滑动 D．若A、B之间用一根长2L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度ω时，A、B均不能与圆盘保持相对静止 【答案】AC 【解答】解：A、木块B的质量为2m，B与圆盘间动摩擦因数为2μ，B与圆盘之间最大静摩擦力为fB＝2mg×2μ＝4μmg 设B的临界角速度ωB，则有 解得： A与圆盘之间的最大静摩擦力fA＝μmg， 设A的临界角速度ωA，则有 解得： 同理，可得fC＝μmg，C的临界角速度 因为ωC＜ωA＜ωB，所以随着圆盘的角速度逐渐增大，木块打滑的顺序为C、A、B，故A正确； B、若B、C之间用一根长为L的轻绳连接起来，因为C的临界角速度，可知当圆盘转动的角速度ω时，轻绳无张力，故B错误； C、若B、C之间用一根长为L的轻绳连接起来，当圆盘的角速度ω时，B需要的向心力 C所需要的向心力 此时FB+FC5μmg＝fB+fC 即BC刚好达到最大静摩擦力，即当圆盘转动的角速度ω时，B、C均与圆盘发生相对滑动，故C正确； D、若A、B之间用一根长2L的轻绳连接起来，当圆盘的角速度时，A需要的向心力 B所需要的向心力10mg 因为B所需要的向心力较大，假设在轻绳的拉力作用下A有靠近O点的运动趋势，B有远离O点的运动趋势；当A刚要靠近O点时，设此时轻绳的拉力为F，则有：F﹣fA＝FA 解得F＝6μmg 此时对B分析F+fB＝10μmg＝FB′，所以此时AB刚好同时相对圆盘滑动，所以假设成立，即A有靠近O点的运动趋势； 故时，A、B与圆盘保持相对静止，故D错误。 故选：AC。 （多选）7．如图所示，半径足够大的水平圆形转台上放置两物块甲和乙，两物块之间用原长为L的轻质弹簧相连接，物块乙放在转台的圆心处，物块甲用光滑的导槽限制（导槽未画出），使物块甲只能沿转台的半径方向移动，开始弹簧处于原长。现让转台绕过圆心的竖直轴OO′转动，且角速度ω从0开始缓慢地增大，已知物块甲、乙的质量分别为m、2m，两物块与转台间的动摩擦因数均为μ，弹簧的劲度系数k，重力加速度为g，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两物块均可视为质点，物块乙始终没有相对转台滑动。下列说法正确的是（　　） A．角速度为时，物块甲刚要开始相对转台滑动 B．角速度的最大值为 C．角速度为时，物块甲所受的摩擦力大小为 D．角速度为时，弹簧的长度为L 【答案】AD 【解答】解：A、当物块甲与转台间的摩擦力达到最大静摩擦力时，物块甲开始相对转台滑动。由牛顿第二定律得：μmg＝mL，解得：ω1，故A正确； B、当物块乙与转台间的摩擦力达到最大静摩擦力时，转台的角速度最大，此时弹簧的拉力大小为：F＝2μmg 设角速度的最大值为ω2，则有：μmg+F＝mL1 又L1＝L，即：L1＝2L 联立解得：，故B错误； CD、当角速度为ω3时，物块甲的向心力的大小为：F向＝mL2，则弹簧的神长量为：ΔL＝L2﹣L 又：F向＝μmg+kΔL 联立解得：L2L 物块甲所受的摩擦力已经达到最大，即为μmg，故C错误、D正确。 故选：AD。 模型三 竖直平面上的圆周运动 1．两类模型对比 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑) 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 讨论分析 (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大 2．解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程； (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系； (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力． 【例题精讲】 1．如图所示，打夯机通过硬质轻杆带动末端的重锤绕轴O在竖直面内做匀速圆周运动，A点为圆周最低点、B点与O点等高，不计空气阻力。则重锤（　　） A．在B点受重力、弹力和向心力三个力作用 B．在一个周期内所受向心力始终保持不变 C．在A点所受杆的作用力可能等于其重力 D．在B点所受杆的作用力一定大于其重力 【答案】D 【解答】解：A、根据题意分析可知，在B点受重力、弹力作用，两个力的合力提供向心力，向心力并非真正受力，故A错误； B、根据题意分析可知，在一个周期内所受向心力始终保持大小不变，但方向始终指向圆心，一直改变，故B错误； C、根据题意分析可知，因为做匀速圆周运动，合力提供向心力，所以在A点所受杆的作用力一定大于其重力，故C错误； D、根据题意分析可知，在B点所受杆的作用力竖直分力平衡重力，水平分力提供向心力，所以在B点所受杆的作用力一定大于其重力，故D正确。 故选：D。 2．小明想设计一个弹射弹子的游戏，弹射器所在的导轨MN位于竖直平面内，N端位于虚线圆上，O为圆心。游戏要求弹子从MN上的不同点水平弹出后，均能沿同一方向通过O点，已知弹射初速度大小可调节，不计空气阻力。下列导轨MN能满足游戏要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：游戏要求弹子从MN上的不同点水平弹出后，均能沿同一方向通过O点，即速度方向角α相同，设位移偏向角为为θ，水平弹出后，弹子做平抛运动，根据平抛的推论可知tanα＝2tanθ，则要求位移偏向角θ也要相同，即抛出点和O点的连线与水平方向的夹角相同，满足条件的轨道只有C项符合，故C正确，ABD错误。 故选：C。 3．如图甲为青岛海上嘉年华摩天轮，是青岛的地标景观，其简化图如图乙所示。某游客乘坐摩天轮随座舱在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，座位始终保持水平，游客与座位之间的动摩擦因数为μ且始终保持相对静止。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则座舱做圆周运动的速率不能超过（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设座舱做匀速圆周运动的线速度为v，游客质量为m。以游客为研究对象，其做匀速圆周运动的向心加速度大小。 设座舱运动到与竖直方向夹角为θ的位置（以最高点为0°，仅考虑上半圆，因为下半圆支持力大于重力，不易滑动）。 对游客进行受力分析，竖直方向受重力mg和支持力FN，水平方向受静摩擦力f。 将向心加速度分解为水平和竖直分量：水平分加速度ax＝asinθ，竖直分加速度ay＝acosθ（方向向下）。 根据牛顿第二定律：竖直方向：，解得；水平方向：。 游客不发生相对滑动的条件是摩擦力小于等于最大静摩擦力，即f≤μFN。 代入表达式得：整理得： 令辅助角φ满足tanφ＝μ，则，该表达式的最大值为。 为了保证在圆周上任意位置都不发生滑动，必须满足最严苛的条件（即左边取最大值时仍成立）：，解得：。故ACD错误，B正确。 故选：B。 4．如图所示，半径为R的细圆管（管径可忽略）内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则（　　） A．小球在管顶部时速度大小一定为 B．小球运动到管底部时速度大小可能为 C．小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mg D．小球运动到管底部时对管壁的压力一定为7mg 【答案】C 【解答】解：若小球在管顶部时受到管壁的压力，根据牛顿第二定律有，解得；以此速度继续运动，到达管底时，根据动能定理有，解得；在管底对小球，根据牛顿第二定律有，解得F＝7mg。若小球在管顶部时受到管壁的支持力，根据牛顿第二定律有，解得v＝0；小球到达管底时，根据动能定理有，解得；在管底对小球，根据牛顿第二定律有 ，解得F＝5mg。故ABD错误，C正确。 故选：C。 5．如图所示，在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形细管（管道内径极小），一质量为m的小球放置于管内顶端A点，其直径略小于管道内径。现给小球一微小扰动，使之顺时针沿管道下滑。管内的B点与管道的圆心O等高，C点是管道的最低点，若不计一切摩擦，下列说法中正确的是（　　） A．小球不可能回到A点 B．小球对细管的作用力不可能为零 C．从A点运动到C点，小球对细管的作用力一直增大 D．从A点运动到B点，小球对细管的作用力先减小后增大 【答案】D 【解答】解：A、因为不计一切摩擦，小球在运动过程中只有动能和重力势能相互转化，机械能守恒，小球可以回到A点，故A错误； BCD.假设细管对小球的作用力大小为F，小球下落至A到C点的任意位置D，小球与细管圆心的连线与OA连线的夹角为θ，当0≤θ时，即小球从A点运动至B点过程中，根据几何关系可知F+mgcosθ，根据动能定理可知mv2＝mgR（1﹣cosθ），综上可知F＝2mg﹣3mgcosθ，随着θ增大，cosθ逐渐减小，当1≥cosθ时，F为负，方向为沿OD方向，随着θ增大，F大小逐渐减小，当cosθ时，F＝0，此时重力分力恰好提供小球做圆周运动的向心力，当θ＞0时，F为正，方向为沿DO方向随着θ增大，F大小逐渐增大，所以小球从A至B过程中，细管对小球的作用力先减小至0后逐渐增大，故BC错误，D正确。 故选：D。 （多选）6．如图甲所示，轻杆一端与O点相连，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其F﹣v2图像如图乙所示。则（　　） A．小球做圆周运动的半径 B．当地的重力加速度大小 C．v2＝c时，小球受到的弹力方向向上 D．v2＝2b时，小球受到的弹力大小与重力大小相等 【答案】BD 【解答】解：AB、由图乙知，当v2＝0时弹力大小与小球重力等大，即F＝mg＝a 当F＝0时v2＝b，则小球恰好通过最高点，根据牛顿第二定律有 把v2＝b代入，联立解得、 故A错误，B正确； D、当v2＝2b时，由牛顿第二定律有 整理得 联立以上各式可知小球受到的弹力F′大小等于mg，故D正确； C、由图可知当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上；当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2＝c＞b时，杆对小球弹力方向向下，故C错误。 故选：BD。 （多选）7．如图所示，边长为L的正方形平板abcd倾斜固定，其倾角θ＝30°，四分之一圆弧轨道固定在平板上，轨道最高点与板的a点重合，最低点的切线水平。一可视为质点的小球从a点由静止释放，恰好经过平板的c点。重力加速度为g，忽略摩擦力和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球经过c点时的速度大小为 B．小球经过c点时的速度方向与bc边的夹角为30° C．圆弧轨道的半径可能为 D．如果将板直立，再使小球从a点由静止释放，则球仍经过c点 【答案】CD 【解答】解：A.根据机械能守恒定律 mgLsin30° 解得 故A错误； C.设轨道的半径为R，则 mgRsin30° 小球离开圆弧轨道时的速度大小之后做类平抛运动，沿水平方向L﹣R＝vat 沿斜面向下方向L﹣R 整理得或R＝L 故C正确； B.小球经过c点时，水平方向的分速度 沿斜面方向的分速度 所以，α≠30° 故B错误； D.当时，板直立后，小球离开圆弧轨道的速度 离开圆弧轨道到落到cd边的时间 所以x 即仍经过c点，当R＝L时，一定过c点 故D正确。 故选：CD。 模型四 圆周运动和平抛运动的综合运动 【例题精讲】 1．如图所示，BC为半径R＝0.8m的圆弧固定在水平地面上，AB为水平轨道，两轨道在B处相切连接；AB轨道上的滑块P通过不可伸长的轻绳与套在竖直光滑细杆的滑块Q连接；P、Q均可视为质点且圆弧轨道C点与竖直杆间距离足够远，开始时，P在A处，Q在与A同一水平面上的E处，且绳子刚好伸直处于水平，固定的小滑轮在D处，DE＝0.35m，现把Q从静止释放，当下落h＝0.35m时，P恰好到达圆弧轨道的B点，且刚好对B无压力，并且此时绳子突然断开，取g＝10m/s2，则（　　） A．此时滑块P的速度为 B．此后滑块P可以沿圆弧BC下滑一段距离 C．此时滑块Q的速度为2m/s D．滑块P、Q落地的时间差为0.3s 【答案】D 【解答】解：A.当滑块P到达B点时，对轨道的压力为零，说明此时重力完全提供向心力，有，解得滑块P的速度，故A错误。 B.滑块P在B点的速度恰好等于沿圆弧BC下滑的临界速度，这意味着它在B点对轨道的压力为零，无法获得轨道的支持力来维持圆周运动，会立即离开轨道做平抛运动，不能沿圆弧BC下滑一段距离，故B错误。 C.当Q下落0.35m时，绳子与水平方向的夹角为45°，如图所示： 此时滑块Q的速度沿绳子方向的分量与滑块P的速度大小相等，即vP＝vQcos45°，可得滑块Q的速度vQm/s＝4m/s，故C错误。 D.绳子断开后，滑块P从B点做平抛运动，下落高度为R＝0.8m，由，可得；滑块Q此时速度为vQ＝2m/s，继续下落h＝0.35m，由，解得tQ＝0.1s。两者落地时间差为Δt＝tP﹣tQ＝0.4s﹣0.1s＝0.3s，故D正确。 故选：D。 2．图甲是杂技“荡空飞旋”表演。某同学用图乙装置模拟演员的飞旋和落地过程，在竖直细轴的顶端用长为L的细线系着质量为m的小球，竖直轴带着小球在水平面内做圆周运动，缓慢增大角速度ω，在小球离地高为h、速度为v时烧断细线，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球落地点到杆的距离为 B．从烧断细线到落地，小球位移为 C．烧断细线前，小球的向心力与ω2成正比 D．烧断细线前，细线对小球的拉力与ω2成正比 【答案】D 【解答】解：A、烧断细线后，小球做平抛运动，竖直方向有，水平方向有x＝vt 联立解得 设小球做圆周运动时绳子与竖直方向的角度为θ，则圆周运动的半径为R＝Lsinθ 则小球落地点到杆的距离 联立解得，故A错误； B、从烧断细线到落地，小球位移为 联立解得，故B错误； C、烧断细线前，小球做圆周运动，根据牛顿第二定律，有，可见向心力大小与角速度和绳子与竖直方向的夹角有关，故C错误； D、对小球分析，根据牛顿第二定律有Fsinθ＝mω2Lsinθ 即F＝mω2L 可见烧断细线前，细线对小球的拉力与ω2成正比，故D正确。 故选：D。 3．图甲是杂技“荡空飞旋”表演。某同学用图乙装置模拟演员的飞旋和落地过程，在竖直细轴的顶端用长为L的细线系着质量为m的小球，竖直轴带着小球在水平面内做圆周运动，缓慢增大角速度ω，在小球离地高为h、速度为v时烧断细线，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球落地点到杆的距离为v B．从烧断细线到落地，小球位移为v C．烧断细线前，小球的向心力与ω2成正比 D．烧断细线前，细线对小球拉力与ω2成正比 【答案】D 【解答】解：A、烧断细线后，小球做平抛运动，竖直方向有，水平方向有x＝vt 联立解得 设小球做圆周运动时绳子与竖直方向的角度为θ，则圆周运动的半径为R＝Lsinθ 则小球落地点到杆的距离 联立解得，故A错误； B、从烧断细线到落地，小球位移为 联立解得，故B错误； C、烧断细线前，小球做圆周运动，根据牛顿第二定律，有，可见向心力大小与角速度和绳子与竖直方向的夹角有关，故C错误； D、对小球分析，根据牛顿第二定律有Fsinθ＝mω2Lsinθ 即F＝mω2L 可见烧断细线前，细线对小球的拉力与ω2成正比，故D正确。 故选：D。 4．如图所示，离地高度H＝2m的O1处固定匀速转动的一电机，电机通过一根长度L＝1m的不可伸长的轻绳使小球在水平面内做以O2为圆心的匀速圆周运动，此时α＝37°，某时刻，绳子和小球的连接处突然断开，小球最终落在O3所在的水平地面上。O1O2O3的连线垂直地面，不计空气对小球运动的影响，小球可视为质点且落地后即静止。则（　　） A．小球下落的时间为 B．小球的落点到O3的距离为1.2m C．若增大H，落点到O3的距离先增大后减小 D．若增大L，落点到O3的距离先增大后减小 【答案】B 【解答】解：A、绳断裂前小球的圆周运动半径可表示为r＝Lsinα，代入数据得r＝0.6m，其离地高度为h＝H﹣Lcosα，计算得h＝1.2m。小球做自由落体运动，由，解得下落时间为，故A错误； B、绳断前瞬间，小球做圆周运动，由牛顿第二定律，可解得平抛运动的初速度。小球做平抛运动的水平位移x＝vt，计算得。落点与点O3的距离d等于圆周半径r与水平位移x的矢量合成大小，即，代入数据解得d＝1.2m，故B正确； C、落点距离表达式可整理为。若增加悬点高度H，则由表达式可知d将随之增大，故C错误； D、若增大绳长L，则圆周半径r增大。将d的表达式视为关于r的二次函数，其对称轴位于r＝Htanα＝1.5m。在题目设定的运动范围内，始终满足r＜1.5m，故在该区间内d随r增大而增大，即随L增大而增大，故D错误。 故选：B。 5．如图是《秧BOT》节目中机器人表演转手绢的简化图。手绢绕中心点O在半径为R的竖直面内以角速度ω匀速转动，手绢上有可视为质点的M、N两装饰物，圆心O和M、N三点共线，且M是ON连线的中点。当N装饰物运动至最低位置时，两装饰物同时脱落。通过调节圆心O离地的高度H，发现两装饰物落到水平地面上同一点P。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．若仅把角速度ω减半，两装饰物一定落到O’P的中点处 B．若仅把高度H加倍，两装饰物落地点的水平位移也加倍 C．若增大角速度ω和减小高度H，两装饰物可能都落到P点 D．若同时增大角速度ω和高度H，两装饰物可能落到P右侧的同一点 【答案】A 【解答】解：A.两装饰物从脱落至落地，二者做平抛运动，若仅将角速度减半，由v＝ωr可知，平抛的水平速度减半，而竖直下降的高度不变，则运动时间不变，所以水平方向位移减半，装饰物落到O’P的中点处，故A正确； B.若仅把高度H加倍，对M，高度由HR变为2H，对N，高度由H﹣R变为2H﹣R，由匀变速直线运动规律可知，下落时间不是二倍关系，所以水平位移不会加倍，故B错误； CD.两装饰物做圆周运动，由v＝ωr可知，vMvN，从脱落至落地，二者做平抛运动，设P点到O′的距离为x， 对M有：，x＝vMt1，对N有：，x＝vNt2，代入数据可得：H，即只有H时，两装饰物才能落到同一地点，也就是P点，故CD错误； 故选：A。 （多选）6．如图所示，半径分别为R和2R的甲、乙两薄圆盘固定在同一转轴上，距地面的高度分别为2h和h，两物块a、b分别置于圆盘边缘，a、b与圆盘间的动摩擦因数μ相等，转轴从静止开始缓慢加速转动（不考虑切向加速度），观察发现，a离开盘甲后未与圆盘乙发生碰撞，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　） A．离开圆盘前，a所受的摩擦力方向与速度方向相反 B．a未与圆盘乙发生碰撞，μ应大于 C．离开圆盘落地时，a、b运动的水平位移大小相等 D．离开圆盘落地时，a、b到转轴的距离相等 【答案】BC 【解答】解：A.离开圆盘前，a所受的摩擦力方向指向圆心与速度方向垂直，故A错误； B.a恰好离开盘甲时有 a离开盘甲后做平抛运动，有，x＝vt 则a离开盘甲后未与圆盘乙发生碰撞，有R2+x2＞（2R）2 代入数据得，故B正确； C.a离开圆盘落地时，有 a离开盘甲后做平抛运动，有，x1＝v1t1， 则a运动的水平位移为x1＝2；b离开圆盘落地时μmg＝m b离开盘甲后做平抛运动，有，x2＝v2t2 则b运动的水平位移为x2＝2所以离开圆盘落地时，a、b运动的水平位移相等，故C正确； D.离开圆盘落地时，a、b到转轴的距离为，所以离开圆盘落地时，a、b到转轴的距离不相等，故D错误。 故选：BC。 （多选）7．如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、R1和R2为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若h1＝h2，则v1：v2＝R2：R1 B．若v1＝v2，则 C．若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同 D．若h1＝h2，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则ω1＝ω2 【答案】BD 【解答】解：AB、若h1＝h2，根据竖直方向上自由落体的运动特点可知，水的运动时间相等，根据平抛运动规律有 R＝vt 解得： 可知若h1＝h2，则 v1：v2＝R1：R2 若v1＝v2，则 ，故A错误，B正确； C、若ω1＝ω2，根据T可知，喷水嘴各转动一周的时间相同，因v1＝v2，出水口的截面积相同，根据Q＝Sv可知，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较小，可知得到的水量较多，故C错误； D．若h1＝h2，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同的话，应该这样解释：设每浇一个花盆经历时间t，出水口截面积为S，喷嘴转过的角度为θ，转动的角速度为ω，水柱扫过的弧长为l，则：出水量V＝Svt，根据A选项的解析，若h1＝h2，则v1：v2＝R1：R2。所以要保证落入每个花盆的水量（V）相同的话，必有ω1＝ω2。故D正确； 故选：BD。 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．如图所示，对下列插图描述正确的是（　　） A．图甲的路牌所标的“100”为车辆通行的平均速度 B．图乙可推出所有形状规则的物体重心均在其几何中心处 C．图丙中电梯向上启动时体重计的读数变小 D．丁图中，当火车转弯低于规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用 【答案】D 【解答】解：A.图甲的路牌所标的“100”为车辆通行的瞬时速度，不超过100km/h，故A错误； B.由图乙可推出所有形状规则且质量分布均匀的物体重心均在其几何中心处，故B错误； C.图丙中电梯向上启动时有向上的加速度，处于超重状态，体重计的读数变大，故C错误； D.丁图中，当火车转弯低于规定速度行驶时，重力和支持力的合力大于火车转弯需要的向心力，则内轨对内轮缘会有挤压作用抵消多余的部分，故D正确。 故选：D。 2．如图，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有相对滑动．C在AO1上，且C是AO1的中点，则B、C两点的角速度、线速度大小之比关系正确的是（　　） A．ωB：ωC＝1：2，vB：vC＝2：1 B．ωB：ωC＝2：1，vB：vC＝2：1 C．ωB：ωC＝1：2，vB：vC＝1：2 D．ωB：ωC＝2：1，vB：vC＝1：2 【答案】B 【解答】解：依据A、B两点线速度相等，A、C两点角速度相等，且v＝ωR结合半径关系知rA＝2rB，rB＝rC，可以计算得出ωB：ωC＝2：1，vB：vC＝2：1，故ACD错误，B正确。 故选：B。 3．如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，说法正确的是（　　） A．汽车通过凸形桥的最高点时，处于失重状态 B．铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，是利用轮缘与外轨的侧压力帮火车转弯 C．杂技演员表演“水流星”，当它通过最高点时处于完全失重状态，不受重力作用 D．脱水筒的原理是水滴受到的离心力大于受到的向心力，从而沿切线方向被甩出 【答案】A 【解答】解：A．汽车通过最高点时合外力提供向心力，加速度方向竖直向下，则汽车处于失重状态。故A正确； B．铁路的转弯处，外轨比内轨高是利用火车自身重力和垂直轨道向上的支持力的合力提供火车转弯所需的向心力，从而减少对轨道的侧向压力。故B错误； C．“水流星”在最高点时的加速度可能大于也可能等于重力加速度，不一定处于完全失重状态，且“水流星”始终受到重力作用。故C错误； D．脱水筒的原理是当转速逐渐增加时水滴受到的合外力不足以提供做圆周运动的向心力，水滴做离心运动。离心力和向心力是效果力，不能说物体受到离心力、向心力。且只有当指向圆心的合外力为0时，水滴才会沿切线方向甩出。故D错误。 故选：A。 4．如图所示，用光电门传感器和力传感器研究小球经过拱桥最高点时对桥面压力FN的大小与小球速度的关系。若光电门测得小球的挡光时间为t，多次实验，小球均未脱离桥面，则t越短，则（　　） A．FN越小，且小于小球所受的重力 B．FN越大，且大于小球所受的重力 C．FN越小，且大于小球所受的重力 D．FN越大，且小于小球所受的重力 【答案】A 【解答】解：小球经过拱桥最高点时，根据牛顿第二定律，有 则有 则可知，当t越短，说明小球通过最高点的速度越大，则FN越小，且小于小球重力，故A正确，BCD错误。 故选：A。 5．某款自行车的链条传动装置，如图所示。在左、右两轮盘边缘P、Q两点的线速度分别为vP、vQ，角速度分别为ωP、ωQ，则（　　） A．ωP＞ωQ B．ωP＜ωQ C．vP＞vQ D．vP＜vQ 【答案】A 【解答】解：CD、因P、Q两点属于链条转动，故P、Q两点的线速度是相等，即vP＝vQ，故CD错误； AB、根据v＝ωr，由图可知Q点的半径比P点的大，则ωP＞ωQ，故A正确，B错误。 故选：A。 6．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点。当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球的运动下列说法正确的是（　　） A．小球过最高点时的最小速度为零 B．小球过最高点时最小速度为 C．小球开始运动时绳对小球的拉力为 D．小球运动到与圆心等高处时向心力由细绳的拉力提供 【答案】D 【解答】解：AB.根据得，小球通过最高点的最小速度，故AB错误； C.在最低点，根据牛顿第二定律得，T﹣mg， 解得绳子对小球的拉力故C错误； D.在与圆心等高处，小球做圆周运动的向心力由绳子拉力提供，故D正确。 故选：D。 7．如图为一双齿轮传动系统，大、小齿轮的半径之比为2：1，传动时齿轮不打滑，则下列结论正确的是（　　） A．大小齿轮转动的角速度之比为1：1 B．大小齿轮边沿的线速度之比为2：1 C．大小齿轮转动的周期之比为1：2 D．大小齿轮边沿的向心加速度之比为1：2 【答案】D 【解答】解：B.因为是齿轮传动，大、小齿轮边缘上的点转动的线速度之比为v1：v2＝1：1，故B错误； A.由v＝ωr可得，大、小齿轮转动的角速度之比为ω1：ω2＝r2：r1＝1：2，故A错误； C.由，可得T1：T2＝ω2：ω1＝r1：r2＝2：1，故C错误； D.由可得，大、小齿轮边缘上的点的向心加速度之比为a1：a2＝r2：r1＝1：2，故D正确。 故选：D。 8．如图所示，拱形桥半径为r。一质量为m的汽车以速度v通过拱形桥最高点时，汽车对拱形桥的压力大小为（　　） A．mg B． C． D． 【答案】D 【解答】解：汽车在拱形桥最高点时，受到重力和支持力，根据牛顿第二定律 可得 根据牛顿第三定律可知，汽车对拱形桥的压力大小为 故ABC错误，D正确。 故选：D。 二．多选题（共11小题） （多选）9．如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．图a，汽车通过拱桥的最高点时处于失重状态 B．图b，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对轮缘有侧向挤压作用 C．图c，材质相同的A、B两物体相对转台静止，一起绕竖直中心轴匀速转动，若旋转半径RA＝2RB，质量mB＝2mA，则A、B两物体受到的摩擦力fA＜fB D．图d是一圆锥摆，增加绳长，保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度保持不变 【答案】AD 【解答】解：A．汽车通过拱桥的最高点时，向心加速度竖直向下，处于失重状态，故A正确； B．火车转弯按照规定速度行驶时，重力与支持力的合力提供向心力，超过规定速度时，外轨对轮缘有侧向挤压作用，故B错误； C．物体受到的摩擦力提供向心力，根据f＝mω2R 若旋转半径RA＝2RB，质量mB＝2mA 代入数据得fA＝fB，则A、B两物体受到的摩擦力相等，故C错误； D．对摆球，竖直方向合力为零mg＝Tcosθ 水平方向，结合牛顿第二定律Tsinθ＝mω2R 根据几何关系 代入数据得，所以增加绳长，保持圆锥的高度不变，圆锥摆的角速度保持不变，故D正确。 故选：AD。 （多选）10．如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为如图乙所示的模型。B、A是转动的大、小齿轮边缘的两点，C是大齿轮上的一点。若大齿轮半径是小齿轮半径的两倍，两齿轮中心到A、C两点的距离相等，则A、B、C三点（　　） A．线速度大小之比是2：2：1 B．角速度之比是2：1：1 C．转速之比是2：2：1 D．转动周期之比是2：1：1 【答案】AB 【解答】解：AB．B、A是转动的大、小齿轮边缘的两点所以线速度相同，根据v＝ωr、 代入数据得ωA＝2ωB 由于B、C两点都在大齿轮上所以角速度相同，根据v＝ωr，rB＝2rC 代入数据得vB＝2vC 则A、B、C三点线速度大小之比为vA：vB：vC＝2：2：1 则A、B、C三点角速度之比为ωA：ωB：ωC＝2：1：1，故AB正确。 C．根据ω＝2πn A、B、C三点转速之比为nA：nB：nC＝ωA：ωB：ωC＝2：1：1，故C错误； D．根据 A、B、C三点周期之比为TA：TB：TC＝1：2：2，故D错误。 故选：AB。 （多选）11．如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，说法正确的是（　　） A．图甲中汽车减速通过凹形桥最低点，此时汽车处于失重状态 B．图乙中汽车转弯时发生侧滑，此时汽车所需要的向心力小于地面提供的合外力 C．图丙中杂技演员表演“水流星”，匀速转动通过最低点时水对桶底压力最大 D．图丁中脱水筒甩出的水滴在做离心运动 【答案】CD 【解答】解：A.汽车通过凹形桥的最低点时，根据牛顿第二定律得，可知N＞mg，汽车处于超重状态，故A错误； B.图乙中汽车转弯时发生侧滑是离心运动，此时汽车所需要的向心力大于地面提供的合外力，故B错误； C.“水流星”匀速转动过程中，在最高点处，有N1+mg＝m，在最低点处，有N2﹣mg＝m，所以N2＞N1，结合牛顿第三定律可知在最高点处水对桶底的压力小于其在最低点处水对桶底的压力，故C正确； D.洗衣机脱水筒的原理是水滴受到的合力小于它所需要的向心力，水滴做离心运动，达到脱水的目的，故D正确。 故选：CD。 三．解答题（共5小题） 12．汽车通过转弯路口时从安全角度要控制速度大小，如图所示为一水平路面的转弯路口，两段直线路面和圆弧路面相切，汽车沿路面中间线运动，在A点开始刹车做匀减速直线运动，到B点后沿中间线匀速通过圆弧路面。已知圆弧路面中间线轨道半径r＝45m，汽车在A点时的速度为vA＝25m/s，直线路面AB长s＝50m，在圆弧路面所受最大径向摩擦力是车重的0.5倍，g取10m/s2。求： （1）汽车在圆弧路面中间线上运动的最大速度v的大小； （2）为在BC端不发生侧滑，汽车在直线路面AB上做匀减速运动的最小加速度a的大小。 【答案】（1）汽车在圆弧路面中间线上运动的最大速度v的大小是15m/s； （2）为在BC端不发生侧滑，汽车在直线路面AB上做匀减速运动的最小加速度a的大小是4m/s2。 【解答】解：（1）在圆弧路面做圆周运动时，汽车受力摩擦力提供向心力，已知最大摩擦力为摩擦力为车重的0.5倍，即F＝0.5mg 由向心力公式 代入数据得v＝15m/s （2）汽车在AB段做匀减速直线运动，初速度vA＝25m/s，末速度为圆弧最大速度 v＝15m/s，位移L＝50m，由匀变速直线运动公式 代入数据得a＝4m/s2 答：（1）汽车在圆弧路面中间线上运动的最大速度v的大小是15m/s； （2）为在BC端不发生侧滑，汽车在直线路面AB上做匀减速运动的最小加速度a的大小是4m/s2。 13．如图所示，一个质量为m的小球用长为L的轻质细绳悬挂在固定点P，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向的夹角为θ。忽略空气阻力，重力加速度为g。 （1）求小球做圆周运动的角速度ω； （2）若细绳能承受的最大张力为T＝2mg，求小球做匀速圆周运动的最大角速度以及此时细绳与竖直方向的夹角。 【答案】（1）小球做圆周运动的角速度是； （2）若细绳能承受的最大张力为T＝2mg，小球做匀速圆周运动的最大角速度是，此时细绳与竖直方向的夹角是60°。 【解答】解：（1）对小球进行受力分析如图所示 根据受力分析，可得mgtanθ＝mω2Lsinθ 代入数据得ω， （2）设当细绳能承受的最大张力为 T＝2mg，此时细绳与竖直方向的夹角为α 根据受力分析，可得Tcosα＝mg， 代入数据得，α＝60° 答：（1）小球做圆周运动的角速度是； （2）若细绳能承受的最大张力为T＝2mg，小球做匀速圆周运动的最大角速度是，此时细绳与竖直方向的夹角是60°。 14．如图，竖直面内固定的BCDE轨道由光滑圆弧轨道BCD和水平粗糙轨道DE组成，圆弧轨道BCD的圆心为O，圆弧轨道最高点B与圆心O的连线与水平方向的夹角为θ＝37°，C点为轨道上与圆心等高点，D点为圆弧轨道的最低点。现有质量m＝1kg的小球从空中的A点以初速度v0＝3m/s向左水平抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道。已知小球在D点的速度大小为，圆弧轨道半径为R＝1m，重力加速度g取10m/s2。sinθ＝0.6。求： （1）小球在B点的速度大小； （2）A、B两点的水平距离； （3）小球运动到D点时对圆弧轨道的压力大小。 【答案】（1）小球在B点的速度大小是5m/s； （2）A、B两点的水平距离是1.2m； （3）小球运动到D点时对圆弧轨道的压力大小是67N。 【解答】解：（1）小球在B点，水平方向上有xAB＝v0t 小球恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，则有， 代入数据得t＝0.4s，xAB＝1.2m，vB＝5m/s （2）根据以上分析可知xAB＝1.2m （3）在D点，根据牛顿第二定律有 根据牛顿第三定律有N2＝N1 代入数据得N2＝67N 答：（1）小球在B点的速度大小是5m/s； （2）A、B两点的水平距离是1.2m； （3）小球运动到D点时对圆弧轨道的压力大小是67N。 15．如图所示，质量m＝1kg的小球（可视作质点）在长为L＝0.2m的细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力Tmax＝90N，转轴离地高度h＝1m，不计阻力，g＝10m/s2。 （1）若小球通过最高点时的速度v＝2m/s2，求此时小球对绳的拉力大小； （2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求小球落地时的速度。 【答案】（1）若小球通过最高点时的速度v＝2m/s2，求此时小球对绳的拉力大小是10N； （2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求小球落地时的速度是m/s，方向与水平方向夹角为45°。 【解答】解：（1）根据牛顿第二定律，在最高点有 代入数据得F＝10N 又由牛顿第三定律得小球对绳的拉力大小F2＝F＝10N； （2）小球运动到最低点时细绳恰好被拉断，则绳的拉力大小恰好为Tmax＝90N 设此时小球的速度大小为V1，小球在最低点时由牛顿第二定律有 绳拉断后小球做平抛运动，在竖直方向上，vy＝gt 小球落地时的速度 代入数据得（ 又 代入数据得θ＝45°方向与水平方向夹角为45°。 答：（1）若小球通过最高点时的速度v＝2m/s2，求此时小球对绳的拉力大小是10N； （2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求小球落地时的速度是m/s，方向与水平方向夹角为45°。 16．如图所示，一个半径为R＝2m的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2。当小球逆时针滑动经过环的最高点时： （1）若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率； （2）若此刻环对小球的摩擦力大小为0.6mg，求此刻环对小球的作用力大小； （3）若此刻环对小球的摩擦力大小为0.6mg，求此刻小球的速率。 【答案】（1）若此刻环对小球的摩擦力为零，此刻小球的速率为m/s； （2）若此刻环对小球的摩擦力大小为0.6mg，此刻环对小球的作用力大小为mg； （3）若此刻环对小球的摩擦力大小为0.6mg，此刻小球的速率为2m/s或者是6m/s。 【解答】解：（1）环对小球的摩擦力 f＝0 时，环对小球的弹力N＝0，则有 代入数据得小球速率 （2）滑动摩擦力f＝μN，将 f＝0.6mg、μ＝0.75 当支持力方向向下时mg+N＝m 代入得环对小球的弹力 当支持力方向向上时mg﹣N＝m 代入得环对小球的弹力 弹力方向与摩擦力方向垂直，由力的合成可知环对小球的作用力大小 （3）由（2）可知，环对小球的弹力 N＝0.6mg当环对小球的弹力方向向上时，有 代入数据得小球的速率v1＝2m/s，当环对小球的弹力方向向下时，有 解得小球的速率v2＝6m/s 答：（1）若此刻环对小球的摩擦力为零，此刻小球的速率为m/s； （2）若此刻环对小球的摩擦力大小为0.6mg，此刻环对小球的作用力大小为mg； （3）若此刻环对小球的摩擦力大小为0.6mg，此刻小球的速率为2m/s或者是6m/s。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆周运动模型 模型一 圆周运动的动力学 【解题指导】1．对公式v＝ωr的理解 当ω一定时，v与r成正比． 当v一定时，ω与r成反比． 2．对an＝＝ω2r的理解 在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比． 3．常见的传动方式及特点 (1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB. (2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB. (3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比． 【例题精讲】 1．如图所示，某同学利用滚筒洗衣机对洗好的袜子进行脱水，滚筒绕水平转动轴转动，可认为袜子在竖直平面内做匀速圆周运动，滚筒上有很多漏水孔，附着在袜子上的水从漏水孔中被甩出从而达到脱水的目的。已知滚筒半径为R，重力加速度为g，袜子可视为质点，下列说法正确的（　　） A．袜子在最高点A处时脱水效果最好 B．袜子在B、D两处，洗衣机对袜子的摩擦力方向相反 C．袜子在B、D两处，地面对洗衣机的摩擦力方向相反 D．要保证袜子能始终贴着筒壁，滚筒匀速转动的角速度不得小于 2．首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点。已知c点所在圆弧雪道的半径为r，a、c两处的高度差为h，h＝3r，运动员可视为质点，忽略一切阻力。则运动员经过c点时对滑雪板的压力为自身所受重力的（　　） A．4倍 B．5倍 C．7倍 D．8倍 3．图示为“感受向心力”的小实验。在绳子的一端拴一个小沙袋，另一端握在手中，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于绳对手的拉力。则（　　） A．只减小沙袋的质量，实验者感受到拉力不变 B．只减小沙袋的质量，实验者感受到拉力变大 C．只增大沙袋转动的速度，实验者感受到拉力变小 D．只增大沙袋转动的速度，实验者感受到拉力变大 4．自行车是一种常见的代步工具，骑自行车出行不仅环保，还兼具健身作用。图为某自行车的传动结构示意图，大齿轮上安装踏板，小齿轮固定在后轮上，两个齿轮通过链条相连。A、B、C分别为两个齿轮及后轮边缘上的点，大齿轮半径为r1、小齿轮半径为r2、后轮半径为r3，已知r1：r2：r3＝2：1：4。则A、B、C三点（　　） A．线速度大小之比为2：1：4 B．线速度大小之比为1：2：4 C．向心加速度大小之比为2：1：4 D．向心加速度大小之比为1：2：8 5．如图所示，小物块A随圆盘一起做角速度为ω的匀速圆周运动，其圆周运动的半径为r，则小物块A的向心加速度大小为（　　） A．ωr B． C．ω2r D． （多选）6．如图是一皮带传动装置的示意图，右轮半径为r，A是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r。B点在小轮上，到小轮中心的距离为r。C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。如果传动过程中皮带不打滑，那么关于A、B、C、D点，以下说法正确的是（　　） A．线速度之比是1：1：2：4 B．角速度之比是2：1：1：1 C．周期之比是1：1：2：2 D．向心加速度之比是4：1：2：4 （多选）7．下列关于几种圆周运动实例的说法中，正确的是（　　） A．图甲中小球竖直面内做圆周运动，过最高点的速度至少等于 B．图乙中放在水平转台上的物体随转台一起匀速转动，物体受到的静摩擦力方向始终指向圆心 C．图丙中小球做圆锥摆运动，细绳的拉力与小球重力的合力提供小球运动所需的向心力 D．图丁的圆筒匀速转动的角速度越大，紧贴圆筒壁一起运动的物体a所受摩擦力也越大 模型二 水平面的圆周运动 【解题指导】1．向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 2．向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力． 3．几种典型运动模型 运动模型 向心力的来源图示 运动模型 向心力的来源图示 飞机水平转弯 圆锥摆 火车转弯 飞车走壁 汽车在 水平路 面转弯 水平转台 4方法技巧：求解圆周运动问题必须进行的三类分析, 几何分析 目的是确定圆周运动的圆心、半径等 运动分析 目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等 受力分析 目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力 类型1 圆锥摆模型 1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝. 2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和运动所需向心力也越大． 类型2 生活中的圆周运动 一、火车转弯 1.铁路弯道的特点 铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)。 2．汽车转弯特点 (1)水平弯道：由静摩擦力提供向心力，汽车速度最大时，μmg＝，可得vm＝。 (2)增大汽车安全转弯速度的有效方法 ①增大转弯半径。 ②把转弯处设计成外高内低(填“外高内低”或“外低内高”)路面(类似火车转弯)。 二、汽车过拱形桥　航天器中的失重现象 1．汽车过拱形桥和凹形路面 项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力分析 桥或路面对汽车的支持力 G－FN＝m，FN＝G－m FN－G＝m，FN＝G＋m 汽车对桥或路面的压力 FN′＝FN＝G－m<G FN′＝FN＝G＋m>G 处于超重还是失重状态 失重 超重 讨论 v增大，FN′减小；当v增大到时，FN′＝0 v增大，FN′增大 2．航天器中的失重现象 (1)在近地圆形轨道上，航天器(包括卫星、飞船、空间站)的重力提供向心力，满足关系：mg＝m，则v＝。 (2)质量为m′的航天员，受到的座舱的支持力为FN，则m′g－FN＝。 当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态。航天器内的任何物体都处于完全失重状态。 三、离心运动 1．定义：做圆周运动的物体沿切线方向飞出或做逐渐远离圆心的运动。 2．物体做离心运动的原因 提供向心力的合力突然消失，或者合力不足以提供所需的向心力。 3．离心运动、近心运动的判断 物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小关系决定。(如图所示) (1)当F合＝0时，物体沿切线方向做匀速直线运动； (2)当0<F合<mω2r时，“提供”不足，物体做离心运动。 (3)当F合＝mω2r时，“提供”等于“需要”，物体做匀速圆周运动； (4)当F合>mω2r时，“提供”超过“需要”，物体做近心运动。 4．离心运动的应用和防止 (1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机。 (2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能过高；在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度。 【例题精讲】 1．2025年9月，我国在浙江杭州启用了“时空压缩机”，该装置是全球最大容量超重力离心模拟与实验装置，如图甲所示。该装置的离心主机如图乙所示，最大容量为1300g•t（重力加速度•吨），最大可模拟300倍地球重力环境。离心主机的转臂半径约为6.4m，在旋转的过程中，由于惯性，待测实验物体会有一个向外飞出的趋势，对容器壁产生压力，就像放在水平地面上的物体受到重力挤压地面一样，离心机转动越快，模拟的重力加速度越大。根据上面资料结合所学知识，g取10m/s2，下列说法不正确的是（　　） A．离心机容量的单位用基本单位可表示为kg•m/s2 B．在超重力环境下，可缩短沉淀分离一杯混浊泥水所用的时间 C．为达到300倍地球重力环境，该离心机的角速度约为22rad/s D．该离心机的待测实验物体的最大质量为4.3t 2．2025年9月，杭州超重力场启动全球最大的离心机主机。如图为离心机结构的俯视图，质量均为m的模型舱和配重系统通过转臂连接，在水平面内绕竖直转轴以角速度ω做匀速圆周运动。正常转动时，两者重心到转轴的距离均为R，转轴受到的水平作用力为0。若某次实验中，模型舱的重心到转轴的距离增加了d，其余条件不变，则转轴受到的水平作用力大小为（　　） A．mω2R B．mω2d C．mω2（R+d） D．mω2（R﹣d） 3．如图甲所示，两个完全一样的小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度，a、b与圆盘保持相对静止的过程中所受摩擦力与ω2满足如图乙所示关系，图中f2＝3f1，下列判断错误的是（　　） A．图线（1）对应物体b B．绳长为2l C． D．ω＝ω2时绳上张力大小为 4．.如图所示，放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动，三者质量均为m，B与转台、C与转台、A与B间的动摩擦因数均为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．B对A的摩擦力有可能为μmg B．C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力 C．转台的角速度有可能恰好等于 D．若角速度在题干所述基础上缓慢增大，B与桌面间将最先发生相对滑动 5．如图，可以绕着对称轴OO'转动的圆盘水平放置。质量为2m的物体A和质量m物体B分别静止在圆盘对称轴的两侧，A距O点的距离为r，B距O点的距离为2r。已知A、B与圆盘的动摩擦因数分别为μ和3μ，重力加速度大小为g。现让圆盘的角速度ω从0开始缓慢增大，下列说法正确的是（　　） A．B比A先开始滑动 B．当时，A发生滑动 C．在发生滑动之前，A、B所受摩擦力的大小相等 D．当时，B受到的摩擦力大小为3μmg （多选）6．如图所示，水平圆盘绕过圆心O的竖直轴以角速度ω匀速转动，A、B、C三个木块放置在圆盘上面的同一条直径上，已知B的质量为2m，B与圆盘间的动摩擦因数为2μ，A和C的质量均为m，与圆盘间的动摩擦因数均为μ，OA、OB、BC长均为L，开始时，圆盘匀速转动时的角速度ω比较小，随后使圆盘转动的角速度ω不断缓慢增大，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．随着圆盘转动的角速度ω不断增大，木块与圆盘发生相对滑动的顺序依次是C、A、B B．若B、C之间用一根长L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度ω时，轻绳无张力 C．若B、C之间用一根长L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度ω时，B、C均与圆盘发生相对滑动 D．若A、B之间用一根长2L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度ω时，A、B均不能与圆盘保持相对静止 （多选）7．如图所示，半径足够大的水平圆形转台上放置两物块甲和乙，两物块之间用原长为L的轻质弹簧相连接，物块乙放在转台的圆心处，物块甲用光滑的导槽限制（导槽未画出），使物块甲只能沿转台的半径方向移动，开始弹簧处于原长。现让转台绕过圆心的竖直轴OO′转动，且角速度ω从0开始缓慢地增大，已知物块甲、乙的质量分别为m、2m，两物块与转台间的动摩擦因数均为μ，弹簧的劲度系数k，重力加速度为g，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两物块均可视为质点，物块乙始终没有相对转台滑动。下列说法正确的是（　　） A．角速度为时，物块甲刚要开始相对转台滑动 B．角速度的最大值为 C．角速度为时，物块甲所受的摩擦力大小为 D．角速度为时，弹簧的长度为L 模型三 竖直平面上的圆周运动 1．两类模型对比 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑) 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 讨论分析 (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大 2．解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程； (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系； (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力． 【例题精讲】 1．如图所示，打夯机通过硬质轻杆带动末端的重锤绕轴O在竖直面内做匀速圆周运动，A点为圆周最低点、B点与O点等高，不计空气阻力。则重锤（　　） A．在B点受重力、弹力和向心力三个力作用 B．在一个周期内所受向心力始终保持不变 C．在A点所受杆的作用力可能等于其重力 D．在B点所受杆的作用力一定大于其重力 2．小明想设计一个弹射弹子的游戏，弹射器所在的导轨MN位于竖直平面内，N端位于虚线圆上，O为圆心。游戏要求弹子从MN上的不同点水平弹出后，均能沿同一方向通过O点，已知弹射初速度大小可调节，不计空气阻力。下列导轨MN能满足游戏要求的是（　　） A． B． C． D． 3．如图甲为青岛海上嘉年华摩天轮，是青岛的地标景观，其简化图如图乙所示。某游客乘坐摩天轮随座舱在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，座位始终保持水平，游客与座位之间的动摩擦因数为μ且始终保持相对静止。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则座舱做圆周运动的速率不能超过（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，半径为R的细圆管（管径可忽略）内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则（　　） A．小球在管顶部时速度大小一定为 B．小球运动到管底部时速度大小可能为 C．小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mg D．小球运动到管底部时对管壁的压力一定为7mg 5．如图所示，在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形细管（管道内径极小），一质量为m的小球放置于管内顶端A点，其直径略小于管道内径。现给小球一微小扰动，使之顺时针沿管道下滑。管内的B点与管道的圆心O等高，C点是管道的最低点，若不计一切摩擦，下列说法中正确的是（　　） A．小球不可能回到A点 B．小球对细管的作用力不可能为零 C．从A点运动到C点，小球对细管的作用力一直增大 D．从A点运动到B点，小球对细管的作用力先减小后增大 （多选）6．如图甲所示，轻杆一端与O点相连，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其F﹣v2图像如图乙所示。则（　　） A．小球做圆周运动的半径 B．当地的重力加速度大小 C．v2＝c时，小球受到的弹力方向向上 D．v2＝2b时，小球受到的弹力大小与重力大小相等 （多选）7．如图所示，边长为L的正方形平板abcd倾斜固定，其倾角θ＝30°，四分之一圆弧轨道固定在平板上，轨道最高点与板的a点重合，最低点的切线水平。一可视为质点的小球从a点由静止释放，恰好经过平板的c点。重力加速度为g，忽略摩擦力和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球经过c点时的速度大小为 B．小球经过c点时的速度方向与bc边的夹角为30° C．圆弧轨道的半径可能为 D．如果将板直立，再使小球从a点由静止释放，则球仍经过c点 模型四 圆周运动和平抛运动的综合运动 【例题精讲】 1．如图所示，BC为半径R＝0.8m的圆弧固定在水平地面上，AB为水平轨道，两轨道在B处相切连接；AB轨道上的滑块P通过不可伸长的轻绳与套在竖直光滑细杆的滑块Q连接；P、Q均可视为质点且圆弧轨道C点与竖直杆间距离足够远，开始时，P在A处，Q在与A同一水平面上的E处，且绳子刚好伸直处于水平，固定的小滑轮在D处，DE＝0.35m，现把Q从静止释放，当下落h＝0.35m时，P恰好到达圆弧轨道的B点，且刚好对B无压力，并且此时绳子突然断开，取g＝10m/s2，则（　　） A．此时滑块P的速度为 B．此后滑块P可以沿圆弧BC下滑一段距离 C．此时滑块Q的速度为2m/s D．滑块P、Q落地的时间差为0.3s 2．图甲是杂技“荡空飞旋”表演。某同学用图乙装置模拟演员的飞旋和落地过程，在竖直细轴的顶端用长为L的细线系着质量为m的小球，竖直轴带着小球在水平面内做圆周运动，缓慢增大角速度ω，在小球离地高为h、速度为v时烧断细线，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球落地点到杆的距离为 B．从烧断细线到落地，小球位移为 C．烧断细线前，小球的向心力与ω2成正比 D．烧断细线前，细线对小球的拉力与ω2成正比 3．图甲是杂技“荡空飞旋”表演。某同学用图乙装置模拟演员的飞旋和落地过程，在竖直细轴的顶端用长为L的细线系着质量为m的小球，竖直轴带着小球在水平面内做圆周运动，缓慢增大角速度ω，在小球离地高为h、速度为v时烧断细线，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球落地点到杆的距离为v B．从烧断细线到落地，小球位移为v C．烧断细线前，小球的向心力与ω2成正比 D．烧断细线前，细线对小球拉力与ω2成正比 4．如图所示，离地高度H＝2m的O1处固定匀速转动的一电机，电机通过一根长度L＝1m的不可伸长的轻绳使小球在水平面内做以O2为圆心的匀速圆周运动，此时α＝37°，某时刻，绳子和小球的连接处突然断开，小球最终落在O3所在的水平地面上。O1O2O3的连线垂直地面，不计空气对小球运动的影响，小球可视为质点且落地后即静止。则（　　） A．小球下落的时间为 B．小球的落点到O3的距离为1.2m C．若增大H，落点到O3的距离先增大后减小 D．若增大L，落点到O3的距离先增大后减小 5．如图是《秧BOT》节目中机器人表演转手绢的简化图。手绢绕中心点O在半径为R的竖直面内以角速度ω匀速转动，手绢上有可视为质点的M、N两装饰物，圆心O和M、N三点共线，且M是ON连线的中点。当N装饰物运动至最低位置时，两装饰物同时脱落。通过调节圆心O离地的高度H，发现两装饰物落到水平地面上同一点P。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．若仅把角速度ω减半，两装饰物一定落到O’P的中点处 B．若仅把高度H加倍，两装饰物落地点的水平位移也加倍 C．若增大角速度ω和减小高度H，两装饰物可能都落到P点 D．若同时增大角速度ω和高度H，两装饰物可能落到P右侧的同一点 （多选）6．如图所示，半径分别为R和2R的甲、乙两薄圆盘固定在同一转轴上，距地面的高度分别为2h和h，两物块a、b分别置于圆盘边缘，a、b与圆盘间的动摩擦因数μ相等，转轴从静止开始缓慢加速转动（不考虑切向加速度），观察发现，a离开盘甲后未与圆盘乙发生碰撞，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　） A．离开圆盘前，a所受的摩擦力方向与速度方向相反 B．a未与圆盘乙发生碰撞，μ应大于 C．离开圆盘落地时，a、b运动的水平位移大小相等 D．离开圆盘落地时，a、b到转轴的距离相等 （多选）7．如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、R1和R2为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若h1＝h2，则v1：v2＝R2：R1 B．若v1＝v2，则 C．若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同 D．若h1＝h2，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则ω1＝ω2 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．如图所示，对下列插图描述正确的是（　　） A．图甲的路牌所标的“100”为车辆通行的平均速度 B．图乙可推出所有形状规则的物体重心均在其几何中心处 C．图丙中电梯向上启动时体重计的读数变小 D．丁图中，当火车转弯低于规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用 2．如图，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有相对滑动．C在AO1上，且C是AO1的中点，则B、C两点的角速度、线速度大小之比关系正确的是（　　） A．ωB：ωC＝1：2，vB：vC＝2：1 B．ωB：ωC＝2：1，vB：vC＝2：1 C．ωB：ωC＝1：2，vB：vC＝1：2 D．ωB：ωC＝2：1，vB：vC＝1：2 3．如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，说法正确的是（　　） A．汽车通过凸形桥的最高点时，处于失重状态 B．铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，是利用轮缘与外轨的侧压力帮火车转弯 C．杂技演员表演“水流星”，当它通过最高点时处于完全失重状态，不受重力作用 D．脱水筒的原理是水滴受到的离心力大于受到的向心力，从而沿切线方向被甩出 4．如图所示，用光电门传感器和力传感器研究小球经过拱桥最高点时对桥面压力FN的大小与小球速度的关系。若光电门测得小球的挡光时间为t，多次实验，小球均未脱离桥面，则t越短，则（　　） A．FN越小，且小于小球所受的重力 B．FN越大，且大于小球所受的重力 C．FN越小，且大于小球所受的重力 D．FN越大，且小于小球所受的重力 5．某款自行车的链条传动装置，如图所示。在左、右两轮盘边缘P、Q两点的线速度分别为vP、vQ，角速度分别为ωP、ωQ，则（　　） A．ωP＞ωQ B．ωP＜ωQ C．vP＞vQ D．vP＜vQ 6．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点。当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球的运动下列说法正确的是（　　） A．小球过最高点时的最小速度为零 B．小球过最高点时最小速度为 C．小球开始运动时绳对小球的拉力为 D．小球运动到与圆心等高处时向心力由细绳的拉力提供 7．如图为一双齿轮传动系统，大、小齿轮的半径之比为2：1，传动时齿轮不打滑，则下列结论正确的是（　　） A．大小齿轮转动的角速度之比为1：1 B．大小齿轮边沿的线速度之比为2：1 C．大小齿轮转动的周期之比为1：2 D．大小齿轮边沿的向心加速度之比为1：2 8．如图所示，拱形桥半径为r。一质量为m的汽车以速度v通过拱形桥最高点时，汽车对拱形桥的压力大小为（　　） A．mg B． C． D． 二．多选题（共11小题） （多选）9．如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．图a，汽车通过拱桥的最高点时处于失重状态 B．图b，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对轮缘有侧向挤压作用 C．图c，材质相同的A、B两物体相对转台静止，一起绕竖直中心轴匀速转动，若旋转半径RA＝2RB，质量mB＝2mA，则A、B两物体受到的摩擦力fA＜fB D．图d是一圆锥摆，增加绳长，保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度保持不变 （多选）10．如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为如图乙所示的模型。B、A是转动的大、小齿轮边缘的两点，C是大齿轮上的一点。若大齿轮半径是小齿轮半径的两倍，两齿轮中心到A、C两点的距离相等，则A、B、C三点（　　） A．线速度大小之比是2：2：1 B．角速度之比是2：1：1 C．转速之比是2：2：1 D．转动周期之比是2：1：1 （多选）11．如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，说法正确的是（　　） A．图甲中汽车减速通过凹形桥最低点，此时汽车处于失重状态 B．图乙中汽车转弯时发生侧滑，此时汽车所需要的向心力小于地面提供的合外力 C．图丙中杂技演员表演“水流星”，匀速转动通过最低点时水对桶底压力最大 D．图丁中脱水筒甩出的水滴在做离心运动 三．解答题（共5小题） 12．汽车通过转弯路口时从安全角度要控制速度大小，如图所示为一水平路面的转弯路口，两段直线路面和圆弧路面相切，汽车沿路面中间线运动，在A点开始刹车做匀减速直线运动，到B点后沿中间线匀速通过圆弧路面。已知圆弧路面中间线轨道半径r＝45m，汽车在A点时的速度为vA＝25m/s，直线路面AB长s＝50m，在圆弧路面所受最大径向摩擦力是车重的0.5倍，g取10m/s2。求： （1）汽车在圆弧路面中间线上运动的最大速度v的大小； （2）为在BC端不发生侧滑，汽车在直线路面AB上做匀减速运动的最小加速度a的大小。 13．如图所示，一个质量为m的小球用长为L的轻质细绳悬挂在固定点P，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向的夹角为θ。忽略空气阻力，重力加速度为g。 （1）求小球做圆周运动的角速度ω； （2）若细绳能承受的最大张力为T＝2mg，求小球做匀速圆周运动的最大角速度以及此时细绳与竖直方向的夹角。 14．如图，竖直面内固定的BCDE轨道由光滑圆弧轨道BCD和水平粗糙轨道DE组成，圆弧轨道BCD的圆心为O，圆弧轨道最高点B与圆心O的连线与水平方向的夹角为θ＝37°，C点为轨道上与圆心等高点，D点为圆弧轨道的最低点。现有质量m＝1kg的小球从空中的A点以初速度v0＝3m/s向左水平抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道。已知小球在D点的速度大小为，圆弧轨道半径为R＝1m，重力加速度g取10m/s2。sinθ＝0.6。求： （1）小球在B点的速度大小； （2）A、B两点的水平距离； （3）小球运动到D点时对圆弧轨道的压力大小。 15．如图所示，质量m＝1kg的小球（可视作质点）在长为L＝0.2m的细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力Tmax＝90N，转轴离地高度h＝1m，不计阻力，g＝10m/s2。 （1）若小球通过最高点时的速度v＝2m/s2，求此时小球对绳的拉力大小； （2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求小球落地时的速度。 16．如图所示，一个半径为R＝2m的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2。当小球逆时针滑动经过环的最高点时： （1）若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率； （2）若此刻环对小球的摩擦力大小为0.6mg，求此刻环对小球的作用力大小； （3）若此刻环对小球的摩擦力大小为0.6mg，求此刻小球的速率。 1 学科网（北京）股份有限公司 $