2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末常考点复习题

2025-2026学年北师大版八年级上册期末常考点复习题 一．选择题 【★考点1】二次根式有意义的条件 1．若代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的平方根为（   ） A． B．8 C． D． 【★考点2】判断命题真假、命题的构成、举反例 1．下列例子能说明“相等的角是对顶角”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 3．举反例是判断一个命题为假命题时常用的方法．如判断命题“若，则”为假命题时，下列选项中可作为反例的是（    ） A． B． C． D． 【★考点3】算术平方根的非负性 1．已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 3．在平面直角坐标系内有一点，已知x，y满足，则点P关于x轴的对称点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【★考点4】实数的大小比较 1．下列各数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 2．下列4个数中，最大的数是(    ) A． B． C．0 D．2 3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，若，则c的值可能是（   ） A． B．5 C． D． 【★考点5】勾股数 1．下列各组数是勾股数的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．2，3，5 B．0.3 C．5，6，8 D．8，15，17 3．下列各数组中，是勾股数的是（    ） A．1，1， B．1，，2 C．12，13，5 D．4，5，6 【★考点6】两直线的交点与二元一次方程组的解 1．已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，直线和与轴围成的三角形面积是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【★★考点7】用勾股定理解三角形 1．已知一个直角三角形三边长的平方和为800，则斜边长为（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 2．一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 3．如图，在四边形中，，，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【★★考点8】坐标与图形变化 —— 轴对称 1．已知点和点关于轴对称，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知点与点关于y轴对称，则的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 3．若点的坐标是，点的坐标是，则与满足（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．轴 D．轴 【★★考点9】根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．一次函数与（a，b为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则一次函数的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【★★考点10】根据要求选择合适的统计量 1．某次数学竞赛，人进入复赛，其中前名都能获奖，小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否一定能获奖，只要知道人复赛成绩的（ ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．最高分 2．课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：min），数据如下：，则这组数据的上四分位数是（    ） A． B． C． D． 3．某市 2024 年秋一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（    ） A．34， 31 B．31，32 C．31，31 D．32，35 【★★考点11】根据实际问题列二元一次方程组 1．《孙子算经》中的一个数学问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．《算法统宗》注：明代时1斤两，故有“半斤八两”．这个成语其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）正确的是（    ） A． B． C． D． 【★★★考点12】根据一次函数增减性求参数 1．已知，是一次函数图象上两点，且，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知点，在一次函数的图象上，当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【★★★考点13】求最短路径 1．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 2．已知点、，点在轴上，则最大值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【★★★考点14】根据两条直线的交点与方程组的解 1.如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 2．已知两个函数图象的表达式分别为，，，与相交于，则的值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 3．在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（   ） A．300 B．400 C．360 D．320 【★★★考点15】行程问题 1．在一条笔直的公路上两地相距，甲车从地开往地，乙从地开往地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度比乙的速度慢 B．甲车出发1小时后乙才出发 C．乙车行驶了或时，甲、乙两车相距 D．乙车到达地时，甲车还有1小时到达地 2．甲、乙两车沿同一条路同时出发前往B地，甲车到达B地后立即以原速沿原路返回，乙车到达B地后停止运动．两车距B地的距离，与甲车行驶时间的函数图象如图所示，下列正确的是（      ） A． B． C．返程时 D．两次相遇的时间间隔为 二．填空题 【★考点16】无理数整数部分的有关计算 1．请写出一个整数部分为的无理数： ． 2．已知的整数部分是，则 3．任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的纯小数部分的和的形式，例如：．则的整数部分为 ，小数部分为 ． 【★考点17】平方根概念理解 1．若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值为 ． 2．已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为 ． 3．若一个正数的两个不同平方根分别是和，则 ． 【★考点18】利用二次根式的性质化简 1．如果都是二次根式，则 ． 2．若 且a小于1，则a的值是 ． 3．已知，化简： ． 【★考点19】用勾股定理解三角形 1．如图，在中，，，利用圆规在上截取，在上截取，点就是的黄金分割点．若，则的长为 ． 2．月日至日，广东国际旅游产业博览会在广州举行．在展览会现场，有一个如图所示的三角形模型，已知，，则BC边上的高为 ． 3．如图，在∆ABC中，，，，点在上，延长到点，使，连接，若，则的长为 ． 【★考点20】已知点所在的象限求参数 1．已知直线轴，点M的坐标为，并且线段，则点N的坐标为 ． 2．已知点在y轴上，则 ． 3．平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ． 【★★考点21】一次函数图象平移问题 1．将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则 ． 2．将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与正比例函数的图象重合，则的值为 ． 3．在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ． 【★★考点22】几何问题（二元一次方程组的应用） 1．小宇准备制作数盏如图①所示的仿古灯笼，他用图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼，现有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则的值为 （用含a，b的式子表示）． 2.如图是王伯伯家的长方形茶园，长为120米，宽为90米，为了方便顾客前来品茶，他计划将茶园中五块完全相同的长方形区域建造成茶室，让顾客在茶室品茶赏景，则茶室的总面积为 平方米 3．如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘，将得到的点先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度（，），得到正方形及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为，．已知正方形内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是 ． 【★★★考点23】勾股定理与折叠问题 1．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点恰好落到边的点处．如果，，那么 ． 2．如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，若，则的长度为 ． 3．如图所示，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，是轴上一动点，连接，将∆ABC沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ． 【★★★考点24】一次函数与几何综合 1．如图，直线交轴于点，交轴于点，若点是轴上一点（不与点A重合），且，则点的坐标为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，点为的中点，点在第二象限，且四边形为矩形，点是上一个动点，过点作于点，点在的延长线上，且，则的最小值为 ． 3．在平面直角坐标系中，点，点，直线，若A、B两点到直线l的距离相等，则k的值为 ． 三．解答题 【★考点25】解二元一次方程组 1．解方程组： (1)； (2) 2．解下列方程组： (1)； (2)． 3．解方程组： (1) (2)； 【★考点26】二次根式的混合运算 1．计算． (1) (2) 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 【★考点27】数据的分析基本应用 1．某班级学生数学成绩如下（单位：分）：   (1)计算平均数、中位数和众数； (2)画出频数分布表（分，，，四组，每组包含较小数不包含较大数）． 2．为了加强安全教育，某校组织七、八年级开展以“急救安全注意事项”为主题知识竞赛．现从该校A、B两班参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： A班10名学生的竞赛成绩是：6，7，7，8，9，9，9，9，10， A、B两班抽取学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 A班 9 b B班 a 10 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)若将平均数、中位数、众数依次按、、的权重计算A、B两班的成绩，请通过计算说明哪个班的成绩高？ 3．老师记录了全班名学生跳绳的次数： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． (1)求全班学生跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值． (2)老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为 ，其中 ， ， ． (3)如图，中间的“箱子”被分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么？ (4)请你估计一下，全班学生跳绳次数的平均数和中位数哪个大？你是怎么估计的？ (5)若将数据改为，则的值 ，的值 ，的值 填“不变”“变小”“变大”或“不确定” 【★考点28】画轴对称图形、坐标与图形变化 1．如图，∆ABC三个顶点都在格点上． (1)画出∆ABC关于y轴对称的，并写出的各顶点坐标； (2)在x轴上找一点P，使最小； 2．如图，∆ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：． (1)作出∆ABC关于y轴对称的图形，并请写出点的坐标； (2)求∆ABC的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． (1)在图中作出∆ABC关于y轴的对称图形（不写作法） 填空：点的坐标为______，点的坐标为______，点C关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为）对称的点的坐标______． (2)求∆ABC的面积． 【★考点29】平行线的性质与三角形内角和定理的应用 1．如图，在∆ABC中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： (1)； (2)； (3)． 2．如图，在∆ABC中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连接． (1)求证：； (2)若，，平分，求线段的长度． 3．如图，∆ABC中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若，试求的长． 【★★考点30】勾股定理与折叠问题 1．如图，已知直线与轴、轴分别交于点，，再将沿直线折叠，使点与点重合，折痕与轴交于点，与交于点． (1)点的坐标为 ；点的坐标为 ； (2)求的长度，并求出此时直线的解析式． 2．如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 3．如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点． (1)求线段的长； (2)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设． ①求证四边形为菱形； ②是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【★★考点31】方案问题、和差倍分问题 1．某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 2．已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 3．某食品配送公司需将152箱食品运送到两个社区中心和．公司有大卡车和小卡车共15辆，恰好能一次性运完所有食品．已知每辆大卡车载货12箱，每辆小卡车载货8箱．大卡车运往中心的费用为800元/辆，运往中心的费用为900元/辆；小卡车运往中心的费用为400元/辆，运往中心的费用为600元/辆．根据上述信息，解答下列问题： (1)求这15辆车中，大卡车和小卡车各有多少辆； (2)现安排其中10辆卡车前往中心，其余卡车前往中心．设前往中心的大卡车为辆，前往两中心的总运费为元，求出与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若运往中心的食品不少于100箱，如何调配卡车使总运费最少，并求出最少费用． 【★★考点32】一次函数的图象与性质综合 1．如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 2．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像； (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与两坐标轴分别相交于A、B两点，直线与相交于点． (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)若直线将的面积分成的两部分，求直线的函数关系式． 【★★★考点33】分配方案问题、销售利润问题 1．为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元． (1)求篮球和排球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为，一个排球的进价为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值． 2．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 3．开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元． (1)求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？ (2)该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？ 【★★★考点34】勾股定理综合应用 1．如图，已知点A，B为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点A作于点C，过点B作于点D，点F是线段上一点，连接交于点 (1)有下列条件：①点F是的中点；②点E是的中点；③点E是的中点．请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程； (2)若，且，，，求的长． 2．如图，在∆ABC中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 3．如图，在∆ABC中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【★★★考点35】一次函数与几何综合 1．综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线：与x轴、y轴分别交于点C，D，连接．直线与直线交于点，在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M，N． (1)求m的值及的面积； (2)若，求a的值； 3.如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 参考答案 一．选择题 【★考点1】二次根式有意义的条件 1．A 解：由题意可知：， 解得：； 故选：A． 2．A 解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 3．D ∵ 使 和 有意义，需 且 ， ∴ 且 ， ∴ ． 当 时，． ∴ ． ∴ 的平方根为 ． 故选D． 【★考点2】判断命题真假、命题的构成、举反例 1．A 解：A.图中均为的两个角相等，但不是对顶角，可说明“相等的角是对顶角”是假命题，符合题意； B. 图中均为的两个角相等，且是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意； C. 图中分别为和的两个角不相等，也不是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意； D. 图中分别为和的两个角不相等，也不是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意． 故选：A． 2．D 解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 3．A 解：A．当时，，而，说明命题“若，则”为假命题，符合题意； B．当时，，而，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意； C．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意； D．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意； 故选：A． 【★考点3】算术平方根的非负性 1．D 解：∵且，且， ∴ 且， ∴ ，即， ，即， ∴， ∴ ， 故选：D． 2．B 解：∵， ∴，， ∴，， ∴ 故选：B． 3．D 解：∵， ∴，， ∴，， ∴关于x轴的对称点为，所在的象限是第四象限． 故选：D 【★考点4】实数的大小比较 1．C 解：， ∵， ∴， ∵最小的是， 故选C． 2．B 解： ∴最大的数是， 故选：B． 3．C 解：由数轴图知： ∵ ∴． A、，故A选项不符合题意； B、 ，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、，故D选项不符合题意． 故选：C． 【★考点5】勾股数 1．B 解：A、，，都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意； B、，且都是正整数，所以是勾股数，故符合题意； C、，不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意； D、，，可能不是正整数，故不符合题意． 故选：B． 2．D 解：勾股数需为正整数且满足． A．，所以不是勾股数． B．0.3, 0.4, 0.5 不是正整数，所以不是勾股数． C．，所以不是勾股数． D．，且均为正整数，所以是勾股数． 故选：D． 3．C 解：A、是无理数，故1，1，不是勾股数，该选项不符合题意； B、是无理数，故1，，2不是勾股数，该选项不符合题意； C、，故12，13，5是勾股数，该选项符合题意． D、，故4，5，6不是勾股数，该选项不符合题意． 故选：C． 【★考点6】两直线的交点与二元一次方程组的解 1．A ∵ 方程 可变形为 ， 方程 可变形为 ， ∴ 方程组 的解即为函数 和 的图像交点坐标． 又∵ 两函数图像交于点 ， ∴ 方程组的解为 ． 故答案为：A． 2．B 当时，， ∴． 将两个函数关系式联立，得， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：B．    3．D 解：把代入得：， ∴， 联立， 解得 ∴点的坐标为， 当直线经过点，则， 解得， 当直线经过点，则， 解得：， ∵直线与线段有交点， ∴的取值范围为或． 故选：D． 【★★考点7】用勾股定理解三角形 1．D 解：设该直角三角形的两直角边的长为a和b，斜边长为c， 由勾股定理得， ∵该直角三角形三边长的平方和为800， ∴， ∴， ∴ ∴或（舍去）， ∴该直角三角形的斜边长为20， 故选：D． 2．C 解：当为斜边时，， 解得，（舍去）， 当4为斜边时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值是5或． 故选：C． 3．A 解：， ， ，且, ， ， ， 即是直角三角形， 在中， ，即：， ， ， 故选：A． 【★★考点8】坐标与图形变化 —— 轴对称 1．A 解：点与关于轴对称， ，， 解得，， 则． 故选：A． 2．A 解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴ 故选：A． 3．A 解：点的坐标是，点的坐标是， 点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， 这两个点关于轴对称， 故选：． 【★★考点9】根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．D 解：若、时， 则一次函数经过一、二、三象限，经过二、四象限， 若、时， 则一次函数经过一、三、四象限，经过一、三象限， 若、时， 则一次函数经过一、二、四象限，经过一、三象限， 若、时， 则一次函数经过二、三、四象限，经过二、四象限， 故选：D． 2．C 解：由已知得，， ∴函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 3．C 解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【★★考点10】根据要求选择合适的统计量 1．C 解：∵总人数为奇数， ∴中位数是第名的成绩， ∵前名都能获奖， ∴若小明的成绩高于中位数，则其排名高于第名，一定在前名，一定能获奖；若成绩不高于（小于或等于）中位数，则一定不能获奖， ∴中位数是判断是否获奖最相关的统计量． 平均数、众数、最高分均无法反映具体排名信息，故不能用于判断． 故选：C． 2．B 解：∵ 数据：， ∴ 排序后：， ∵ 数据个数 为偶数，中位数 为第和第个数据的平均值，即 ， ∴ 上半部分数据为：， ∵ 上半部分数据个数为，中位数 为第和第个数据的平均值，即 ， ∴ 上四分位数为 ， 故选：B． 3．C 解：将数据从小到大排列：30，31，31，31，32，34，35． ∵数据个数为7，是奇数， ∴中位数为第4个数，即31； ∵31出现3次，次数最多， ∴众数为31； 因此中位数和众数都是31． 故选：C． 【★★考点11】根据实际问题列二元一次方程组 1．A 解：设绳长为尺，木长为尺． ∵用绳子量木，余绳尺， ∴，即． ∵将绳子对折量木，长木还剩余1尺，即木长比对折绳长长1尺， ∴，即． 故另一个方程是， 故选：A． 2．A 解：设清酒斗，醑酒斗， 由题意可得，， 故选：A． 3．D 解：设共有银子x两，人数为y． 每人分7两剩余4两：总银两，变形得． 每人分9两差8两：总银两，变形得． 联立方程组：． 故选：D． 【★★★考点12】根据一次函数增减性求参数 1．D 解：当时，，随的增大而减小， ，得． 故选：D． 2．B 解：∵一次函数的图像与轴的负半轴相交， ∴. ∵一次函数,函数值随自变量的增大而减小， ∴， 解得. 故选：B. 3．B 解：当时，，随的增大而减小， ，得． 故选：B． 【★★★考点13】求最短路径 1．B 解：如图，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴此时有，即， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 2．A 取B点关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点M，如图， 即根据对称的性质有， ∴， 在x轴上另取一点N，如图， 即根据对称的性质有， ∴，当A、N、三点共线时取等号， 即M点满足取最大值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：A． 3．A 解：对于直线 ， 当时，；当时，， ∴，， 由中点坐标公式得，， 则点Ｅ关于ｘ轴对称的点的坐标为， 连接交ｘ轴于点Ｐ，则， 当三点在同一条直线上时最小，最小值为， ∵ 故选：A． 【★★★考点14】根据两条直线的交点与方程组的解 1．A 解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 2．C 解：，，，与相交于， ，， ①②，得， ， ， 故选：． 3．B 解：令， 解得：， 把代入得：， ∴两条直线的交点为， 把分别代入，得：，， ∴直线与直线与y轴的交点坐标分别为：，， ∴y轴上的“美点”有； 对于，当x为偶数时，为整数，当时，最大偶数为，因此在上有“美点”的个数为：（个）， 对于，当x整数时，为整数，当时，最大整数为，因此在上有“美点”的个数为：个， ∴“美点”的个数为：（个）． 故选：B． 【★★★考点15】行程问题 1．C 解：由图象可知：甲车的速度为，乙车的速度为， ∴甲车的速度比乙的速度慢，故A正确； ∴， ∴，即甲车出发1小时后乙才出发；故B正确； 设甲车所作直线的函数解析式为，把点代入可得：， 解得：， ∴甲车所作直线的函数解析式为， 同理可得乙车所作直线的函数解析式为， ∴， 解得：或， ∴甲车行驶了或时，甲、乙两车相距；故C错误； 乙车到达地，甲行驶了小时，其路程为，则还需到达地；故D正确； 故选：C． 2．D 解：由题意可知，，故A错误； 乙车的速度为：， ，故B错误； 设甲在返程时的函数解析式为， 把和代入解析式得：， 解得， ，故C错误； 甲车的速度为， 甲车前往B地时，， 两车第一次相遇：， 解得； 两车第二次相遇：， 解得：， 两车两次相遇的时间间隔为：，故D正确． 故选：D 二．填空题 【★考点16】无理数整数部分的有关计算 1．（答案不唯一） 解：设这个无理数为， 这个无理数的整数部分为， ，即， ， 故答案为：（答案不唯一）． 2．4 解：∵， ， ∴的整数部分是4， 故答案为：4． 3． 2 解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，． 【★考点17】平方根概念理解 1． 解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．0 解：∵被开方数，且， ∴， ∴，即， 代入原式得， ∴， ∵的平方根等于它本身， ∴， 则， 故答案为：． 3．2 解：一个正数的两个不同的平方根分别是和， ， 解得， 故答案为：2． 【★考点18】利用二次根式的性质化简 1． 解：都是二次根式， ， 解得：， ． 故答案为：． 2． 解：∵， ∴， ∴， ∵a小于1， ∴， 故答案为：． 3．6 解：∵， ∴， ∴； 故答案为：6． 【★考点19】用勾股定理解三角形 1． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 2． 解：如图，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3． 解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【★考点20】已知点所在的象限求参数 1．或 解：∵直线轴，点M的坐标为，， ∴或， ∴点N的坐标为或； 故答案为：或． 2． 解：点在y轴上， ， 解得：， 故答案为：． 3． ∵点在第一象限， ∴且． ∵点到两坐标轴的距离相等， ． 由于点在第一象限，且， 故． 解方程：，得． 代入得横坐标，纵坐标 ∴点的坐标为． 故答案为． 【★★考点21】一次函数图象平移问题 1． 解：∵ 一次函数向左平移1个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 再向上平移2个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 平移后的图象经过原点， ∴ 把，代入，得． ∴ ． 故答案为：． 2．1 解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度得： ， ∵平移后的函数图象与正比例函数的图象重合， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：1． 3． 解：根据题意，设，则， ∵点，关于轴对称， ∴， 解得． 故． 故答案为：． 【★★考点22】几何问题（二元一次方程组的应用） 1． 解：∵有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完， ∴， ∴两式相加，得， ∴， 故答案为：． 2．1080 解：设每块小长方形茶室的长为米，宽为米．由题意得 解得 每块小长方形面积为（平方米） 五块总面积为（平方米） 故答案为：． 3． 解：由点A到可得方程组， 由B到可得方程组， 解得， 设点的坐标为， 点点重合得到方程组， 解得 ， 即． 故答案为：. 【★★★考点23】勾股定理与折叠问题 1．3 解：设线段的长度为， 是直角三角形，，， ， 根据折叠，可知， ， 在中，由勾股定理可知， 解得， 线段的长度为． 故答案为：3． 2． 解：由题意得，， 由折叠的性质可得，，， ，， ； ∵， ∴， ； 设，则， 在中，由勾股定理得 ， 解得 故答案为：． 3．或 解：∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， 如图1，当点A落在y轴的正半轴上时， 设点C的坐标为， ∵将∆ABC沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 如图2，当点A落在y轴的负半轴上时， 设点C的坐标为， ∵将∆ABC沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为或， 故答案为：或． 【★★★考点24】一次函数与几何综合 1．或 解：直线交轴于点，交轴于点， 当时，，当时，，解得， 点的坐标为，点的坐标为， 点是轴上一点（不与点A重合），且， 点在点右侧， 设点的坐标为， 则， 整理得， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 2． 解：如图，连接， ∵直线分别交x轴，y轴于A，B两点， 当时，，当时，，则，， ∵C是的中点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形是平行四边形， 要使的值最小，只需C、H、Q三点共线即可， ∵点在的延长线上，且， 又∵点， 根据勾股定理可得 此时，， 即的最小值为 故答案为：． 3．或 解：当点位于直线l的两侧，直线l交于点，如图： 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， 将代入，则， 解得； 当点位于直线l的同侧，此时， 设直线，则代入点，点， ， 解得， ∴， 故的值为或 故答案为：或． 三．解答题 【★考点25】解二元一次方程组 1．（1）解：， 将①代入②可得，解得：， 将代入①可得， 故方程组的解为：． （2）解：， 整理①得：③， 得：，解得：， 把代入②得，， ∴方程组的解为． 2．（1）解： 把②代入①可得：， 解得：， 把代入②得：， 原方程组的解为； （2）解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为 3．（1）解：原方程组可化简为， ，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解是. 【★考点26】二次根式的混合运算 1．（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【★考点27】数据的分析基本应用 1．（1）解：平均数为， 成绩由低到高排列为，，，，，，，，，， ∴中位数为， ∵数据中出现的次数最多， ∴众数为； （2）解：画频数分布表如下： 分组 人数（频数） 2．（1）解：班成绩的中位数，A班成绩的众数， 故答案为：，9； （2）解：依题意， A班的成绩为：（分）， B班的成绩为：（分）， ， 班的成绩高． 3．（1）解：∵原数据已经按从小到大排列好了， ∴最小值为，最大值为， ∵， 又∵第10个、第11个数据分别为，， ∴下四分位数， ∵， 又∵第20个、第21个数据分别为，， ∴中位数， ∵， 又∵第30个、第31个数据分别为，， ∴上四分位数， 故答案为：全班学生跳绳次数的最小值为，，，，最大值为. （2）解：这种图称为箱线图，其中，，分别对应上四分位数、中位数、下四分位数，即，，. 故答案为：箱线图；144；136；132. （3）解：“下半截箱子”比较短，说明下四分位数到中位数之间的数据范围小，数据更集中， ∴可以说明跳绳成绩在132到136之间的学生成绩差距较小（答案不唯一）. （4）解：∵“下半截箱子”比较短，箱子底部到最小值的距离比顶部到最大值的距离短，说明中位数后的数据多数值较大， ∴平均数中位数. （5）解：∵，，分别对应上四分位数、中位数、下四分位数，四分位数是将有序数据分为四等份的三个分割点，其计算是基于数据的相对位置， ∴只要改变的数据仍位于数据范围的同一四分位内（不包括分割点），四分位数会保持稳定， ∵数据改为，其仍为最大值， ∴的值不变，的值不变，的值不变. 故答案为：不变；不变；不变. 【★考点28】画轴对称图形、坐标与图形变化 1．（1）解：如图，即为所求作： ，，； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 2．（1）解：如图所示，即为所求，； （2）解：∆ABC的面积为． 3．（1）解：如图，即为所求； 由图可知：，点C关于直线n对称的点的坐标为． 故答案为：；；． （2）解： ． 【★考点29】平行线的性质与三角形内角和定理的应用 1．（1）证明：平分， ． 在和中， ， ． （2）证明：∵ ． ，， ，， ， ． ； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴． 3．（1）证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【★★考点30】勾股定理与折叠问题 1．（1）解：对于，当时，，解得，当时，解得， ∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）， 故答案为：（4，0）；（0，3）； （2）解：设的长为，由折叠可知， ， ．即， 解得， 的长为． 点的坐标为 设直线的解析式为， 将，代入得 ． 解得， 直线的解析式为． 2．（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 3．（1）解：如图1中， 四边形是矩形，，， ，，， 由翻折可知：．， 设，则． 在中，， ， 在中，则有：， ， ； （2）①证明：如图2中， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； ②是直角三角形，， 只有或． 如图中，当时， 由（1）得，,， ∴, ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 如图中，当时， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或2． 【★★考点31】方案问题、和差倍分问题 1．（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿， 根据题意，得， 解得 故用的木材做桌面，的木材做桌腿． （2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。 最多能生产的方桌为（张）， 所以这些木材最多可做方桌300张． 2．（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨． 根据题意得：， 解得：． 答：1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨； （2）解：由（1）得1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨； ∵租用m辆A型车，n辆B型车, 根据题意得：， ， 又、n均为正整数， 或， 该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用7辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用2辆A型车，6辆B型车． 选择方案1所需租车费用为（元）； 选择方案2所需租车费用为（元）． ， 最少租车费是9200元． 3．（1）解：设大卡车有辆，小卡车有辆，根据题意得 解得 答：大卡车有8辆，小卡车有7辆． （2）解： ， ∵x应满足， ∴， ∴与的函数解析式为（，x为整数） （3）解：由题意，得， ∴， ∵ ，且为整数 ∵在函数中，随减小而减小， ∴当时，y有最小值，为， 此时，，． 答：5辆大卡车前往中心A，3辆大卡车前往中心B，5辆小卡车前往中心A，2辆小卡车前往中心B，这样调配卡车总运费最少，最少费用为9900元． 【★★考点32】一次函数的图象与性质综合 1．（1）解：将点代入，得， 解得 （2）由（1）知，直线的函数表达式为 将代入，得，所以点的坐标为， 设点的坐标为 的面积为2， ，解得， ①将代入，得， 所以点的坐标为； ②将代入，得， 所以点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 2．（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图像如图： （2）解：令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得；令，则； ，， 设点P的坐标是， 由题意得， 解得或， ∴点P的坐标是或． 3．（1）解：在中，令，得， 令，得，解得， ，； （2）解：，， ，， ， 设C点的坐标为， ， 将的面积分成的两部分， 或， 或， 解得：或4， 或， 设直线的解析式为， 或， 解得或 直线的解析式为或． 【★★★考点33】分配方案问题、销售利润问题 1．（1）解：设篮球的价格为元，排球的价格为元，由题意，得： ，解得：， 答：篮球的价格为元，排球的价格为元； （2）解：设购进篮球个，则购进排球个，设总利润为元，由题意，得：， 整理，得：， ∵商场所有购买方案获利相同， ∴的值与无关， ∴， ∴． 2．（1）解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件， 根据题意得：， 解得 答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件． （2）解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得： ， 随m的增大而增大， ， 当时，W有最大值， 此时件 答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元． 3．（1）解：设修正带进价为元／个，笔袋进价为元／个， 根据题意，可得，解得． 答：修正带进价为8元／个，笔袋进价为10元／个． （2）解：设文具店修正带进货量为个，总利润为元， 则 ， ， 随着的增大而减少， 又修正带的进货量不低于350个，且不高于450个，即， 当修正带的进货量为350个时，总利润的最大值为3650元． 答：该文具店总利润的最大值是3650元． 【★★★考点34】勾股定理综合应用 1．（1）解：选择②或③， 选择②时：， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ； 选择③时，， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ， ，， ， 在中， ． 2．（1）证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2）解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，≌， ，， ， ， ， ； （3）解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，∠ABD=90°， ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得：， ； 综上所述，的值为或． 3．（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； （2）解：①在中，由勾股定理得：． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况： 如图，当点在线段上时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在线段的延长线上时． ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【★★★考点35】一次函数与几何综合 1．（1）解：， ∴当时，，当时，，解得：， ∴； （2）解：∵点是线段上的一个动点（不与重合）， 设点的横坐标为，过点作轴， ∴点坐标为， ∴的面积： ∴的面积与之间的函数关系式为； （3）解：①． 理由如下：当的面积时， ，解得：， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴； ②存在， 过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作于点，分两种情况： 情况一：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴∠AFE+∠FAE=∠FAE+∠PAG=90°， ∴∠AFE=∠PAG， 在和中， ， ∴≌（AAS）， ∴， ∴点 情况二：∵是等腰直角三角形，同理≌（AAS）， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 2．（1）解：∵直线与直线交于点， ∴把点E的坐标代入直线：得：， ∴， ∴把点E的坐标代入直线：得：， 解得：， ∴直线：， ∵直线：与x轴，y轴分别交于点A，B， 令，则；令，则， ∴，， ∵直线：与x轴，y轴分别交于点C，D， 令，则， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则点为的中点， ∵点，， ∴M点的横坐标为， ∴a的值为； 3.（1）解：当时，， 解得：，即点， ∵直线经过点， ∴， 解得：， 则直线的表达式为：． （2）当中时，，解得 ∴， 当中时，，解得 ∴， 当时，为直角三角形， 此时，则， 故； 当时，为直角三角形，过作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，得， ∴， 综上，点E的坐标为或； （3）存在，理由： 当点P在y轴左侧时， ∵，则， 即， 设， 由点A，P，C的坐标得，，， 得，即点； 当点在y轴右侧时，则与左侧时的点P关于点H对称，故此时 综上，存在，点的坐标为或 学科网（北京）股份有限公司 $