专题6.2 排列与组合（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第三册

本讲义聚焦高中数学排列与组合核心知识点，系统梳理排列（有序）与组合（无序）的定义辨析，排列数Aₙᵐ、组合数Cₙᵐ公式推导及应用，构建从概念理解到公式计算再到实际问题求解的递进学习支架。 资料以“六艺课程排列”“志愿者分配”等实际情境为载体，通过捆绑法、插空法等题型分类及即学即练设计，培养学生数学思维（逻辑推理、运算能力）与数学语言表达能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题6.2 排列与组合 教学目标 1. 理解排列、组合的核心定义，明确两者的本质区别（有序/无序）。 2. 掌握排列数Anm、组合数Cnm的计算公式及推导，能熟练计算简单的排列、组合问题。 3. 能根据实际问题的特征，准确判断是排列问题还是组合问题，并选择对应方法求解。 教学重难点 重点 1. 排列、组合的定义辨析，能准确区分有序的排列问题和无序的组合问题。 2. 排列数Anm、组合数Cnm的计算公式及简单应用。 3. 运用排列、组合的基本概念解决基础的实际计数问题。 难点 1. 理解排列与组合的本质区别（有序性），能根据实际问题的条件准确判断问题类型。 2. 解决实际问题时，如何合理运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，避免重复或遗漏。 3. 含限制条件的简单排列、组合问题的求解（如元素相邻/不相邻、特殊元素/位置优先等）。 知识点01 排列的概念 排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从___________中取出___________后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是___________，无顺序就不是排列． 【即学即练】 1.（多选）下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 2．，，则等于（    ） A． B． C． D． 知识点02 排列数 1.排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个___________（也就是具体的一件事）； 2．排列数公式 ，其中n，m∈N+，且m≤n． 公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数。 【即学即练】 1定义双阶乘符号：当是自然数时，表示不超过且与有相同奇偶性的所有正整数的乘积，例如：，，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知，，则满足不等式的的值为（   ） A．6 B．3 C．8 D．4 知识点03 组合数及其公式 1.组合数的定义： 从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． “组合”与___________是两个不同的概念： 一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个___________． 2．组合数公式： (1)（、，且） (2)（、，且） 上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 组合数的性质 性质1：（、，且）性质2：（、，且） 【即学即练】 1．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 2．若，则（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 知识点04 组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素___________，再从___________中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先___________，再除以___________，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）相同元素分组问题用“隔板法”： 【即学即练】 1．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 2．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 题型01 与排列数有关的运算 【典例1】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 所以． 【变式1】已知正整数满足，则 . 【变式2】可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3】计算的值是（    ） A．41 B．70 C．76 D．82 题型02 组合概念及组合数公式 【典例1】若，则（   ） A． B． C． D． (1)（、，且） (2)（、，且） 【变式1】（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【变式2】下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则 ． 题型03 相邻问题捆绑法 【典例1】中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次或在最后一次，“数”和“书”相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．144种 B．120种 C．108种 D．84种 1. 定捆绑对象：找出所有要求相邻的元素，标记为一个“大元素”； 2. 排整体：将“大元素”与剩余的独立元素进行全排列，计算排列数Ann（n为整体数，=独立元素数+1个大元素）； 3. 排内部：对捆绑的“大元素”内部的相邻元素进行全排列，计算内部排列数A_{m}^m（m为相邻元素的个数）； 4. 求总数：总排列数 = 整体排列数 × 内部排列数。 关键注意点 1. 捆绑后大元素算1个元素，计算整体个数时切勿多算/漏算； 2. 相邻元素有顺序要求，内部必须全排列，这是最易遗漏的步骤； 3. 若有多组相邻元素，每组分别捆绑成独立大元素，再一起参与整体排列，最后各组分别内部排列，结果相乘。 【变式1】在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 种. 【变式2】若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（    ） A．4680 B．4320 C．3640 D．3860 【变式3】从单词“”中选取5个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有 种．（用数字作答） 题型04 不相邻问题插空法 【典例1】某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 1. 定基础元素：找出无相邻要求的基础元素，先对其进行全排列； 2. 算有效空隙：基础元素排好后，会形成左右两侧+元素之间的空隙，数清可插入的有效空隙数（n个基础元素形成n+1个空隙）； 3. 插不相邻元素：从有效空隙中选对应个数的空隙，将不相邻元素有序插入（有顺序，用排列数）； 4. 求总数：总排列数 = 基础元素排列数 × 不相邻元素插入排列数。 关键注意点 1. 必须先排基础元素，再插不相邻元素，不可颠倒，否则会出现相邻情况； 2. 空隙数计算要准确：n个基础元素形成n+1个有效空隙，左右两侧的空隙均可用（无特殊限制时）； 3. 若有多组不相邻元素，依次插入即可，后插入的元素需在前序排列形成的新空隙中选择； 4. 若有空隙限制（如不插两端），需剔除无效空隙，再计算可插入空隙数。 【变式1】马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有（   ） A．20种 B．120种 C．56种 D．60种 【变式2】某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【变式3】《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ） A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 题型05 定序问题 【典例1】大润发超市的店员准备把待打折处理的两袋不同的蔬菜和两袋不同的水果摆上如图所示的货架，要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列，则共有 种不同的摆放方法.（用数字作答） A B C D E F 定序问题作倍缩放：将题干给定的总数都看成某一个独立的个体（不相同的），进行全排列故为，其次再将有顺序要求的个元素进行全排列个，其中满足要求的顺序必为1个，则总的情况数为。 【变式1】2025年11月9日至21日，第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中，某路段的传递活动由，，，，，共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从，中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且，两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（   ） A．54 B．60 C．102 D．114 【变式2】甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答） 【变式3】某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有 种． 题型06 分组分配问题 【典例1】将小明，小红等5人分成A，B，C三组，要求小明与小红一组，且每组至少有一人，则不同的分法总数为 . 分组问题与分配问题 Ⅰ：将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组问题. 分组问题共分为3类：不平均分组、平均分组、部分平均分组. 将个不同元素按照某些条件分配给个不同的对象，称为分配问题. 分配问题共分为2类：定额分配、随机分配. 区别：分组问题是组与组之间只要元素个数相同，是不区分的.而分配问题即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的，对于分配问题必须先分组后分配. Ⅱ：分组问题的常见形式及快速处理方法 ①非均匀不编号分组：个不同元素分成组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不管是否分完，其分法种数为： 如：6个不同的球分为3组，且每组数目不同，有多少种情况？ ②均匀不编号分组：将个不同元素分成不编号的组，假定其中组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为（为非均匀不编号分组的分法种数）.如果再有组均匀分组，应再除以.除的原因为：如：123456平均分成3组，可能是 也可能是或者是等，一共有种不同的组别，但这些组都是一样的，所以除以. 如：两两一组，分两组，若直接用种，但列举出来的分别为、、再往下列举就已经重复了. 如：、、. 如：6个不同的球分为3组，且每组数目相同，有多少种情况？ . ③非均匀编号分组：将个不同元素分成组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为（为非均匀不编号分组的分法种数） ④均匀编号分组：将个不同元素分成组，各组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为（为非均匀不编号分组的分法种数）. 【变式1】某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】某学校安排4名教师分别到3个村庄支教，若每个村庄至少安排1名教师，则不同分配方案共有（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式3】甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 题型07 隔板法 【典例1】甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 隔板法：解相同元素的组合问题 相同元素的组合问题，即有若干组元素，每组元素相同，将这些元素排成一排的计数问题 典型问题：相同小球放入不同盒中，即个相同元素分成组（每组的任务不同）的问题. Ⅰ:当每组至少含一个元素时，其不同分组分式有种，即给个元素中间的个空隙中插入个隔板. Ⅱ：任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组分式有种，即将个元素与个相同隔板进行排序，在个位置中选个隔板. 【变式1】为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序. (1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 【变式2】班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ (2)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 D．有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 题型08 分堆问题 【典例1】将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数． (1)平均分成三堆； (2)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (3)平均分给甲、乙、丙三人； (4)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (5)一人得1本，一人得2本，一人得3本． ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． 【变式1】（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ （4）把7个不同的小球放在3个相同的盒子里，要求每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？ 【变式2】将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 【变式3】（1）某校要组建一个16人的足球队，这16人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少1人，名额分配方案共有多少种？ （2）将7个红球、6个白球（球只有颜色的区别）放入5个不同的盒子，要求每个盒子里至少有红球、白球各1个，则有多少种不同的放法？ 1．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有 种． 2．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为 ． 3．某产品的加工需要经过道工序，下列说法正确的是（   ） A．其中某道工序放在最前，有种不同的加工顺序 B．其中某道工序不放在最前，也不放在最后，有种不同的加工顺序 C．其中某两道工序必须相邻，有种不同的加工顺序 D．其中某两道工序不能相邻，有种不同的加工顺序 4．若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．共计有720种不同的排法 B．男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C．男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D．男女生相间排法总数为36种 5．已知，则 . 6．某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表，要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节），则不同的排法总数是（   ） A．720 B．120 C．144 D．192 7．2名男生和3名女生站成一排照相，其中恰有2名女生相邻的不同站法共有（　　） A．48种 B．60种 C．72种 D．96种 8．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（    ） A．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有36种 B．课程“御”和“书”、“数”都不相邻的不同排法共有288种 C．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 D．课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有480种 9．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数 ． 10．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 11．2025年国庆假期，小张､小李､小王､小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖､明孝陵､牛首山､银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（    ） A．每个景点都有人去的情况共有24种 B．有景点没人去的情况共有256种 C．恰有1个景点没人去的情况共有144种 D．4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种 12．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 13．某兴趣小组有6名男生和3名女生，从中选出4人代表小组参加活动，则男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法有（   ） A．21种 B．56种 C．91种 D．35种 14．已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有 种． 15．某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C．4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有（   ） A．72种 B．36种 C．24种 D．64种 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 排列与组合 教学目标 1. 理解排列、组合的核心定义，明确两者的本质区别（有序/无序）。 2. 掌握排列数Anm、组合数Cnm的计算公式及推导，能熟练计算简单的排列、组合问题。 3. 能根据实际问题的特征，准确判断是排列问题还是组合问题，并选择对应方法求解。 教学重难点 重点 1. 排列、组合的定义辨析，能准确区分有序的排列问题和无序的组合问题。 2. 排列数Anm、组合数Cnm的计算公式及简单应用。 3. 运用排列、组合的基本概念解决基础的实际计数问题。 难点 1. 理解排列与组合的本质区别（有序性），能根据实际问题的条件准确判断问题类型。 2. 解决实际问题时，如何合理运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，避免重复或遗漏。 3. 含限制条件的简单排列、组合问题的求解（如元素相邻/不相邻、特殊元素/位置优先等）。 知识点01 排列的概念 排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 【即学即练】 1.（多选）下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】BC 【分析】根据排列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定向量涉及顺序问题，是排列问题，C正确； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：BC 2．，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件利用排列数公式的意义即可得解. 【详解】因且，表示80个连续正整数的乘积， 其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为， 所以. 故选：A 知识点02 排列数 1.排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 2．排列数公式 ，其中n，m∈N+，且m≤n． 公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数。 【即学即练】 1定义双阶乘符号：当是自然数时，表示不超过且与有相同奇偶性的所有正整数的乘积，例如：，，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双阶乘的概念计算判断ACD，根据双阶乘的概念利用对数运算求解判断B. 【详解】由题意知，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 2.已知，，则满足不等式的的值为（   ） A．6 B．3 C．8 D．4 【答案】BD 【分析】根据排列数的计算得出不等式，解不等式再根据的范围即可求得结果. 【详解】因为， 所以，即，解得； 又，，所以或4， 故选：BD. 知识点03 组合数及其公式 1.组合数的定义： 从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． “组合”与“组合数”是两个不同的概念： 一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 2．组合数公式： (1)（、，且） (2)（、，且） 上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 组合数的性质 性质1：（、，且）性质2：（、，且） 【即学即练】 1．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【分析】A选项，分别得到第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数，第9行的第8个数，得到A正确；B选项，第2023行中第1012个数为，第1013个数为，结合组合知识得到B正确；C选项，先得到，得到；D选项，第15个数与第16个数之比为. 【详解】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 2．若，则（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据排列数和组合数的计算方法，列出方程，求出结果. 【详解】由得，解得. 故选：D. 知识点04 组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）相同元素分组问题用“隔板法”： 【即学即练】 1．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】ABD 【分析】根据题意，由分布、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于选项A，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体， 与其他3门课程全排列，共有种排法，故A正确； 对于选项B，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能， 各占一半，所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有种，故B正确； 对于选项C，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选， 在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故C错误； 对于选项D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐” 排在第一周的排法数，再减去课程“御”排在最后一周的排法数，然后加上课程“乐” 排在第一周且 课程“御”排在最后一周的排法，则总的排法为种，若课程“乐”排在第一周的排法为种， 若课程“御”排在最后一周的排法为种， 课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种， 则满足条件的排法数为种，故D正确. 故选：ABD. 2．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 【答案】(1)360(2)120 【分析】（1）［方法一］结合排列数，利用倍缩法求解即可； ［方法二］结合排列数，利用空位法求解即可. （2）［方法一］结合排列数，利用倍缩法求解即可； ［方法二］结合排列数，利用空位法求解即可. 【详解】（1）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙顺序，有种排法，甲、乙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边的排法共有（种）． ［方法二］空位法：从6个位置中选择4个位置把除甲、乙外的其余4人放入，共有种排法， 再将甲、乙按序排入余下的2个位置，因此共有（种）排法． （2）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙、丙顺序，有种排法，甲、乙、丙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边，乙在丙的左边共有（种）排法． ［方法二］空位法：从6个位置中选择3个位置把除甲、乙、丙外的其余3人放入，共有种排法， 再将甲、乙、丙按序排入余下的3个位置，因此共有（种）排法． 题型01 与排列数有关的运算 【典例1】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据排列数和组合数的公式和性质进行计算即可. 【详解】对A选项，，A正确； 对B选项，左边=，B错误； 对C选项，方法一：，方法二：，C正确； 对D选项，，故D错误. 故选：AC. 所以． 【变式1】已知正整数满足，则 . 【答案】5 【分析】按组合数、排列数公式列出等式求解即可. 【详解】由题意得，且，得，即. 故答案为：5. 【变式2】可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列的计算公式即可求解. 【详解】. 故选：C 【变式3】计算的值是（    ） A．41 B．70 C．76 D．82 【答案】C 【分析】利用排列数公式和组合数公式求解. 【详解】. 故选：C. 题型02 组合概念及组合数公式 【典例1】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于选项AB，利用组合数的性质，可得，利用组合数公式可得，计算得解；对于选项C,根据二项式定理，令，可得，设即可得解；对于选项D，当时，则有．根据组合数的性质可得所求. 【详解】已知，根据组合数的性质，可得， 根据组合数公式，则， 即，展开得，因式分解为， 解得或． 因为为正整数，所以，故A正确，B错误． 根据二项式定理， 令，可得， 即． 当时，，而， 所以， 故C错误． 当时，． 根据组合数的性质，可得， 故D正确． 故答案：AD． (1)（、，且） (2)（、，且） 【变式1】（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）280；（2） 【分析】（1）利用排列数和组合数的公式计算；（2）利用组合数运算求解. 【详解】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. 【变式2】下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式可判断AB选项，利用组合数公式可判断C选项，利用组合数的性质可判断D选项. 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 由组合数的性质可得，故D正确. 故选：ACD. 【变式3】已知，则 ． 【答案】19 【分析】利用排列数与组合数关系求得的值，进而求解. 【详解】由得，所以， ∴，解得，故． 故答案为：19． 题型03 相邻问题捆绑法 【典例1】中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次或在最后一次，“数”和“书”相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．144种 B．120种 C．108种 D．84种 【答案】D 【分析】将“数、书”捆绑，分“礼”在第二次或“礼”在最后一次两类求解. 【详解】将“数、书”捆绑，内部排列共有种，则可看作五个元素，五个次序， 若“礼”在第二次，则首先需从“乐、射、御”三艺中选择一艺放在第一次有种不同的次序， 再将剩余三个元素（数、书捆绑看作一个元素）在后面排列，有种不同的次序， 根据分步乘法计数原理，讲座不同的次序共有种； 若“礼”在最后一次，则将剩余四个元素（数、书捆绑看作一个元素）安排在剩余四个次序， 有种不同的次序，根据分步乘法计数原理，讲座不同的次序共有种； 综上，讲座不同的次序共有种， 故选：D. 1. 定捆绑对象：找出所有要求相邻的元素，标记为一个“大元素”； 2. 排整体：将“大元素”与剩余的独立元素进行全排列，计算排列数Ann（n为整体数，=独立元素数+1个大元素）； 3. 排内部：对捆绑的“大元素”内部的相邻元素进行全排列，计算内部排列数A_{m}^m（m为相邻元素的个数）； 4. 求总数：总排列数 = 整体排列数 × 内部排列数。 关键注意点 1. 捆绑后大元素算1个元素，计算整体个数时切勿多算/漏算； 2. 相邻元素有顺序要求，内部必须全排列，这是最易遗漏的步骤； 3. 若有多组相邻元素，每组分别捆绑成独立大元素，再一起参与整体排列，最后各组分别内部排列，结果相乘。 【变式1】在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 种. 【答案】5160 【分析】根据分步乘法和分类加法的计数原理，结合是否与同行，以及是否同行，进行分类讨论，即可求解. 【详解】①当与同行，与也同行时，有种种植方案； 与不同行时，有种种植方案； ②当与不同行时，有种种植方案. 故不同的种植方案有（种）. 故答案为： 【变式2】若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（    ） A．4680 B．4320 C．3640 D．3860 【答案】B 【分析】把3名女生看作一个整体，再与5名男生共6个元素进行全排列，最后根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】将3名女生看成一个整体，再和5名男生进行全排列，有种排法， 因为3名女生内部顺序可以调整，所以共有种不同的排法． 故选：B. 【变式3】从单词“”中选取5个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有 种．（用数字作答） 【答案】480 【分析】利用分步计数原理，先从其它6个字母中取3个字母，有种结果，再将选出的3个字母与视为一个整体的“”进行全排列，即可求出结果. 【详解】要选取5个字母，首先从其它6个字母中选3个有种结果， 再将选出的3个字母与视为一个整体的“”进行全排列共有 种. 故答案为：480 题型04 不相邻问题插空法 【典例1】某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先将女生排好，再利用插空法，排列男生，并根据分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位， 再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法． 故选：D． 1. 定基础元素：找出无相邻要求的基础元素，先对其进行全排列； 2. 算有效空隙：基础元素排好后，会形成左右两侧+元素之间的空隙，数清可插入的有效空隙数（n个基础元素形成n+1个空隙）； 3. 插不相邻元素：从有效空隙中选对应个数的空隙，将不相邻元素有序插入（有顺序，用排列数）； 4. 求总数：总排列数 = 基础元素排列数 × 不相邻元素插入排列数。 关键注意点 1. 必须先排基础元素，再插不相邻元素，不可颠倒，否则会出现相邻情况； 2. 空隙数计算要准确：n个基础元素形成n+1个有效空隙，左右两侧的空隙均可用（无特殊限制时）； 3. 若有多组不相邻元素，依次插入即可，后插入的元素需在前序排列形成的新空隙中选择； 4. 若有空隙限制（如不插两端），需剔除无效空隙，再计算可插入空隙数。 【变式1】马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有（   ） A．20种 B．120种 C．56种 D．60种 【答案】A 【分析】先让两端的两盏灯亮着，再点亮中间8盏中的5盏，5盏灯有6个空，利用插空法即可求解. 【详解】让两端的两盏灯亮着，再点亮中间8盏中的5盏， 5盏灯有6个空格，从6个空格中随机的选3个空格，因为灯是没有顺序的，所以共有种， 故选：A. 【变式2】某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 【变式3】《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ） A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 【答案】D 【分析】根据题意分步进行分析：①用倍分法分析《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《赋得古原草送别》与《念奴娇》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意分步进行分析： ①将《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序， 因为《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，所以这首诗词的排法有种； ②这首诗词排好后，不含最后有个空位，在个空位中任选个， 安排《赋得古原草送别》与《念奴娇》，有种安排方法； 则后六场的排法有种 . 故选：D 题型05 定序问题 【典例1】大润发超市的店员准备把待打折处理的两袋不同的蔬菜和两袋不同的水果摆上如图所示的货架，要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列，则共有 种不同的摆放方法.（用数字作答） A B C D E F 【答案】72 【分析】首先在第一行放一袋蔬菜和一袋水果，再在第二行分类讨论放剩下的蔬菜和水果，最后利用分步计数原理即可得出结果. 【详解】因为要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列， 所以第一行只能放一袋蔬菜和一袋水果，共有种放法, 再在第二行分类讨论放剩下的蔬菜和水果， 第二袋蔬菜如果放在第一袋水果下方，则第二袋水果有2种放法， 如果第二袋蔬菜不放在第一袋水果下方，则第二袋水果有1种放法，共有3种情况， 因此共有种摆放方法. 故答案为：72. 定序问题作倍缩放：将题干给定的总数都看成某一个独立的个体（不相同的），进行全排列故为，其次再将有顺序要求的个元素进行全排列个，其中满足要求的顺序必为1个，则总的情况数为。 【变式1】2025年11月9日至21日，第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中，某路段的传递活动由，，，，，共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从，中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且，两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（   ） A．54 B．60 C．102 D．114 【答案】D 【分析】分火炬手完成第一棒和火炬手完成第一棒两种情况讨论即可求解. 【详解】当火炬手完成第一棒时，有种不同的传递方案； 当火炬手完成第一棒时，有种不同的传递方案， 故共有种不同的传递方案. 故选：D. 【变式2】甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答） 【答案】60 【分析】利用间接法可求得甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位的分配方法数. 【详解】甲、乙、丙、丁等6名大学生被平均分到三个单位有. 其中甲、乙在同一个单位的分法有种， 丙、丁在同一个单位的分法有种， 甲、乙在同一个单位且丙、丁也在同一个单位的分法有种， 故甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有. 故答案为：. 【变式3】某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有 种． 【答案】474 【分析】先从节课中任意安排，再排除上午和下午连上3节的情况即可. 【详解】从节课中任意安排节共有：种， 其中前节课连排节共有：种；后节课连排3节共有：种， 老师一天课表的所有排法共有：种. 故答案为：474 题型06 分组分配问题 【典例1】将小明，小红等5人分成A，B，C三组，要求小明与小红一组，且每组至少有一人，则不同的分法总数为 . 【答案】36 【分析】根据分组分配进行分类讨论求解即可． 【详解】从另外人中选人与小明、小红同组，再将形成的个小组分配到、、三个不同位置， 方法数为种， 当小明，小红一组，剩余三人分另外2组，一组人，另一组人， 则共种排法， 故最终总数为种． 故答案为：36． 分组问题与分配问题 Ⅰ：将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组问题. 分组问题共分为3类：不平均分组、平均分组、部分平均分组. 将个不同元素按照某些条件分配给个不同的对象，称为分配问题. 分配问题共分为2类：定额分配、随机分配. 区别：分组问题是组与组之间只要元素个数相同，是不区分的.而分配问题即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的，对于分配问题必须先分组后分配. Ⅱ：分组问题的常见形式及快速处理方法 ①非均匀不编号分组：个不同元素分成组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不管是否分完，其分法种数为： 如：6个不同的球分为3组，且每组数目不同，有多少种情况？ ②均匀不编号分组：将个不同元素分成不编号的组，假定其中组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为（为非均匀不编号分组的分法种数）.如果再有组均匀分组，应再除以.除的原因为：如：123456平均分成3组，可能是 也可能是或者是等，一共有种不同的组别，但这些组都是一样的，所以除以. 如：两两一组，分两组，若直接用种，但列举出来的分别为、、再往下列举就已经重复了. 如：、、. 如：6个不同的球分为3组，且每组数目相同，有多少种情况？ . ③非均匀编号分组：将个不同元素分成组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为（为非均匀不编号分组的分法种数） ④均匀编号分组：将个不同元素分成组，各组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为（为非均匀不编号分组的分法种数）. 【变式1】某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先运用“先分组后分配”的策略求出5名同学去3个服务点的安排方法数，再运用“正难则反”策略与“捆绑法”求出甲与乙去同一个服务点的安排方法数，再利用古典概型以及对立事件的概率公式即可得解. 【详解】5名同学分成3个小组， 若按2人，2人，1人来分有种分组方式， 若按3人，1人，1人来分有种分组方式， 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种. 若甲乙去同一个服务点且该服务点有两人，则有种分组方式； 若甲乙去同一个服务点且该服务点有三人，则有种分组方式； 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以甲乙去同一个服务点的不同安排方法有：种. 因此，甲乙去同一个服务点的概率为， 则甲与乙不去同一个服务点的概率为. 故选：B. 【变式2】某学校安排4名教师分别到3个村庄支教，若每个村庄至少安排1名教师，则不同分配方案共有（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【分析】先将教师分组再进行分配，结合排列组合的知识解决. 【详解】从3个村庄中选出1个村庄，有种选法； 再从4名教师中选出2名教师到该村庄，有种选法； 将剩下的2名教师安排到剩下的2个村庄，有种方法， 故其分配方案共有种. 故选：C 【变式3】甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先平均分成3组，然后利用全排列和分步计数原理求解即可； （2）先将6名学生分成3组，其中甲、乙、丙在同一组，可分为两种情况：①甲、乙、丙为一组，其余3人分成两组；②甲、乙、丙与另外1人组成一组，其余2人各为一组。计算出两种情况下的安排方法数再相加即可； （3）先将甲、乙、丙分别安排到3个社区，然后剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，进而利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】（1）将6名学生平均分成3组， 分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； （2）①甲、乙、丙看作一组，有1种分法． 将剩下的3人分成2组，分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法． 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； 综上不同的安排方法有（种）； （3）甲、乙、丙分别安排到3个社区，有（种）， 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）. 题型07 隔板法 【典例1】甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 【答案】(1)144 (2)144 (3)90 【分析】（1）采用捆绑法求解； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）利用平均分组分配的方法求解. 【详解】（1）将甲、乙、丙组成一个整体，再与其余3人全排列， 共有种排列方案； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）名学生平均分配到三项不同的社区有种方法. 隔板法：解相同元素的组合问题 相同元素的组合问题，即有若干组元素，每组元素相同，将这些元素排成一排的计数问题 典型问题：相同小球放入不同盒中，即个相同元素分成组（每组的任务不同）的问题. Ⅰ:当每组至少含一个元素时，其不同分组分式有种，即给个元素中间的个空隙中插入个隔板. Ⅱ：任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组分式有种，即将个元素与个相同隔板进行排序，在个位置中选个隔板. 【变式1】为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序. (1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用间接法以及排列知识求出； （2）利用捆绑法以及排列的知识解决. 【详解】（1）将六件艺术作品展出，则展出顺序共有种， 若第一件展出的艺术作品是国画，则展出顺序共有种， 则第一件展出的艺术作品不是国画，共有种不同的安排方案； （2）因油画和插画的展出顺序相邻，则将其捆绑为一个整体，再将其与剩下的四件艺术作品一起排序，共有种不同的安排方案. 【变式2】班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ (2)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 【答案】(1)240 (2)600 【分析】（1）利用捆绑法可求解即可； (2)根据魔术节目不排在最后一个节目，则先排魔术节目，再排另外5个节目即可． 【详解】（1）2个相声节目捆绑在一起，内部排列，再与其他4个节目一起排列， 则共有种排法； （2）先排魔术节目，由于不排在最后一个，则共有5种排法， 再排另外5个节目，5个位置，则有种排法， 则共有种排法. 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 D．有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 【答案】ACD 【分析】通过分步计数原理分析投信的方法数，区分组合与排列的适用场景，分情况计算“有男有女”的选法，结合分组分配与排除法计算住宿安排数，逐一验证选项. 【详解】A：每封信有3种投法，5封信的投法数为，正确. B：从5人中选3人，参观券无顺序差异，应使用组合数，而非排列数，错误. C：需选“有男有女”的4人，分3种情况：1男3女、2男2女、3男1女，对应选法为、、，正确. D：5人住3个房间（每间最多2人），人数分配为. ①先分组：将5人分为的三组，分法为； ②安排房间：分组后分配到3个房间，方法数为； ③减去甲乙同住的情况：甲乙在同一2人组，剩余3人分为，分法为，分配房间数为； 最终符合条件的安排数为，正确. 故选：ACD 题型08 分堆问题 【典例1】将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数． (1)平均分成三堆； (2)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (3)平均分给甲、乙、丙三人； (4)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (5)一人得1本，一人得2本，一人得3本． 【答案】(1)15 (2)60 (3)90 (4)60 (5)360 【分析】（1）是平均分组问题，是无序的，要将直接分组后的结果除以组数的全排列数； （2）是非平均分组，按规定中的各组中元素的个数，直接分组即可； （3）是平均分配问题，将（1）中的平均分组数再乘以组数的全排列数； （4）是确定了方案的非平均分配问题，（2）中的非平均分组数即是本小题的非平均分配数； （5）是无确定方案的非平均分配问题，将（2）中的非平均分组数乘以组数的全排列数，即为非平均分配数． 【详解】（1）将6本书平均分成三堆，不需要考虑顺序． 故有， 将6本书平均分成三堆共有15种不同的分法. （2）由于三堆书的本数各不相同，所以直接分组后，不会出现相同的分法． 故有． 所以6本书分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本共有60种不同的分法． （3）先将书平均分成三堆，再分给甲、乙、丙三人， 故有． 所以6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人共有90种不同的分法 （4）实际上和（2）的问题是等价的. 故有． 所以6本不同的书甲得1本，乙得2本，丙得3本共有60种不同的分法． （5）由于谁得1本、2本、3本未定，所以除了要将书作非平均分组外，还要再乘以． 故有． 所以6本不同的书一人得1本，一人得2本，一人得3本共有360种不同的分法. ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． 【变式1】（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ （4）把7个不同的小球放在3个相同的盒子里，要求每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？ 【答案】（1）15种（2）15种（3）36种（4）301种 【分析】（1）法一利用排列数的性质求解，法二利用隔板法求解即可. （2）先将问题合理转化，再利用隔板法求解即可. （3）法一对空盒子的个数进行分类讨论，再求和即可，法二利用隔板法求解即可. （4）利用组合数的性质求解即可. 【详解】（1）法一：问题相当于先把7个相同的小球分成3堆，再分配到不同的盒子里. 把7个相同的小球分成3堆，有4种分法. 第一类，按照来分，有种方法； 第二类，按照来分，有种方法； 第三类，按照来分，有种方法： 第四类，按照来分，有种方法 综上，共有种方法. 法二：在7个相同的小球中间的6个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （2）可以先在每个盒子中放1个球，问题就变成将7个相同的小球放入3个不同的盒子， 每个盒子里至少放1个球，即将小球分为堆，会产生个空档， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （3）法一：空0个盒子共有种，空1个盒子共有种， 空2个盒子共有种，综上，共有种方法. 法二：先借3个相同的球，在每个盒子里先放入1个借来的球， 则问题就转化为把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空， 即在10个相同的小球中间的9个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （4）由题意得盒子相同，按照球的个数可以分为，共4种， 第一类，按照来分，有种方法； 第二类，按照来分，有种方法； 第三类，按照来分，有种方法： 第四类，按照来分，有种方法 综上，共有种方法. 【变式2】将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 【答案】(1)15 (2)90 (3)60 (4)60 (5)360 【分析】（1）利用平均分组法求解即可； （2）利用平均分组分配求解即可； （3）利用不平均分组法求解即可； （4）利用不平均分组分配求解即可； （5）利用不平均分组，结合排列数公式求解即可； 【详解】（1）本题是平均分组无归属问题，则共有种分法． （2）本题是平均分组有归属问题，则共有种分法． （3）本题是不平均分组问题，则共有种分法． （4）本题是不平均分组有归属且归属确定问题，将球按照分成3堆， 甲、乙、丙3人来拿，只有1种拿法，则共有种分法． （5）本题是不平均分组目归属不确定问题，先将球按照分成3堆， 有种分法，再分给3人，有种分法， 因此共有种分法. 【变式3】（1）某校要组建一个16人的足球队，这16人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少1人，名额分配方案共有多少种？ （2）将7个红球、6个白球（球只有颜色的区别）放入5个不同的盒子，要求每个盒子里至少有红球、白球各1个，则有多少种不同的放法？ 【答案】（1）5005；（2）75 【分析】（1）采用隔板法即可求解； （2）采用分步乘法即可求解. 【详解】（1）可考虑用构造模型法来解题．如图6.2－3所示，将16个小球排成一列， 从每两个相邻的小球形成的15个间隙中选取9个插入隔板，将16个小球分成10份， 因此名额分配方案和隔板插入数相等，共有（种）放法， 即共有5005种名额分配方案． （2）由题意可知，题目所要求的放法即为求两种球分别放入5个盒子且盒子非空的放法． 构造隔板模型，分两步放球，第1步，放红球，共有种放法； 第2步，放白球，共有种放法，因此共有（种）放法． 1．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有 种． 【答案】30 【分析】根据排列中的定序问题的处理方法计算求解. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 2．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为 ． 【答案】30 【分析】根据排列中的定序问题的处理方法计算求解. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 3．某产品的加工需要经过道工序，下列说法正确的是（   ） A．其中某道工序放在最前，有种不同的加工顺序 B．其中某道工序不放在最前，也不放在最后，有种不同的加工顺序 C．其中某两道工序必须相邻，有种不同的加工顺序 D．其中某两道工序不能相邻，有种不同的加工顺序 【答案】ABD 【分析】根据排列的定义，结合捆绑法、插空法逐一判断即可. 【详解】A：某道工序放在最前，其他道工序进行排列即可， 则有种方法，因此本选项说法正确； B：因为某道工序不放在最前，也不放在最后，所以从其他道工序中选出道工序放在最前最后两个位置， 这道工序和剩下的道工序进行排列，则有种方法，因此本选项说法正确； C：因为某两道工序必须相邻，所以把这两道工序捆绑，连同其他道工序进行排列， 则有种方法，因此本选项说法不正确； D：因为某两道工序不能相邻，所以首先其他道工序进行排列，形成个空，然后这两道工序进行插空， 则有种方法，因此本选项说法正确. 故选：ABD 4．若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．共计有720种不同的排法 B．男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C．男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D．男女生相间排法总数为36种 【答案】ABC 【分析】由全排列公式判断A，B；由捆绑法判断C；由插空法判断D. 【详解】对于A，3男3女排成一排共有种不同的排法，故A正确； 对于B，男生甲在排头或在排尾的排法总数为种，故B正确； 对于C，男生甲、乙相邻的排法总数为种，故C正确； 对于D，男女生相间排法总数为种，故D错误 故选：ABC. 5．已知，则 . 【答案】 【分析】根据排列数计算即可得到答案. 【详解】 由题意得， 解得. 故答案为：. 6．某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表，要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节），则不同的排法总数是（   ） A．720 B．120 C．144 D．192 【答案】D 【分析】先排数学，再排体育，最后排剩下的4科，即可得答案. 【详解】由题意可得数学一共有种排法， 体育一共有种排法， 剩下的4科共有种排法， 所以一共有种排法. 故选：D. 7．2名男生和3名女生站成一排照相，其中恰有2名女生相邻的不同站法共有（　　） A．48种 B．60种 C．72种 D．96种 【答案】C 【分析】分为甲乙相邻、乙丙相邻或甲丙相邻，结合捆绑法、插空法求解. 【详解】设3名女生为甲乙丙， 当甲乙相邻时， 第一步：当女生甲乙相邻时，看作一个整体，2人之间的排序有， 第二步：再将2名男生排成一排有， 第三步：2名男生，三个空，安排甲乙整体和丙，有， 故当甲乙相邻时，共有， 同理：乙丙相邻和甲丙相邻时也有24种， 故恰有2名女生相邻的不同站法共有， 故选：C 8．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（    ） A．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有36种 B．课程“御”和“书”、“数”都不相邻的不同排法共有288种 C．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 D．课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有480种 【答案】BC 【分析】通过插空法分析元素不相邻的排法数，利用相对位置的对称性计算特定顺序的排法数，结合间接法处理有限制条件的排列，逐一验证选项. 【详解】A： 先排“礼、乐、射”，有种排法，产生4个空位； 将“御、书、数”插入空位且互不相邻，需从4个空位选3个排列，即. 排法数为，A错误. B： 先排“礼、乐、射”，有种排法，产生4个空位； 选1个空位放“御”（共种选法）； 因为课程“御”和“书”、“数”都不相邻， 所以，在“御”两侧位置外的剩余3个空位放“书、数”，可同空位（相邻）或不同空位（不相邻）， 排法有，再排列“书、数”（种）. 排法数为，B正确. C： “射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等. 总排法数为，C正确. D： 用间接法：总排法，减去“数”在第一天的、 “礼”在最后一天的，加回重复减去的“数在第一天且礼在最后一天”的. 排法数为，D错误. 故选：BC 9．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数 ． 【答案】个 【分析】组成小于的正偶数，可以是一位数、两位数、三位数、四位数，再分类计算，即可得出结论. 【详解】有一位正偶数时，可选、， 当有两位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能的结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种， 当有三位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能的结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种， 当有四位正偶数时，首项为时，由种， 首位为时，只有符合条件，所以共有种. 故答案为：个. 10．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 【答案】(1)1440种 (2)144种 (3)3720种 【分析】（1）采用捆绑法，将两个女生视为一个元素，先对该元素与其余5个元素全排列，再排列女生内部，计算站法数. （2）采用插空法，先排列老师与女生，再将4名男生插入形成的空位中，计算站法数. （3）分类讨论老师站左端与不站左端的情况，结合分步乘法计数原理，利用分类加法计数原理计算站法数. 【详解】（1）两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素 进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法． （2）∵4名男生互不相邻，∴应用插空法， 对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法． （3）当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法： 当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法， 余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法． 根据分类加法计数原理知共有（种）站法． 11．2025年国庆假期，小张､小李､小王､小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖､明孝陵､牛首山､银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（    ） A．每个景点都有人去的情况共有24种 B．有景点没人去的情况共有256种 C．恰有1个景点没人去的情况共有144种 D．4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种 【答案】ACD 【分析】对于A，利用全排列公式进行求解；对于B，先得到总的情况数，在A基础上得到有景点没人去的情况；对于C，先将四个人分为3组，从而求出恰有1个景点没人去的情况数；对于D，方法一：利用间接法进行求解；方法二：分两种情况进行求解，相加可得答案. 【详解】对于A，每个景点都有人员选择去的情况数为，故A正确； 对于B，4人选择四个景点，每人只能去一个的总的情况数为， 结合A，则有景点没人去的情况数为，故B错误； 对于C，先将四个人分为3组，则有种情况， 故恰有1个景点没人去的情况数为，故C正确； 对于D，方法一：4人从“玄武湖”“明孝陵”两个景点中，每人选择1个景点，共种情况， 若4人均选择同一个景点，情况为2种， 故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为； 方法二：将4人分为两组，若其中1组为1人，另一组为3人，则有种情况， 若平均分为两组，则有种情况， 故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为，故D正确. 故选：ACD. 12．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． 13．某兴趣小组有6名男生和3名女生，从中选出4人代表小组参加活动，则男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法有（   ） A．21种 B．56种 C．91种 D．35种 【答案】C 【分析】方法一：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中，包括甲、乙2人只有1人被选中和甲、乙2人都被选中两类情况求解即可；方法二：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数.就是从9名成员中选出4人的选法种数减去男生甲和女生乙都没有被选中的选法种数. 【详解】方法一：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中，包括甲、乙2人只有1人被选中和甲、乙2人都被选中两类情况， 根据分类加法计数原理，选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数为. 方法二：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数，就是从9名成员中选出4人的选法种数减去男生甲和女生乙都没有被选中的选法种数，即． 故选：C 14．已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有 种． 【答案】150 【分析】根据二项分布的期望得到，然后采用先分组后排序的方法计算即可. 【详解】由，得，即， 故分配方案共有150种． 故答案为：150 15．某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C．4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有（   ） A．72种 B．36种 C．24种 D．64种 【答案】B 【分析】先把4人分成3组，再把3组分到3个不同的社会实践服务点即可. 【详解】先从4名学生中选出2人组成一个小组，有种方法； 再将这个两人小组与其余2名学生安排到3个不同的服务点，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排. 故选：B 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $