专题6.1 平面向量的概念（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第二册

本讲义聚焦平面向量的概念这一核心知识点，从位移、速度等物理量抽象出向量“既有大小又有方向”的本质，系统梳理向量的表示法（有向线段、字母）、相关概念（模、零向量、单位向量）及相等向量、共线向量的判定标准，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以“即学即练”即时巩固概念，“典例+变式”深化理解，如通过辨析零向量方向任意性、单位向量方向不唯一培养数学思维。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升用数学语言表达向量关系的能力。

专题6.1 平面向量的概念 教学目标 1.了解平面向量的实际背景，通过位移、速度、力等物理量的分析，抽象概括出向量“既有大小又有方向”的本质属性，明确向量与数量的区别与联系。 2.理解向量的模、零向量、单位向量的定义，明确零向量的方向任意性和单位向量的长度特征，能准确识别相关概念。 3.刻理解相等向量与共线向量（平行向量）的本质特征，掌握相等向量“同向等长”、共线向量“方向相同或相反（含零向量）”的判定标准，能在具体图形中识别相等向量与共线向量。 教学重难点 1.重点 相等向量与共线向量的定义及判定：明确“同向等长”是相等向量的充要条件，“方向相同或相反”是共线向量的核心特征，能在具体情境中准确判断。 2.难点 特殊向量的理解：尤其是零向量的方向任意性、所有零向量相等，以及单位向量“长度唯一但方向不唯一”的辨析，避免概念混淆。 知识点01 向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 【即学即练】 1．下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【答案】C 【详解】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量. 故选：C. 2．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 知识点02 向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 【即学即练】 1．下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】ABD 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知C正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误. 故选：ABD. 2．关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【答案】D 【详解】非零向量方向上的单位向量，且，故ABC错误， 故选：D． 知识点03 向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 【即学即练】 1．下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【详解】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 2．下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【详解】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 知识点04 向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． （1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． （3）共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【即学即练】 1．已知非零向量，使得成立的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】使得成立的充分条件是和反向且， 对于A，和是同向，所以A错误， 对于B，和可能同向，可能反向，所以B错误， 对于C，由，得，则和反向且，所以C正确， 对于D，由可得和的方向不能确定，所以D错误. 故选：C． 2．下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 【答案】C 【详解】向量可以用有向线段来表示，但向量与有向线段是不同的概念.有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点.所以不能说向量又称有向线段，选项错误. 平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行.而相等向量不仅要求方向相同，还要求大小相等.所以平行向量不一定相等，选项错误. 平行向量也叫共线向量，这是向量的基本概念.所以平行向量一定共线，选项正确. 向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系xOy中的轴、轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，所以轴、轴不是向量，选项错误. 故选：C. 题型01 向量的基本概念 【典例1】（1）向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量． （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： ， ， ． ②表示方法： 向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 【答案】大小 方向 起点 方向 长度 有向线段 长度 || 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 【变式1】下列物理量中，不能称为向量的是（   ） A．质量 B．速度 C．位移 D．力 【答案】A 【详解】由于向量即有大小又有方向，故速度，位移，力为向量，质量只有大小不是向量. 故选：A 【变式2】对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 【变式3】在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为等腰直角三角形，，所以， 故向量与的夹角为． 故选：D 题型02 向量的表示方法 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 【答案】ACD 【详解】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误； 零向量的模都是0，故C正确； 单位向量的长度都是1，故D正确； 故选：ACD 作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 【变式1】如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为，最小值为． 【详解】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示． （2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值； 当点C位于点或的位置时，取得最大值， 故的最大值为，最小值为． 【变式2】下列命题正确的是（    ） A．数轴上零向量的坐标为0 B．若与都是单位向量，则的最小值为0 C．若，则 D．若，则线段的中点坐标为 【答案】ABD 【详解】数轴上零向量的坐标为正确. 若与都是单位向量，当方向相反时， 的最小值为正确. 若，则，错误. 若，则线段的中点坐标为，正确. 故选：ABD. 【变式3】下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 题型03 利用向量相等或共线进行证明 【典例1】在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析. 【详解】（1）与向量平行的向量有，，． （2）在平行四边形ABCD中，，， 因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以且， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故． 相等向量与共线向量的探求方法 1、寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． 2、寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 【变式1】设、是两个不平行的非零向量，且，，求实数.的值. 【答案】 【详解】根据题意， 若，中有一个不为零，即可得出，与已知矛盾， 所以，必须都为零， 即，解得. 【变式2】如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【答案】(1)，，； (2)证明见解析. 【详解】（1）解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以与向量共线的向量为：，，. （2）证明：在平行四边形中，，. 因为，分别是，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 故. 【变式3】设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与不共线，试求的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：因为， 所以与共线. 因为与有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使. 因为，不共线，所以 所以. （3）假设与共线，则存在实数m，使. 因为，不共线，所以 所以. 因为与不共线， 所以. 题型04 向量知识在实际问题中的简单应用 【典例1】如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    【答案】2 n mile． 【详解】由题意， 所以向量的长度为2 n mile． 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向. 【变式1】如图所示，为了调运物资，一艘船从江的南岸A点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东． (1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（用与江水的速度方向的夹角表示）． 【答案】(1) 表示船速，表示江水的速度, 表示船实际航行的速度；(2) 船实际航行的速度的大小为，方向与江水的速度方向的夹角为 【详解】解:(1)如图所示，表示船速，表示江水的速度．易知，以，为邻边作矩形，则表示船实际航行的速度． (2)在中，，所以，因为，所以，因此，船实际航行的速度的大小为，方向与江水的速度方向的夹角为. 【变式2】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【答案】(1)答案见解析 (2)地在地的东南方向，距地 【详解】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示．    （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 【变式3】已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【答案】答案见解析. 【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限， 向量如图所示， 由已知可得， 为正三角形，所以． 又，， 所以为等腰直角三角形， 所以，． 故向量的模为，方向为东南方向． 1．在中，，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】因为，所以，所以， 所以，又，所以， 所以，所以. 故选：B 2．下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】AD 【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确； 对于B，向量无法比较大小，故B错误； 对于C，若是零向量，则结论不成立，故C错误； 对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同的单位向量，故D正确． 故选：AD． 3．下列说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．若，则存在唯一实数使得 C．若则 D．单位向量都相等 【答案】BCD 【详解】对于A，根据向量平行的定义可知，方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确； 对于B，如果，且是非零向量，则，但不存在实数使得，故B错误； 对于C，如果，则有，但不能得到，故C错误； 对于D，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故D错误. 故选：BCD. 4．关于向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于A，当时，必成立，A正确； 对于B，若，则反向，，B正确； 对于C，当时，，，此时未必共线，C错误. 对于D，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，D错误； 故选：AB 5．下列命题中的假命题是（    ） A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线 C．若则 D．的充要条件是且∥ 【答案】BCD 【详解】对于A，若为非零向量，表示方向相同的单位向量，所以与同向，故A正确； 对于B，若，则与不一定共线，故B错误； 对于C，若，则不一定共线；故C错误； 对于D ，当两向量互为相反向量时也满足且∥，但，故D错误； 故选：BCD 6．下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误. 当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误. 向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确. 故选：D. 7．设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为、、为非零向量，所以、、分别是与、、同向的单位向量，即. 当、、这三个单位向量方向相同时，取得最大值.此时. 当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道，所以的最小值为. 的最大值为，最小值为，它们的差为. 故选：D. 8．下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】A 【详解】因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确， 对于两个有共同起点，且长度相等的向量， 它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误， 当时，与可能不共线，故C错误 两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故D错误． 故选：A． 9．下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 【答案】ACD 【详解】是共线的单位向量，则或，A错误； 向量相等，即大小相等，方向相同，B正确； 若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误； 若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误． 故选：ACD． 10．已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立； 另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立. 故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件. 故选：B 11．已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 【答案】(1)8个 (2)个 【详解】（1）解：当时，则等分点有，，，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点时， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个:， 总共有8个． （2）由（1）知， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， ....依次类推， 当模长为时，有2个， 总共有个． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 平面向量的概念 教学目标 1.了解平面向量的实际背景，通过位移、速度、力等物理量的分析，抽象概括出向量“既有大小又有方向”的本质属性，明确向量与数量的区别与联系。 2.理解向量的模、零向量、单位向量的定义，明确零向量的方向任意性和单位向量的长度特征，能准确识别相关概念。 3.刻理解相等向量与共线向量（平行向量）的本质特征，掌握相等向量“同向等长”、共线向量“方向相同或相反（含零向量）”的判定标准，能在具体图形中识别相等向量与共线向量。 教学重难点 1.重点 相等向量与共线向量的定义及判定：明确“同向等长”是相等向量的充要条件，“方向相同或相反”是共线向量的核心特征，能在具体情境中准确判断。 2.难点 特殊向量的理解：尤其是零向量的方向任意性、所有零向量相等，以及单位向量“长度唯一但方向不唯一”的辨析，避免概念混淆。 知识点01 向量的概念 1、向量：既有 又有 的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 【即学即练】 1．下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 2．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 知识点02 向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素： 、 、 ． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 【即学即练】 1．下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 2．关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 知识点03 向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． （1）向量的模． （2）向量 比较大小，但是实数， 比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是 ． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 【即学即练】 1．下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 2．下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 知识点04 向量的共线或平行 方向 或 的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． （1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． （3）共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【即学即练】 1．已知非零向量，使得成立的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 2．下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 题型01 向量的基本概念 【典例1】（1）向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量． （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： ， ， ． ②表示方法： 向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 【变式1】下列物理量中，不能称为向量的是（   ） A．质量 B．速度 C．位移 D．力 【变式2】对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【变式3】在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型02 向量的表示方法 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 【变式1】如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【变式2】下列命题正确的是（    ） A．数轴上零向量的坐标为0 B．若与都是单位向量，则的最小值为0 C．若，则 D．若，则线段的中点坐标为 【变式3】下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 题型03 利用向量相等或共线进行证明 【典例1】在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 相等向量与共线向量的探求方法 1、寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． 2、寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 【变式1】设、是两个不平行的非零向量，且，，求实数.的值. 【变式2】如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【变式3】设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与不共线，试求的取值范围. 题型04 向量知识在实际问题中的简单应用 【典例1】如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向. 【变式1】如图所示，为了调运物资，一艘船从江的南岸A点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东． (1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（用与江水的速度方向的夹角表示）． 【变式2】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【变式3】已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 1．在中，，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 3．下列说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．若，则存在唯一实数使得 C．若则 D．单位向量都相等 4．关于向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 5．下列命题中的假命题是（    ） A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线 C．若则 D．的充要条件是且∥ 6．下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 7．设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 9．下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 10．已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $