专题03 平面向量的应用六大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第二册

专题03 平面向量的应用 题型一：平面几何中的向量方法 题型二：正余弦定理解三角形 题型三：证明三角形中的恒等式及不等式 题型四：三角形形状的判断 题型五：距离、高度、角度问题 题型六：三角形边长、面积、周长最值与范围问题 题型一：平面几何中的向量方法 1．已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则的取值范围为 ． 2．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为 ．    3．直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 4．四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 5．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A．1 B． C． D． 6．已知向量满足，，，则的取值范围为 ． 7．如图，已知点是所在平面内一点，满足，求与的面积之比． 8．设为非零不共线向量，若，，则（    ）. A． B． C． D． 9．已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 10．如图，圆的半径为2. (1)设为圆的一条弦，如图①，当时， （i）当取何值时，取得最小值，并求出此最小值； （ii）设是圆上的一动点，求的最大值； (2)设、为圆的两条弦，如图②，已知，求的最大值. 题型二：正余弦定理解三角形 11．已知矩形，且，则（   ） A． B．   C． D． 12．的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 13．在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．在中，，当时，的最小值为2．若，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 15．已知的内角，，的对边分别为，，，，，，点为的外接圆圆心，且满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 16．在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 18．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C． D． 19．在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，其外接圆半径R，内切圆半径r，. ①若面积为，则的周长为 ②若，则的内切圆半径r = 20．如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，. (1)若，求及的值； (2)若，求的值. 题型三：证明三角形中的恒等式及不等式 21．已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 22．已知不是直角三角形，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．的最小值为4 C．若，则 D． 23．在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则满足条件的三角形有两个 C．若为锐角三角形，则 D．若，则 24．已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 25．已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 26．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足，，且. (1)求角； (2)证明：； (3)求的取值范围. 27．在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 28．在中，内角A，B､C所对的边分别为a､b､c，的面积为S，下列与有关的结论，正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若为非直角三角形，则 29．如图．在平面四边形中，． （1）设，证明为定值． （2）若，记的面积为，的面积为．，求S的最大值． 30．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 题型四：三角形形状的判断 31．已知的内角的对边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B． C．为钝角三角形 D．的外接圆面积为 32．在中，已知，则的形状为 33．已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 34．下列命题中，正确的是（   ） A．在中，若，则是等腰直角三角形 B．在中，若，则 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．在中，若，，则必是等边三角形 35．在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 36．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则符合条件的有两个 37．在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 38．在中，角A．B．C的对边分别为a，b，c，已知． (1)问：中是否必有一个内角为钝角，说明理由； (2)从下列四个条件中选取三个，使得存在，并求出的面积． ①；②；③；④． 39．在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 40．中，内角所对的边分别是. (1)若，求的最小值； (2)若的内切圆半径是，且. （i）请判断三角形的形状并说明理由； （ii）若，请写出两个函数与，对于一切满足条件的实数，使得且式子恒为定值； 题型五：距离、高度、角度问题 41．某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 42．如图所示为起重机装置示意图，支杆，吊杆，吊索，起吊的货物与岸的距离AD为 m． 43．某政府准备在三个村之间修建一个物流中转站，若把村庄所在地视为点，已知，，.通过前期的勘测，中转站D选在B，C两村的连线上，且D到A，B两村之间的距离相等，则之间的距离为 . 44．圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 45．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图所示.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为、、，，米，则该建筑的高度 米. 46．渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（    ）    A．34m B．35m C．36m D．37m 47．灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 48．如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 49．如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 50．镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的测量建筑物的模型中，已知人眼距离地面高度，将镜子（平面镜）中心置于平地点处，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若仅的测量值偏大（其它测量值准确），则计算出的建筑物高度值会减小 D．记先后两次测量中，人看镜中建筑顶端的视线与水平线夹角依次为、则 题型六：三角形边长、面积、周长最值与范围问题 51．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 52．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是 . 53．在中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．外接圆的面积为 C．的面积的最大值为 D．的最大值是8 54．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则内切圆半径r的取值范围为 ． 55．已知锐角三角形边长分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 56．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角、、所对的边分别为、、，则的面积.已知在中，，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 57．中，，点在线段上，且，则面积最大值为（    ） A． B． C． D． 58．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 59．已知锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积的取值范围； (3)如图，若为外一点，且，求． 60．记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量的应用 题型一：平面几何中的向量方法 题型二：正余弦定理解三角形 题型三：证明三角形中的恒等式及不等式 题型四：三角形形状的判断 题型五：距离、高度、角度问题 题型六：三角形边长、面积、周长最值与范围问题 题型一：平面几何中的向量方法 1．已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】不妨设，，， 则 ， 令，则， 则， 取，时，等号成立， 当为直径时，点趋向于时，， 故的取值范围为. 故答案为：. 2．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为 ．    【答案】 【详解】以A为原点建立直角坐标系，方向为x轴正半轴，方向为y轴正半轴，    则，，，则，， 设（），则圆方程为， 设，则， ， 可得，， 所以，其中， 当，，取得最大值， 当，，取得最小值， 所以的取值范围为．故答案为：. 3．直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为.故答案为：. 4．四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系,    因为四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、） 则，，，，设， 对于A，，，所以，故A选项正确； 对于B，，，，由于， 所以，解得，则为中点，故B选项正确； 对于C，，，则， 所以，则当时，的最小值为2，故C选项不正确； 对于D，当或时，的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD 5．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设，，，． 由得，即， 所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 过点作的垂线，垂足为，又，,则 所以的最小值为． 故选：C． 6．已知向量满足，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图，设，，， 由，，点在以为圆心，半径为2的圆上运动，点在以为圆心，半径为1的圆上运动， 设的中点为，因为，即， 所以由极化恒等式可得，证明如下： 令，，则，， 所以，解得，即， 即点在以为直径的圆上，要求，即求直径的取值范围， 不妨设圆的半径为，因为点所在的圆与圆存在公共点， 所以圆心距满足：，且， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故答案为： 7．如图，已知点是所在平面内一点，满足，求与的面积之比． 【答案】3 【详解】法一：如图，过点作，延长交于点，则． 因为， 所以，则，所以，，从而，， 所以． 法二：由得，所以， 以下证明结论：在平面内，若有，其中是平面内一点，是的三个顶点，则. 由可得， 由向量叉乘的几何意义， 同理可得，所以. 利用以上结论，因为，所以，即. 法三：如图，延长交于点，设， 因为，所以． 又因为三点共线，所以，即， 因为等高，所以，即． 因为， ，，所以． 因为等高，所以，即，所以． 8．设为非零不共线向量，若，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 如图，设，，， 则点在直线上移动，且． 因为， 即， 所以是的最小值，故，即. 故选：D. 9．已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 10．如图，圆的半径为2. (1)设为圆的一条弦，如图①，当时， （i）当取何值时，取得最小值，并求出此最小值； （ii）设是圆上的一动点，求的最大值； (2)设、为圆的两条弦，如图②，已知，求的最大值. 【答案】(1)（ⅰ）当时，取得最小值，最小值为；（ⅱ）； (2). 【详解】（1）（ⅰ）设，即有为直线上某一点， ， 要使取得最小值，即最小，则此时只需， 过点作于点，有，即， 而因为，因此， 故当时，取得最小值，其最小值为. （ⅱ）因为，， 过点作于点， ， 而或， 要使的最大，则需，同向，且最大，此时与圆相切， 平移的垂线至，使圆相切， 此时有，，所以， . （2）过点作于点， ，，而， 所以 ， 因为，所以，，，， 所以， 因此，当，共线时，取得最大值，. 题型二：正余弦定理解三角形 11．已知矩形，且，则（   ） A． B．   C． D． 【答案】C 【详解】在矩形，，为中点，为靠近的三等分点，则， 如图所示， 则，，， 在中，利用余弦定理可得，， . 故选：C. 12．的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 又，， 则， 所以，即， 故答案为：. 13．在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 14．在中，，当时，的最小值为2．若，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，作， 在中，由平面向量的加法法则得的最小值为点到的距离，即， 又，所以，为等腰直角三角形， 又因为，，，， 所以点在线段上，所以的最大值即为的长， 在中，，由知， ，即， 所以的最大值为. 故选：C. 15．已知的内角，，的对边分别为，，，，，，点为的外接圆圆心，且满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，由余弦定理得，又，故，A选项错误； 对于B，设的外接圆半径为，由于点为的外接圆圆心， 故， ， ， 所以，B选项正确； 对于C选项，由于， 由向量数量积的几何意义得： 在上的投影向量为， ， 同理， 故，故C选项正确； 对于D，因为， 由于， 即， 由于， 即 所以，解得，. 所以，故D 选项错误； 故选：BC 16．在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知， 由正弦定理得， 即，解得． 故选：A． 17．在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 【答案】A 【详解】对于A，因为，所以是以为直角边的直角三角形，故A正确； 对于B，若，，则，解得， 所以有两个解，故B错误； 对于C，若，则，解得，所以无解，故C错误； 对于D，若，则，解得， 所以有两个解，故D错误. 故选：A. 18．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，， 由正弦定理，即，得 km. 在中，，，故， 由正弦定理，即，得 km. 在中，由余弦定理， 代入得，故 km. 故选：A 19．在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，其外接圆半径R，内切圆半径r，. ①若面积为，则的周长为 ②若，则的内切圆半径r = 【答案】 18 【详解】在中，由及正弦定理，得， 令，由余弦定理得， ①，由面积为，得， 解得，所以的周长； ②由①知，而，则， 由正弦定理，得，解得， 所以. 故答案为：18； 20．如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，. (1)若，求及的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)；； (2). 【详解】（1）当时，，则为的中点， 所以，即 ， 所以， （2）在△中，由余弦定理得，即， 由正弦定理得，即，解得， 因为，所以，所以， 因为，所以， ，解得或（舍去）， 故. 题型三：证明三角形中的恒等式及不等式 21．已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，可得，由，可得以下情况：①若，即，这与是非等腰三角形矛盾，不符合题意； ②若，即，此时，所以A正确； ③若，若，则，所以B正确， 若，则； ④若，即，此时，所以C正确， 由，可得，即，不符合题意， 或，即，此时，所以D不正确. 故选：ABC. 22．已知不是直角三角形，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．的最小值为4 C．若，则 D． 【答案】ACD 【详解】由，则，故， ，A对； 由， 又不是直角三角形，则一正一负或同正， 若一正一负，显然，此时，最小值不为4； 若同正，则，故， 当且仅当时取等号，显然等号不能成立，故， 综上，的最小值不为4，B错； 由， 而，即，由，则， 所以，C对； 由， 则，且，， 所以，左侧等号在时取得，右侧等号在时取得， 若，则，即，所以，D对. 故选：ACD 23．在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则满足条件的三角形有两个 C．若为锐角三角形，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】因为，所以（为外接圆的半径）， 所以，故的外接圆的面积为，故A正确； 若，则，所以无解，故B错误； 若为锐角三角形，则，所以， 所以，同理， 所以，故C正确； 若为钝角，显然满足，但，不满足，故D错误. 故选：AC 24．已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由题意可知，且，则， 当为锐角时，由在上单调递增，则， 当为钝角时，即，则，所以，故A正确； 对于B，当为钝角时，则，此时，故B错误； 对于C，由题意可知，且函数在上单调递减，则，故C正确； 对于D，当，，时，符合题意， 则，，即，故D错误. 故选：AC. 25．已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1） 根据正弦定理，由 ， 即. 是锐角三角形， ，， 因此有 （2）是锐角三角形，，而， 由正弦定理，得， 则， 而 所以， 因此的取值范围为. 26．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足，，且. (1)求角； (2)证明：； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：因为，可得， 又因为，所以， 由正弦定理得， 又由， 所以， 即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以. （2）证明：因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 在直角中，， 所以，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 .    （3）解：由（2）知，，所以， 因为，所以， 所以, 因为，所以，所以， 故的取值范围为. 27．在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以， 所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 28．在中，内角A，B､C所对的边分别为a､b､c，的面积为S，下列与有关的结论，正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若为非直角三角形，则 【答案】ABD 【详解】对于A中，若为锐角三角形，可得且， 可得，且，根据正弦函数的单调性，可得，所以，所以A正确； 对于B中，在中，由知，根据正弦定理可得，所以B正确； 对于C中，由正弦定理知，可得，故或，是等腰三角形或直角三角形，所以C不正确； 对于D中，在中，可得，则， 所以，即， 可得， 则，所以D正确. 故选：ABD. 29．如图．在平面四边形中，． （1）设，证明为定值． （2）若，记的面积为，的面积为．，求S的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）最大值． 【详解】（1）证明：设，则． 在中，因为，所以． 在中，由余弦定理， 即， 则，即， 故为定值． （2）解：在中，， 则，． ， 当时，S取得最大值． 30．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）因为中，， 故 ， 因为，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    又②， 同理在中，③， ④， BD是的角平分线，则， 则， 又，故， 故①÷③得⑤，即， 由②④得， ， 则 ， 即； （ii）因为，故， 则由⑤得，则， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故，即的最大值为. 题型四：三角形形状的判断 31．已知的内角的对边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B． C．为钝角三角形 D．的外接圆面积为 【答案】ABD 【详解】在中，因为，所以由正弦定理可得. 又，∴，，∴周长为，故选项A正确； 由余弦定理可得.因为，所以，故选项B正确； 又，所以，所以为的最大角. 由余弦定理可得，结合，可知为锐角，所以为锐角三角形，故选项C错误； 由选项B知，所以.设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，解得， 所以的外接圆面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 32．在中，已知，则的形状为 【答案】等腰或直角三角形 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 33．已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 34．下列命题中，正确的是（   ） A．在中，若，则是等腰直角三角形 B．在中，若，则 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】BCD 【详解】对于A，由及正弦定理，得，即， 又，则或，则为等腰或直角三角形，A错误； 对于B，由正弦定理得，B正确； 对于C，锐角中，，则，，C正确； 对于D，由已知及余弦定理，得，则，即， 又，因此必是等边三角形，D正确. 故选：BCD 35．在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】A：由，化简得，即， 又，则，则为等腰直角三角形，故，故A正确. B：由，可得，因，即， 当，时满足，但此时，故B错误； C：由，则可化简为，即， 即，故C错误； D：若，则，则，则 代入得，整理得，即， 所以，故D正确. 故选：AD. 36．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则符合条件的有两个 【答案】CD 【详解】对A，若，则，为锐角三角形，不能明确边长之间关系，错误； 对B，，则或，又，可知，所以为等腰三角形或者直角三角形，错误； 对C，在中，若，则，所以，正确； 对D，由，则，，所以有两个，正确. 故选：CD 37．在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 【答案】AC 【详解】对于A，因为函数在上单调递减， 在中，因为，且，所以，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理可得， 解得.因为正弦函数的值域为， 所以不存在这样的角，即无解，故B错误； 对于C，因为， 所以由正弦定理可得， 又因为， 所以可得，即， 即或. 由可得，即为等腰三角形； 由，，可得，所以为直角三角形. 综上可知，为等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，若，且， 可知，即都是锐角， 所以是锐角三角形，故D错误. 故选：AC 38．在中，角A．B．C的对边分别为a，b，c，已知． (1)问：中是否必有一个内角为钝角，说明理由； (2)从下列四个条件中选取三个，使得存在，并求出的面积． ①；②；③；④． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)选①③④， 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 在中，， ， 所以不等式整理为， 即，因为， 所以，所以B为钝角； （2）若满足①②，由B为钝角，则A，C为锐角， 及，可得， 所以不符合B为钝角，故①②不同时成立， 所以③④两个条件必选， 由③④可知，所以，所以②不成立，因此选①③④： 由正弦定理可得， 即，所以，又，所以，在三角形中，， 所以或，而由（Ⅰ）可得， 所以可得； 所以； 所以． 39．在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【详解】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 40．中，内角所对的边分别是. (1)若，求的最小值； (2)若的内切圆半径是，且. （i）请判断三角形的形状并说明理由； （ii）若，请写出两个函数与，对于一切满足条件的实数，使得且式子恒为定值； 【答案】(1) (2)（i）钝角三角形，理由见解析；（ii） 【详解】（1）由平方可得 又 故的最小值为，当且仅当时，等号成立 （2）（i）由可知： 那么不等式可化为： 即， 则， 即，平方可得，化简得， 由于，故即C为钝角，所以为钝角三角形； （ii）由可得： ， 展开有：， 即：即 又由， 可得， 即， 又由知， 即，平方可得：， 即， ， ， 那么：， 即， 题型五：距离、高度、角度问题 41．某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60.故选：D． 42．如图所示为起重机装置示意图，支杆，吊杆，吊索，起吊的货物与岸的距离AD为 m． 【答案】 【详解】在中，，，， 故， 故， ， 在中，，故答案为： 43．某政府准备在三个村之间修建一个物流中转站，若把村庄所在地视为点，已知，，.通过前期的勘测，中转站D选在B，C两村的连线上，且D到A，B两村之间的距离相等，则之间的距离为 . 【答案】 【详解】    由余弦定理：， 即， 所以， 由正弦定理可得：， 可得：，即，所以， 设， 由余弦定理可得， 解得：，故答案为： 44．圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为.故答案为：D. 45．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图所示.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为、、，，米，则该建筑的高度 米. 【答案】 【详解】设，在直角三角形OAP中，由，得， 在直角三角形OBP中，由，得， 在直角三角形OCP中，由，得， 由，可得B是AC的中点，所以， 因为，则， 在，中，由余弦定理可得：， 解得，所以该建筑的高度OP为米．故答案为： 46．渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（    ）    A．34m B．35m C．36m D．37m 【答案】C 【详解】如图，设直线CD与AB交于点E，则，    由题意得， 又，且， 代入解得，从而， 进而， 则雕像高米，故C正确.故选：C 47．灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，所以， 在中，由正弦定理可得， 因为处测得塔尖的仰角为，即， 则在中，龙洲塔高度为. 故选：C. 48．如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由余弦定理得：， 因为，所以．故选：B 49．如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 因为，所以. 又两处相距米，故，所以的长为米. （2）在中，由在处测得树干顶端处的仰角为， 可得，则. 由（1）知，由，得， 由，得. 在中，由，得. 在中，由余弦定理得. 故在处观测到、两点的夹角的余弦值为. 50．镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的测量建筑物的模型中，已知人眼距离地面高度，将镜子（平面镜）中心置于平地点处，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若仅的测量值偏大（其它测量值准确），则计算出的建筑物高度值会减小 D．记先后两次测量中，人看镜中建筑顶端的视线与水平线夹角依次为、则 【答案】ABD 【详解】作出图形如图所示， 由题意可知，， 易知， 设，则， 化简得， 所以A,B正确， 因为，不变，所以若仅的测量值偏大（其它测量值准确）， 则计算出的建筑物高度值会增大，故C错误； 因为，所以，又， 所以，故D正确. 故选：ABD 题型六：三角形边长、面积、周长最值与范围问题 51．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理以及可得,故， 又, 由于为锐角三角形，故,故， 因此， 故， 故选：A 52．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 由正弦定理得, 则由余弦定理得，又，所以. 则. 因，则，由和差化积公式得： . 因，则，. 从而，则. 故答案为：. 53．在中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．外接圆的面积为 C．的面积的最大值为 D．的最大值是8 【答案】ACD 【详解】对A：由，利用正弦定理，可得： . 因为，所以，所以，故A正确； 对B：设外接圆半径为，则， 所以外接圆面积为：，故B错误； 对C：由余弦定理：，所以，当时取等号. 所以.故C正确； 对D：因为，所以且， 所以.故D正确. 故选：ACD 54．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则内切圆半径r的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，由正弦边角关系得，即， 由余弦定理，得，又，所以， 由正弦定理得，所以，， 由余弦定理，得，所以， 利用等面积法可得， 则 ， ∵，∴，故，则， 所以，故 故答案为： 55．已知锐角三角形边长分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由三角形三边关系有，又三角形为锐角三角形， 若，则，可得，即， 若，则，可得，即， 综上，. 故选：D 56．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角、、所对的边分别为、、，则的面积.已知在中，，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 又，则， 所以（当且仅当时取等号）. 则， 所以面积的最大值为. 故选：C. 57．中，，点在线段上，且，则面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意有，所以， 又，所以， 所以， 所以 ， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B. 58．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 故，即 故， 且，故. （2）由正弦定理得， ， 因为是锐角三角形，. 故，即 所以，故， 所以， 故面积的取值范围为. 59．已知锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积的取值范围； (3)如图，若为外一点，且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）解法一：在中，由正弦定理得， 又，所以， 因为是锐角三角形，所以，所以，所以， 因为，所以的面积的取值范围是； 解法二：因为是锐角三角形， 所以，且， 所以，且， 又因为，所以， 所以，且，解得， 因为， 所以的面积的取值范围是； 解法三：因为是锐角三角形，所以均为锐角， 根据图形变化，考查的极端位置情况， 当时，， 当时，， 可得当且仅当时，是锐角三角形； 因为， 所以的面积的取值范围是； （3）解法一：因为，所以， 因为，设，则， 在中，由正弦定理可得，即①， 在中，由余弦定理可得②， 将①式代入②式得， 化简得，解得，故． 解法二：过点作交的延长线于点， 因为，所以， 因为，设，则， 又因为， 所以在中，由正弦定理可得，即 在中，， 所以， 因为，在中，由勾股定理可得， 化简得，解得，故． 60．记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由面积公式得，即， 由余弦定理得，所以， 则，所以，即， 因为，则，所以，即 （2）由正弦定理得，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，则， 所以三角形周长为 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $