专题02 平面向量基本定理及坐标表示六大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第二册

专题02 平面向量基本定理及坐标表示 题型一：平面向量基本定理 题型二：平面向量的坐标表示 题型三：定比分点坐标公式及应用 题型四：由向量线性运算解决最值和范围问题 题型五：利用向量共线的坐标表示求参数 题型六：平面向量数量积的综合应用 题型一：平面向量基本定理 1．如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则 . 2．已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 3．已知O为△ABC的外接圆的圆心，，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 4．在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6．在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知是内一点，，若，则 ． 8．如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 9．如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 10．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 题型二：平面向量的坐标表示 11．（1）已知数轴上A，B两点的坐标依次为，，则对应的坐标为 ， . （2）已知，则的坐标是 . 12．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 13．已知中，点，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 14．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 ． 15．延长正方形的边至点，使，动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点，若，则下列正确的是（    ） A．若，则点与点重合 B．若点与点重合，则， C．满足的点有2个 D．满足的点有且只有1个 16．已知，点满足，则点的坐标为 ． 17．如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 18．已知向量，，若向量，则使成立的可能是（    ） A． B． C． D． 19．在中，，点满足，点使得，直线与相交于点，则的坐标为 ． 20．定义域为的函数的图象的两个端点为.点是的图象上一点，其中，点满足，其中为原点，我们把的最大值称为的“峰值”.若函数的峰值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：定比分点坐标公式及应用 21．已知点，点，且，则点的坐标为 ． 22．已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 23．已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 24．已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 25．设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（    ） A．点C可能是线段AB的中点 B．点可能是靠近点A的线段AB的三等分点 C．点C、D可能同时在线段AB上 D．点C、D可能同时在线段AB的延长线上 26．已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为 . 27．在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 28．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 29．在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 30．已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型四：由向量线性运算解决最值和范围问题 31．已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为 . 32．若单位向量，是平面的一组基底，，，则（    ） A． B． C． D． 33．如图，在梯形中，，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为 ．    34．如图，在四边形ABCD中，，M、N分别为边CB、CD的中点，点E为MN边上一点，且，则xy的取值范围是 ． 35．在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 36．在中，，，（，），若对任意的实数，恒成立，则边的最小值是 . 37．在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 38．在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 39．已知点. (1)已知点，以为一组基底来表示； (2)若，且点在第四象限，求的取值范围. 40．已知点，，为终边与单位圆的交点，与轴交于点，与轴交于点. （1）设，，试用表示与； （2）设，试用表示，并求的最小值. 题型五：利用向量共线的坐标表示求参数 41．已知平面向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 42．已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 43．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 44．已知向量.若与共线，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 45．已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 46．已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（    ） A．若， 则向量与向量共线 B．向量与的夹角为 C． D．向量与向量垂直 47．下列说法中，不正确的有（    ） A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底 B．若与共线，则 C．与向量不平行 D．在平面直角坐标系中，若，，三点共线，则 48．已知：a、b、是同一平面内的三个向量，其中 (1)若 且， 求的坐标; (2)若 且与 的夹角为锐角，求实数的取值范围. 49．已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点，，将点B绕点O（O为坐标原点）沿逆时针方向旋转θ角得到点C，其中，以AC为边作等边三角形ACP，设线段OP与AC相交于点Q． (1)若，求向量的坐标； (2)求面积的最大值； (3)若，求角θ． 50．已知向量，满足，． (1)若，求向量的坐标； (2)若，求与的夹角． 题型六：平面向量数量积的综合应用 51．如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 52．在梯形中，已知，，，，，若，则的模为（     ） A． B．2 C．3 D．4 53．已知，向量，. (1)若，求； (2)若，求. 54．已知向量，则在上的投影长为（    ） A． B．1 C． D．2 55．已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 56．，（）且，下列说法正确的是（   ） A．的最小值是4 B．在上投影向量为 C．的范围 D． 57．已知向量，，且. (1)计算并化简：； (2)求的取值范围； (3)记函数，若的最小值为，求实数的值. 58．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： (1)若向量，，求的值； (2)若向量，试探求的值与向量的坐标的关系. 59．如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 60．在中，，． (1)若，求的值； (2)若的最小值为1，求的值； (3)若，P是所在平面上任意一点，求的最小值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量基本定理及坐标表示 题型一：平面向量基本定理 题型二：平面向量的坐标表示 题型三：定比分点坐标公式及应用 题型四：由向量线性运算解决最值和范围问题 题型五：利用向量共线的坐标表示求参数 题型六：平面向量数量积的综合应用 题型一：平面向量基本定理 1．如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则 . 【答案】 【详解】 由已知可得：， 所以，设，则， 因为，所以，即， 因为三点共线，所以， 即，所以， 把代入可得： ， 即，所以， 故答案为： 2．已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】D 【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得 ，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，， 所以. 因为点共线，所以设. 所以，化简得. 即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以. 所以D错误. 故选：D 3．已知O为△ABC的外接圆的圆心，，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当与不共线时，如图设AC中点为D，由， 因，则B，O，D三点共线，由圆的性质知， 故. 当与共线时，由和可得, 但此时是圆的直径，则,与题设不符. 综上，可得.故选：B 4．在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，及，得如图所示：    则，得，故A项正确； 由，则，故B项正确； 由与是同向共线的，故，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 5．如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 6．在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，由可得， 则. 故选：C 7．已知是内一点，，若，则 ． 【答案】4 【详解】法一：设，，以为邻边作平行四边形， 如图，则，， 因为，所以． 法二：因为， 所以，所以， 所以， 所以． 故答案为：4 8．如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，，， 所以，化简为． （2）因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又， 所以， 所以解得． （3）因为点E是线段AC上的动点，设，因为， 所以， 所以，， 所以， 故当时，取到最小值． 9．如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由图，. （2）因三点共线，则存在，使得， 又是线段上一点，则存在，使得， 由（1）已得，故有，解得：，即. （3）因，且三点共线， 则存在，使得， 又因点为线段的中点，则有， 与对照可得：，消去即得，即， 故， 当且仅当时，即当时，取得最小值为. 10．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 【答案】(1); (2) 【详解】（1）由图和题设条件可得： ； . （2）由图和可得：，即（*）， 因， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则， 由（*）可得：，即， 因三点共线，故， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，的最小值为. 题型二：平面向量的坐标表示 11．（1）已知数轴上A，B两点的坐标依次为，，则对应的坐标为 ， . （2）已知，则的坐标是 . 【答案】 7 【详解】（1）由题意，且； （2）由，则. 故答案为：；7；. 12．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 解得. 故选：C 13．已知中，点，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 【答案】ACD 【详解】    因为，，所以，故A正确； 因为分别为，的中点， 所以，故B错误； 设，，， 则有，，， 解得，故C正确； 由C可知， 所以的面积为，故D正确. 故选：ACD 14．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】点，，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点为． 故答案为：． 15．延长正方形的边至点，使，动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点，若，则下列正确的是（    ） A．若，则点与点重合 B．若点与点重合，则， C．满足的点有2个 D．满足的点有且只有1个 【答案】AC 【详解】选项A：已知，，即， 若，则， 故点与点重合，选项A正确； 选项B：若点与点重合，则， 故，，选项B错误； 选项C：以为原点，为轴建立平面直角坐标系， ，，，若，则，， ，当在上时，，解得，为点， 当在上时，，解得，，为点， 当在上时，，解得，，不符合题意， 当在上时，，解得，， 综上，满足的点有2个，一个是点，一个是，选项C正确； 选项D：若，则，， ，当在上时，，解得，，不符合题意， 当在上时，，解得，， 当在上时，，解得，，不符合题意， 当在上时，，解得，，综 上，满足的点有2个，一个是，一个是，选项D错误. 故选：AC. 16．已知，点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由 可得 ，所以 为 、 的中点，又 、. 所以点 的坐标为 .故答案为：. 17．如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【详解】以所在直线为轴，为坐标原点，建立如图所示直角坐标系： 设，则根据三角函数定义，，且， 同时，由可得： ，也即，， 则，， 则，， 则，，故， 也即的最大值为. 故选：A. 18．已知向量，，若向量，则使成立的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，可得：，；， 对于B，可得：，；， 对于C，可得：，；， 对于D，可得：，，， 故选：D 19．在中，，点满足，点使得，直线与相交于点，则的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题知，， ，则， 由三点共线设，则， 所以，， 因为点三点共线，所以， 则，解得， 所以，则， 故答案为：． 20．定义域为的函数的图象的两个端点为.点是的图象上一点，其中，点满足，其中为原点，我们把的最大值称为的“峰值”.若函数的峰值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意，， ，； ， ， 令，则， 令，， 由于，且，当且仅当时取到最小值. 因为的峰值为，即的最大值为， 所以，解得或（舍）. 故选：C 题型三：定比分点坐标公式及应用 21．已知点，点，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】设点，因为点，点，且， 所以，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 22．已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】设，因为点在线段AB上，且， 即，所以， 即，解得：，， 即点的坐标为. 故答案为： 23．已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况： ，此时有，解得； 或，此时有，解得； 故选：AB 24．已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 25．设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（    ） A．点C可能是线段AB的中点 B．点可能是靠近点A的线段AB的三等分点 C．点C、D可能同时在线段AB上 D．点C、D可能同时在线段AB的延长线上 【答案】C 【详解】由已知不妨设， 则， 因为C、D和谐分割点A、B， 所以， 所以， 代入得，（*） 若C是线段AB的中点，则，代入(∗)得，， 此时两点重合，与题意矛盾，故A错误； 若是靠近点A的线段AB的三等分点， 则，代入(∗)得，， 此时两点重合，与题意矛盾，故B错误； 若C，D同时在线段AB上，则，则， 当时，，此时符合题意， 所以点C、D可能同时在线段AB上，故C正确； 若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，则， 所以，这与矛盾， 所以不可能同时在线段的延长线上，故D错误. 故选：C. 26．已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为 . 【答案】或/或； 【详解】若点在线段的反向延长线上，又因为，则有，设，则，所以，解得，即； 若点在线段上，又因为，则有设，则，所以，解得，即； 若点在线段的延长线上，又因为，则显然不成立； 故答案为:或. 27．在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，，所以， 设，则， 又P是线段的三等分点， 所以或， 即或，解得或， 即点P的坐标是或. 故选：AD. 28．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 29．在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果. 【详解】由题意知：是的重心，设， 则有解得 故. 故选：C 30．已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以是线段的中点， 所以点C的坐标为，即， 故点的坐标为. 故选:A. 题型四：由向量线性运算解决最值和范围问题 31．已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为 . 【答案】/ 【详解】 如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线 分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2， 则，， 设，则，， 因为，且， 所以，且， 即，可得. 因为，点在内部，所以， 可得，所以. 所以， 所以， 所以当时， 取最小值. 故答案为： 32．若单位向量，是平面的一组基底，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对A：由已知“单位向量，是平面的一组基底”， 只能得到，不共线，得不到，故A错误； 对B：，，故B正确； 对C、D：不妨设，，， ，， ， ， ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD. 33．如图，在梯形中，，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示．    所以，设， 则， 所以． 所以．所以． 所以， 其中，所以， 此时，所以的最小值为．故答案为： 34．如图，在四边形ABCD中，，M、N分别为边CB、CD的中点，点E为MN边上一点，且，则xy的取值范围是 ． 【答案】 【详解】以的中点为坐标原点，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设， 因为，可得为等边三角形， 又因为，可得，且，则轴， 则，可得， 设，则， 因为，可得， 则，即， 即， 又由为的中点，可得， 因为，所以线段的方程为，其中， 将点代入线段的方程，可得， 即，整理得，即， 因为点在线段上，可得，即， 又由，其中， 当时，取得最大值，最大值为； 当或时，取得最小值，最小值为， 所以的取值范围为.故答案为：. 35．在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，， 因为，所以，即 所以，， 所以的取值范围是.故答案为：. 36．在中，，，（，），若对任意的实数，恒成立，则边的最小值是 . 【答案】 【详解】设，如图所示， 因为对任意的实数，都有恒成立， 由恒成立，则， 因为，，所以，，所以， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：.    37．在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【详解】构建如下直角坐标系：，令，， 由可得：， 则且， 所以当时，的最大值为. 故选：C 38．在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 【答案】 【详解】设， 则 因为，所以 即，解得， 所以 因为，所以 即 39．已知点. (1)已知点，以为一组基底来表示； (2)若，且点在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由已知得：， 所以. 由题设，存在实数使得， 则，即， 可得，解得. 所以 （2）设，则， 又， 则，即，又点在第四象限， 所以，解得：，故的范围是. 40．已知点，，为终边与单位圆的交点，与轴交于点，与轴交于点. （1）设，，试用表示与； （2）设，试用表示，并求的最小值. 【答案】（1），（2）， 【详解】（1）由题意知点为倾斜角为的直线与单位圆在第一象限的交点 所以，； 又因为与轴交于点，与轴交于点 由，，且， 所以； 同理，； 所以，； （2）又因为 由于共线，所以，即① 同理，由于共线，所以 即② 将①②得 从而 当时，取得最小值. 题型五：利用向量共线的坐标表示求参数 41．已知平面向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 解得. 故选：A 42．已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 43．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，则，， 由，得，解得. 故选：B 44．已知向量.若与共线，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，又，与共线， 所以， 所以， 故选：C. 45．已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，，所以， 由，得，解得. 故选：A 46．已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（    ） A．若， 则向量与向量共线 B．向量与的夹角为 C． D．向量与向量垂直 【答案】ACD 【详解】因为，，，则， 得到， 对于A，若，则， 故向量与向量共线，故A项正确； 对于B，，又，所以，故B错误， 对于C，因为，则，所以C正确， 对于D，因为， 所以向量与向量垂直，故D正确． 故选：ACD. 47．下列说法中，不正确的有（    ） A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底 B．若与共线，则 C．与向量不平行 D．在平面直角坐标系中，若，，三点共线，则 【答案】ABD 【详解】A选项，因为，所以与共线，不可以作为平面内所有向量的一组基底，A错误； B选项，若与同向共线，则，若与反向共线，则，B错误； C选项，， 所以向量不平行，C正确； D选项，，若，，三点共线， 则，解得，D错误. 故选：ABD 48．已知：a、b、是同一平面内的三个向量，其中 (1)若 且， 求的坐标; (2)若 且与 的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1），， 故可设，由，可得， 解得， 或． （2），， ， 与的夹角为锐角， ， ，． 而当与共线且方向相同时，，， 解得， 故的取值范围为． 49．已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点，，将点B绕点O（O为坐标原点）沿逆时针方向旋转θ角得到点C，其中，以AC为边作等边三角形ACP，设线段OP与AC相交于点Q． (1)若，求向量的坐标； (2)求面积的最大值； (3)若，求角θ． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知， 当时，， 则， 所以当时，的坐标为． （2）由向量旋转可知，， 又为等边三角形，则可看作由绕点A沿逆时针方向旋转得到的， 则 ， 所以， ， 因为，所以， 当且仅当，即时，取得最大值． （3）若，则 ． 由（2）知， 所以， 由O，Q，P三点共线可知 ， 化简整理得． 因为，，所以，则． 50．已知向量，满足，． (1)若，求向量的坐标； (2)若，求与的夹角． 【答案】(1)或. (2). 【详解】（1）根据题意，，设， 若，则 解得，故或. （2）由题知，则， 若，则， 即， 解得，又， 所以. 题型六：平面向量数量积的综合应用 51．如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，如图：    设（），则，所以，， 所以，， 由，又，所以. 所以. 故选：B 52．在梯形中，已知，，，，，若，则的模为（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则,， 设，则，，， 则，， 所以，解得， 所以. 故选：C． 53．已知，向量，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，即，故. . （2），整理得， 即，变形为，故. 因，则，解得， 即. 54．已知向量，则在上的投影长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】因为， 所以，， 所以在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影长为. 故选：C. 55．已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3)2 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以. 56．，（）且，下列说法正确的是（   ） A．的最小值是4 B．在上投影向量为 C．的范围 D． 【答案】BCD 【详解】由，得，而，， 则，即，又，则， 对于A，， 当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，在上投影向量，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 57．已知向量，，且. (1)计算并化简：； (2)求的取值范围； (3)记函数，若的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以. （2）由同角三角函数的平方关系可得， 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为. （3）由（1）（2）可知，函数， 令，则， ，其图象开口向上，对称轴方程为， 当，即时，最小值为，解得（舍去）； 当，即时，最小值为， 解得或（舍去）； 当，即时，最小值为. 综上可知，. 58．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： (1)若向量，，求的值； (2)若向量，试探求的值与向量的坐标的关系. 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）由已知，得，由，可得， 又，∴，； （2）， ∴， ∴， 又， ∴， ∴. 59．如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 则， 所以，解得. （2）由四边形为菱形，，为等边三角形， 以为坐标原点，以为轴建立如图所示平面直角坐标系， 设，则， 则， 则， 由，可得， 解得， 又，则， 即实数的取值范围为． 60．在中，，． (1)若，求的值； (2)若的最小值为1，求的值； (3)若，P是所在平面上任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），而，所以． （2）设，，由题意知的最小值为1，也即关于的二次函数，最小值为1，即时， ，解得， 所以，即． （3）以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则由题意可知，，，设，所以，，， 则， 配方得， 当，时，y最小值为．    2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $