专题01 平面向量的运算七大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第二册

专题01 平面向量的运算五大常考题型 题型一：向量的混合运算 题型二：向量加减法的实际应用 题型三：向量共线的判定及应用 题型四：根据向量关系判断三角形的心 题型五：数量积的运算 题型六：向量的模和夹角的计算问题 题型七：与垂直有关的问题 题型一：向量的混合运算 1．已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 【答案】， 【详解】由，得，而， 因此，解得，， 所以，. 2．如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 【答案】证明见解析 【详解】证法1：因为， 所以． 又因为，所以． 设是的重心，可得， 两式相减可得，所以也是的重心． 证法2：因为， 设是的重心，且，所以， 同理可得，， 所以， 即也是的重心． 3．已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的 心． 【答案】重 【详解】由，则， 取的中点为，如下图：    可得，所以动点必定在的中线所在直线上， 即点的轨迹一定通过的重心. 故答案为：重. 4．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则. 故选：D. 5．已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B 6．已知平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在平行四边形中，是的中点， 则. 故选：A 7．如图，在平行四边形中，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：B. 8．已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得 ． 故选：C 9．（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）； （2）因为，故. 10．在中，若，则对的最小值为 . 【答案】 【详解】设，则点在直线上， 所以， 所以当时，取得最小值，其最小值为， 即对的最小值为.    故答案为： 题型二：向量加减法的实际应用 11．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 12．已知，是两个非零向量，则｜＋｜与｜｜＋｜｜的大小关系是（    ） A．｜＋｜｜｜＋｜｜ B．｜＋｜｜｜＋｜｜ C．｜＋｜｜｜＋｜｜ D．｜＋｜｜｜＋｜｜ 【答案】D 【详解】因，是两个非零向量，则，当且仅当与同向共线时等号成立，故D正确. 故选：D. 13．平面直角坐标系中，点M从原点O出发，每步只能按向量，，运动.若M要走遍以O，，，为顶点的正方形中所有整点（包含边界），至少要走 步. 【答案】28 【详解】 如图， ， 共需28步. 故答案为：28. 14．在锐角中，若的最小值为，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】过点作于点， 则的最小值为，即， 在中，， 因为为锐角三角形，所以，则， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 即的最大值为， 故答案为：． 15．若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形， ，而的所有内角均小于120°， 因此取得最小值的点是的费马点， ，则，点在斜边的中线上，如图， ，，， 所以的最小值为. 故选：B 16．已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】的几何意义如图所示， 因为的最小值为3， 所以在中，，所以， 所以， 因为与的夹角有两种情况，即或， 所以或， 故选：D． 17．在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意， . 故选：B 18．设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，得到， 如图，且，则到的距离等于到的距离相等， 又，所以， 故选：D. 19．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 20．在中，若，，则点M在（    ） A．的角平分线所在的直线上 B．线段的垂直平分线上 C．边所在直线上 D．边的中线上 【答案】A 【详解】因为和是方向上的单位向量， 所以是的角平分线所在的直线上的向量， 故在的角平分线所在的直线上， 则点M在的角平分线所在的直线上. 故选：A 题型三：向量共线的判定及应用 21．设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由，可得， 因，则有， 又与有公共点，故A、B、D三点共线. （2）依题意，设，则得，解得， 当时，，， 此时显然有，符合题意； 当时，，， 此时显然有，符合题意. 故时，和 共线. （3）因，，则. 由题意，可得且与不共线， 由，即， 故，解得或； 又由与共线可得，即，解得， 故与不共线，即. 综上，λ的取值范围为. 22．下列命题中，正确的是（     ） A．若，则与方向相同或相反 B．若，则 C．“”是，共线”的充要条件 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【详解】对于A，当或时，有， 但与方向相同或相反不一定成立，故A错误； 对于B，若，则， 则，即，故B正确； 对于C，由，可得，共线， 若，，则，但不存在实数，使得， 故“”是，共线”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，两个单位向量互相平行，它们的方向可能相同也可能相反， 则这两个单位向量不一定相等，故D错误． 故选：B. 23．已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 【答案】B 【详解】与反向共线，则存在实数k使（）， 于是， 由于，不共线，所以有，整理得，解得或. 又因为，所以，故. 答案：B 24．已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（   ） A． B．与共线的单位向量是 C．若，则共线 D．若，则 【答案】ACD 【详解】由相反向量的定义可知A正确； 与共线的单位向量是，故B错误； 由向量共线定理可知，共线，又有公共点，则共线，则C正确； 由可得，所以，D正确. 故选：ACD. 25．已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【答案】C 【详解】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 26．已知向量，的夹角为，且满足，. (1)求向量在向量上的投影数量； (2)若向量与向量共线，求k的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，且向量与的夹角为， 所以， 所以. 所以向量在向量上的投影数量为 （2）若向量与向量共线，则存在实数，使， 所以，解得. 27．若不共线非零向量满足=0，且，则为（    ） A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．底边和腰不等的等腰三角形 【答案】C 【详解】由，则，所以， 由， 则 ， 所以，所以为等边三角形； 故选：C. 28．下列关于向量说法，正确的是（   ） A．若，，则 B．在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【详解】对于A，当时，因为零向量与任意向量都平行，所以，成立，而此时不一定平行，所以A错误， 对于B，因为，所以，设为的中点，连接， 则，所以，所以点到的距离等于点到的距离的3倍， 所以△AOC与△ABC的面积之比为，所以B正确， 对于C，由，得，化简得， 所以，所以与的夹角为，所以与共线且反向，所以C正确， 对于D，当时，不存在唯一实数使得，所以D错误. 故选：BC 29．设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以与共线. 因为与有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2）因为和共线， 所以存在实数，使. 因为，是两个不共线的向量，所以， 所以. 30．设是不共线的两个非零向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. (3)已知向量满足.求； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由， 得， ， 所以，且有公共点， 所以三点共线. （2）由与共线，则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或，实数的值是 （3）因为，所以， 所以， 所以. 题型四：根据向量关系判断三角形的心 31．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 32．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 33．已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则，    所以是等边三角形. 故选：C 34．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【详解】取线段的中点，则. 动点满足：，， 则，即，所以， 又，所以三点共线，即点的轨迹是直线， 一定通过的重心. 故选：A. 35．已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点，连接，则， 由，知为的重心，则在上， 所以，而， 所以，，，四点共线，所以，即， 不妨令，则，，则， 所以．    故选：D． 36．是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 【答案】D 【详解】取线段的中点，则. 动点满足：，， 则，即，所以， 又，所以三点共线， 则直线一定通过的重心. 故选：D. 37．已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 【答案】重心 【详解】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示： 则， 则，则， ，又为非负实数， 故共线，也即三点共线，又为三角形中线，故的轨迹过三角形的重心. 故答案为：重心. 38．下列命题为假命题的是（    ） A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量 B．若与同向，且，则 C．、为实数，若，则与共线 D．是所在平面上的任意一点，且满足，，则直线一定通过的重心 【答案】ABC 【详解】A，当两起点与终点不在同一直线上时，虽然终点相同，向量不共线，错， B，两个向量不能比较大小，错， C，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，错， D，如图所示，取中点，，即， ∴，即、、三点共线，故一定通过的重心，对.    故选：ABC 39．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点是的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于选项A：因为，可得， 即，则点是边的中点，故A正确； 对于选项B：因为，可得， 即，则点在边的延长线上，故B错误； 对于选项C：设的中点为，则， 由重心性质可知：点是的重心，故C正确； 对于选项D：因为，则， 整理得，故D正确． 故选：ACD． 40．已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．为内心 C． D．对于平面内任意一点，总有 【答案】ACD 【详解】A：由为的重心，则，，， 所以，即，正确； B：，由为外心，所以， 即，同理，故为垂心，错误. C：，所以， 因为，故，而， 所以，即，正确. D：，所以， 因为，故，正确. 故选：ACD 题型五：数量积的运算 41．已知，为单位向量，且，若，则 . 【答案】/ 【详解】因，，， 由， 而， 所以， 故答案为：. 42．已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 （用弧度表示）． 【答案】/ 【详解】因为，且， 所以，所以， 因为，所以. 故答案为：. 43．已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 44．，且， (1)用表示数量积； (2)当时，求的最小值，及相应的值. （i）求此时夹角， （ii）求此时在上投影向量的模. 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时； （i）；（ii）. 【详解】（1）由可得， 将两边同时平方可得， 因此可得 （2）当时，可得， 由（1）可知， 当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为，此时相应的值为； （i）设此时夹角为， 所以，又， 因此可知； 即此时夹角为； （ii）此时在上投影向量的模为. 45．已知向量满足，且的夹角为60°. (1)求； (2)若，求实数λ的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由； （2）由，则， 所以，可得. 46．已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意向量，，向量与的夹角为， ， 与垂直，即向量与的夹角为. （2）由（1）可知，而， 则 ， 当时，取得最小值45， 即的最小值为. 47．已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 【答案】C 【详解】由于向量在向量上的投影向量为， 故可得，即，所以， 故选：C 48．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 49．已知与是非零向量，，且． (1)求与的夹角； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以，所以， 又，可得与的夹角为． （2）因为，， 所以， 所以． 50．已知向量满足，则的最小值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，则 代入，得： 因为所以 则，则. 故选：C. 题型六：向量的模和夹角的计算问题 51．设为单位向量，且，则 · 【答案】 【详解】因为为单位向量， 所以， 由平方可得：， 即， 所以， 所以， 故答案为： 52．已知是非零向量，，且. (1)求. (2)求在方向上的投影向量； (3)求. 【答案】(1)18 (2) (3) 【详解】（1），，即， ，，； （2）在方向上的投影向量为； （3）， . 53．已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ABD 【详解】由题意可知，，且， 则， ， ， 故，B正确； ，故A正确； 因，， 若，则，使得， 因不共线，则，此方程组无解， 故与不共线，故C错误； 因， 则， 因，则，故D正确. 故选：ABD 54．已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 55．已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 【答案】/ 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 56．已知向量满足，，，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 且，则向量的夹角为. 故选：D. 57．已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D 58．已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于向量，满足，，， 所以，解得， 则在方向上的投影向量为. 故选：B 59．已知向量满足，，且，则 . 【答案】 【详解】∵，∴. ∵，， ∴， ∴，∴. 故答案为：. 60．若，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，故， 因此， 由于，所以， 故选：D 题型七：与垂直有关的问题 61．设点是线段的中点，点在线段外，，，则 ． 【答案】 【详解】因为点在线段外，， 所以，即， 所以，所以， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以. 故答案为：. 62．已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，得到，即， 所以， 则向量在向量上的投影向量是． 故选：B． 63．已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以， 即， 所以，故A正确； 又，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，所以，故D正确. 故选：ACD. 64．已知是相互垂直的单位向量，向量满足，，设，则随着的增大，（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】B 【详解】分别以的方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，则，． 设，由可得 则，，， 则， 所以 ． 令，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 因此，随着的增大，一直增大． 由于余弦函数在上单调递减，且，所以，一直减小． 故选:B． 65．在中，已知，，分别是的重心和外心，则 ． 【答案】2 【详解】因为是的重心，所以． 记的中点为，则． 因为是的外心，所以，即． 于是 . 故答案为：2 66．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 67．已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】，， 由正弦定理得，则 令， 因为， 所以 所以， 等式两边点乘得， 所以点的轨迹一定过的垂心， 故选：D． 68．设是夹角为的单位向量，向量，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的仿射坐标分别为，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的仿射坐标为 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于选项，由题意得，向量的仿射坐标为，，， 又是夹角为的单位向量，，即，， 故选项正确. 对于选项，当时，的仿射坐标为， ，即，则的仿射坐标为， 故选项错误. 对于选项，，，由，得， 又是夹角为的单位向量，即上式可化简为，解得， 故选项正确. 对于选项，，，当时，则存在实数，使得， 即，可得方程组，解得， 故选项正确. 故选：. 69．已知向量，，若，，与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ． （2）当向量与向量互相垂直时，， 即，即，解得． 所以当时，向量与向量互相垂直. 70．已知为非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A：由得 ，所以，故A错误； 对于B：由于为非零向量，由可知不等于1，故，所以，故B正确； 对于C：当时，，但不是锐角，故C错误； 对于D：因为，所以，所以或，所以，故D正确. 故选：BD. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的运算五大常考题型 题型一：向量的混合运算 题型二：向量加减法的实际应用 题型三：向量共线的判定及应用 题型四：根据向量关系判断三角形的心 题型五：数量积的运算 题型六：向量的模和夹角的计算问题 题型七：与垂直有关的问题 题型一：向量的混合运算 1．已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 2．如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 3．已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的 心． 4．在中，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，，则 （   ） A． B． C． D． 8．已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 9．（1）化简； （2）若，求向量. 10．在中，若，则对的最小值为 . 题型二：向量加减法的实际应用 11．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 12．已知，是两个非零向量，则｜＋｜与｜｜＋｜｜的大小关系是（    ） A．｜＋｜｜｜＋｜｜ B．｜＋｜｜｜＋｜｜ C．｜＋｜｜｜＋｜｜ D．｜＋｜｜｜＋｜｜ 13．平面直角坐标系中，点M从原点O出发，每步只能按向量，，运动.若M要走遍以O，，，为顶点的正方形中所有整点（包含边界），至少要走 步. 14．在锐角中，若的最小值为，则的最大值为 ． 15．若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 16．已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ） A． B．或 C． D．或 17．在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 18．设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 19．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 20．在中，若，，则点M在（    ） A．的角平分线所在的直线上 B．线段的垂直平分线上 C．边所在直线上 D．边的中线上 题型三：向量共线的判定及应用 21．设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 22．下列命题中，正确的是（     ） A．若，则与方向相同或相反 B．若，则 C．“”是，共线”的充要条件 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 23．已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 24．已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（   ） A． B．与共线的单位向量是 C．若，则共线 D．若，则 25．已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 26．已知向量，的夹角为，且满足，. (1)求向量在向量上的投影数量； (2)若向量与向量共线，求k的值. 27．若不共线非零向量满足=0，且，则为（    ） A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．底边和腰不等的等腰三角形 28．下列关于向量说法，正确的是（   ） A．若，，则 B．在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 29．设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； 30．设是不共线的两个非零向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. (3)已知向量满足.求； 题型四：根据向量关系判断三角形的心 31．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 32．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 33．已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 34．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 35．已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 36．是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 37．已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 38．下列命题为假命题的是（    ） A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量 B．若与同向，且，则 C．、为实数，若，则与共线 D．是所在平面上的任意一点，且满足，，则直线一定通过的重心 39．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点是的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，则 40．已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．为内心 C． D．对于平面内任意一点，总有 题型五：数量积的运算 41．已知，为单位向量，且，若，则 . 42．已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 （用弧度表示）． 43．已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 44．，且， (1)用表示数量积； (2)当时，求的最小值，及相应的值. （i）求此时夹角， （ii）求此时在上投影向量的模. 45．已知向量满足，且的夹角为60°. (1)求； (2)若，求实数λ的值. 46．已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 47．已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 48．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 49．已知与是非零向量，，且． (1)求与的夹角； (2)求． 50．已知向量满足，则的最小值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 题型六：向量的模和夹角的计算问题 51．设为单位向量，且，则 · 52．已知是非零向量，，且. (1)求. (2)求在方向上的投影向量； (3)求. 53．已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 54．已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 55．已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 56．已知向量满足，，，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 57．已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 58．已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 59．已知向量满足，，且，则 . 60．若，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 题型七：与垂直有关的问题 61．设点是线段的中点，点在线段外，，，则 ． 62．已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 63．已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 64．已知是相互垂直的单位向量，向量满足，，设，则随着的增大，（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 65．在中，已知，，分别是的重心和外心，则 ． 66．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 67．已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 68．设是夹角为的单位向量，向量，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的仿射坐标分别为，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的仿射坐标为 C．若，则 D．若，则 69．已知向量，，若，，与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 70．已知为非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角 D．若，则 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $