第六章 平面向量及其应用（高效培优单元自测·提升卷）数学人教A版高一必修第二册

第六章 平面向量及其应用（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列说法错误的是（    ） A． B．是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 3．下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，则（   ） A． B． C． D． 6．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 7．在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在中，，，，为线段上的动点（不包括端点），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．平行四边形ABCD中，，，．动点M满足，，，下列选项中正确的有（    ） A．时，则的取值范围为 B．时，的取值范围是 C．时，存在M使得 D．且最大时，在上的投影向量为 10．下列结论正确的是（    ） A．若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 B．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心 C．点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 D．点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心 11．直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（    ） A．的取值范围是 B．点经过的外心 C．点所在轨迹的长度为2 D．的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一动点（含端点A，B）．若，则的取值范围是 ． 13．已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 . 14．已知平面向量满足，，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（14分）已知向量，. (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角. 16．（16分）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 17．（15分）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 18．（16分）已知，，且与的夹角为，求： (1)； (2)与的夹角； (3)若向量与平行，求实数的值. 19．（16分）设函数，其中向量，. (1)求的最小值； (2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，由正弦定理，可得， 根据等边对等角，可得； 必要性：若，根据等角对等边，可得， 由正弦定理得， 综上，“”是“”的充要条件.故选：C 2．下列说法错误的是（    ） A． B．是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】C 【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确； 对于C项，由于向量不能比较大小，故C项错误； 对于D项，因为非零向量可以自由平行移动，故D项正确.故选：C. 3．下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，不妨设， 则， ， 故，C错误. D选项，由数量积的运算法则得到，D正确.故选：D 4．如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，得，故以为坐标原点，OC，OA所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，. 因为， 所以， 即则所以. 故选：A 5．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在“赵爽弦图”中，若， 所以 ， 所以，所以，所以. 故选：B. 6．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 7．在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 所以，因为D为BC的中点，所以， ，设，所以， 所以，可得，， 所以， 因为，所以. 故选：A.    8．在中，，，，为线段上的动点（不包括端点），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，根据题意得， 解得，，，， ， 又、、三点共线，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．平行四边形ABCD中，，，．动点M满足，，，下列选项中正确的有（    ） A．时，则的取值范围为 B．时，的取值范围是 C．时，存在M使得 D．且最大时，在上的投影向量为 【答案】BCD 【详解】作于点，建立如图所示的坐标系， 因为在平行四边形ABCD中，，，， 所以，， 所以， 所以， 对于A，， 因为，解得，故A错误； 对于B，当时，因为，所以， 则，故点在上，所以的取值范围是，故B正确； 对于C，当时，，， 因为，所以， 即，故C正确； 对于D：当时，因为， ，因为， 所以当时，最大，最大值为，此时， 又，则 所以在上的投影向量为，故D正确； 故选：BCD. 10．下列结论正确的是（    ） A．若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 B．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心 C．点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 D．点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心 【答案】BC 【详解】对于A，由， 得， 因为∠ABC为锐角，故且不共线， 所以，解得且，故A错误； 对于B，设边上的中点为，则， 因为，所以， 所以，又点为公共端点，所以三点共线， 即点在边的中线上， 同理可得点也在两边的中线上， 所以点O为△ABC的重心，故B正确； 对于C，因为，所以， 如图，设的中点为，的中点为， 则，所以， 又点为公共端点，所以三点共线，且， 所以， 又， 所以，即，故C正确； 对于D，由， 可得，即， 又因，所以， 所以是的角平分线， 由， 可得，即， 又，所以， 所以是的角平分线， 所以点O是且△ABC的内心，故D错误. 故选：BC. 11．直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（    ） A．的取值范围是 B．点经过的外心 C．点所在轨迹的长度为2 D．的取值范围是 【答案】ABD 【详解】由，又斜边，则，则，A正确； 若为中点，则，故，又， 所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误； 由上，则， 又，则，当且仅当等号成立， 所以，D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一动点（含端点A，B）．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为点C为的中点，，所以，， 所以 ． 因为点M为线段AB上的一动点（含端点），所以， 所以，所以的取值范围是． 故答案为：. 13．已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，，所以， 因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线， 所以且， 解得且，所以的取值范围为， 故答案为：. 14．已知平面向量满足，，则 . 【答案】 【详解】设，则，，，， 又，点C在线段AB上，且， 易知， 由，可得， ，即. 故答案为：.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（14分）已知向量，. (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题知，，， 所以， 所以. （2）由题知，，， 设向量与向量的夹角为， 所以，即， 解得，因为，所以 所以向量与向量的夹角为. 16．（16分）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在实数使得，即， 又因为是平面内两个不共线的非零向量， 所以，解得. （2）由（1）可知，， 所以， 若，，则. （3）由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得， 设，则，由（2）得， 所以，解得， 所以. 17．（15分）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 18．（16分）已知，，且与的夹角为，求： (1)； (2)与的夹角； (3)若向量与平行，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ， （2）， ， ， 即，所以与的夹角为； （3）若向量与平行， 则，， 得或， 所以的值为. 19．（16分）设函数，其中向量，. (1)求的最小值； (2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，， 所以，当时的最小值为. （2）由，得：，则，又， 所以，故，则. 由，可得：. 在△中，由余弦定理得：， 所以. 由，则. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $