第六章 平面向量及其应用（高效培优单元自测·强化卷）数学人教A版高一必修第二册

第六章 平面向量及其应用（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的三内角、、所对的边分别是、、，设向量，，若，且满足，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角非等腰三角形 2．在锐角△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且．则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若且，则的周长的最大值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 4．已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（    ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 5．已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 7．在等腰直角中，，，为内一点，，则直线与直线的夹角的余弦值为（  ）. A． B． C． D． 8．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心 C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．已知，若与共线，则 B．若，则 C．若，则一定不与共线 D．若为锐角，则实数的范围是 10．对于，有如下判断，其中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则是钝角三角形 11．任意两个非零向量和，，定义：，若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则的值可能为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且，，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是 .    13．已知为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为 . 14．已知的外心是O，其外接圆半径为1，设，则下列论述正确的是 . ①若，，则为直角三角形； ②若，则为正三角形； ③若，，则为顶角为的等腰三角形； ④若，，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F． （1）试用，表示向量； （2）设，，求证：是定值． 16．（15分）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．    (1)求的值； (2)若，且，求的值． 17．（15分）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 18．（17分）已知中，角所对的边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，求面积的最大值以及周长的最大值. 19．（17分）如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心. (1)若，，，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，求的最大值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的三内角、、所对的边分别是、、，设向量，，若，且满足，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角非等腰三角形 【答案】B 【详解】解：由题意，向量，，， 则，可得：，即. 又由，可得， 即， ∵，∴，∴可解得：， ∵，∴，又∵，∴， ∴是等边三角形. 故选：B. 2．在锐角△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且．则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，． 因为，，所以．而，所以，即， 因此，．由和得到，， 因此，．于是． 故选：C． 3．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若且，则的周长的最大值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【详解】由已知及正弦定理得， ∴， 所以，因为， 所以，即，因为， 所以，从而， 由余弦定理得，即， 又， ∴，即， ∴，当且仅当时等号成立，从而， ∴的周长的最大值为15. 故选：A. 4．已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（    ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设，因为A在线段BC上（不含BC端点）， 所以由向量共线定理设， 所以， 由题意有，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：D. 5．已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以， 则      ， 所以．故选：A. 6．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】设，则 ， 又因为G是的重心，故， 所以有. 故选：A 7．在等腰直角中，，，为内一点，，则直线与直线的夹角的余弦值为（  ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，以为原点，以分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 如图所示，因为，且为等腰直角三角形， 可得， 又因为，可得， 所以， 所以，，所以， 所以，，， 所以点， 所以， 则， 所以直线与直线的夹角的余弦值为.故选：D.    8．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心 C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心 【答案】A 【详解】由，得， 即， 则， 所以，则，同理可得，， 即是三边上高的交点，则为的垂心； 由，得， 设的中点为，则，即，，三点共线， 所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上， 即是三边中线的交点，故为的重心； 由，得，即， 又是的中点，所以在的垂直平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是三边垂直平分线的交点，故是的外心； 延长交于点，因为，，三点共线，则设（）， 且，， 代入，得， 即①， 又因为与共线，与、不共线， 则只能当且时，①成立， 即，则, 由正弦定理得：， 又，则， 即，又，所以， 则是的角平分线，即点在的角平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是内角平分线的交点，故是的内心； 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．已知，若与共线，则 B．若，则 C．若，则一定不与共线 D．若为锐角，则实数的范围是 【答案】AD 【详解】A：若与共线，则，正确； B：当时，，但不一定成立，错误； C：，无法确定两个向量的方向，两个向量可能共线，错误； D：由题设有，解得，正确； 故选：AD 10．对于，有如下判断，其中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【详解】对于A，在中，由，得，为等腰三角形，A正确； 对于B，在中，，得，由正弦定理得，B正确； 对于C，在中，由余弦定理得，只有一解，C错误； 对于D，在中，由及正弦定理得， 由余弦定理得，则C为钝角，是钝角三角形，D正确． 故选：ABD 11．任意两个非零向量和，，定义：，若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则的值可能为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】CD 【详解】首先观察集合，从而分析和的范围如下： 因为，∴，而，且， 可得， 又∵中，∴，从而， ∴，又，所以．且也在集合中， 故有或． 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且，，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是 .    【答案】 【详解】因为， 所以，， 设， 则 ， ， 则 ， 对于，其开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 所以的取值范围是. 故答案为： 13．已知为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，所以. 又因为为的外心，所以为直角三角形且，为斜边的中点， 过作的垂线，垂足为.因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量为， 因为，所以， 因为，所以，即的取值范围为.    故答案为：. 14．已知的外心是O，其外接圆半径为1，设，则下列论述正确的是 . ①若，，则为直角三角形； ②若，则为正三角形； ③若，，则为顶角为的等腰三角形； ④若，，则. 【答案】①②③ 【详解】若，，则，所以O是AB的中点，又O是的外心，从而为直角三角形，故①正确； 若，则，即，所以O是的重心，又O是的外心，从而为等边三角形，故②正确； 若，，则，即. 取AB的中点D，则,从而， 所以O是中线CD上一点，又因为O是的外心，即O是中垂线的交点， 所以，从而是等腰三角形. 由得， 两边平方得（*）. 因为且， 所以（*）式化为，所以， 由圆周角是圆心角的一半可得，即为顶角为的等腰三角形，故③正确； 若，，则， 两边平方得， 因为，所以； 从而 ,故④错误. 故答案为：①②③. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F． （1）试用，表示向量； （2）设，，求证：是定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【详解】（1）由A，M，D三点共线可得存在实数m（）使得：， 又，故， 由C，M，B三点共线可得存在实数n（）使得：， 又，故， 由题意，，不共线，则： ，解得， 故； （2）由E，M，F三点共线，可设（）， 由，，则：， 由（1）知，，则：，即， 所以， 所以是定值． 16．（15分）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．    (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在平行四边形中，，，， 所以， 因为点是线段的中点， 所以， 则， 故的值为. （2）由（1）知：，， 则，， 又因为， 则， 即， 即，解得：， 故的值为. 17．（15分）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)， (2)3 【详解】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点，所以； ，即， ； 故，. （2）由，，， 得，， 所以 ， 因为E，F，G三点共线，则 ， 则， 当且仅当，即，时取等号所以的最小值3. 18．（17分）已知中，角所对的边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，求面积的最大值以及周长的最大值. 【答案】(1) (2)面积的最大值为，周长的最大值为 【详解】（1）依题意得，， 由正弦定理，得，所以， 因为，所以. （2）由得，，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 所以面积的最大值为. 又， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的周长为， 故周长的最大值为. 19．（17分）如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心. (1)若，，，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，求的最大值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系.，， 所以. （2）设，，则，. ， 由于，根据对勾函数的性质可知. （3）； . 设，，则这两个式子为， 化简得解得所以， 设，， 令， 所以由对勾函数的性质得， 所以当时，即点与点重合时，取到最大值. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $