专题6.4 平面向量的应用（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第二册

本讲义聚焦平面向量的应用，系统整合向量在平面几何（证明平行垂直、坐标法运算）、解析几何、物理（力与位移合成）中的应用，以及余弦定理、正弦定理等解三角形工具。前承向量基本定理与坐标运算，后接实际问题解决，构建“概念-运算-应用”的完整学习支架。 资料以“知识点-题型-变式”三层设计为特色，通过共提行李受力分析、三角形垂心证明等实例，培养数学眼光（抽象实际问题）与数学思维（逻辑推理）。课中助力教师分层教学，课后即学即练帮助学生强化数形结合，弥补知识盲点，提升模型应用能力。

专题6.4 平面向量的应用 教学目标 1.理解平面向量基本定理的核心内涵，明确“同一平面内两个不共线向量可作为基底”的前提条件，掌握向量线性表示的唯一性特征。 2.掌握向量正交分解的方法，能将任意向量分解为两个互相垂直的向量，理解正交分解的合理性与简便性。 3.熟练掌握平面向量的坐标表示规则，明确向量坐标与平面直角坐标系中点坐标的对应关系（起点在原点时向量坐标等于终点坐标）。 4.能进行向量坐标的加、减、数乘运算，掌握向量共线、垂直的坐标表示条件，会用坐标求解向量夹角与模长。 教学重难点 1.重点 平面向量的正交分解与坐标表示：掌握正交分解的操作方法，明确向量坐标的定义及几何意义，能准确写出向量的坐标。 2.难点 数形结合思想的灵活运用：在解决实际问题时，难以快速实现“几何图形→向量表示→坐标运算→几何结论”的转化链条。 知识点01 向量在平面几何中及解析几何中的应用 1、向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 2、向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（，）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 【即学即练】 1．起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得，即的最大值为. 故选：D 2．如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】方法一：以点为坐标原点，分别以、方向为轴正方向、轴正方向，建立平面直角坐标系， 设，则， 圆的方程，则，故， 设，则， 则， 因，则①， 因，则， 则，将其代入①式得， 即，得（舍，此时）或，则；    方法二： 因，则在中， 则， 因，，则， 则，有， 过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，    易证四边形是矩形，则有，则有， 设，于是有，， ，，， 在矩形中，有， 则，即，解得，即． 故选：C 知识点02 向量在物理中的应用 1、利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． 2、明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． 3、用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 【即学即练】 1．如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    【答案】100 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 2．在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【详解】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 知识点03 余弦定理 1、三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 2、余弦定理的变形公式： 3、利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： （1）已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； （2）已知三角形的三条边，求其三个角． 【即学即练】 1．在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：A 2．如图所示，在中，为边的中点，平面上一点E满足. (1)若，求线段的长度； (2)若为钝角，求线段长度的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 取中点，连接，，. 设，则， 因为，故. 因为，故，则. 在中，由余弦定理可知，， 因此有，解得， 故. （2） 设，则，设， 设，则，. 由，得，得 因为钝角，故， 可得. 由余弦定理可知，在中，， 在中，， 因此有，整理得，得，， 故，解得，即. 同时，在中，有两边之和大于第三边： 故有：，即，因为，故恒成立； ，即，因为，故恒成立； ，即，即，，两边平方后，整理得. 综上所述，. 知识点04 正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 2、利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 【即学即练】 1．的内角的对边分别为.已知. (1)求； (2)求的最大值（其中为的面积）. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，结合正弦定理可化简得， 又为三角形内角，所以， 所以， 因为，则， 所以，故. （2）由面积公式及余弦定理可得， 又，当且仅当时，取等号， 故最大值为. 2．在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】在中，根据正弦定理得，即， 所以，又，所以或， 当时， ，符合题意， 当时， ，符合题意； 所以的两个解均成立. 根据三角形内角和定理， 所以或. 故选：A 题型01 平面几何中的向量方法 【典例1】如图，为锐角三角形，点为的外心，点为的重心，的外接圆半径为.以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点，再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点，若， (1)试用表示；并探究三点是否共线，如果共线，请给出证明，若不共线，说明理由. (2)求证：是的垂心； (3)求证：，并且指出等号成立的条件. 【答案】(1)，，共线，证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析，当且仅当重心与外心重合等号成立. 【详解】（1）法一：由平面向量加法的平行四边形法则得， 所以；另外，从而， 进而，由此，所以共线. 法二：由， 此时，所以，所以三点共线. 法三：若为原点，设， 由平面向量加法的平行四边形法得，，所以； 所以，由重心坐标公式有； 故. 从而，所以共线. （2）法一：由（1）知， 所以，又， 所以，因为为的外心， 所以，所以，所以， 同理，从而为的垂心. 法二：， 从而，同理；； 进而，故为垂心. （3）法一： ， ， 当且仅当重心与外心重合等号成立. 法二： ， （当且仅当取等）； ， （当且仅当取等）； 综上，，当且仅当 等号成立，即重心与外心重合等号成立. 1、用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 （1）利用线性运算证明的四个步骤 ①选取基底．②用基底表示相关向量．③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系．④把几何问题向量化． （2）利用坐标运算证明的四个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系．②把相关向量坐标化．③用向量的坐标运算找出相应关系．④把几何问题向量化． 2、用向量法解决平面几何问题的两种思想 （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【变式1】已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为 ． 【答案】 【详解】点在线段上，设， 则， ， 当时，取得最大值为， 此时， . 故答案为： 【变式2】若，且，，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由知3个向量终点都在半径为2的圆上运动， 设，，，由得， 由即结合极化恒等式知点在以为直径的圆上和内部， 即点只能在劣弧上运动， 而表示，所以， 故选：D 【变式3】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则 故 ,当时取到等号， 故选：B 题型02 向量在物理中的应用 【典例1】在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． （2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． （3）参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． （4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． 【变式1】如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【详解】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 【变式2】一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以为坐标原点，以东向方向为轴，以垂直对岸的方向为轴建立直角坐标系如图所示. 货船从码头航行到货站的最短路径要求合速度方向由指向. 设货船在静水中的速度为 ，水流速度为4 km/h向东，即, 合速度为水流速度与船速的矢量和： 由题意，合速度方向与向量同向，且大小为. 设合速度为，则： 因此，合速度为 . 联立方程： 货船速度大小为：    （2）货船要垂直到达正对岸，需使合速度的东向分量为0. 设船速为，则： 由（1）知船速大小为 ，故： 合速度的北向分量为 ，河宽，所需时间为： 【变式3】冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 题型03 解三角形 【典例1】在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 1、已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 2、已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角． 【变式1】如图，在中，，，取边中点，连接，设为中点，连接并延长与交于点，则的长为 . 【答案】 【详解】如图： 作交于点， 因为点为中点，所以点为中点，即， 因为为中点，所以，因此， 在中，因为，，， 所以由余弦定理可得， 因为为中点，所以， 因此， 又因为， 所以， 所以，因此 故答案为： 【变式2】在中，已知，，边上的中点是，若相交于点， (1)求长 (2)求的余弦值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有：，， 在中，由余弦定理有：， 所以，所以； （2）由题意有：， ， 所以 ， 所以 ， 所以， 由 ， 所以， 所以. 【变式3】在中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求边的长． 【答案】(1) (2)边的长为或 【详解】（1），由正弦定理得， 因为，， 所以，； （2）由（1），由余弦定理得， 因为的面积为，所以， 得，代入可得，， 由，解得或， 所以边的长为或． 题型04 利用余弦定理判断三角形的形状 【典例1】已知的内角的对边分别为，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰直角三角形 【答案】ABC 【详解】对A，由和正弦定理可得，由大边对大角可知，正确； 对B，由和正弦定理可得， 所以，又，所以，正确； 对C，若，则， 即，所以符合条件的有两个，正确； 对D，若，则，即， 因为，所以或， 即或， 当时，，此时为直角三角形； 当时，为等腰三角形. 所以为直角三角形或等腰三角形，错误. 故选：ABC 1、利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 （1）先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． （2）先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． 2、判断三角形的形状时，经常用到以下结论 （1）为直角三角形或或． （2）为锐角三角形，且，且． （3）为钝角三角形或或． （4）若，则或． 【变式1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若， (1)求证：是等腰三角形； (2)已知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 所以， 即，可得， 所以是等腰三角形； （2）因为点D满足，所以； 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 又由（1）知， 所以，整理得，， 因为，所以，所以， ， 由（1）中可知为锐角，则，， 所以， 当且仅当，时取等号， 所以线段的最小值为. 【变式2】若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【详解】利用二倍角公式将已知等式化为， 即，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 【变式3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下命题中正确的是（   ） A．若，，，则符合条件的三角形有两个 B．若，则为等腰或直角三角形 C．若，则的最小值为 D．若，，BC边上的高为1，则符合条件的三角形有两个 【答案】ABD 【详解】对于A,，由于，故三角形有两个解，故A正确， 对于B，由可得,进而,结合, 故或，即或， 故三角形为等腰三角形或者直角三角形，故B正确， 对于C, ， 故，当且仅当时等号成立，故C错误， 对于D,由，，BC边上的高为1可得: ，故， 由余弦定理可得，故，故， 联立可得或，故符合条件的三角形有两个，故D正确， 故选：ABD 题型05 证明三角形中的恒等式及不等式 【典例1】已知平面内一三角形，点为其外心. (1)点为边的中点，，，求的值； (2)若过点的直线分别交边、于点，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）， 由数量积几何意义可得：， 同理得. 则； （2）证明：设三角形外接圆半径为R， ，. 因，所以. 同理，所以， 又，，. 则. 故  ① ∵点O为三角形ABC的外心，， ，， 同理，. 则. 代入上式①中，结合，可得： ， 所以，原命题得证 【变式1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. (1)若，，求C； (2)求证：； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由， ，联立得 则，因为，， 所以，即； （2） ， 当且仅当时等号成立； 因为，所以 此时，当且仅当是等边三角形时等号成立 则，即. （3）因为 所以. 当且仅当是等边三角形时等号成立. 【变式2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是内一点，且，，，E，F，G为垂足，记，，． (1)若，，，，AP的延长线交BC于点D，求AD； (2)若，，，求及PB； (3)证明：，当且仅当且时，等号成立． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以为角的角平分线， 因为，所以， 因为， 所以， 解得； （2）因为，， 所以，， 因为，所以， 可得， 即， 即，因为， 所以， 可得，所以， 在中，， 所以； （3）因为 ， 所以， 当且仅当时，等号成立，- 同理，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当且时，等号成立．- 【变式3】如图四边形中，    (1)若的面积为，且为锐角，求的长度． (2)试问是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由， (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)6； (2)是，； (3)； 【详解】（1）由题设，又，可得， 又为锐角，则，故； （2）由题设，， 又，则，， 所以，为定值； （3）由， 令，则， 又，则， 所以， 当，即时，最大，此时， 所以四边形面积的最大值. 题型06 三角形边长、面积、周长最值与范围问题 【典例1】已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 【变式1】在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以. 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 【变式2】已知三角形ABC为等腰三角形，其中，，在AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上.则线段AD的长度的最小值为 . 【答案】 【详解】设落在边BC的处，则两点关于折线对称，连接， 由于，，则, ,进而可得, 设， 则，，． 在中，． 在中，， 由正弦定理知：，即， 所以，即， 由于，则， 故当，即时，此时取到最大值， 故取到最大值，进而取最小值 故答案为：. 【变式3】古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，，，， 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为16， 所以三角形面积的最大值. 故选：A. 题型07 面积与周长求值问题 【典例1】已知分别为三个内角的对边，且，且 (1)求； (2)若的面积为，求 (3)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【小题1】由正弦定理得 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小题2】由（1）知，则，所以， 由余弦定理，，又， 则， 解得，所以； 【小题3】（方法一）因为，由正弦定理， 得 又因为，所以 所以 又因为，所以 所以， 所以 即，所以 所以三角形的周长的取值范围. （方法二）因为，由余弦定理，得， 即，又，当且仅当时等号成立. 所以，即， 所以，又因为，所以，所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 【变式1】在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵，∴， ∴ 由余弦定理得，， ∴， ∴由得，，∴， ∴，，. 又由正弦定理得，， ， 是锐角三角形，， ， ，， . 故答案为：. 【变式2】已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理可得，所以. 由三角形面积公式可知及，可得，即. 因为，所以.又，所以. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得. 由不等式可得，所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 【变式3】在锐角中，内角的对边分别为且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又为锐角三角形，即，所以， 由正弦定理，所以，因为，所以， 又因为为锐角，所以； （2）由正弦定理有，所以， 所以的面积 ， 因为是锐角，所以，即解得， 所以，所以，所以， 则的面积的取值范围为. 题型08 几何问题 【典例1】如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知,在中,. 由正弦定理得. （2）在中, ，由正弦定理得， 在中,由余弦定理得， ∴ 1、高度特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题． 2、距离问题：求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 【变式1】如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A 【变式2】美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，得 ，，，，. 设，则， 在中，， 由正弦定理，得，即，解得 所以. 故选：B. 【变式3】与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】(1)159米 (2)米 【详解】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大 1．如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．四边形的面积为 【答案】AD 【详解】在圆内接四边形中，连接，，，    对于A，由余弦定理得，， 即，解得，而，则，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，解得，C错误； 对于D，四边形的面积，D正确. 故选：AD 2．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，由正弦定理，可得， 根据等边对等角，可得； 必要性：若，根据等角对等边，可得， 由正弦定理得， 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 3．在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】因为，则， 所以， 由余弦定理可得， 又因为，故， 由平面向量数量积的定义可得，故， 所以，可得， 故，故， 因为的平分线交于点，则， 由三角形的面积公式可得， 即，故. 故答案为：. 4．在锐角中，，则的一个可能的取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】在锐角中，，则，又， 所以， 又，所以，所以， 所以， 故符合题意的值可取. 故答案为：（答案不唯一） 5．在中，其面积为1，的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则由题意可知，，， 则， 由余弦定理可得， ， 则， 即，其中， 则，得， 当时，，得，则，， 故的最小值为. 故选：D 6．在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】由可知，三边成等差数列， 所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角， 因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角， 又，所以. 由题意可得：，化简得， 又，， 所以， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B． 7．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，设等腰梯形的腰长为. (1)用表示上底； (2)求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1） 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则 所以梯形面积, 所以, 即. （2）设，上底， 则， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即， 时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时， 所用篱笆长度最小，其最小值为． 8．记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为结合正弦定理可得，， 因为，所以，所以，则， 因为，所以，则，得，则； （2）因为是的角平分线，且，，， 所以，得， 在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 因为，，所以， 则在中利用余弦定理得，得， 因为，所以， 所以，解得，解得或， 又，解得，于是. 9．锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）解：设外接圆的半径为， 由（1）知，因为，可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 10．在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点. (1)若为的中点，且，求的长； (2)若平分，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在中，，因为为的中点，所以， 两边平方得， 解得，所以. （2）因为平分，所以， 又， 即， 即，可得， 所以. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 平面向量的应用 教学目标 1.理解平面向量基本定理的核心内涵，明确“同一平面内两个不共线向量可作为基底”的前提条件，掌握向量线性表示的唯一性特征。 2.掌握向量正交分解的方法，能将任意向量分解为两个互相垂直的向量，理解正交分解的合理性与简便性。 3.熟练掌握平面向量的坐标表示规则，明确向量坐标与平面直角坐标系中点坐标的对应关系（起点在原点时向量坐标等于终点坐标）。 4.能进行向量坐标的加、减、数乘运算，掌握向量共线、垂直的坐标表示条件，会用坐标求解向量夹角与模长。 教学重难点 1.重点 平面向量的正交分解与坐标表示：掌握正交分解的操作方法，明确向量坐标的定义及几何意义，能准确写出向量的坐标。 2.难点 数形结合思想的灵活运用：在解决实际问题时，难以快速实现“几何图形→向量表示→坐标运算→几何结论”的转化链条。 知识点01 向量在平面几何中及解析几何中的应用 1、向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件： （或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件： （或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 ． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 2、向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（，）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 【即学即练】 1．起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 2．如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 知识点02 向量在物理中的应用 1、利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． 2、明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． 3、用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 【即学即练】 1．如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    2．在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 知识点03 余弦定理 1、三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 2、余弦定理的变形公式： 3、利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： （1）已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； （2）已知三角形的三条边，求其三个角． 【即学即练】 1．在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 2．如图所示，在中，为边的中点，平面上一点E满足. (1)若，求线段的长度； (2)若为钝角，求线段长度的取值范围. 知识点04 正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 2、利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 【即学即练】 1．的内角的对边分别为.已知. (1)求； (2)求的最大值（其中为的面积）. 2．在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 题型01 平面几何中的向量方法 【典例1】如图，为锐角三角形，点为的外心，点为的重心，的外接圆半径为.以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点，再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点，若， (1)试用表示；并探究三点是否共线，如果共线，请给出证明，若不共线，说明理由. (2)求证：是的垂心； (3)求证：，并且指出等号成立的条件. 1、用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 （1）利用线性运算证明的四个步骤 ①选取基底．②用基底表示相关向量．③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系．④把几何问题向量化． （2）利用坐标运算证明的四个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系．②把相关向量坐标化．③用向量的坐标运算找出相应关系．④把几何问题向量化． 2、用向量法解决平面几何问题的两种思想 （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【变式1】已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为 ． 【变式2】若，且，，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【变式3】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型02 向量在物理中的应用 【典例1】在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． （2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． （3）参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． （4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． 【变式1】如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【变式2】一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 【变式3】冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 题型03 解三角形 【典例1】在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 1、已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 2、已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角． 【变式1】如图，在中，，，取边中点，连接，设为中点，连接并延长与交于点，则的长为 . 【变式2】在中，已知，，边上的中点是，若相交于点， (1)求长 (2)求的余弦值 【变式3】在中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求边的长． 题型04 利用余弦定理判断三角形的形状 【典例1】已知的内角的对边分别为，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰直角三角形 1、利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 （1）先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． （2）先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． 2、判断三角形的形状时，经常用到以下结论 （1）为直角三角形或或． （2）为锐角三角形，且，且． （3）为钝角三角形或或． （4）若，则或． 【变式1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若， (1)求证：是等腰三角形； (2)已知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值． 【变式2】若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【变式3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下命题中正确的是（   ） A．若，，，则符合条件的三角形有两个 B．若，则为等腰或直角三角形 C．若，则的最小值为 D．若，，BC边上的高为1，则符合条件的三角形有两个 题型05 证明三角形中的恒等式及不等式 【典例1】已知平面内一三角形，点为其外心. (1)点为边的中点，，，求的值； (2)若过点的直线分别交边、于点，证明： . 【变式1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. (1)若，，求C； (2)求证：； (3)求的最小值. 【变式2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是内一点，且，，，E，F，G为垂足，记，，． (1)若，，，，AP的延长线交BC于点D，求AD； (2)若，，，求及PB； (3)证明：，当且仅当且时，等号成立． 【变式3】如图四边形中，    (1)若的面积为，且为锐角，求的长度． (2)试问是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由， (3)求四边形面积的最大值． 题型06 三角形边长、面积、周长最值与范围问题 【典例1】已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【变式1】在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【变式2】已知三角形ABC为等腰三角形，其中，，在AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上.则线段AD的长度的最小值为 . 【变式3】古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型07 面积与周长求值问题 【典例1】已知分别为三个内角的对边，且，且 (1)求； (2)若的面积为，求 (3)求周长的取值范围. 【变式1】在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是 ． 【变式2】已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【变式3】在锐角中，内角的对边分别为且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 题型08 几何问题 【典例1】如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 1、高度特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题． 2、距离问题：求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 【变式1】如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【变式2】美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式3】与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 1．如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．四边形的面积为 2．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为 ． 4．在锐角中，，则的一个可能的取值为 . 5．在中，其面积为1，的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 6．在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 7．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，设等腰梯形的腰长为. (1)用表示上底； (2)求出所用篱笆长度的最小值． 8．记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且. (1)求； (2)求. 9．锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 10．在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点. (1)若为的中点，且，求的长； (2)若平分，且，求的面积. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $