专题6.3 平面向量基本定理及坐标表示（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第二册

专题6.3 平面向量基本定理及坐标表示 教学目标 1.理解平面向量基本定理的核心内涵，明确“同一平面内两个不共线向量可作为基底”的前提条件，掌握向量线性表示的唯一性特征。 2.掌握向量正交分解的方法，能将任意向量分解为两个互相垂直的向量，理解正交分解的合理性与简便性。 3.熟练掌握平面向量的坐标表示规则，明确向量坐标与平面直角坐标系中点坐标的对应关系（起点在原点时向量坐标等于终点坐标）。 4.能进行向量坐标的加、减、数乘运算，掌握向量共线、垂直的坐标表示条件，会用坐标求解向量夹角与模长。 教学重难点 1.重点 平面向量的正交分解与坐标表示：掌握正交分解的操作方法，明确向量坐标的定义及几何意义，能准确写出向量的坐标。 2.难点 数形结合思想的灵活运用：在解决实际问题时，难以快速实现“几何图形→向量表示→坐标运算→几何结论”的转化链条。 知识点01 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． （1）其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； （2）平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是 的． 这说明如果且，那么． （3）当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为 ，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【即学即练】 1．如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    2．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 知识点02 平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如果基底的两个基向量、互相 ，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对 表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的 相等，即且，其中，． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 【即学即练】 1．已知点，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 知识点03 平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 2、如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的 、 坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 【即学即练】 1．如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．0 2．已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 知识点04 向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 【即学即练】 1．在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 2．已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 题型01 平面向量基本定理的理解 【典例1】中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 【变式1】如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为 【变式2】如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 题型02 平面向量的坐标表示 【典例1】以，，三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标． 【变式1】已知向量，，则与（   ） A．互为相等向量 B．互为相反向量 C．相互垂直 D．均为零向量 【变式2】下列命题正确的是（    ） A． B．若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C．在中，是为锐角三角形的充要条件 D．在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 【变式3】如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 题型03 平面向量加、减运算的坐标表示 【典例1】向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ． 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 【变式1】已知点是平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，若点满足，垂足为，则（    ） A． B．是锐角 C．点的坐标为 D． 【变式2】已知是平面内两个不共线向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，若，且四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【变式3】如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 题型04 平面向量数乘运算的坐标表示 【典例1】已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． （3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 【变式1】下列结论正确的是（　　） A．为平面内一定点，如，则三点共线且 B．非零向量满足，则与的夹角为锐角 C．已知是与平行的单位向量，则 D．平面内与动点满足，则点的轨迹必过的内心 【变式2】对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （    ） A． B．若，则 C．设为线段的中点，则 D．设为坐标原点，且点构成等腰三角形，则 【变式3】已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，，求； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 题型05 向量共线的判定及向量共线的坐标表示求参数 【典例1】解决下列问题： (1)已知平行四边形ABCD的三个顶点，，，而且A，B，C，D按逆时针方向排列，求D点的坐标； (2)已知，，三点共线，求y的值． 1、向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 2、利用向量平行的条件处理求值问题的思路 （1）利用向量共线定理列方程组求解． （2）利用向量平行的坐标表达式直接求解． 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 【变式1】已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式2】平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 【变式3】设A，B，C，D为平面内的四点，. (1)若，求点D坐标； (2)设向量，若与平行，求实数k的值. 题型06 数量积的坐标运算 【典例1】在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为 . 进行数量积运算时，要正确使用公式，并能灵活运用以下几个关系． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 B．已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为 C．已知向量，，若，则的取值范围为 D．若是的外心，，，的值为 【变式2】已知向量，，向量在方向上的投影为2． (1)求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【变式3】已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若为钝角，求实数的取值范围. 题型07 平面向量的模 【典例1】已知点，，． (1)若与垂直，求的值； (2)若三点共线，求的值； (3)若，求的值； (4)将向量绕原点逆时针旋转得到向量，求点的坐标． 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模问题一般转化为求模的平方，即，求模时，勿忘记开方． （2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【变式1】已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 【变式2】如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)若，在仿射坐标系中，，，求； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； (3)如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 【变式3】已知，，，记在方向上的投影向量为． (1)求的值； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 题型08 平面向量的夹角、垂直问题 【典例1】已知向量，，且. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由直接求出． （2）注意事项：利用三角函数值求的值时，应注意角的取值范围是．利用判断的值时，要注意时，有两种情况：一是是钝角，二是为；时，也有两种情况：一是是锐角，二是为． 【变式1】已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【变式2】平面上有三点，，，向量，． (1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值 【变式3】已知点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若 ，则 C．若，则 D．若与的夹角为锐角，则 1．在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是 . 2．已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 3．下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 4．已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 5．在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．已知向量，，若，则 8．已知向量满足，且与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 9．已知，，三点共线，且，，若点的纵坐标为4， (1)求点的横坐标； (2)O为坐标原点，求向量在向量上的投影向量． 10．对于一组向量，且，令，如果存在使得，那么称是该向量组的“1向量”. (1)设，若是向量组的“1向量”，求实数的取值范围； (2)若，则向量组是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由； (3)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 平面向量基本定理及坐标表示 教学目标 1.理解平面向量基本定理的核心内涵，明确“同一平面内两个不共线向量可作为基底”的前提条件，掌握向量线性表示的唯一性特征。 2.掌握向量正交分解的方法，能将任意向量分解为两个互相垂直的向量，理解正交分解的合理性与简便性。 3.熟练掌握平面向量的坐标表示规则，明确向量坐标与平面直角坐标系中点坐标的对应关系（起点在原点时向量坐标等于终点坐标）。 4.能进行向量坐标的加、减、数乘运算，掌握向量共线、垂直的坐标表示条件，会用坐标求解向量夹角与模长。 教学重难点 1.重点 平面向量的正交分解与坐标表示：掌握正交分解的操作方法，明确向量坐标的定义及几何意义，能准确写出向量的坐标。 2.难点 数形结合思想的灵活运用：在解决实际问题时，难以快速实现“几何图形→向量表示→坐标运算→几何结论”的转化链条。 知识点01 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． （1）其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； （2）平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． （3）当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【即学即练】 1．如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    【答案】 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 2．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 知识点02 平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 【即学即练】 1．已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由点，，得. 故选：D 2．已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以它的相反向量. 故选：A. 知识点03 平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 2、如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 【即学即练】 1．如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【详解】用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，则，且，， 若， 则，则. 故选：D. 2．已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为平面向量，，，且， 所以. 则有，解得. （2）因为平面向量，，， 所以，解得，所以向量，， 所以. 所以. 知识点04 向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 【即学即练】 1．在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得，， 则， 又，所以，得； （2）设，则，即， 因为，，所以，即， 故或， 故向量的坐标为或. 2．已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，， ， 因为， 所以与不平行，故B错误； 对于C，设向量与的夹角为， ， ， ， 又，所以，故C正确； 对于D，设和的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为， ，， 则，故D错误． 故选：AC． 题型01 平面向量基本定理的理解 【典例1】中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，点在边上，由，得， 则，即，而，， 所以． 故选：B 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 【变式1】如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为 【答案】/ 【详解】在中，，则， 线段的中点分别为， ∴，， ∴， ∴两边平方得： ， ∵，，， ∴， 因为对称轴为，所以当时取得最小值， 最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. 【变式2】如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 【变式3】在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，依题意知，，，. 则， . 因为，， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，，所以. （2）由题意， . 则. 因为，， ， 所以， 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴的取值范围是． 题型02 平面向量的坐标表示 【典例1】以，，三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】设， 若，则，即，解得，即； 若，则，即，解得，即； 若，则，即，解得，即；故选：AB 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标． 【变式1】已知向量，，则与（   ） A．互为相等向量 B．互为相反向量 C．相互垂直 D．均为零向量 【答案】B 【详解】因为，所以，即互为相反向量． 故选：B． 【变式2】下列命题正确的是（    ） A． B．若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C．在中，是为锐角三角形的充要条件 D．在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 【答案】D 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量， 故把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故B错误； 对于C：由，即，即， 又，所以为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立， 故C错误； 对于D：由，可得 又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角， 故点在的平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故D正确.故选：D 【变式3】如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】B 【详解】由，，得，由，得， 因此，所以. 故选：B 题型03 平面向量加、减运算的坐标表示 【典例1】向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ． 【答案】 【详解】如图建立平面直角坐标系， 则，又， 所以， 则. 故答案为：. 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 【变式1】已知点是平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，若点满足，垂足为，则（    ） A． B．是锐角 C．点的坐标为 D． 【答案】ABD 【详解】因为点，点，则， 故，故A正确； ，，则，若， 即，可得，此方程无解，所以与不共线， 所以是锐角，故B正确； 设点的坐标为，则，， 因为，所以，解得，故，所以C错误； 因为，设，则， 由于，所以，即，解得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【变式2】已知是平面内两个不共线向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，若，且四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 因为三点共线，所以存在使得， 即， 因为是平面内两个不共线向量，所以，解得． （2）当时，， 设，则， 因为四点按逆时针顺序构成平行四边形， 所以，即，解得 所以． 【变式3】如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 【答案】ACD 【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系，    则，不妨设，则， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，整理得 因为，所以. 故选：ACD 题型04 平面向量数乘运算的坐标表示 【典例1】已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】已知，，若， 则，解得或， 因为“”不一定能得出“”，但“”一定能得出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． （3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 【变式1】下列结论正确的是（　　） A．为平面内一定点，如，则三点共线且 B．非零向量满足，则与的夹角为锐角 C．已知是与平行的单位向量，则 D．平面内与动点满足，则点的轨迹必过的内心 【答案】AD 【详解】选项 A ：已知 ，则 , ，则 ，即 ； 因为 与 有公共点 ，所以 A 、 B 、 C 三点共线，故 A 选项正确； 选项 B ：根据向量的数量积公式 ， 当 时，即 ，因为 ，所以 ． 又因为 ，所以 ， 当 时， 与 同向，此时夹角不是锐角，故 B 选项错误； 选项 C ：已知 ，根据向量模长公式 ，可得 ； 与 平行的单位向量 ，即 ， 所以 或 ，故 C 选项错误； 选项 D ：因为 是与 同向的单位向量， 是与 同向的单位向量， 根据向量加法的平行四边形法则，以 和 为邻边的平行四边形是菱形， 所以 平分 ， 已知 ，则 与 的角平分线共线， 又因为 为公共点， 所以点 的轨迹必过 的内心，故 D 选项正确. 故选：AD 【变式2】对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （    ） A． B．若，则 C．设为线段的中点，则 D．设为坐标原点，且点构成等腰三角形，则 【答案】ABD 【详解】，，A正确； 若，不妨记，由A选项，，∴，B正确； 为线段的中点，，C错误； ，，， ，，， ∴构成等腰三角形，只可能，联立可解，D正确; 故选：ABD. 【变式3】已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，，求； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 当三点共线时，存在实数，使得， 即， 即，解得. （2）由（1）可知， ∴， ∴. （3），， ∴， 设，∴， ∴， 在平行四边形中，，即，解得， ∴. 题型05 向量共线的判定及向量共线的坐标表示求参数 【典例1】解决下列问题： (1)已知平行四边形ABCD的三个顶点，，，而且A，B，C，D按逆时针方向排列，求D点的坐标； (2)已知，，三点共线，求y的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，因四边形ABCD为平行四边形，则， 则； （2）因三点共线，则. 又,,则. 1、向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 2、利用向量平行的条件处理求值问题的思路 （1）利用向量共线定理列方程组求解． （2）利用向量平行的坐标表达式直接求解． 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 【变式1】已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【详解】由题设， ，，，与有公共端点，所以三点共线，A对； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，B错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，C错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，D错； 故选：A 【变式2】平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1），即， ，解得． （2），， ， ，即，解得． 【变式3】设A，B，C，D为平面内的四点，. (1)若，求点D坐标； (2)设向量，若与平行，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，设，又，所以， 因为，所以，解得，所以点D坐标为； （2），， 所以，， 因为与平行， 所以，解得. 题型06 数量积的坐标运算 【典例1】在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由，，， 所以 ， 所以，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 故，， 所以， 当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 进行数量积运算时，要正确使用公式，并能灵活运用以下几个关系． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 B．已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为 C．已知向量，，若，则的取值范围为 D．若是的外心，，，的值为 【答案】BCD 【详解】对于A，，由题意可知，则， 但当时，与的夹角为不为锐角，所以，A选项错误； 对于B，∵与方向相反，则存在使得，， 即，解得或， 当时，（舍去），所以，即， 所以在上的投影向量，B选项正确； 对于C，，，∴， ∴，C选项正确； 对于D，设，， ∴， ∵ 由正弦定理可知， ，， ∴， ∵， 由余弦定理，， ∴， D选项正确. 故选：BCD. 【变式2】已知向量，，向量在方向上的投影为2． (1)求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可得，解得. （2）由向量与的夹角为锐角，可得且与不共线， ，所以， 又，即，此时可得 所以实数的取值范围为. 【变式3】已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）由，则， 即， 即，得. （2）若为钝角，即且不共线， 即，得，且， 得且，综上解得且. 题型07 平面向量的模 【典例1】已知点，，． (1)若与垂直，求的值； (2)若三点共线，求的值； (3)若，求的值； (4)将向量绕原点逆时针旋转得到向量，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4) 【详解】（1）因为点，，， 所以，， 又因为， 所以， 解得． （2）因为三点共线，所以 由（1）知，， 所以，解得． （3）因为，， 所以， 解得，将代入公式中有： ， 所以不存在． （4）由已知得，，点在第二象限， 即， 因为， 设，则， 从而有， 解得或 又因为，所以． 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模问题一般转化为求模的平方，即，求模时，勿忘记开方． （2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【变式1】已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 【答案】ABD 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，，则有、， 即与向量平行的单位向量有、，故C错误； 对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确． 故选：ABD 【变式2】如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)若，在仿射坐标系中，，，求； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； (3)如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1），则， 如图，以为原点构造直角坐标系， 在直角坐标系中，当时，记，则， 在仿射坐标系中，，， 则， ， 所以； （2）在直角坐标系中，记，则， 在仿射坐标系中，， ， 解得（舍去）或，所以； （3）在直角坐标系中，， 设，，，即， 则，所以， E，F分别为的中点， 则， ， 中，由正弦定理， 设，则， 所以，， ，其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取得最大值， 则. 【变式3】已知，，，记在方向上的投影向量为． (1)求的值； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，，与的夹角为30°，， ∴． （2）∵向量与的夹角为钝角， ∴ ， ∴即或， 又与不能共线， 当与共线时，设，， 得， 所以实数的取值范围为． 题型08 平面向量的夹角、垂直问题 【典例1】已知向量，，且. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以， 由，可得， 即，解得， 所以， 又与同方向的单位向量，， 故在上的投影向量为. （2），， 向量与的夹角为钝角的充要条件是，且向量与 不共线，即， 解得且， 故m的取值范围是. 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由直接求出． （2）注意事项：利用三角函数值求的值时，应注意角的取值范围是．利用判断的值时，要注意时，有两种情况：一是是钝角，二是为；时，也有两种情况：一是是锐角，二是为． 【变式1】已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【答案】AB 【详解】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 【变式2】平面上有三点，，，向量，． (1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值 【答案】(1) (2)或j． 【详解】（1）若三点不能构成三角形，则， 又，所以，解得． （2）因为，所以， 因为，所以， 解得或. 【变式3】已知点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若 ，则 C．若，则 D．若与的夹角为锐角，则 【答案】ACD 【详解】因为，可得 对于A，由，可得，故A正确； 对于B，由，可得，解得，故B错误； 对于C，由，可得，解得，故C正确； 对于D，由与的夹角为锐角，则满足且向量与不共线， 则满足且，解得，故D正确. 故选：ACD. 1．在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    2．已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 3．下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 【答案】BC 【详解】因为，当时，不一定共线，所以A错误； 因为是一组基底，所以不共线， 假设共线，则存在实数使得，那么， 则共线，与已知条件矛盾，所以不共线，所以也是一组基底，B正确； 由可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确； 因为，若且，则不存在实数使得，所以D错误. 故选：BC. 4．已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 5．在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为四边形是正方形，所以，所以， 因为，所以，又因为，所以， 所以，即得，解得或，因为，所以不合题意舍去， 所以， 所以点. 故选：A. 7．已知向量，，若，则 【答案】/0.5 【详解】因为向量，， 所以， 又， 所以， 解得. 故答案为： 8．已知向量满足，且与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 【答案】(1)7 (2) (3)或 【详解】（1）由题意可得， 所以， 所以. （2）因为，所以， 解得. （3）因为向量与平行， 所以存在实数使得， 所以，即解得或. 9．已知，，三点共线，且，，若点的纵坐标为4， (1)求点的横坐标； (2)O为坐标原点，求向量在向量上的投影向量． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可设点的坐标为， 因为，，三点共线， 所以， 由于,, 则, 解得：, 所以点的横坐标为; （2）由(1)可得, 所以, 则, , 向量在向量上的投影向量为 即向量在向量上的投影向量为 10．对于一组向量，且，令，如果存在使得，那么称是该向量组的“1向量”. (1)设，若是向量组的“1向量”，求实数的取值范围； (2)若，则向量组是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由； (3)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值． 【答案】(1) (2)存在， (3)24 【详解】（1）由题意． ， 化简得：的范围是． （2）， . 向量组，以4为周期． ， 不是该向量组的“1向量”； 是该向量组的“1向量”； 不是该向量组的“1向量”； 不是该向量组的“1向量”； 存在“1向量”，“1向量”为． （3）由题意，，即， ，同理，， 上述三式相加，得： ， 又． ， 设，则依题意得， 得， 故， 又， 得， 所以， 因为， 当，即时，， ． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $