专题05：万有引力定律模型 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

专题05 万有引力定律模型 模型一 开普勒定律 一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上． 2．开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积． 3．开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比是一个常量．其表达式为＝k，其中r代表椭圆轨道的半长轴，T代表行星绕中心天体公转的周期，k是一个与行星无关(填“有关”或“无关”)的常量． 二、解法指导 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 2．设在极短时间Δt内，由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则近日点的速度最大，远日点的速度最小。 3． 开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 【例题精讲】 1．2030年之前，中国航天员将登上月球。如图所示，月球的半径为R，假设甲、乙两艘宇宙飞船分别绕月球做椭圆轨道和圆轨道运动，甲的近地点正好在月面，远地点与月面的最近距离为2R，甲的远地点与乙轨道的最近距离为R，则甲、乙的周期之比为（　　） A．1：1 B．2：1 C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可得甲椭圆轨道的长轴为4R，则半长轴为2R，设乙圆轨道的半径为r，当甲的远地点与乙的最近距离为R，由几何关系可得 r＝R+R＝2R，解得 r＝2R，设甲、乙的周期分别为T甲T乙，由开普勒第三定律可得，则有T甲：T乙＝1：1，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．如图所示为哈雷彗星绕太阳运行的轨迹，a、b、c、d轨迹上的四个点，它们与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S2＝2S1。则彗星从a到b和从c到d的时间t1、t2的关系（　　） A．t2＝t1 B．t2＝2t1 C．t2t1 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：根据开普勒第二定律，哈雷彗星绕太阳运行在同一轨道上，相同的时间内彗星和太阳的连线扫过的面积相等，可以得出S2是面积S1的2倍时，对应的时间也是2倍关系，即t2＝2t1，故B正确，ACD错误。 故选：B。 3． 2022年11月29日，神舟十五号飞船在酒泉发射成功，次日飞船与中国空间站对接。如对接后空间站仍在原轨道运行，则对接后空间站运行的周期（　　） A．变小 B．不变 C．无法判断 D．变大 【答案】B 【解答】解：由于飞船与空间站对接后仍在原轨道运行，根据k 因此其半径r不变，运行周期也不变，故ACD错误，B正确。 故选：B。 4．一小行星绕太阳公转的周期约为8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1AU，忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道约为（　　） A．3AU B．4AU C．5AU D．6AU 【答案】B 【解答】解：已知地球公转周期Te＝1年，轨道半径Re＝1AU，小行星公转周期Ta＝8年，设小行星轨道半径为Ra， 根据开普勒第三定律得， 解得Ra＝4AU，故ACD错误，B正确。 故选：B。 5．2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道示意图如图所示。鹊桥二号在捕获轨道运行时，下列说法正确的是（　　） A．运行周期大于在冻结轨道的运行周期 B．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 C．近月点的机械能等于在冻结轨道运行时近月点的机械能 D．与月球的连线在单位时间内扫过的面积与在冻结轨道运行时相等 【答案】A 【解答】解：A、轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，由开普勒第三定律可知“鹊桥二号”在捕获轨道Ⅰ上的运行周期比在冻结轨道Ⅱ上的运行周期长，故A正确； B、根据牛顿第二定律有， 解得，可知“鹊桥二号”在捕获轨道Ⅰ上经过A点的加速度等于在冻结轨道Ⅱ上经过A点时的加速度，故B错误； C、“鹊桥二号”在捕获轨道Ⅰ运行到近月点A时减速才能变轨进入冻结轨道Ⅱ运行，即在捕获轨道Ⅰ运行到近月点A时速度大于在捕获轨道运行时近月点的速度， 所以在冻结轨道运行时近月点的机械能小于在捕获轨道运行时近月点的机械能，故C错误； D、只有在同一轨道绕同一天体运行，卫星在相同时间内与中心天体连线扫过的面积才相等，故D错误。 故选：A。 （多选）6．如图所示，A、B两卫星绕地球做匀速圆周运动，A卫星与地心连线在t1时间内扫过的面积为S1，B卫星与地心连线在t2时间内扫过的面积为S2，若S1＝S2，则下列说法正确的是（　　） A．A卫星的线速度小于B卫星的线速度 B．A卫星的角速度大于B卫星的角速度 C．A、B两卫星做圆周运动的半径之比等于 D．A、B两卫星做圆周运动的半径之比等于 【答案】BC 【解答】解：AB、A、B两卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得， 可得，， 因rA＜rB可知vA＞vB，ωA＞ωB，故A错误，B正确。 CD、根据扇形面积公式得，A卫星与地心连线在t1时间内扫过的面积为S1，B卫星与地心连线在t2时间内扫过的面积为S2，若S1＝S2，可知， 可得，故C正确，D错误。 故选：BC。 （多选）7．如图所示，地球的公转轨道接近圆，周期为T1，哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，周期为T2。已知哈雷彗星在近日点和太阳中心距离为r1，线速度大小为v1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，地球公转轨道半径为r。则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解答】解：AB、根据开普勒第二定律，设在极短时间Δt内，在近日点和远日点哈雷彗星与太阳中心的连线扫过的面积相等，有v1Δt•r1v2Δt•r2， 解得，故A正确，B错误； CD、根据开普勒第三定律有， 已知哈雷彗星在近日点和太阳中心距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2，所以a， 解得： ，故C错误，D正确。 故选：AD。 模型二 计算天体的质量和密度 一、计算天体的质量 1．称量地球的质量 (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力． (2)关系式：mg＝G. (3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量． 2．太阳质量的计算 (1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力． (2)关系式：＝mr. (3)结论：mS＝，只要测出行星的公转周期T以及它和太阳之间的距离r就可以计算出太阳的质量． 二、估算天体质量和密度的两种方法 (1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 ①由G ＝mg，得天体质量M＝。 ②天体密度ρ＝＝＝。 (2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝mr，得M＝。 ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 【例题精讲】 1．2025年12月16日，我国在太原卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射立体测绘卫星资源三号04星。若卫星入轨后做匀速圆周运动，轨道半径为r，卫星在时间t内转过的圈数为n，引力常量为G，不考虑地球的自转，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设地球的质量为M，卫星的质量为m，根据万有引力提供向心力有，解得，故B正确，ACD错误。 故选：B。 2．若一均匀球形星体的自转周期为T，离星球表面最近卫星的周期为T0，引力常量为G，某物体在该星球表面赤道处称重为F1，在两极处称重为F2，则该星球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设星球质量为M，半径为R，物体质量为m。在赤道处，物体受万有引力和离心力影响，称重 其中 在两极处，无离心力，称重 则 解得 密度 由 得 解得 故ABC错误，D正确。 故选：D。 3．2025年11月25日清晨，长征二号F遥二十二运载火箭托举着神舟二十二号飞船直冲天际，恰好穿越初升的太阳圆面，一幅“一箭穿日”的壮美画卷被镜头定格，如图所示。若飞船与空间站对接后，在半径为R的圆轨道上做匀速圆周运动，运行速率为v，引力常量为G，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据万有引力提供向心力有：， 解得地球的质量为：，故C正确，ABD错误。 故选：C。 4．2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　） A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的绕地线速度和地球半径 C．核心舱的绕地线速度和绕地周期 D．核心舱的质量和绕地周期 【答案】C 【解答】解：核心舱绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 整理可得 其中，v＝ωr 可见，要计算出地球的质量，需知道核心舱的绕地线速度和绕地半径、角速度和绕地半径、周期和绕地半径以及绕地线速度和绕地周期，故C正确，ABD错误。 故选：C。 5．2025年9月7日晚，天空上演壮丽月全食。此时太阳、地球、月球连成一线，地球居中遮挡阳光。已知地球绕太阳，月球绕地球均为逆时针运动。地球绕太阳运动的周期为T1，轨道半径为r1，月球绕地球运动的周期为T2，轨道半径为r2。忽略太阳与月球之间的引力，某一时刻三者位置关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B．太阳与地球质量之比为 C．太阳与地球密度之比为 D．太阳，地球，月球由图示位置到再次出现月全食所需时间为t 【答案】D 【解答】解：C、由于不知道太阳与地球的球体半径，故无法求出太阳与地球密度之比，故C错误； AB、设太阳质量M，地球质量m，月球质量m0，地球绕太阳 月球绕地球 联立得太阳与地球质量之比为，，故AB错误； D、太阳、地球、月球由图示位置到再次出现月全食，月球多转半圈，有 解得再次出现月全食所需时间为，故D正确。 故选：D。 （多选）6．某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图像，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是（　　） A．图线①是木星卫星运动的规律 B．地球的质量为 C．木星的密度为 D．木星与地球的密度之比为 【答案】AC 【解答】解：A、根据万有引力提供向心力有 中心天体质量越大，图像斜率越大，因木星质量大于地球质量，故图线①是木星卫星运动的规律，故A正确； BCD、图线②是地球卫星运动的规律，由前面的分析知，，故图像的斜率为 解得地球的质量为 同理木星的质量为 c、b的左侧部分为虚线，故木星的半径的三次方，根据木星的密度 解得 同理可得 故 故C正确，BD错误。 故选：AC。 （多选）7．近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。已知火星表面的重力加速度g，火星半径为R，引力常数G。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的质量表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解答】解：AB．忽略火星自转的影响，在火星表面有万有引力等于重力 可得火星的质量为 故A正确，B错误； CD．对“近地”火星探测器由万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律可得 可得火星的质量为 故C正确，D错误。 故选：AC。 模型三 万有引力和重力的关系 一、万有引力定律的建立 1．太阳与行星间引力的推导 (1)太阳对行星的引力：F∝. (2)行星对太阳的引力：F′∝. (3)总结F与F′的关系：F＝F′∝. 2．万有引力定律 (1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比． (2)表达式：F＝G. (3)万有引力定律中的距离r，是指两个质点之间的距离；对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离． 二、引力常量 1．测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验较精确地测出引力常量． 2．数值：国际科学联盟理事会科技数据委员会2002年推荐的引力常量数值为G＝6.672(10)×10－11 N·m2/kg2，通常可以取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 三、解法指导 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。 3．万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为0。 (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 【例题精讲】 1．中国的载人登月计划旨在2030年前实现人类首次登陆月球，为体验在月球上行走的感觉，可采用悬在空中的氦气球拉着人在地面上前行。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球质量为地球质量的p倍，月球半径为地球半径的q倍，不考虑星球自转，为使质量为m的人在地球表面前行感觉到和月球表面相同的“重力”，则氦气球对该人的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据万有引力定律，月球表面重力加速度为，地球表面重力加速度为，结合已知条件可得。为使质量为m的人在地面感受到与月球表面相同的重力，需氦气球提供向上的拉力F，满足mg﹣F＝mg月，解得：，故B正确，ACD错误； 故选：B。 2．我国“天问二号”小行星探测器计划于2025年5月发射，主要任务是对近地小行星2016HO3开展伴飞、探测并取样返回。假设“天问二号”小行星探测器在小行星的静止轨道上运行时速度为v，降落在小行星表面采样时发现同一样品在赤道时的重力是其在北极时重力的倍。已知小行星的自转周期为T，引力常量G，则下列说法正确的是（　　） A．小行星的质量为 B．小行星静止轨道的高度为 C．贴近小行星表面运行的卫星周期为 D．小行星的密度为 【答案】D 【解答】解：A、小行星探测器在小行星的静止轨道上运行时的周期等于小行星的自转周期为T， 设小行星的静止轨道的轨道半径为r，根据圆周运动公式有， 解得， 由万有引力提供向心力有， 解得小行星的质量，故A错误； B、根据题意可知，样品在赤道上时，根据万有引力与重力关系有， 样品在北极时，根据万有引力等于重力有， 同一样品在赤道时的重力是其在北极时重力的倍，即， 联立解得小行星的半径， 则小行星静止轨道的高度为，故B错误； C、由万有引力提供向心力有， 又有， 联立解得，故C错误； D．结合AB分析可得，小行星的密度为，故D正确。 故选：D。 3．司马迁在《史记•天官书》中首次系统记载了“天赤道”的概念，并描述其与黄道的关系。如图所示，静置在地球黄道面和赤道面上的a、b两物体（　　） A．线速度相等 B．重力加速度相等 C．b所需的向心力更大 D．b的向心加速度更大 【答案】D 【解答】解：A．a、b两物体均随地球一起自转，因此它们的自转角速度ω是相同的，但b物体圆周运动的半径更大，根据线速度与角速度的关系v＝ωr，可知b物体的线速度更大，故A错误。 B．纬度越高，重力加速度越大，a物体位于黄道面（纬度高于赤道），b物体位于赤道面，所以a物体的重力加速度更大，故B错误。 C．向心力的公式为，虽然ω相同、rb＞ra，但题目中并未给出a、b两个物体的质量，所以无法比较所需向心力的大小关系，故C错误。 D．向心加速度与角速度的关系为，由于a、b两物体的自转角速度ω相同，且ra＞rb，可知b物体的向心加速度更大，故D正确。 故选：D。 4．在地球表面，一质量为1kg的物块静止在粗糙的水平桌面上，用一方向水平、大小为5N的力F作用在物块上，物块恰好做匀速直线运动，如图甲所示。若把该装置放到X星球表面，需要让力F与水平方向成37°角（大小不变）才能使物块做匀速直线运动，如图乙所示。已知X星球的质量是地球质量的2倍，地球表面的重力加速度大小g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则X星球的半径与地球的半径之比为（　　） A．1：1 B．2：1 C．4：1 D．8：1 【答案】B 【解答】解：在地球表面，物块做匀速直线运动，根据平衡条件则有F＝μmg＝5N 代入数据解得μ＝0.5 在X星球表面，物块做匀速直线运动，根据平衡条件则有Fcosθ＝μ（mgx+Fsinθ） 代入数据解得 则gx：g＝1：2 由黄金代换式GM＝gR2可知，两星球半径之比：Rx：R地＝2：1，故B正确，ACD错误。 故选：B。 5．假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。在地球北极用弹簧测力测质量为m小球的重力，示数为F。若在地球内部，以地心O为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使该小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则其在隧道中做匀速圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意分析可得，质量为m小球的重力 由于球体积为 设地球的平均密度为ρ，地球的质量 联立解得 根据万有引力的公式有，小球在地球内部半径为的隧道运动时受到的万有引力为 此时小球受到的万有引力提供向心力，则有 解得，故A正确，BCD错误； 故选：A。 （多选）6．随着中国航天科技的飞跃发展，中国宇航员将登上月球。假设宇航员登月后，在月面做了一个自由落体运动的实验，将一小球由静止释放，经过一小段时间t，小球的速度大小为v0，已知月球的第一宇宙速度大小为nv0，引力常量为G，一探测器在离月面的高度为月球半径倍的轨道上绕月球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．月面的重力加速度大小为 B．探测器的线速度大小为 C．月球的半径为2n2v0t D．月球的密度为 【答案】BD 【解答】解：A、根据自由落体运动的规律可得：v0＝gt，解得月球表面的重力加速度大小为：g，故A错误； B、探测器套月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：m，解得：v 已知月球的第一宇宙速度大小为nv0，则有： 所以探测器的线速度大小为：v，故B正确； C、第一宇宙速度等于卫星贴近地面做匀速圆周运动的环绕速度，则有：mg＝m，即：nv0 解得月球的半径为：R＝n2v0t，故C错误； D、根据万有引力和重力的关系可得：mg 根据密度计算公式可得：ρ，其中V 联立解得月球的密度为：，故D正确。 故选：BD。 （多选）7．2021年2月24日，我国“天问一号”火星探测器成功实施第三次环火制动，进入了环火停泊轨道，并进行为期三个月的探测，在这三个月中，“天问一号”先在高度为h1、周期为T1的停泊轨道上做匀速圆周运动，之后又下降到高度为h2、周期为T2的轨道上做匀速圆周运动。根据以上信息不需要引力常量就可以求的物理量是（　　） A．火星的质量 B．火星的半径 C．火星的第一宇宙速度 D．火星表面的重力加速度 【答案】BCD 【解答】解：AB、“天问一号”绕火星做匀速圆周运动，设火星的半径为R，根据开万有引力定律可知，m（R+h1），m（R+h2） 联立解得R，火星的质量无法计算，故A错误，B正确； D、根据万有引力等于重力有mg，联立m（R+h1），可解得g，故D正确 C、第一宇宙速度是物体绕火星表面做匀速圆周运动的运行速度，m，联立可得火星的第一宇宙速度，故C正确； 故选：BCD。 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．2025年4月27日，天链二号05星由西昌卫星发射中心成功发射升空。天链二号05星属于地球静止轨道卫星，主要用于为载人航天器和中、低轨道资源卫星提供数据中继和测控服务。天链二号05星在轨做匀速圆周运动时（　　） A．速度小于第一宇宙速度 B．向心加速度大于9.8m/s2 C．周期小于近地卫星的周期 D．角速度大于地球自转的角速度 【答案】A 【解答】解：A.第一宇宙毒素是最大的环绕速度，即“贴地飞行”环绕速度，根据“高轨低速”的推论，天链二号05星速度小于第一宇宙速度，故A正确； B.若天链二号05星位于地球表面，万有引力提供的加速度约为9.8m/s2；在环绕轨道上，天链二号05星所受万有引力更小，因此向心加速度一定小于9.8m/s2，故B错误； C.根据“高轨大周期”的推论，天链二号05星的周期大于近地卫星的周期，故C错误； D.天链二号05星属于地球静止轨道卫星，其角速度与地球自传角速度相等，故D错误。 故选：A。 2．我国于北京时间2025年10月31日23时44分发射了神舟二十一号载人飞船，并与空间站完美对接。如图所示，对接前神舟二十一号在轨道1上做圆周运动，空间站在轨道3上做圆周运动，神舟二十一号通过转移轨道2与空间站实现对接。下列说法正确的是（　　） A．神舟二十一号的发射速度大于11.2km/s B．若对接前神舟二十一号与空间站在同一轨道上运行，神舟二十一号加速后也能实现对接 C．在轨道1上运行时，相等时间内神舟二十一号与地心连线扫过的面积等于空间站与地心连线扫过的面积 D．神舟二十一号与空间站对接后，神舟二十一号的环绕周期增大 【答案】D 【解答】解：A、11.2km/s是卫星挣脱地球引力的发射速度，由题意可知，神舟二十一号是绕地球运动的卫星，没有脱离地球束缚，所以其发射速度应大于第一宇宙速度7.9km/s，小于第二宇宙速度11.2km/s，故A错误； B、若对接前神舟二十一号与空间站在同一轨道上运行，神舟二十一号加速后，万有引力将不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，它将做离心运动，进入更高的轨道。在更高轨道上，其周期变长，角速度变小，反而会离前方的空间站越来越远，不能实现对接，故B错误； C、根据开普勒第二定律可知，在同一个轨道上运行的卫星与地心连线在相同时间扫过的面积相等，所以神舟二十一号与地心连线、空间站与地心连线在相等时间扫过面积不相等，故C错误。 D、对接前，神舟二十一号在较低的轨道1上运行。对接后，与空间站一起在较高的轨道3上运行，根据开普勒第三定律有，因r1＜r3，故T1＜T3，即神舟二十一号与空间站对接后，神舟二十一号的环绕周期增大，故D正确。 故选：D。 3．目前在太空中为我们提供服务的北斗三号系统是由30颗卫星组成的。如图（a），以地球球心为坐标原点，以某一颗北斗卫星所在轨道平面建立xOy平面直角坐标系，将卫星绕地球运动视为逆时针的匀速圆周运动，其运动轨迹与x轴正半轴交点为K。现从K点开始计时，将卫星所受地球的万有引力F沿x轴、y轴两个方向进行正交分解，得到两个分力Fx，Fy，其中Fy随卫星运动时间t变化图像如图（b）所示，已知卫星质量为m，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转，则（　　） A．当时， B．该卫星距地面高度是地球半径的4倍 C．该卫星的轨道半径为 D．地球的质量为 【答案】C 【解答】解：A、由图（b）知，Fy的最大值为，结合数学知识可得，当时，Fysin，故A错误； B、设该卫星的轨道半径为r，地球半径为R，则有F＝G 在地球表面，根据万有引力等于重力有 m′g＝G 联立可得r＝4R 则该卫星距地面高度h＝r﹣R＝4R﹣R＝3R，故B错误； C、由图（b）可知，该卫星的运行周期T＝2t0。卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有 Fmr 解得，故C正确； D、根据m′g＝G得 M 结合，r＝4R，解得M，故D错误。 故选：C。 4．“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道运行到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，已知图乙中两轨道相切于M点，则天问一号（　　） A．发射速度大于16.7km/s B．在地火转移轨道运行时，经过P点的加速度小于经过Q点的加速度 C．从调相轨道变轨到停泊轨道，运行周期变小 D．从调相轨道变轨到停泊轨道，需要在M点点火加速 【答案】C 【解答】解：A、因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误； B、根据牛顿第二定律可得 可得 由于Q到太阳的距离大于P点到太阳的距离，可知在地火转移轨道运行时，经过P点的加速度大于经过Q点的加速度，故B错误； C、根据开普勒第三定律，环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确； D、卫星从M点变轨时，要减小速度，才能做向心运动进入停泊轨道，即从调相轨道变轨到停泊轨道，需要在M点点火减速，故D错误。 故选：C。 5．2025年11月1日4时58分，神舟二十一号航天员乘组顺利进驻天宫空间站。下列说法正确的是（　　） A．4时58分是时间间隔 B．航天员在天宫空间站中处于失重状态 C．神舟二十一号一定不可看作质点 D．神舟二十一号的速度越大，惯性越大 【答案】B 【解答】解：A．4时58分是时间轴上的一个点，代表一个瞬时，指时刻，故A错误； B．航天员在天宫空间站重力提供向心力，处于失重状态，故B正确； C．当研究飞船绕地球运动的轨道时，它的大小和形状能忽略，能将神舟二十一号看作质点，故C错误； D．神舟二十一号的速度越大，惯性不变，因为惯性仅由质量决定，故D错误。 故选：B。 6．科学家发现了一颗宜居行星，它表面的重力加速度与地球的几乎相等，它的第一宇宙速度是地球的k倍，则这颗宜居行星的质量约为地球质量的（　　） A．k4倍 B．k3倍 C．k2倍 D．k倍 【答案】A 【解答】解：由万有引力提供向心力以及万有引力近似等于重力可得 联立解得 可得 ，故A正确，BCD错误。 故选：A。 7．如图所示，地球同步卫星与中国空间站均绕地球做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．同步卫星的线速度小于空间站的线速度 B．同步卫星的向心加速度大于空间站的向心加速度 C．同步卫星的周期小于空间站的周期 D．空间站中的航天员不受地球引力的作用 【答案】A 【解答】解：ABC、对同步卫星、空间站，分别受力分析，可得：，解得：，，， 由图可知同步卫星比空间站的轨道半径大，即r同＞r空，解得：v空＞v同，a空＞a同，T同＞T空，故A正确，BC错误； D、任意两个物体之间都存在引力，航天员在空间站中，也会受到地球万有引力的作用，故D错误。 故选：A。 8．我国计划将一颗名为“巡天号”的观测卫星送入火星上空的椭圆轨道，假设“巡天号“椭回轨道的半长轴为a，运行的周期为T，火星半径为R，引力常量为G，忽略火星自转及其他天体引力影响，下列说法正确的是（　　） A．从地球发射“巡天号”的速度应大于16.7km/s B．若从火星表面发射卫星，其发射速度至少为 C．火星的平均密度为 D．若“巡天号”在轨道上向前喷射气体，则可以提升轨道高度 【答案】C 【解答】解：A.“巡天号”绕火星运动，还在太阳系内，因此发射速度在11.2km/s～16.7km/s之间，故A错误； C.设贴近火星表面的卫星的运行周期为T0，火星的质量为M，由开普勒第三定律可得，根据万有引力定律可得，平均密度，联立可得，故C正确； B.在火星上发射卫星的最小发射速度就是最大的环绕速度，即第一宇宙速度，可知，结合C项可得，故B错误； D.向前喷射气体会使卫星减速，导致其进入更低轨道（轨道半径减小），并不能提升轨道高度，故D错误。 故选：C。 二．多选题（共3小题） （多选）9．2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥十运载火箭发射升空。如图所示，Ⅰ、Ⅱ为天舟九号在变轨过程中两个不同的椭圆轨道，两轨道相切于P点，Q为轨道Ⅱ的远地点，M为轨道Ⅱ上的点，PM和MQ的弧长相等，下列说法正确的是（　　） A．天舟九号在轨道Ⅱ上从P到M和从M到Q的时间相同 B．天舟九号在轨道Ⅰ上经过P时速度小于地球第一宇宙速度 C．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的速度相同 D．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的加速度相同 【答案】BD 【解答】解：A.根据开普勒第二定律可知，天舟九号在轨道Ⅱ上从P到Q的速度逐渐减小，则从P到M的时间小于M到Q的时间，故A错误； B.由图可知，P到地面有一定高度，且在轨道Ⅰ上经过P点做近心运动，根据圆轨道，可知天舟九号在过P时速度小于近地卫星的绕行速度（第一宇宙速度），故B正确； C.天舟九号在轨道Ⅰ上经过P点变轨进入轨道Ⅱ时，要点火加速，则天舟九号在轨道Ⅰ比Ⅱ上经过P点时的速度小，故C错误； D.根据万有引力定律和牛顿第二定律，即ma，可知天舟九号在轨道Ⅰ和上经过P点时的加速度相同，故D正确。 故选：BD。 （多选）10．2025年11月1日4时58分，神舟二十一号航天员乘组顺利进驻天宫空间站。下列说法正确的是（　　） A．4时58分是时间间隔 B．航天员在天宫空间站中处于失重状态 C．神舟二十一号一定不可看作质点 D．神舟二十一号的质量越大，惯性越大 【答案】BD 【解答】解：A、“4时58分”在时间轴上用一个点表示，是时刻，故A错误； B、航天员在天宫空间站中受到重力完全提供向心力，处于失重状态，故B正确； C、神舟二十一号穿越大气层过程中，神舟二十一号的大小和形状可以忽略，所以神舟二十一号穿越大气层过程可看作质点，故C错误； D、惯性的大小和质量有关，神舟二十一号的质量越大，惯性越大，故D正确。 故选：BD。 （多选）11．如图（a），甲、乙两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，两卫星间的距离Δr随时间周期性变化如图（b）所示，仅考虑地球对两卫星的引力，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙周期之比为5：3 B．甲、乙轨道半径之比为1：4 C．甲、乙线速度之比为2：1 D．甲、乙加速度之比为2：1 【答案】BC 【解答】解：AB.设卫星甲的轨道半径为r1，卫星乙的轨道半径为r2，由图可得r1+r2＝10r，r2﹣r1＝6r，可得r1＝2r，r2＝8r，可知甲、乙轨道半径之比为1：4，根据开普勒第三定律亮，得甲、乙周期之比 T1：T2＝1：8，故A错误，B正确； CD.根据ma，可得v，a，代入数据解得，甲、乙线速度大小之比为2：1，甲、乙加速度大小之比为16：1，故C正确，D错误。 故选：BC。 3． 解答题（共5小题） 12．2024年6月，嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样。采样的月壤质量为m，测得月球表面的重力加速度g，已知月球半径为r，引力常量为G。求： （1）探测器在月球表面采样月壤的重力F； （2）月球的质量M。 【答案】（1）月球表面的重力为mg； （2）月球的质量M为。 【解答】解：（1）月壤质量为m，测得其在月球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律，则有F＝mg （2）在月球表面有，F＝mg 代入数据得 答：（1）月球表面的重力为mg； （2）月球的质量M为。 13．2020年7月天问一号成功发射，开启了我国的火星探测之旅。 （1）火星沿椭圆轨道绕太阳公转的周期为1.88年。 ①以太阳为参考系，若将火星运动速度大小记为v、加速度大小记为a，则在火星靠近太阳的过程中　C　 。 A.v和a均逐渐减小 B.v逐渐增大，a均逐渐减小 C.v和a均逐渐增大 D.v逐渐减小，a均逐渐增大 ②已知日地之间的平均距离为1.0AU（1AU≈1.5×108km），则火星轨道的半长轴约为　1.5　 AU。（答案保留2位有效数字） （2）质量为m的天问一号在距火星表面高度为h处绕火星做匀速圆周运动。已知火星质量为M、半径为R，引力常量为G，则火星对天问一号的万有引力大小为　B　 。 A.G B.G C.G D.G （3）天问一号绕火星做匀速圆周运动，其轨道半径为r，周期为T，则天问一号绕火星运行的线速度大小为　　 ，向心加速度大小为　　 。 【答案】（1）①C，②1.5；（2）B；（3），。 【解答】解：（1）①由 代入数据得火星靠近太阳的过程中轨道半径变小，a逐渐增大，根据开普勒第二定律可知火星靠近太阳的过程中v逐渐增大，故ABD错误，C正确。 故选：C。 ②由开普勒第三定律得 代入数据得则火星轨道的半长轴约为1.5AU （2）由万有引力定律得火星对天问一号的万有引力大小为，故ACD错误，B正确。 故选：B。 （3）天问一号绕火星运行的线速度大小为v 向心加速度大小为an＝ω2r。 故答案为：（1）①C，②1.5；（2）B；（3），。 14．2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功。已知地球半径为R，忽略地球自转，地球表面的重力加速度为g。 （1）火箭在竖直方向上以加速度a加速上升时，若在货运飞船的平台上放置一压力传感器，压力传感器上放置一质量为m的砝码，某时刻测得压力传感器读数为F，引力常量为G，求此时火箭上升的高度。 （2）若测得天舟九号货运飞船绕地球做匀速圆周运动转过圆周所用时间为t，飞船距地面的高度为h，引力常量为G，求飞船运行的向心加速度大小和地球的平均密度（用R、h、G、t表示结果）。 【答案】（1）此时火箭上升的高度为； （2）飞船运行的向心加速度大小为，地球的平均密度为。 【解答】解：（1）设压力传感器读数为F时火箭上升的高度为H，则此时砝码所受的万有引力大小为 由牛顿第三定律可知，压力传感器对砝码的支持力大小为F2＝F 对砝码，由牛顿第二定律得F′﹣F引＝ma 又对在地球表面上的物体有 联立解得 （2）飞船运行的周期为T＝4t，角速度为 飞船运行的向心加速度大小为 设飞船整体的质量为m0，根据天舟四号货运飞船所受万有引力提供向心力有 球的平均密度，其中 联立解得 答：（1）此时火箭上升的高度为； （2）飞船运行的向心加速度大小为，地球的平均密度为。 15．如图所示，在某星球上将一物体以初速度v0沿与水平方向成37°角从A点斜向上抛出，经过B点时速度与水平方向的夹角为53°。已知A、B之间的水平距离为L，该星球的半径为R，忽略星球自转的影响，不计星球表面的大气阻力，sin53°＝0.8，求： （1）该星球表面的重力加速度g； （2）该星球的第一宇宙速度。 【答案】（1）该星球表面的重力加速度g为； （2）该星球的第一宇宙速度为。 【解答】解：（1）物体在星球表面做斜上抛运动，水平方向上位移满足L＝v0cos37°t，可得，竖直方向上速度满足vBsin53°＝﹣v0sin37°+gt，其中，联立得； （2）根据牛顿第二定律，可得星球的第一宇宙速度。 答：（1）该星球表面的重力加速度g为； （2）该星球的第一宇宙速度为。 16．我们的征途是星辰大海，近两年潜水艇与航天事业成就斐然。 （1）中国自主研发的万米载人潜水器“奋斗者”号，于2020年11月10日8时12分在马里亚纳海沟深度10909m处成功坐底，并停留6h进行了一系列的深海探测科考活动。下列关于潜水器说法正确的是　A　 。 A.采集海底矿物时，潜水器需要做一系列精细动作，故该情境中不能将潜水器视为质点 B.下潜时经过的路程一定为10909m C.下潜平均速度约为0.51m/s D.“8时12分”指的是时间间隔 （2）神舟十三号飞船和空间站组合体成功对接一同匀速在轨运行则　C　 。 A.选地球为参考系，空间站组合体是静止的 B.选地球为参考系，神舟十三号是静止的 C.选空间站组合体为参考系，神舟十三号是静止的 D.选神舟十三号为参考系，空间站组合体是运动的 （3）假设未来的某一天，宇航员在火星上距地面24m高处由静止释放一重物，测得重物经过4s落到火星表面，则火星表面的重力加速度大小为　3　 m/s2，重物下落过程中，第2s内、第3s内、第4s内的位移大小之比为　3：5：7　 。 （4）大家知道，在环绕地球运动的航天器是处于完全失重的状态，不能利用天平称量物体的质量。当力一定时，物体的质量越大，加速度就越小，根据牛顿第二定律能得出物体的质量。如图所示，已知标准物A的质量为m1，连接在标准物A前后的力学传感器的质量均为m2，待测质量的物体B连接在后传感器上，在某一外力作用下整体在空间站内的粗糙桌面上运动，稳定后前后传感器的读数分别为F1、F2，由此可知待测物体B的质量为　　 。 【答案】（1）A。（2）C。（3）3，3：5：7。（4）。 【解答】解：（1）A.采集海底矿物时，潜水器需要做一系列精细动作，所以要分析各部分的形状以及大小，该情境中不能将潜水器视为质点，故A正确； B.潜水器下沉时不一定是竖直下沉，所以路程不一定等于深度10909m，故B错误； C.由于未知下潜所用的时间，所以无法根据平均速度的计算公式计算平均速度，故C错误； D.“8时12分”是具体时间点，属于时刻而非时间间隔，故D错误。 故选：A。 （2）AB.选地球为参考系，空间站组合体、神舟十三号均绕地球运动，是运动的，故AB错误； CD.“神舟十三号”飞船和空间站组合体成功对接后相对静止，选空间站组合体为参考系，“神舟十三号”是静止的，选“神舟十三号”为参考系，空间站组合体是静止的，故C正确，D错误。 故选：C。 （3）重物在火星上做初速度为0的匀加速直线运动，根据位移—时间关系公式 解得火星表明重力加速度 根据匀变速直线运动规律可知重物下落过程中，第2s内、第3s内、第4s内的位移大小之比为3：5：7。 （4）对AB和传感器组成的系统，根据牛顿第二定律有F1＝（m1+2m2+mB）a 再对B由牛顿第二定律有F2＝mBa 联立解得B的质量。 故答案为：（1）A。（2）C。（3）3，3：5：7。（4）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 万有引力定律模型 模型一 开普勒定律 一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上． 2．开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积． 3．开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比是一个常量．其表达式为＝k，其中r代表椭圆轨道的半长轴，T代表行星绕中心天体公转的周期，k是一个与行星无关(填“有关”或“无关”)的常量． 二、解法指导 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 2．设在极短时间Δt内，由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则近日点的速度最大，远日点的速度最小。 3． 开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 【例题精讲】 1．2030年之前，中国航天员将登上月球。如图所示，月球的半径为R，假设甲、乙两艘宇宙飞船分别绕月球做椭圆轨道和圆轨道运动，甲的近地点正好在月面，远地点与月面的最近距离为2R，甲的远地点与乙轨道的最近距离为R，则甲、乙的周期之比为（　　） A．1：1 B．2：1 C． D． 2．如图所示为哈雷彗星绕太阳运行的轨迹，a、b、c、d轨迹上的四个点，它们与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S2＝2S1。则彗星从a到b和从c到d的时间t1、t2的关系（　　） A．t2＝t1 B．t2＝2t1 C．t2t1 D．无法确定 3． 2022年11月29日，神舟十五号飞船在酒泉发射成功，次日飞船与中国空间站对接。如对接后空间站仍在原轨道运行，则对接后空间站运行的周期（　　） A．变小 B．不变 C．无法判断 D．变大 4．一小行星绕太阳公转的周期约为8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1AU，忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道约为（　　） A．3AU B．4AU C．5AU D．6AU 5．2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道示意图如图所示。鹊桥二号在捕获轨道运行时，下列说法正确的是（　　） A．运行周期大于在冻结轨道的运行周期 B．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 C．近月点的机械能等于在冻结轨道运行时近月点的机械能 D．与月球的连线在单位时间内扫过的面积与在冻结轨道运行时相等 （多选）6．如图所示，A、B两卫星绕地球做匀速圆周运动，A卫星与地心连线在t1时间内扫过的面积为S1，B卫星与地心连线在t2时间内扫过的面积为S2，若S1＝S2，则下列说法正确的是（　　） A．A卫星的线速度小于B卫星的线速度 B．A卫星的角速度大于B卫星的角速度 C．A、B两卫星做圆周运动的半径之比等于 D．A、B两卫星做圆周运动的半径之比等于 （多选）7．如图所示，地球的公转轨道接近圆，周期为T1，哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，周期为T2。已知哈雷彗星在近日点和太阳中心距离为r1，线速度大小为v1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，地球公转轨道半径为r。则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 模型二 计算天体的质量和密度 一、计算天体的质量 1．称量地球的质量 (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力． (2)关系式：mg＝G. (3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量． 2．太阳质量的计算 (1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力． (2)关系式：＝mr. (3)结论：mS＝，只要测出行星的公转周期T以及它和太阳之间的距离r就可以计算出太阳的质量． 二、估算天体质量和密度的两种方法 (1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 ①由G ＝mg，得天体质量M＝。 ②天体密度ρ＝＝＝。 (2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝mr，得M＝。 ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 【例题精讲】 1．2025年12月16日，我国在太原卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射立体测绘卫星资源三号04星。若卫星入轨后做匀速圆周运动，轨道半径为r，卫星在时间t内转过的圈数为n，引力常量为G，不考虑地球的自转，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 2．若一均匀球形星体的自转周期为T，离星球表面最近卫星的周期为T0，引力常量为G，某物体在该星球表面赤道处称重为F1，在两极处称重为F2，则该星球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 3．2025年11月25日清晨，长征二号F遥二十二运载火箭托举着神舟二十二号飞船直冲天际，恰好穿越初升的太阳圆面，一幅“一箭穿日”的壮美画卷被镜头定格，如图所示。若飞船与空间站对接后，在半径为R的圆轨道上做匀速圆周运动，运行速率为v，引力常量为G，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 4．2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　） A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的绕地线速度和地球半径 C．核心舱的绕地线速度和绕地周期 D．核心舱的质量和绕地周期 5．2025年9月7日晚，天空上演壮丽月全食。此时太阳、地球、月球连成一线，地球居中遮挡阳光。已知地球绕太阳，月球绕地球均为逆时针运动。地球绕太阳运动的周期为T1，轨道半径为r1，月球绕地球运动的周期为T2，轨道半径为r2。忽略太阳与月球之间的引力，某一时刻三者位置关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B．太阳与地球质量之比为 C．太阳与地球密度之比为 D．太阳，地球，月球由图示位置到再次出现月全食所需时间为t （多选）6．某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图像，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是（　　） A．图线①是木星卫星运动的规律 B．地球的质量为 C．木星的密度为 D．木星与地球的密度之比为 （多选）7．近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。已知火星表面的重力加速度g，火星半径为R，引力常数G。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的质量表达式为（　　） A． B． C． D． 模型三 万有引力和重力的关系 一、万有引力定律的建立 1．太阳与行星间引力的推导 (1)太阳对行星的引力：F∝. (2)行星对太阳的引力：F′∝. (3)总结F与F′的关系：F＝F′∝. 2．万有引力定律 (1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比． (2)表达式：F＝G. (3)万有引力定律中的距离r，是指两个质点之间的距离；对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离． 二、引力常量 1．测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验较精确地测出引力常量． 2．数值：国际科学联盟理事会科技数据委员会2002年推荐的引力常量数值为G＝6.672(10)×10－11 N·m2/kg2，通常可以取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 三、解法指导 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。 3．万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为0。 (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 【例题精讲】 1．中国的载人登月计划旨在2030年前实现人类首次登陆月球，为体验在月球上行走的感觉，可采用悬在空中的氦气球拉着人在地面上前行。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球质量为地球质量的p倍，月球半径为地球半径的q倍，不考虑星球自转，为使质量为m的人在地球表面前行感觉到和月球表面相同的“重力”，则氦气球对该人的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 2．我国“天问二号”小行星探测器计划于2025年5月发射，主要任务是对近地小行星2016HO3开展伴飞、探测并取样返回。假设“天问二号”小行星探测器在小行星的静止轨道上运行时速度为v，降落在小行星表面采样时发现同一样品在赤道时的重力是其在北极时重力的倍。已知小行星的自转周期为T，引力常量G，则下列说法正确的是（　　） A．小行星的质量为 B．小行星静止轨道的高度为 C．贴近小行星表面运行的卫星周期为 D．小行星的密度为 3．司马迁在《史记•天官书》中首次系统记载了“天赤道”的概念，并描述其与黄道的关系。如图所示，静置在地球黄道面和赤道面上的a、b两物体（　　） A．线速度相等 B．重力加速度相等 C．b所需的向心力更大 D．b的向心加速度更大 4．在地球表面，一质量为1kg的物块静止在粗糙的水平桌面上，用一方向水平、大小为5N的力F作用在物块上，物块恰好做匀速直线运动，如图甲所示。若把该装置放到X星球表面，需要让力F与水平方向成37°角（大小不变）才能使物块做匀速直线运动，如图乙所示。已知X星球的质量是地球质量的2倍，地球表面的重力加速度大小g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则X星球的半径与地球的半径之比为（　　） A．1：1 B．2：1 C．4：1 D．8：1 5．假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。在地球北极用弹簧测力测质量为m小球的重力，示数为F。若在地球内部，以地心O为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使该小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则其在隧道中做匀速圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． （多选）6．随着中国航天科技的飞跃发展，中国宇航员将登上月球。假设宇航员登月后，在月面做了一个自由落体运动的实验，将一小球由静止释放，经过一小段时间t，小球的速度大小为v0，已知月球的第一宇宙速度大小为nv0，引力常量为G，一探测器在离月面的高度为月球半径倍的轨道上绕月球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．月面的重力加速度大小为 B．探测器的线速度大小为 C．月球的半径为2n2v0t D．月球的密度为 （多选）7．2021年2月24日，我国“天问一号”火星探测器成功实施第三次环火制动，进入了环火停泊轨道，并进行为期三个月的探测，在这三个月中，“天问一号”先在高度为h1、周期为T1的停泊轨道上做匀速圆周运动，之后又下降到高度为h2、周期为T2的轨道上做匀速圆周运动。根据以上信息不需要引力常量就可以求的物理量是（　　） A．火星的质量 B．火星的半径 C．火星的第一宇宙速度 D．火星表面的重力加速度 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．2025年4月27日，天链二号05星由西昌卫星发射中心成功发射升空。天链二号05星属于地球静止轨道卫星，主要用于为载人航天器和中、低轨道资源卫星提供数据中继和测控服务。天链二号05星在轨做匀速圆周运动时（　　） A．速度小于第一宇宙速度 B．向心加速度大于9.8m/s2 C．周期小于近地卫星的周期 D．角速度大于地球自转的角速度 2．我国于北京时间2025年10月31日23时44分发射了神舟二十一号载人飞船，并与空间站完美对接。如图所示，对接前神舟二十一号在轨道1上做圆周运动，空间站在轨道3上做圆周运动，神舟二十一号通过转移轨道2与空间站实现对接。下列说法正确的是（　　） A．神舟二十一号的发射速度大于11.2km/s B．若对接前神舟二十一号与空间站在同一轨道上运行，神舟二十一号加速后也能实现对接 C．在轨道1上运行时，相等时间内神舟二十一号与地心连线扫过的面积等于空间站与地心连线扫过的面积 D．神舟二十一号与空间站对接后，神舟二十一号的环绕周期增大 3．目前在太空中为我们提供服务的北斗三号系统是由30颗卫星组成的。如图（a），以地球球心为坐标原点，以某一颗北斗卫星所在轨道平面建立xOy平面直角坐标系，将卫星绕地球运动视为逆时针的匀速圆周运动，其运动轨迹与x轴正半轴交点为K。现从K点开始计时，将卫星所受地球的万有引力F沿x轴、y轴两个方向进行正交分解，得到两个分力Fx，Fy，其中Fy随卫星运动时间t变化图像如图（b）所示，已知卫星质量为m，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转，则（　　） A．当时， B．该卫星距地面高度是地球半径的4倍 C．该卫星的轨道半径为 D．地球的质量为 4．“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道运行到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，已知图乙中两轨道相切于M点，则天问一号（　　） A．发射速度大于16.7km/s B．在地火转移轨道运行时，经过P点的加速度小于经过Q点的加速度 C．从调相轨道变轨到停泊轨道，运行周期变小 D．从调相轨道变轨到停泊轨道，需要在M点点火加速 5．2025年11月1日4时58分，神舟二十一号航天员乘组顺利进驻天宫空间站。下列说法正确的是（　　） A．4时58分是时间间隔 B．航天员在天宫空间站中处于失重状态 C．神舟二十一号一定不可看作质点 D．神舟二十一号的速度越大，惯性越大 6．科学家发现了一颗宜居行星，它表面的重力加速度与地球的几乎相等，它的第一宇宙速度是地球的k倍，则这颗宜居行星的质量约为地球质量的（　　） A．k4倍 B．k3倍 C．k2倍 D．k倍 7．如图所示，地球同步卫星与中国空间站均绕地球做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．同步卫星的线速度小于空间站的线速度 B．同步卫星的向心加速度大于空间站的向心加速度 C．同步卫星的周期小于空间站的周期 D．空间站中的航天员不受地球引力的作用 8．我国计划将一颗名为“巡天号”的观测卫星送入火星上空的椭圆轨道，假设“巡天号“椭回轨道的半长轴为a，运行的周期为T，火星半径为R，引力常量为G，忽略火星自转及其他天体引力影响，下列说法正确的是（　　） A．从地球发射“巡天号”的速度应大于16.7km/s B．若从火星表面发射卫星，其发射速度至少为 C．火星的平均密度为 D．若“巡天号”在轨道上向前喷射气体，则可以提升轨道高度 二．多选题（共3小题） （多选）9．2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥十运载火箭发射升空。如图所示，Ⅰ、Ⅱ为天舟九号在变轨过程中两个不同的椭圆轨道，两轨道相切于P点，Q为轨道Ⅱ的远地点，M为轨道Ⅱ上的点，PM和MQ的弧长相等，下列说法正确的是（　　） A．天舟九号在轨道Ⅱ上从P到M和从M到Q的时间相同 B．天舟九号在轨道Ⅰ上经过P时速度小于地球第一宇宙速度 C．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的速度相同 D．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的加速度相同 （多选）10．2025年11月1日4时58分，神舟二十一号航天员乘组顺利进驻天宫空间站。下列说法正确的是（　　） A．4时58分是时间间隔 B．航天员在天宫空间站中处于失重状态 C．神舟二十一号一定不可看作质点 D．神舟二十一号的质量越大，惯性越大 （多选）11．如图（a），甲、乙两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，两卫星间的距离Δr随时间周期性变化如图（b）所示，仅考虑地球对两卫星的引力，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙周期之比为5：3 B．甲、乙轨道半径之比为1：4 C．甲、乙线速度之比为2：1 D．甲、乙加速度之比为2：1 3． 解答题（共5小题） 12．2024年6月，嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样。采样的月壤质量为m，测得月球表面的重力加速度g，已知月球半径为r，引力常量为G。求： （1）探测器在月球表面采样月壤的重力F； （2）月球的质量M。 13．2020年7月天问一号成功发射，开启了我国的火星探测之旅。 （1）火星沿椭圆轨道绕太阳公转的周期为1.88年。 ①以太阳为参考系，若将火星运动速度大小记为v、加速度大小记为a，则在火星靠近太阳的过程中　 　 。 A.v和a均逐渐减小 B.v逐渐增大，a均逐渐减小 C.v和a均逐渐增大 D.v逐渐减小，a均逐渐增大 ②已知日地之间的平均距离为1.0AU（1AU≈1.5×108km），则火星轨道的半长轴约为　 　 AU。（答案保留2位有效数字） （2）质量为m的天问一号在距火星表面高度为h处绕火星做匀速圆周运动。已知火星质量为M、半径为R，引力常量为G，则火星对天问一号的万有引力大小为　 　 。 A.G B.G C.G D.G （3）天问一号绕火星做匀速圆周运动，其轨道半径为r，周期为T，则天问一号绕火星运行的线速度大小为　 　 ，向心加速度大小为　 　 。 14．2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功。已知地球半径为R，忽略地球自转，地球表面的重力加速度为g。 （1）火箭在竖直方向上以加速度a加速上升时，若在货运飞船的平台上放置一压力传感器，压力传感器上放置一质量为m的砝码，某时刻测得压力传感器读数为F，引力常量为G，求此时火箭上升的高度。 （2）若测得天舟九号货运飞船绕地球做匀速圆周运动转过圆周所用时间为t，飞船距地面的高度为h，引力常量为G，求飞船运行的向心加速度大小和地球的平均密度（用R、h、G、t表示结果）。 15．如图所示，在某星球上将一物体以初速度v0沿与水平方向成37°角从A点斜向上抛出，经过B点时速度与水平方向的夹角为53°。已知A、B之间的水平距离为L，该星球的半径为R，忽略星球自转的影响，不计星球表面的大气阻力，sin53°＝0.8，求： （1）该星球表面的重力加速度g； （2）该星球的第一宇宙速度。 16．我们的征途是星辰大海，近两年潜水艇与航天事业成就斐然。 （1）中国自主研发的万米载人潜水器“奋斗者”号，于2020年11月10日8时12分在马里亚纳海沟深度10909m处成功坐底，并停留6h进行了一系列的深海探测科考活动。下列关于潜水器说法正确的是　 　 。 A.采集海底矿物时，潜水器需要做一系列精细动作，故该情境中不能将潜水器视为质点 B.下潜时经过的路程一定为10909m C.下潜平均速度约为0.51m/s D.“8时12分”指的是时间间隔 （2）神舟十三号飞船和空间站组合体成功对接一同匀速在轨运行则　 　 。 A.选地球为参考系，空间站组合体是静止的 B.选地球为参考系，神舟十三号是静止的 C.选空间站组合体为参考系，神舟十三号是静止的 D.选神舟十三号为参考系，空间站组合体是运动的 （3）假设未来的某一天，宇航员在火星上距地面24m高处由静止释放一重物，测得重物经过4s落到火星表面，则火星表面的重力加速度大小为　 　 m/s2，重物下落过程中，第2s内、第3s内、第4s内的位移大小之比为　 　 。 （4）大家知道，在环绕地球运动的航天器是处于完全失重的状态，不能利用天平称量物体的质量。当力一定时，物体的质量越大，加速度就越小，根据牛顿第二定律能得出物体的质量。如图所示，已知标准物A的质量为m1，连接在标准物A前后的力学传感器的质量均为m2，待测质量的物体B连接在后传感器上，在某一外力作用下整体在空间站内的粗糙桌面上运动，稳定后前后传感器的读数分别为F1、F2，由此可知待测物体B的质量为　 　 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $