9.1向量的概念（题型专练）高一数学苏教版必修第二册

9.1 向量的概念 题型一 向量的相关概念辨析 1．【答案】C 【解析】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量， 加速度既有大小，又有方向，故是向量.故选：C. 2．【答案】C 【解析】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误． 对于C：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确； 对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误.故选：C． 3．【答案】ABD 【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知C正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误.故选：ABD. 4．【答案】C 【解析】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误.故选：C 5．【答案】B 【解析】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且， 所以“且”是“”的必要不充分条件，故选：B. 题型二 向量的几何表示法 1．【答案】D 【解析】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 2．【答案】6 【解析】根据题意，可得所有共线非零向量有：，共有个. 3．【答案】(1)作图见解析；(2)米. 【解析】（1）作出向量，如图： （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 4．【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得，则． 5．【答案】(1)答案见解析；(2)B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 【解析】（1）向量，，，，如图所示： （2）由题意知．所以，且， 则四边形ABCD为平行四边形．所以， 则B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 题型一 向量相等与向量共线判断 1．【答案】B 【解析】如图，因为是正方形的中心，则， 而方向不相同，不共线，起点不相同.故选：B. 2．【答案】C 【解析】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误.故选：C. 3．【答案】B 【解析】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错．故选：B. 4．【答案】(1)，；(2)，，，，，，． 【解析】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形，所以， 又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 5．【答案】(1)三个；(2)，；(3)，， 【解析】（1）在平行四边形中，为对角线的交点，所以， 且，所以与的模相等的向量有，，三个向量． （2）与的模相等且方向相反的向量为，. （3）与共线的向量有，，. 题型二 向量的夹角的应用 1．【答案】B 【解析】是正方形，所以向量夹角是.故选：B. 2．【答案】D 【解析】因为为等腰直角三角形，，所以， 故向量与的夹角为．故选：D 3．【答案】 【解析】在正中，与的夹角等于. 4．【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. （2）由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. 题型一 用向量关系研究几何性质 1．【答案】A 【解析】若四边形是平行四边形， 则，所以； 若，则，则四边形是平行四边形. 所以“四边形是平行四边形”是“”的充要条件.故选：A. 2．【答案】B 【解析】由，可知且， 则四边形为平行四边形， 又由，可知四边形为矩形，故选:B. 3．【答案】C 【解析】四边形中，则其为平行四边形， 若同时满足，即邻边相等，就是菱形， 最后，即对角线相等，就满足了矩形的条件. 于是三项都满足的四边形为正方形，故A，B，D正确，C错误.故选：C. 4．【答案】D 【解析】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形.故选：D 5．【答案】(1)，，；(2)证明见解析. 【解析】（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以与向量共线的向量为：，，. （2）证明：在平行四边形中，，. 因为，分别是，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 故. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1 向量的概念 题型一 向量的相关概念辨析 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列各量中是向量的是（    ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【答案】C 【解析】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量， 加速度既有大小，又有方向，故是向量.故选：C. 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【解析】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误． 对于C：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确； 对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误.故选：C． 3．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】ABD 【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知C正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误.故选：ABD. 4．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解析】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误.故选：C 5．（24-25高一下·江苏无锡·月考）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且， 所以“且”是“”的必要不充分条件，故选：B. 题型二 向量的几何表示法 1．（23-24高一下·四川成都·月考）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【解析】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 2．（23-24高一下·江西九江·月考）如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量． 【答案】6 【解析】根据题意，可得所有共线非零向量有：，共有个. 故答案为：. 3．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点. (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析；(2)米. 【解析】（1）作出向量，如图： （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 4．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得， 则． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 【答案】(1)答案见解析；(2)B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 【解析】（1）向量，，，，如图所示： （2）由题意知．所以，且， 则四边形ABCD为平行四边形． 所以， 则B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 题型一 向量相等与向量共线判断 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）设点是正方形的中心，则向量的关系是（    ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 【答案】B 【解析】如图，因为是正方形的中心，则， 而方向不相同，不共线，起点不相同.故选：B. 2．（24-25高一下·河北衡水·月考）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误.故选：C. 3．（24-25高一下·山西临汾·开学考试）在中，，、分别是、的中点，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【解析】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错．故选：B. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1)，；(2)，，，，，，． 【解析】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形，所以， 又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 5．如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则 (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与共线的向量． 【答案】(1)三个；(2)，；(3)，， 【解析】（1）在平行四边形中，为对角线的交点，所以， 且，所以与的模相等的向量有，，三个向量． （2）与的模相等且方向相反的向量为，. （3）与共线的向量有，，. 题型二 向量的夹角的应用 1．如图，在正方形中，与的夹角为（    ） A．30° B．90° C．120° D．180° 【答案】B 【解析】是正方形，所以向量夹角是.故选：B. 2．（24-25高一下·内蒙古·月考）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为等腰直角三角形，，所以， 故向量与的夹角为．故选：D 3．在正中，与的夹角等于 ． 【答案】 【解析】在正中，与的夹角等于. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，D是的中点. (1)求与的夹角； (2)求与的夹角. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. （2）由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. 题型一 用向量关系研究几何性质 1．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若四边形是平行四边形， 则，所以； 若，则，则四边形是平行四边形. 所以“四边形是平行四边形”是“”的充要条件.故选：A. 2．（24-25高一下·湖南娄底·月考）已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【解析】由，可知且， 则四边形为平行四边形， 又由，可知四边形为矩形，故选:B. 3．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【解析】四边形中，则其为平行四边形， 若同时满足，即邻边相等，就是菱形， 最后，即对角线相等，就满足了矩形的条件. 于是三项都满足的四边形为正方形，故A，B，D正确，C错误.故选：C. 4．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）在四边形中，与交于点，且，则（    ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【答案】D 【解析】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形.故选：D 5．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【答案】(1)，，；(2)证明见解析. 【解析】（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以与向量共线的向量为：，，. （2）证明：在平行四边形中，，. 因为，分别是，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 故. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1 向量的概念 题型一 向量的相关概念辨析 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列各量中是向量的是（    ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 3．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 4．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 5．（24-25高一下·江苏无锡·月考）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 向量的几何表示法 1．（23-24高一下·四川成都·月考）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 2．（23-24高一下·江西九江·月考）如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量． 3．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点. (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 4．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 题型一 向量相等与向量共线判断 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）设点是正方形的中心，则向量的关系是（    ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 2．（24-25高一下·河北衡水·月考）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山西临汾·开学考试）在中，，、分别是、的中点，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 5．如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则 (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与共线的向量． 题型二 向量的夹角的应用 1．如图，在正方形中，与的夹角为（    ） A．30° B．90° C．120° D．180° 2．（24-25高一下·内蒙古·月考）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．在正中，与的夹角等于 ． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，D是的中点. (1)求与的夹角； (2)求与的夹角. 题型一 用向量关系研究几何性质 1．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·湖南娄底·月考）已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 4．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）在四边形中，与交于点，且，则（    ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 5．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $