专题9.1 向量的概念（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

专题9.1 向量的概念 教学目标 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素； 2.理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量、向量的夹角等概念． 3.通过参与建立向量概念的活动，体会向量与数量的不同，通过用向量语言、方法表达实际问题，培养认识客观事物数学本质的能力． 4.在由现实生活(物理)情境抽象出向量概念的过程中，发展数学抽象素养；在理解向量的几何表示与平行向量(共线向量)等概念的过程中，发展直观想象素养． 教学重难点 1.重点 向量、向量相等等相关的概念，向量的表示 2.难点 向量与数量的区别与联系 知识点01 向量的概念 1．向量的概念 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫向量的模。 注：①只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． ②高中阶段研究的向量是自由向量．如果将某个向量进行平移，因其大小方向都不改变，故与原向量相等． ③看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ④向量与数量的区别：数量只有大小，可以进行代数运算和比较大小． 向量既有大小又有方向，不能比较大小；但向量的模是数量，可以比较大小. 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．两个特殊向量 (1)零向量：长度(模)为0的向量，记作0.零向量的方向是任意的． 注：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量. 注：非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【即学即练】 1．给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（  ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】根据向量的概念，即可得出答案. 【解析】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向. （2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量， （1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量. 故选：A. 2.下列命题正确的个数是（  ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【解析】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B. 知识点02 向量之间的关系 1．平行（共线）向量： 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系；共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. 2．相等向量：长度相等且方向相同的向量. 注：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等；相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量 3．相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【即学即练】 1．如图，在平行四边形中，与相等的向量是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量相等的定义，即可求解. 【解析】因为四边形是平行四边形，所以与相等的向量是， 故选：D. 2．下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确. 【解析】由零向量的定义可知，①正确； 时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误； 两个向量共线，与模是否相等无关，③错误； 当时，满足，，但不能得到，④错误. 故答案为：②③④ 题型01 平面向量的概念辨析及表示 【典例1】下列说法中正确的是（  ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【分析】根据向量的概念即可判断. 【解析】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 平面向量概念的剖析： （1）区别向量与数量的关键点是向量有方向，所以向量是不能比较大小的。但是可以判断相等。 （2）向量是自由向量，可以自由移动，向量可以用有项线段来表示但是不能说有向线段是向量。 注：向量不能比较大小，但能判断是否相等。 【变式1】下列关于向量的说法正确的是（  ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【解析】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 【变式2】（多选）下列物理量中，不是向量的是（  ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 【答案】AD 【分析】根据向量的定义，结合选项，即可求解. 【解析】因为向量是既有大小又有方向的量，而质量和路程只有大小， 故选：AD. 【变式3】下列说法正确的是（  ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可. 【解析】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错； B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错； C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错； D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对. 故选：D. 题型02 零向量与单位向量 【典例1】（多选）下列说法正确的是（  ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 【答案】ACD 【分析】根据题意，由向量的概念逐一判断，即可得到结果. 【解析】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误； 零向量的模都是0，故C正确； 单位向量的长度都是1，故D正确； 故选：ACD 判断空间向量共面： 判断三个向量共面一般用：；也可以用：；(其中x+y+z=1). 【变式1】下列说法正确的是（  ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 【变式2】下列说法正确的是（  ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】C 【分析】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论； 对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的. 否定结论. 【解析】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误； 对于B：单位向量.故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行.正确； 对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. 故选：C. 【变式3】（多选）下列命题正确的是（  ） A.向量就是有向线段 B.零向量是没有方向的向量 C.零向量的方向是任意的 D.零向量的长度为0 【答案】B 【分析】A由向量的几何表示判断；B、C、D根据对零向量的规定判断. 【解析】A.向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故A错误； B.根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故B错误； C.根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故C正确； D.根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故D正确． 故选：CD 题型03 向量的几何表示与向量的模 【典例1】在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（  ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据，可得，进一步得出答案. 【解析】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 【变式1】果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（  ） A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【解析】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 【变式2】设点是正方形的中心，则向量的关系是（  ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【解析】如图，因为是正方形的中心，则， 而方向不相同，不共线，起点不相同. 故选：B.    【变式3】某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析；(2)米. 【分析】（1）根据给定条件，作出图形;（2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【解析】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 题型04 相等向量 【典例1】如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质，分别分析每个选项中的向量与的模和方向是否都相同，从而找出与相等的向量. 【解析】对于选项A，虽然，但方向不同不满足向量相等的条件，所以与不相等. 对于选项B，与方向相同，并且由于， 所以. 对于选项C：与方向不同，所以与不相等. 对于选项D：与方向不同，所以与不相等. 与相等的向量为. 故选：B. 【变式1】已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（  ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据单位向量及相等向量的定义和性质，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【解析】若，则的方向必相同，充分性成立， 若的方向相同，又是单位向量，则，必要性成立， 所以“是相等向量”是“的方向相同”的充要条件. 故选：A 【变式2】下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案. 【解析】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误； 对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确； 对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误； 对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误. 故选：A 【变式3】如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有， (2)相等的向量为，，相等的向量为 【分析】运用相等向量，相反向量概念可解. 【解析】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 题型05 平行（共线）向量 【典例1】（多选）下列说法不正确的有（  ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【分析】利用向量的平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量相关定义，逐项判断即可. 【解析】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 利用直线与线段有公共点求范围问题方法步骤：（1）首先作出图形；（2）结合直线相交关系及斜率公式列出不等式组求解 【变式1】在中，，、分别是、的中点，则（  ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【解析】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 【变式2】（多选）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与共线的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据共线向量的定义即可. 【解析】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A正确； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B正确； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C错误； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D正确. 故选：ABD. 【变式3】(多选)下列关于平面向量的说法错误的是( ) A.若,是共线的单位向量,则 B.若,则 C.若,则不是共线向量 D.若,,则 【答案】CD 【分析】根据平行（共线）向量的定义即可. 【解析】对于A,,是共线的单位向量,则,故A正确; 对于B,若,则,故B正确; 对于C,若,满足,但,是共线向量,故C错误; 对于D,若,,,则不一定成立,故D错误. 故选：CD. 【变式4】已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 【答案】①③④ 【分析】：与方向相同或相反；：与方向相同且模长相等；：与长度相等；：模长为0，与任意向量平行；单位向量：模长为1；若，则是的充分条件；若，则是的必要条件； 【解析】与平行则与方向相同或相反， 对于①：若，与方向相同，则；若，则与模长不一定相等，则与不一定相等，即①对； 对于②：若，与长度相等，与方向无关，则与不一定平行；若与平行，则与方向相同或相反，与模长无关，即②错； 对于③：若、的方向相反，则；若，则与方向相同或相反，即③对； 对于④：若或，则；若，则与方向相同或相反，即④对； 对于⑤：若与都是单位向量，则，方向不一定相同或相反；若，则模长不一定为1，即⑤错. 故答案为：①③④ 【变式5】如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【答案】(1)，，；(2)证明见解析. 【分析】根据条件，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量； 根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论. 【解析】（1）解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以与向量共线的向量为：，，； （2）证明：在平行四边形中，，. 因为，分别是，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 故. 题型06 平面向量在几何中的应用 【典例1】已知四边形中，且，，试判断四边形的形状，并说明理由. 【答案】菱形，理由见解析 【分析】根据向量相等及特殊角的三角函数值即可证明； 【解析】解：四边形是菱形·理由如下： ∵在四边形中，， ∴四边形是平行四边形. ∵，∴. 又，∴是等边三角形， ∴，∴四边形是菱形. 利用直线与线段有公共点求范围问题方法步骤：（1）首先作出图形；（2）结合直线相交关系及斜率公式列出不等式组求解 【变式1】已知四边形满足条件，且，其形状是（  ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】由，分析出四边形一组对边平行且相等，又由，分析出四边形对角线相等，即可得到结果. 【解析】由，可知且 ， 则四边形为平行四边形， 又由，可知四边形为矩形， 故选:B. 【变式2】已知四边形，下列说法正确的是( ) A.若，则四边形为平行四边形 B.若，则四边形为矩形 C.若，且，则四边形为矩形 D.若，且，则四边形为梯形 【答案】A 【分析】由平行四边形、矩形、梯形的定义易得 【解析】由向量的意义可知A正确. B选项，如图可知B错误. C选项，可以是等腰梯形，故错误. D选项，可以是平行四边形，故错误. 故选:A. 【变式3】如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    【答案】答案见解析 【分析】由，可得AC、BD互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明. 【解析】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，． 所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分， 所以四边形ABCD是平行四边形． 即证. 1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案. 【解析】质量、密度、功是标量，不是向量； 速度、力、加速度、位移是向量； 所以向量共有个. 故选：A. 2．关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（  ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义即可判断． 【解析】非零向量方向上的单位向量，且，故ABC错误， 故选：D． 3．判断下列各命题的真假，其中假命题的个数为（  ） （1）向量的长度与向量的长度相等；（2）、是两非零向量，且与平行，则与方向相同或相反；（3）如果表示两个向量的有向线段有共同的终点，则这两个向量一定是共线向量；（4）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（5）为模为1的向量，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量的概念，结合图形，即可得出答案. 【解析】对于（1），根据向量的模的概念，可知（1）正确； 对于（2），根据平行向量的概念，可知（2）正确；    对于（3），如图1，的终点都是点，但是不共线，故（3）错误；    对于（4），如图2，正方形中，向量和向量是共线向量，但是点A、B、C、D不在同一条直线上，故（4）错误； 对于（5），根据向量的概念，可知（5）错误. 所以，（3）（4）（5）为假命题. 故选：C. 4．设，为非零向量，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【解析】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5．已知A＝{与共线的向量}，B＝{与长度相等的向量}，C＝{与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，则下列说法中错误的是（  ） A． B．A∩B＝{} C． D．A∩B{} 【答案】B 【分析】根据向量的基本概念一一判定即可. 【解析】对于A项，与方向相反的向量与一定共线，故A正确； 对于B项，与共线且长度相等的向量可以是，故B错误； 对于C项，显然正确； 对于D项，与共线且长度相等的向量必然包含本身，故D正确. 故选：B 6．设，为非零向量，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据单位向量、相等向量以及平行向量的定义得出答案. 【解析】，表示，方向上的单位向量.若，则与同向， 所以，即；若，当与同向时，； 当与反向时，，即. 故选：A. 7．（多选）下列命题中，正确的是（  ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 【答案】CD 【分析】由向量的有关概念判断可得. 【解析】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A错误； 选项B，由于只有方向，没有大小，故轴，轴不是向量，故B错误； 选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C正确； 选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D正确． 故选：CD 8．（多选）以下关于平面向量的说法中，正确的是（  ） A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等 C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量 【答案】AD 【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答. 【解析】由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确； 单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确； 零向量有方向，其方向是任意的，C不正确； 由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确. 故选：AD 9.（多选）关于非零向量，下列命题中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据相等向量、向量的定义逐一判断即可. 【解析】A：两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确； B：由，可以得到非零向量的方向相反，所以，因此本选项命题正确； C：两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确； D：由向量相等的定义可以判断本选项命题正确， 故选：BD 10．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    【答案】3 【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解. 【解析】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个. 故答案为：3 11．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于_____________ 【答案】A 【分析】根据，可得，进一步得出答案. 【解析】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故答案为：1 12．已知，，则与方向相同的单位向量是_____________ 【答案】 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【解析】， ， , 的单位向量为 故答案为： 13．在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)． 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可；（2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【解析】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 14．如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可；（2）根据共线向量的定义直接写出. 【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 14 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1 向量的概念 教学目标 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素； 2.理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量、向量的夹角等概念． 3.通过参与建立向量概念的活动，体会向量与数量的不同，通过用向量语言、方法表达实际问题，培养认识客观事物数学本质的能力． 4.在由现实生活(物理)情境抽象出向量概念的过程中，发展数学抽象素养；在理解向量的几何表示与平行向量(共线向量)等概念的过程中，发展直观想象素养． 教学重难点 1.重点 向量、向量相等等相关的概念，向量的表示 2.难点 向量与数量的区别与联系 知识点01 向量的概念 1．向量的概念 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫向量的模。 注：①只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． ②高中阶段研究的向量是自由向量．如果将某个向量进行平移，因其大小方向都不改变，故与原向量相等． ③看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ④向量与数量的区别：数量只有大小，可以进行代数运算和比较大小． 向量既有大小又有方向，不能比较大小；但向量的模是数量，可以比较大小. 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．两个特殊向量 (1)零向量：长度(模)为0的向量，记作0.零向量的方向是任意的． 注：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量. 注：非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【即学即练】 1．给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（  ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2.下列命题正确的个数是（  ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 知识点02 向量之间的关系 1．平行（共线）向量： 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系；共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. 2．相等向量：长度相等且方向相同的向量. 注：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等；相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量 3．相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【即学即练】 1．如图，在平行四边形中，与相等的向量是（  ） A． B． C． D． 2．下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 （填序号）． 题型01 平面向量的概念辨析及表示 【典例1】下列说法中正确的是（  ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 平面向量概念的剖析： （1）区别向量与数量的关键点是向量有方向，所以向量是不能比较大小的。但是可以判断相等。 （2）向量是自由向量，可以自由移动，向量可以用有项线段来表示但是不能说有向线段是向量。 注：向量不能比较大小，但能判断是否相等。 【变式1】下列关于向量的说法正确的是（  ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【变式2】（多选）下列物理量中，不是向量的是（  ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 【变式3】下列说法正确的是（  ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 题型02 零向量与单位向量 【典例1】（多选）下列说法正确的是（  ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 判断空间向量共面： 判断三个向量共面一般用：；也可以用：；(其中x+y+z=1). 【变式1】下列说法正确的是（  ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【变式2】下列说法正确的是（  ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【变式3】（多选）下列命题正确的是（  ） A.向量就是有向线段 B.零向量是没有方向的向量 C.零向量的方向是任意的 D.零向量的长度为0 题型03 向量的几何表示与向量的模 【典例1】在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（  ） A．1 B． C． D．2 【变式1】如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（  ） A． B． C． D．与不能比较大小 【变式2】设点是正方形的中心，则向量的关系是（  ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 【变式3】某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 题型04 相等向量 【典例1】如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（  ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 题型05 平行（共线）向量 【典例1】（多选）下列说法不正确的有（  ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 平行向量有关概念的三个关注点： (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 【变式1】在中，，、分别是、的中点，则（  ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【变式2】（多选）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与共线的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】(多选)下列关于平面向量的说法错误的是( ) A.若,是共线的单位向量,则 B.若,则 C.若,则不是共线向量 D.若,,则 【变式4】已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 【变式5】如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 题型06 平面向量在几何中的应用 【典例1】已知四边形中，且，，试判断四边形的形状，并说明理由. 用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系： 利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 【变式1】已知四边形满足条件，且，其形状是（  ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式2】已知四边形，下列说法正确的是( ) A.若，则四边形为平行四边形 B.若，则四边形为矩形 C.若，且，则四边形为矩形 D.若，且，则四边形为梯形 【变式3】如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（  ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 3．判断下列各命题的真假，其中假命题的个数为（  ） （1）向量的长度与向量的长度相等；（2）、是两非零向量，且与平行，则与方向相同或相反；（3）如果表示两个向量的有向线段有共同的终点，则这两个向量一定是共线向量；（4）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（5）为模为1的向量，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．设，为非零向量，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知A＝{与共线的向量}，B＝{与长度相等的向量}，C＝{与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，则下列说法中错误的是（  ） A． B．A∩B＝{} C． D．A∩B{} 6．设，为非零向量，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．（多选）下列命题中，正确的是（  ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 8．（多选）以下关于平面向量的说法中，正确的是（  ） A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等 C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量 9.（多选）关于非零向量，下列命题中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    11．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于_____________ 12．已知，，则与方向相同的单位向量是_____________ 13．在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 14．如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $