第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年（沪教版）九年级数学下册同步讲义与测试

本初中数学讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系核心知识点，系统梳理直线与圆的三种位置关系及d与r的数量关系，切线的判定定理、性质及辅助线作法，圆与圆的五种位置关系及圆心距与半径的关系，构建从基础定义到综合应用的学习支架。 资料通过知识详解夯实基础，10类典例（含变式）分层突破，涵盖位置关系判断、切线综合应用等题型，创新引入“切接圆”定义题培养创新意识。辅助线策略总结助力推理能力提升，课中便于教师授课，课后可供学生巩固练习，查漏补缺。

第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【知识点02】切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点03】圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 【知识点04】相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 【知识点05】相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上． 【题型一】判断直线和圆的位置关系 例1．（24-25九年级下·上海虹口·月考）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】D 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．比较圆心O到直线上的距离与的半径大小关系，即可得出结论． 【详解】解：直线上有一点到圆心O的距离为， 圆心O到直线上的距离， 的半径， ， 当时，直线与相切； 当时，直线与相交； 直线与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 变式1．（2024·上海杨浦·三模）已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 【答案】D 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离；根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答即可； 【详解】A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6， 圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离， 故选：D. 变式2．（2023九年级·上海·专题练习）已知⊙的直径为6，点在直线上，且，那么直线与⊙的位置关系是 ． 【答案】相交或相切 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】根据圆的半径和点到圆心的距离之间的大小关系判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵⊙的直径为6， ∴⊙的半径为3， ∵， ∴直线与⊙相切或相交． 故答案是：相交或相切． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的判断． 【题型二】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 例2．（22-23九年级下·上海·月考）如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解答本题的关键． 根据这个圆与这条直线有公共点，可判断出直线与圆相切或相交，即可得到与的大小关系． 【详解】解：这个圆与这条直线有公共点， 直线与圆相切或相交， 圆心到直线的距离为， ， 故选：B． 变式1．（2023·上海宝山·一模）已知中，，、．以C为圆心作，如果圆C与斜边有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（　　） A． B． C． D．． 【答案】C 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ，，， ， ∵的面积， ， 即圆心到的距离， ， 以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 若与斜边有两个公共点，则的取值范围是． 故选：C． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 变式2．（23-24九年级下·上海虹口·期中）已知，、之间的距离是5cm，圆心O到直线的距离是2cm，如果圆O与直线、有三个公共点，那么圆O的半径为 cm． 【答案】3或7 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题． 【详解】解：设圆的半径为rcm 如图一所示， r-5=2，得r=7cm， 如图二所示， r+2=5，得r=3cm， 故答案为：3或7． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． 【题型三】有关切线的概念辨析 例3．（2024·上海宝山·三模）下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 【答案】B 【知识点】有关切线的概念辨析 【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，逐项分析即可． 【详解】由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，属于基础性题目，难度不大． 变式1．当点P在⊙O上时, 经过点P能作 条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O (填”上”或”外”或”内”) 【答案】 一 外 【知识点】有关切线的概念辨析 【分析】根据切线的定义求解即可. 【详解】如图， 当点P在⊙O上时, 经过点P能作一条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O外. 故答案为一；外. 【点睛】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，熟练掌握切线的定义是解答本题的关键. 【题型四】切线的性质定理 例4．（24-25九年级下·上海·月考）已知矩形，，，点在矩形内，与矩形的一条边相切，且矩形的四个顶点中有两个在内，另外两个在外，那么的半径长可能是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】切线的性质定理 【分析】本题考查了圆的切线的性质．画出图形，利用排除法求解即可． 【详解】解：A、如图，的半径长为4时，点在边上，不在矩形内，此选项不符合题意； C、如图，的半径长为2时，矩形的四个顶点中最多有一个在内，此选项不符合题意； D、如图，的半径长为1时，矩形的四个顶点中没有一个在内，此选项不符合题意； B、如图，的半径长为3时，矩形的四个顶点中有两个在内，另外两个在外，此选项符合题意； 故选：B． 例5．（2025·上海·二模）已知第四象限一点A，则全体经过点A且与x轴相切的圆的圆心所组成图像与y轴的交点为 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、切线的性质定理 【分析】本题考查圆的性质、两点间距离公式的应用，解题关键是根据圆与轴相切及过点的条件，建立圆心坐标的关系式，进而求解与轴的交点． 设圆心为，因为圆与轴相切，所以半径为．又圆过点，根据两点间距离公式，圆心到的距离等于半径，可得，平方后整理得，令，求出，即得与轴交点． 【详解】设圆心为， 圆与轴相切， 圆的半径 圆心到的距离为半径，即 整理得 当时， 即交点为 变式1．如图，CB切⊙O于点B，CA交⊙O于点D且AB为⊙O的直径，点E是上异于点A、D的一点．若∠C＝40°，则∠E的度数为 ． 【答案】40° 【知识点】切线的性质定理 【详解】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，利用切线的性质得到∠ABD的度数，然后用同弧所对的圆周角相等，求出∠E的度数． 解：如图：连接BD， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∵BC切⊙O于点B， ∴∠ABC=90°， ∵∠C=40°， ∴∠BAC=50°， ∴∠ABD=40°， ∴∠E=∠ABD=40°． 故答案为40°． 变式2．（2025·上海松江·二模）如图，在△中，，，点在边上，以为圆心，为半径的圆与边交于点，与边相切于点． (1)当时，求的半径长； (2)求的值． 【答案】(1)的半径长为4 (2) 【知识点】切线的性质定理、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了切线的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用切线的性质和含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案； （2）连接、，则，证明△和△是等边三角形，再利用含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：与边相切于点， 于点， ， ，， ， ， ， ， 的半径长为4． （2）连接、，则， ，， ， △是等边三角形， ， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的值为． 【题型五】切线的性质和判定的综合应用 例6．（2023·上海金山·二模）已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1 O2=3,那么O2A的长等于（  ） A．2 B．3 C．8 D．2或8 【答案】D 【知识点】切线的性质和判定的综合应用 【分析】根据题意可知分两种情况讨论即可求解. 【详解】根据题意可知分两种情况讨论： ①O1A＞O2A，∵O1A =5，O1 O2=3, ∴O2A= O1A-O1 O2=2 ①O2A＞O1A，∵O1A =5，O1 O2=3, ∴O2A= O1A+O1 O2=8 故选D. 【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是根据题意分情况讨论. 变式1．如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连接BD并延长交AC于点C，若∠DAC=40°，则∠ADC= 度. 【答案】80° 【知识点】切线的性质和判定的综合应用 【分析】根据弦切角定理得出∠B=∠DAC，再利用三角形的外角求出∠ADC=∠B+∠BAD即可得出答案． 【详解】解答： ∵AC是圆O的切线,∠DAC=40°， ∴∠B=40°， ∵∠BAC的平分线交圆O于D， ∴∠BAD=∠DAC=40°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+40°=80° 故答案为80. 【点睛】此题主要考查了弦切角定理以及角平分线的性质和三角形的外角，熟练应用弦切角定理是解决问题的关键． 变式2．如图，平分与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．求证：是的切线． 【答案】见解析 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、角平分线的性质定理 【分析】此题主要考查了圆切线的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．首先根据切线的性质得到，然后根据角平分线的性质定理得到即可证明． 【详解】证明：与相切于点，且是的半径， ， 平分， ， 点在上， ， 是的切线． 【题型六】应用切线长定理求解 例7．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知中，满足则 ． 【答案】6 【知识点】应用切线长定理求解、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、求角的正切值 【分析】本题考查了三角形的内切圆的性质，正切函数的定义，切线长定理，综合性较强，有一定难度．关键是作辅助线． 作的内切圆，设为圆心，为半径，圆与三边、、的切点依次为、、，连接、、、、、，则、、平分的三个内角．根据正切函数的定义及已知条件，可得，然后根据切线长定理即可求出的值． 【详解】解：如图，作的内切圆，设为圆心，为半径，圆与三边、、的切点依次为、、，连接、、、、、． 则，，． ， ， ，即， ， ， ， ． 故答案为：6． 变式1．（2025九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，作平分，交于点．以点为圆心，作切于点，交于点、．则 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】本题考查切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，角平分线的性质，连接，利用勾股定理先求出，由切线的性质得到，进而得到，设，则，在中，利用勾股定理求出，进而得到，，再利用勾股定理求出，即可得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵在中，，，， ∴， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线，切点为， ∴，即，， ∵平分，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 【题型七】三角形内心有关应用 例8．（24-25九年级下·上海徐汇·月考）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形内心有关应用 【分析】本题考查三角形内心，三角形内角和定理，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决问题的关键． 过点分别作于，于，于，如图所示，得到点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，然后根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：过点分别作于，于，于，如图所示： ∵直线， ∴， ∴点是的内心，即点为三个内角平分线的交点， ∵ ∴ ∴， ∴． 故选：C． 变式1．（24-25九年级下·上海·月考）在中，，截三边所得的线段相等，那么的度数是 【答案】 【知识点】三角形内心有关应用、角平分线的判定定理、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内心，角平分线的判定定理，三角形内角和定理，根据题意得出点是的内心是解题关键．本题考查了点为与的交点，过点作，，，由题意可得，进而得出和分别平分和，再利用角平分线定义和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，点为与的交点，过点作，，， 截三边所得的线段相等， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ， 故答案为：．    变式2．（23-24九年级下·上海）已知I是的内心，交于D，交于E，，求长度． 【答案】2 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角形内心有关应用、同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】连接，可得出，由三角形内心的定义可得出，，由同弧所对的圆周角相等可得出，进而利用三角形外角的定义以及等量代换，等边对等角得出，再证明，由相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵I是的内心， ∴，， ∵和都对应弧， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以及性质，三角形外角的定义以及性质等知识．掌握三角形内心的定义是解题的关键． 【题型八】三角形内切圆与外接圆综合 例9．（2022·上海普陀·二模）在△ABC中，AB＝AC＝6， ，以点B为圆心，AB为半径作圆B，以点C为圆心，半径长为13作圆C，圆B与圆C的位置关系是（　　） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】B 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合 【分析】解直角三角形得到BC＝8，得到6+13＞8，于是得到结论． 【详解】∵AB＝AC＝6， ， ∴BC＝8， ∵以点B为圆心，AB为半径作圆B，以点C为圆心，半径长为13作圆C， ∴6+13＞8， ∴圆B与圆C的位置关系是相交， 故选B． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟悉5种位置关系，是解答此题的关键． 变式1．（23-24九年级下·上海·期中）已知A，B，C，D四点共圆，线段过圆心O，长为2，连接，线段，若为圆O内接正三角形的一边时， 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】本题考查了圆的内接三角形，圆周角定理，等边三角形的性质，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，设圆O内接正三角形为，设交于点F，连接，先证明，得到，由直角三角形的性质求出，再根据垂径定理求出，，利用勾股定理求出，进而求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设圆O内接正三角形为，设交于点F，连接， 则， ∵线段过圆心O，长为2，即是的直径， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 变式2．（2024·上海·模拟预测）如图，是圆O直径，弦，垂足为D，圆O周长为， (1)，求内切圆的面积； (2)，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】解直角三角形的相关计算、三角形内切圆与外接圆综合、圆周角定理、利用垂径定理求值 【分析】此题考查了垂径定理、内切圆、圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． （1）连接，证明，则是等边三角形，得到，点O是的内心，求出，即可得到内切圆的面积； （2）连接，根据（1）中的结论求出，即可证明． 【详解】（1）解：连接， ∵是圆O直径，圆O周长为， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵是圆O直径，弦， ∴，垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，点O是的内心， ∴， ∴ ∴内切圆的面积为； （2）如图，连接， ∵是等边三角形， ， ∴，， ∴， ∵点O是的内心， ∴， ∴ ∴． 【题型九】圆的综合问题 例10．（22-23九年级上·上海嘉定·期末）如图，在圆中，是弦，点是劣弧的中点，联结，平分，联结、，那么 度．    【答案】120 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】联结AC，证明△AOC是等边三角形，得出的度数． 【详解】联结AC ∵点C是 的中点 ∴ ∵ ， ∴AB平分OC ∴AB是线段OC的垂直平分线 ∴ ∵ ∴ ∴△AOC是等边三角形 ∴ ∴ ∴ 故答案为 ．    【点睛】本题考查了等边三角形的判定定理，从而得出目标角的度数． 变式1．（2024·上海·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)，定义域为： (3)或 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查圆与平行四边形综合，涉及圆的切线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，定义域，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键． （1）设圆与相切于点，连接，证明，利用相似对应边比相等列式求解即可； （2）过点作于点，通过解得，，利用垂径定理求出，求出，即可求解析式，由点在边上，求出当点与点重合时的值，即可求解； （3）①由题可得当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点；②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点；分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，设圆与相切于点，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， 即； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，如图， 可得， 则， 由点在边上， 则定义域为：， 综上，，定义域为：； （3）解：当过点时， ∵， ∴此时点也在上， ①当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点， 又当与边相切时， 由（1）可得此时， 当与边相切时，如图，设切点为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点，此时的取值范围为：； ②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点， 由（2）可知此时； 综上，的取值范围为：或． 变式2．（23-24九年级下·上海·月考）定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆” 已知在中，，，． (1)如图1，点在边上，过点且与相切于点，则是的一个“切接圆”，求该圆的半径； (2)过点的的“切接圆”中，是否存在面积的最小值，若存在请求出最小值，若不存在请说明理由； (3)如图2，把放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点落在轴正半轴上．求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】圆与函数的综合(圆的综合问题)、由平行截线求相关线段的长或比值、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，设，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解即可； （2）当是的直径时，的半径最小，最小值为，此时面积也最小，计算即可得出答案； （3）设抛物线上任意一点为，设到轴的距离为，证明，可得结论． 【详解】（1）解：连接， ， 设， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：存在，当是的直径时，的半径最小，最小值为，此时面积也最小，为； （3）证明：设抛物线上任意一点为， ∴， 设到轴的距离为， 由题意得：， ∴ ， ∴以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 【点睛】本题考查圆与二次函数综合、勾股定理、切线的性质、 分线段成比例定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 【题型十】圆和圆的位置关系 例11．（2025·上海嘉定·二模）如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆的半径差的绝对值小于圆心距离，那么这两个圆内含，据此分内含于和内含于两种情况，讨论求解即可． 【详解】解：当内含于时，则， ∴， ∴； 当内含于时，则， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选：C． 例12．（24-25九年级下·上海·月考）半径分别为2和3的两圆相切，它们的圆心距为 ． 【答案】5或1 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】由两圆相切，可从内切与外切去分析，又由两圆的半径分别为2和3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系之间的联系即可求得两圆的圆心距． 此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系之间的联系． 【详解】解：∵两圆的半径分别为2和3， 若两圆内切，则两圆的圆心距为：； 若两圆外切，则两圆的圆心距为：； ∴两圆的圆心距为5或1． 故答案为：5或1． 变式1．（2025·上海松江·二模）已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】本题主要考查了相交两圆的性质，先根据题意画出图形，设和相交于A，B，连接，设与相交于点C，设，则，，，，，在和中，由勾股定理得，则，由此解出，则，进而即可得出公共弦AB的长． 【详解】解：设和相交于点，，连接，，，，，设与相交于点，如图所示： 设， 的半径是5，的半径是6．圆心在上， ，，，， ，， 在△和△中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ． 故选：B 变式2．（25-26九年级上·上海·月考）已知圆与圆相切，其中圆的半径是，圆心距cm，那么圆的半径是 ． 【答案】2或10 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】本题主要考查圆与圆的位置关系，两圆相切包括外切和内切两种情况，分别利用外切时圆心距等于两半径之和、内切时圆心距等于两半径之差的绝对值求解即可． 【详解】解：设圆的半径为． 若两圆外切，则圆心距，解得． 若两圆内切，则圆心距． 由于半径为正数，解，得或 解得或， 因为半径为正数， 所以． 因此，圆的半径为或． 故答案为：2或10． 变式3．（23-24九年级下·上海·月考）如图，已知在中，，，，点是射线上一点（不与点、重合），过作，垂足为点，以为圆心，长为半径的圆与边相交的另一个交点为点，点是边上一点，且，连接．    (1)如果圆与直线相切，求圆的半径长； (2)如果点在线段上，设线段，线段，求关于的函数解析式及的取值范围； (3)如果以为直径的圆与以为直径的圆外切于边上的点，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆和圆的位置关系、切线的性质定理、函数解析式 【分析】（1）根据题意画出草图，记圆与直线相切于点，连接，利用勾股定理得到，设，则，利用三角函数得到，据此建立方程求解，即可解题； （2）作于点，根据线段，线段，得到，，，再利用三角函数表示出，，，，再结合勾股定理，即可解题． （3）根据题意画出草图，设，则，，，由（2）同理可得，，再结合圆周角定理和三角函数求解，即可解题． 【详解】（1）解：记圆与直线相切于点，连接，如图所示：   ， ，，， ， 设，则， ， ， 解得， 经检验是方程的解， 圆的半径长为； （2）解：作于点，   线段，线段， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ， 整理得； （3）解：设，则，，，    由（2）同理可得， ， 为直径，在上， ， ， ， 解得． 经检验是方程的解． ． 【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，列函数解析式，分式方程的应用，熟练掌握各知识点的融会贯通是解题关键． 一、单选题 1．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据当圆的半径大于圆心到直线的距离时，直线与圆相交，即可得出直线和的公共点的个数． 【详解】∵的半径为，圆心到直线的距离为， ∴直线与圆相交， ∴直线和的公共点个数为2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，掌握当圆的半径大于圆心到直线的距离时，直线与圆相交是解决问题的关键． 2．如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为8，AB＝10，则OA的长为（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】连接OC，直接利用切线的性质得出AC的长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：连接OC， ∵AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OB， ∴AC＝BC＝AB＝5， 在Rt△AOC中， OA＝． 故选：D． 【点睛】本题主要查了圆的切线的性质，结合勾股定理计算是解题的关键． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线 【答案】D 【分析】由切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；与切线的定义：圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】由经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线， 故A，B，C错误； 由圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线，故D正确． 故选D． 【点睛】此题考查了切线的判定与定义．此题比较简单，注意熟记定理与定义是解此题的关键． 4．若⊙O的半径长是4cm，圆外一点A与⊙O上各点的最远距离是12cm，则自A点所引⊙O的切线长为（  ） A．16cm B．cm C．cm D．cm 【答案】B 【详解】解：根据题意得：AC=12cm， 则AB=12﹣4﹣4=4cm， ∵AD是圆的切线， ∴AD2=AB•AC=4×12=48， ∴AD=cm． 故选B． 5．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D．下列结论中错误的是（　　） A．PA＝PB B．AD＝BD C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB 【答案】D 【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：由切线长定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，从而AB⊥OP，AD=BD． 因此A．B．C都正确． 无法得出∠PAB=∠APB，可知：D是错误的． 综上可知：只有D是错误的． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答． 二、填空题 6．如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切． 【答案】4 【分析】根据垂径定理可求出，再利用勾股定理可得，从而，再由l与⊙O相切，则点 到直线l的距离等于OC=10cm，从而得到l沿OC所在直线向下平移的距离等于，即可求解． 【详解】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm， ∴ ， ， ∵ ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 若l与⊙O相切， 则点 到直线l的距离等于OC=10cm， ∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于 即l沿OC所在直线向下平移时与⊙O相切． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 7．如图，点A，B，D在上，，的延长线与直线相交于点C，且，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理,解决问题的关键是熟练掌握切线的判定定理． 连接,利用圆周角定理求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据切线的判定定理判断直线与的位置关系． 【详解】解：连接 是的半径， 与相切． 故答案为：相切． 8．如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】连接，根据为的切线，得出，又因为，得出，再根据，可得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：连接，    为的切线 又 又， ， 而， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握过切点的半径与切线垂直． 9．如图，与O相切于A点，，则的大小是 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．根据切线的性质可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得答案． 【详解】解：∵与O相切于A点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．在数学课上，老师请同学思考如下问题： 小轩的主要作法如下： 老师说：“小轩的作法正确．” 请回答：⊙P与BC相切的依据是 　． 【答案】经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【详解】作PD⊥BC，如图所示： ∵BF平分∠ABC，∠A=90° ∴PA=PD， ∴PD是⊙P的半径， ∴D在⊙P上， ∴BC是⊙P的切线． 故答案是：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定． 11．如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，根据切线长定理得到平分，根据切线的性质得到，则利用角平分线的定义得到，然后利用互余计算出的度数． 【详解】解：，是的切线，，为切点， 平分，， ，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，在中，，，点在边上，且是等边三角形，点是对角线上一点．如果经过点且与边没有公共点，那么的半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、平行四边形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用，解题关键是找到界点时的情况计算． 根据题意，需要找到当时，半径最小；当点与点重合时，半径最大，计算出长度即可解答． 【详解】解：作交于点， 在中， ，，，， ， 是等边三角形， ，， 在直角中， ，， ， ， 在直角中， ， 在直角中， ， 作交于点， ， ， ， 与相切时，，即， 当时，半径最小，即； 当点与点重合时，，即， ， 半径最大为， 综上所述，． 13．如图，与相切于点，与交于，两点，，于点，且经过圆心，连接，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】连接，根据切线的性质得到，推出是等腰直角三角形，得到，推出是等腰直角三角形，得到，根据勾股定理求得，即可得到结论． 【详解】解：如下图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 14．如图，已知∠ABC=30°,以O为圆心、2cm为半径作⊙O, 使圆心O在BC边上移动, 则当OB= cm时, ⊙O与AB相切 【答案】4 【详解】试题解析：如图，设切点为M，连接OM，     ∴OM⊥AB，∵OM=2，∠B=30°，∴OB=4．【点睛】本题主要考查切线的性质、含30度角的直角三角形，关键在于根据题意画出图形，然后作出辅助线OM． 15．如图，直线与相切于点，且，则 ． 【答案】 【详解】解∶连接、，的反向延长线交与，如图， ∵直线与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为． 16．如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】解：作交于F， ∵、与切于点A、B， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵切于E， ∴，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴y与x的函数关系式是． 故答案为：． 17．已知：如图，二次函数的顶点为M，最大值为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点C在上； ③在抛物线上存在一点E，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】过点C作，交抛物线于点E，连接，，根据抛物线的解析式即可判定①；求得的半径、的长进行比较即可判定②；根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定③；求得为直角三角形即可进行判定④； 【详解】解：如图，过点C作，交抛物线于点E，连接，，， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线，故①正确； ∵二次函数的最大值为， ∴当时，， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∵点D为的中点， ∴的半径为5，， ∵当时，， ∴点， ∴， ∴点C在上，故②正确； ∵点，， ∴点C，E关于直线对称， ∴点， ∴， ∴， ∴四边形不是平行四边形，故③错误； 根据题意得：点， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且，即， ∵是的半径， ∴直线与相切，故④正确． 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，平行四边形的判定，勾股定理及逆定理，切线的判定，点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 三、解答题 18．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，求AF、BD、CE的长． 【答案】AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm 【分析】由切线长定理可得AE=AF，BF=BD，CE=CD，由线段的数量关系列出方程，即可求解． 【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F， ∴AE=AF，BF=BD，CE=CD， ∵AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm， ∴AF+BF=18cm，BD+CD=28cm，AE+CE=26cm， ∴ ∴ ∴AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm． 【点睛】本题考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程组是解题的关键． 19．（不需作辅助线）如图，内接于，，是的直径，交于点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：是的切线．    【答案】见解析 【分析】根据，得到，再根据圆周角定理，得到，即可得到，根据是的直径，得到，最后通过和角度的等量代换，即可解答． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 【点睛】此题考查了证明直线是圆的切线，圆周角定理，平行线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 20．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点T，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D．求证：AT平分∠BAC； 【答案】证明见解析. 【分析】连接OT，根据直线与圆的关系，得到OT⊥PQ，再结合题意，得到OT∥AC，最后根据角的转化关系进行作答. 【详解】解：连接OT，∵PQ是⊙O的切线，∴OT⊥PQ，∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，所以∠OTA＝∠TAC，∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA.∴∠OAT＝∠TAC，∴AT平分∠BAC. 【点睛】 21．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等边对等角得到，，则有，根据垂直的定义得到，得到，最后利用切线的判定定理证明即可． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 22．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长． 【答案】BC、AC的长分别是10cm、cm. 【分析】先根据 O内切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根据∠ACB=90°，得出∠BCO=45°，再根据三角形内角和定理得出∠OBC的度数，从而求出∠ABC和∠A的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC． 【详解】解：∵圆O内切于△ABC， ∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCO=×90°=45°， ∵∠BOC=105°， ∴∠CBO=180°−45°−105°=30°， ∴∠ABC=2∠CBO=60°， ∴∠A=30°， ∴BC=AB=×20=10cm， ∴AC= ∴BC、AC的长分别是10cm、cm. 【点睛】本题考查的知识点是三角形的内切圆与内心，解题的关键是熟练的掌握三角形的内切圆与内心. 23．如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，． (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)求AD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据圆周角定理可知，，由直径所对圆周角是90°，可知和互余，推出和互余，和互余，从而证明结论． （2）DC平分∠ACB可知，根据圆周角定理可知，是等腰直角三角形，AD的长是圆半径的倍，计算求出答案． 【详解】（1）和是所对圆周角， ； AB是圆的直径， ， 在中，， ， ， ， ，AE是⊙O的切线． （2）如图： AB是圆的直径，DC平分∠ACB， ，， ， ，是直角三角形； ，， ． 【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键． 24．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A． （1）求证：BC是半圆O的切线； （2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）AD=4.5. 【分析】（1）若证明BC是半圆O的切线，利用切线的判定定理：即证明AB⊥BC即可； （2）因为OC∥AD，可得∠BEC=∠D=90°，再有其他条件可判定△BCE∽△BAD，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AD的长． 【详解】（1）证明：∵AB是半圆O的直径， ∴BD⊥AD， ∴∠DBA+∠A=90°， ∵∠DBC=∠A， ∴∠DBA+∠DBC=90°即AB⊥BC， ∴BC是半圆O的切线； （2）解：∵OC∥AD， ∴∠BEC=∠D=90°， ∵BD⊥AD，BD=6， ∴BE=DE=3， ∵∠DBC=∠A， ∴△BCE∽△BAD， ，即； ∴AD=4.5 【点睛】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质． 25．如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设． (1)求半圆O的半径． (2)求y关于x的函数表达式． (3)如图2，过点P作于点R，连结． ①当为直角三角形时，求x的值． ②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用，得，代入计算即可； （2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示 AP的长，再由（1）计算求AC的长即可； （3）①显然，所以分两种情形，当 时，则四边形RPQE是矩形，当 ∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H， 则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案； ②连接，由对称可知，利用三角函数表示出和BF的长度，从而解决问题． 【详解】（1）解：如图1，连结．设半圆O的半径为r． ∵切半圆O于点D， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，即半圆O的半径是． （2）由（1）得：． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）①显然，所以分两种情况． ⅰ）当时，如图2． ∵， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． ⅱ）当时，过点P作于点H，如图3， 则四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得：， ∴． 综上所述，x的值是或． ②如图4，连结， 由对称可知， ∵BE⊥CE，PR⊥CE， ∴PR∥BE， ∴∠EQR=∠PRQ， ∵，， ∴EQ=3-x， ∵PR∥BE， ∴， ∴， 即：， 解得：CR=x+1， ∴ER=EC-CR=3-x， 即：EQ= ER ∴∠EQR=∠ERQ=45°， ∴ ∴，   ∴． ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【知识点02】切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点03】圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 【知识点04】相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 【知识点05】相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上． 【题型一】判断直线和圆的位置关系 例1．（24-25九年级下·上海虹口·月考）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 变式1．（2024·上海杨浦·三模）已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 变式2．（2023九年级·上海·专题练习）已知⊙的直径为6，点在直线上，且，那么直线与⊙的位置关系是 ． 【题型二】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 例2．（22-23九年级下·上海·月考）如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2023·上海宝山·一模）已知中，，、．以C为圆心作，如果圆C与斜边有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（　　） A． B． C． D．． 变式2．（23-24九年级下·上海虹口·期中）已知，、之间的距离是5cm，圆心O到直线的距离是2cm，如果圆O与直线、有三个公共点，那么圆O的半径为 cm． 【题型三】有关切线的概念辨析 例3．（2024·上海宝山·三模）下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 变式1．当点P在⊙O上时, 经过点P能作 条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O (填”上”或”外”或”内”) 【题型四】切线的性质定理 例4．（24-25九年级下·上海·月考）已知矩形，，，点在矩形内，与矩形的一条边相切，且矩形的四个顶点中有两个在内，另外两个在外，那么的半径长可能是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 例5．（2025·上海·二模）已知第四象限一点A，则全体经过点A且与x轴相切的圆的圆心所组成图像与y轴的交点为 ． 变式1．如图，CB切⊙O于点B，CA交⊙O于点D且AB为⊙O的直径，点E是上异于点A、D的一点．若∠C＝40°，则∠E的度数为 ． 变式2．（2025·上海松江·二模）如图，在△中，，，点在边上，以为圆心，为半径的圆与边交于点，与边相切于点． (1)当时，求的半径长； (2)求的值． 【题型五】切线的性质和判定的综合应用 例6．（2023·上海金山·二模）已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1 O2=3,那么O2A的长等于（  ） A．2 B．3 C．8 D．2或8 变式1．如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连接BD并延长交AC于点C，若∠DAC=40°，则∠ADC= 度. 变式2．如图，平分与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．求证：是的切线． 【题型六】应用切线长定理求解 例7．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知中，满足则 ． 变式1．（2025九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，作平分，交于点．以点为圆心，作切于点，交于点、．则 ． 变式2．如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【题型七】三角形内心有关应用 例8．（24-25九年级下·上海徐汇·月考）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25九年级下·上海·月考）在中，，截三边所得的线段相等，那么的度数是 变式2．（23-24九年级下·上海）已知I是的内心，交于D，交于E，，求长度． 【题型八】三角形内切圆与外接圆综合 例9．（2022·上海普陀·二模）在△ABC中，AB＝AC＝6， ，以点B为圆心，AB为半径作圆B，以点C为圆心，半径长为13作圆C，圆B与圆C的位置关系是（　　） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 变式1．（23-24九年级下·上海·期中）已知A，B，C，D四点共圆，线段过圆心O，长为2，连接，线段，若为圆O内接正三角形的一边时， 变式2．（2024·上海·模拟预测）如图，是圆O直径，弦，垂足为D，圆O周长为， (1)，求内切圆的面积； (2)，求证：． 【题型九】圆的综合问题 例10．（22-23九年级上·上海嘉定·期末）如图，在圆中，是弦，点是劣弧的中点，联结，平分，联结、，那么 度．    变式1．（2024·上海·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 变式2．（23-24九年级下·上海·月考）定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆” 已知在中，，，． (1)如图1，点在边上，过点且与相切于点，则是的一个“切接圆”，求该圆的半径； (2)过点的的“切接圆”中，是否存在面积的最小值，若存在请求出最小值，若不存在请说明理由； (3)如图2，把放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点落在轴正半轴上．求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 【题型十】圆和圆的位置关系 例11．（2025·上海嘉定·二模）如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 例12．（24-25九年级下·上海·月考）半径分别为2和3的两圆相切，它们的圆心距为 ． 变式1．（2025·上海松江·二模）已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（    ） A． B． C．10 D．12 变式2．（25-26九年级上·上海·月考）已知圆与圆相切，其中圆的半径是，圆心距cm，那么圆的半径是 ． 变式3．（23-24九年级下·上海·月考）如图，已知在中，，，，点是射线上一点（不与点、重合），过作，垂足为点，以为圆心，长为半径的圆与边相交的另一个交点为点，点是边上一点，且，连接．    (1)如果圆与直线相切，求圆的半径长； (2)如果点在线段上，设线段，线段，求关于的函数解析式及的取值范围； (3)如果以为直径的圆与以为直径的圆外切于边上的点，求线段的长． 一、单选题 1．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 2．如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为8，AB＝10，则OA的长为（　　） A．3 B．6 C． D． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线 4．若⊙O的半径长是4cm，圆外一点A与⊙O上各点的最远距离是12cm，则自A点所引⊙O的切线长为（  ） A．16cm B．cm C．cm D．cm 5．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D．下列结论中错误的是（　　） A．PA＝PB B．AD＝BD C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB 二、填空题 6．如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切． 7．如图，点A，B，D在上，，的延长线与直线相交于点C，且，则直线与的位置关系是 ． 8．如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为 ．    9．如图，与O相切于A点，，则的大小是 10．在数学课上，老师请同学思考如下问题： 小轩的主要作法如下： 老师说：“小轩的作法正确．” 请回答：⊙P与BC相切的依据是 　． 11．如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ． 12．如图，在中，，，点在边上，且是等边三角形，点是对角线上一点．如果经过点且与边没有公共点，那么的半径的取值范围是 ． 13．如图，与相切于点，与交于，两点，，于点，且经过圆心，连接，若，，则的长为 ． 14．如图，已知∠ABC=30°,以O为圆心、2cm为半径作⊙O, 使圆心O在BC边上移动, 则当OB= cm时, ⊙O与AB相切 15．如图，直线与相切于点，且，则 ． 16．如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ． 17．已知：如图，二次函数的顶点为M，最大值为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点C在上； ③在抛物线上存在一点E，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是 ． 三、解答题 18．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，求AF、BD、CE的长． 19．（不需作辅助线）如图，内接于，，是的直径，交于点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：是的切线．    20．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点T，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D．求证：AT平分∠BAC； 21．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，求证：是的切线． 22．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长． 23．如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，． (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)求AD的长． 24．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A． （1）求证：BC是半圆O的切线； （2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长． 25．如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设． (1)求半圆O的半径． (2)求y关于x的函数表达式． (3)如图2，过点P作于点R，连结． ①当为直角三角形时，求x的值． ②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $