空间角解题策略讲义-2026届高三数学二轮复习

空间角解题策略 立体几何是高中几何知识的重要组成部分,高考在立体几何有限考查的知识点中,有关空间角的计算是出现频率非常高的必考内容之一,空间角包括线线角、线面角、二面角这三种形式的角.按照求解过程所依据理论的不同,可以将空间角的求解策略分成两类:一类是以立体几何的相关定理和公理为依据进行逻辑推理解决问题的传统几何法；另一类是依据空间向量理论而求解的向量法，向量法又包括代数形式或坐标形式.每类方法都有各自不同的解题特点和操作要求,下面结合经典实例就各种空间角的求解谈一谈各自的解题方法与技巧,形成一种有价值的解题策略,供同学们参考与借鉴. 核心考点一、两异面直线所成的角 传统几何法:两条异面直线所成的角是指过空间任意一点分别作与两异面直线平行的两条直线所成的锐角或直角；两异面直线所成角的取值范围是.解题操作步骤如下:①利用定义构造角,可固定一条平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的点处；②证明作出的角即为所求的角；③放置于三角形中求解.以上的传统几何法简称为:一作，二证，三计算. 向量法:法1,选取空间向量基底为,要求不共面的三个基底向量的模及两两的夹角都已知,设向量分别表示两异面直线的方向向量,将与用基底表示,用向量模的性质求出,的值,用向量数量积的定义与性质求出的值；设两异面直线所成的角为,根据计算出值,最后得出的大小.法2,建立适当的空间直角坐标系,在两异面直线上各取两个特殊点作为所在直线的方向向量的始点与终点,得出这四个点的空间坐标,就能分别得到两异面直线的方向向量的坐标,然后根据空间向量的坐标运算性质，求出的值,并得出的大小. 例1.在长方体中，，，求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】法1.如图，在长方体中取棱的中点分别为，连结和体对角线相交于长方体的中心.由于，则四边形为平行四边形，得，从而知就是异面直线与所成的角.依题意,易得,,；在中，由余弦定理得.故异面直线与所成角的余弦值为. 法2.设向量为空间基底,易得,,又,且三向量两两互相垂直,得 ,.设异面直线与所成角为,则. 法3.分别以为轴建立空间直角坐标系.依题意,知, ,则.设异面直线与所成角为,则. 【点评】法1,在几何问题求解中，尽量做到少作辅助线，本题只需将一条直线平移至后,就能与相交于点,得出两异面直线所形成的交角,再解三角形求出的值,如果求出的是负值,则表明是钝角,则两异面直线所成角取其补角,使；把角的计算转化到三角形中的边角关系，最后通过解三角形来完成,这是求异面直线所成角的常用思路.法2与法3都是用空间向量法,展示了向量运算求模与数量积的两种不同形式,体现了以向量为工具解决问题的程序化思想及简捷方便的特性,其思考量小不需作辅助线,但运算量大且容易出错,且三个基底向量一般取同一点为始点. 【变式训练1】在直三棱柱中,已知，分别是的中点，若，求异面直线与所成的角的余弦值. 核心考点二、直线与平面所成的角 传统几何法:直线与平面所成的角包括直线与平面平行、直线在平面内和直线与平面垂直这三种特殊情况,规定前两种情况成角,后一种情况成角；除此之外主要研究斜线与平面所成的角,斜线与平面所成的角是指斜线在平面内的射影与斜线本身所成的锐角；直线与平面所成角的取值范围是.解题操作步骤如下:①在斜线上任取一点(不同于斜足),过作平面于；②连结于斜足与垂直,得出斜线在平面内的射线,确定所求的角为；③把该角置于直角三角形中求解.以上的传统几何法简称为:一作，二证，三计算. 向量法:法1,选取空间向量基底为,要求不共面的三个基底向量的模及两两的夹角都已知,设斜线的方向向量为,垂线的方向向量即平面的法向量为,将与用基底表示,用向量模的性质求出,的值,用向量数量积的定义与性质求出的值；直线与平面所成的角为,计算出的值,最后得出的大小.法2,建立适当的空间直角坐标系,在直线上任意取两个特殊点作为所在直线的方向向量的始点与终点,得出这两个的空间坐标,就能得到直线的方向向量的坐标,设出平面的法向量的坐标,根据平面的关系求出的坐标,然后根据空间向量的坐标运算性质，求出的值,并得出的大小. 例2.在底面为直角梯形的四棱锥中,平面,.(1)求证；(2)求直线与平面所成的角. 【解析】(1)如图,在直角梯形,因,,得, ；又,得,所以；又因平面,且平面,得；又与是平面内两相交直线,于是平面,且平面,故. (2)法1:在平面内过作交于,易知.则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角；又因平面,且平面,得平面平面,又平面平面,过作 于,可得平面,且就是斜线在内的射影,所以就是直线与平面所成的角.在中,,所以,即直线与平面所成的角为. 法2:以为平面的基底,它们是两两互相垂直的向量,,由(1)知平面,则是平面的法向量,且,则 ,；设直线与平面所成的角为,则,故就是直线与平面所成的角. 法3.前同法1,分别以为轴建立直角坐标系.依题意, ,则,平面的法向量；设直线与平面所成的角为,可得,故为所求角. 【点评】在第(1)问中,要经过计算并利用勾股定理的逆定理得出,从而得,进而证得结论.在第(2)问中,法1是用传统几何法,巧妙把平移至是解题的关键,目的是将所求角进行等价转移,而是与平面相交的,这样就容易作出线面角；当然,也可将梯形的两腰与延长相交于点,且平面,易求得为所求角；而法2与法3是用向量法求解,找出是平面现成的法向量是问题轻松获解的催化剂. 【变式训练2】在直三棱柱中,已知,且,点在上.(1)证明:平面；(2)当时,求直线与平面所成角的正弦值. 核心考点三、平面与平面所成的角 传统几何法:由同一条直线出发的两个半平面所组成的图形就称为二面角,如下图(1)，记为二面角,其中称为二面角的棱,和称为二面角的两个半平面.二面角的大小等于二面角的平面角,平面角是可以度量的；由于立体几何是不研究重合的情况,因此两个半平面不能重合,由此得二面角的取值范围是.两个平面相交得到四个二面角,这四个二面角组成二对对棱的二面角,每一对对棱的二面角相等.作二面角的平面角通常有三种方法,解题操作步骤如下:①棱上一点双垂直法:下图(1),在棱上任取一点,过点分别在两个半平面内作棱的垂线得两条射线分别是,这两条射线所成的角就是二面角的平面角.②面上一点三垂线法:下图(2),在二面角的一个半平面内任取一点(),过作于,再过垂足作于,连结(三垂线定理),则就是二面角的平面角，这是最常用方法.③空间一点垂面法:下图(3),过空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射线所成的角就是二面角的平面角.上面三种方法都完成了既作又证的过程,接下去就把放置于一个三角形中求解,求出的二面角的大小为.以上的传统几何法也称为:一作，二证，三计算. 向量法:法1,选取空间向量基底为,要求不共面的三个基底向量的模及两两的夹角都已知,设平面的法向量为,平面的法向量为,将与分别均用基底表示,用向量模的性质求出,的值,用向量数量积的定义与性质求出的值；设平面与平面所成的角为,计算出的值,最后得出的大小.法2,建立适当的空间直角坐标系,设出平面的法向量分别,根据平面的关系求出的坐标,再根据平面的关系求出的坐标,然后由空间向量的坐标运算性质，求出的值,并得出的大小. 由于规定两个平面和所成的角,而二面角的大小是.因此,在用向量法求解时,会遇到一个小麻烦,即二面角的大小等于平面角是如何取解的问题,即与两个平面和所成的角的对应关系如下:当时,；当时,； 而当时,此时是可以判断平面和是重合的,而在前面说过立体几何是不研究重合的,故此时可以确定并直接写出二面角. 例3.如图，在棱长为的正方体中，设为棱上的一个动点.(1)求直线与平面所成角的大小；(2)求二面角的大小；(3)当点在棱上何处时，可使异面直线与所成角的余弦值为？并证明你的结论. 【解析】(1)连结交于点,由于正方体的棱平面,且平面，可得平面平面，且平面平面，又，则有平面，可知就是直线与平面所成角；在中，易得，则，得就是直线与平面所成角的大小. (2)因半平面与半平面是同一个半平面,由于平面，即有，，且与分别在两个半平面和半平面内，由定义可知就是二面角的平面角；由于是一个直角边长为的等腰直角三角形，易得，故二面角的大小为. (3)当点在棱的中点时，可使异面直线与所成角的余弦值为.理由如下：由于，可过点作交于点,则就是异面直线与所成的角；连结，在等腰中，设，易得，；在中，由余弦定理得 ，化简得,且,解得满足条件，即；故当点在棱的中点时，可使异面直线与所成角的余弦值为. 注意,本题的每一问都可以用向量法去解,请同学们自己去试试. 【点评】空间角主要有三种：线线角、线面角、二面角.线线角一般指两条异面直线所成的角，需平移其中一条直线或者两条直线后,作出两异面直线所形成的交角,再解三角形求出,如果求出的是钝角,则取其补角.线面角指直线与平面所成的角,即为平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角,通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形；当然也可用间接方法：求出与斜线平行的直线与平面所成的角,或利用公式,其中是斜线与平面所成的角,是垂线段的长,是斜线段的长.二面角的大小与二面角的平面角相等，作出平面角的方法是:在棱上取一点(该点有利于计算方便)，分别在两半平面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，或利用三垂线定理及其逆定理作出二面角的平面角,并在该平面角内建立一个可解三角形来求解.可见解决立体几何空间角问题的关键在于三定:定性分析→定位作图→定量计算,即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形中的边角关系，最后通过解三角形来完成. 【变式训练3】在四棱锥中,底面是边长为的正方形，且平面，.(1)求异面直线与所成角的大小;(2)设分别为和的中点，求直线与平面所成角的正弦值;(3)求二面角的大小. 变式训练题答案与解析 1.解:如图,取的中点，连结.因分别是的中点，易知，且，所以四边形为平行四边形，可得，则就是异面直线与所成的角.依题意，易得，；在中，由余弦定理求得.故异面直线与所成的角的余弦值为. 本题也可用向量法来解,以为空间基底向量,或分别以为轴建立空间直角坐标系；若向量关系或空间坐标不易寻找，就将等腰补成以为邻边的正方形,再将原直三棱柱补成一个正方体来求解要方便些. 2.(1)证明:如图,连结与相交于点,连结.依题意知分别是的中点,所以是的中位线,得,而平面,且平面,故平面. (2)设直线与平面所成角为；又,则直线与平面所成角也是.因,而,若直接作出线面角再去计算会很繁杂,故需调整思路和方法. 法1:由于则点到平面的距离是点到平面距离的倍,又因在直三棱柱中,,且,则,由余弦定理得,,,可得, ；设点到平面的距离是,由等体积法,可得,所以,即直线与平面所成角的正弦值为. 法2.以为基底向量,它们两两垂直,且,设平面的法向量,而,,由,,不妨令,则；则 ,,. 法3.分别以为轴建立直角坐标系.依题意 ,则；设平面的法向量由,令则,得则,.故为所求. 3.解：(1)如图,因平面,可得,且,从而知是等腰；又因,则就是异面直线与所成角的大小. (2)连结，因分别为和的中点,则是的中位线,得；又因平面,则等于直线与平面所成角的大小；而，在等腰中易得，在中易得,于是得；故得直线与平面所成角的正弦值. (3)易证，过点作于，连结,可得，则从而知就是二面角的平面角；在中，知,，求得，由等面积法可得(或)；在中，因，由余弦定理得,且，得;故得二面角的大小为. 学科网（北京）股份有限公司 $