精品解析：山东省济南外国语学校2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

济南外国语学校高一1月月考数学试题 2026.1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1. 角的终边上有一点，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角函数的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，角的终边上有一点，则， 当时，根据三角函数的定义，可得； 当时，根据三角函数的定义，可得， 综上，. 故选：C 2. 若，，则角的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数在各象限的符号即可求解． 【详解】∵， ∴角的终边落在第一象限或第四象限或轴非负半轴， ∵ ∴角的终边落在第三象限或第四象限或轴非正半轴， ∴角的终边落在第四象限， 故选：D． 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数定义，结合诱导公式求解可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：C 4. 已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助扇形周长公式、弧长公式与面积公式计算即可得. 【详解】由题意可得，解得，故. 故选：B. 5. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦的二倍角公式结合两角差的正弦公式化简. 【详解】原式． 故选：A 6. 下列函数中，的最小正周期是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式，二倍角公式，同角三角函数的平方关系及周期公式即可求解． 【详解】对于A，， 则该函数的最小正周期为，故A符合题意； 对于B，，则该函数的最小正周期为，故B不合题意； 对于C，，为常函数，则不存在最小正周期，故C不合题意； 对于D，，则该函数的最小正周期为，故D不合题意. 故选：A． 7. 已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式得出． 【详解】因为，， 所以，所以， 又， 所以， 故选：B． 8. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（ ） A. B. C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D. 盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D. 【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若α终边上一点的坐标为，则 B. 若角α为锐角，则2α为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 D. 若且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据三角函数的定义判断A项；举反例排除B项；利用扇形的弧长与面积公式计算可判断C项；根据已知求出的值，即可得正切值判断D项. 【详解】对于A，因，则，则，故A错误； 对于B，当角α为锐角时，若，而 不是钝角，故B错误； 对于C，依题意，扇形的半径为，则该扇形的面积为，故C正确； 对于D，由①两边取平方，可得，化简得， 因，故，则， 由可得②， 联立①②，解得，故.故D正确. 故选：CD. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若是锐角，则 D. 若是钝角，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由同角三角函数的平方关关系可判断AB，进而求得，，可判断CD. 【详解】由等式两边平方得，所以，故A正确； ，所以，所以B错误； 因为，所以，则， 解方程，解得，，所以，故C正确： 对于D选项，，则，则， 所以解方程，解得，， 所以，故D正确， 故选：ACD. 11. 下列关于函数的相关命题，叙述正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一条对称轴为 C. 的单调增区间为 D. 若时，函数有两个不同零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简得，利用最小正周期公式求解判断A，根据正弦函数对称性求对称轴判断B，根据正弦函数单调性求解单调区间判断C，将问题转化为曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，画出函数图象数形结合即可求解判断D. 【详解】由于 ， 故最小正周期，故A正确； 令，解得，令得， 所以直线不是函数图像的对称轴，故B错误； 令，所以， 所以函数的单调递增区间为，故C正确； 若函数有两个不同的零点， 即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点， 由，得， 设，则， 作出函数图象如图所示， 由图可知：，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. ____． 【答案】 【解析】 【分析】由平方差公式将原式变形后，利用二倍角的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简得值． 【详解】解： . 故答案为： 13. 设函数，已知，，且的最小值为．将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，则在区间上的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知条件得出，从而得出，平移变化得到，分析在上的单调性，得到最大值点在区间左端，从而求解. 【详解】已知函数，最小值，最大值， 且的最小值为. 函数取最大值和最小值时，相位差为的奇数倍， 故最小相位差为，对应最小距离： . 验证：时，取最大值时，如； 取最小值时，如. 距离为，符合条件. 所以 的图象向右平移,得. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象， 得. 当时，计算角的范围：， 在上，在上递减，在上单调递增， ，故. 故答案为：1. 14. 已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦函数的图像性质列出关于的不等式，进而求得的取值范围． 【详解】当时，， 由题意函数在区间上恰好有3个零点， 则根据余弦函数的图象与性质知， 结合解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． （1）若，求扇形的弧长l； （2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 设弓形面积为．由题知． ． 16. 已知是第二象限角，， （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据同角三角函数关系，由平方关系求出余弦，再由商数关系求出正切. (2)把分子1转换为,在由弦化切,求出结果. 【小问1详解】 已知是第二象限角，, ,. 【小问2详解】 , ,. 17. 已知，，且，．求． 【答案】 【解析】 【分析】由角的范围结合同角三角函数的平方关系得出，，再根据两角差的余弦公式得出，由的范围结合同角三角函数的平方关系得出，由同角三角函数的商数关系和二倍角的正切公式即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及对称中心坐标； （2）将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据最值求出，根据周期求出，然后利用求出，即可求出的解析式，最后令即可求出对称中心； （2）根据图象变换得出，最后结合正弦函数图象即可求出. 【小问1详解】 由图象可得，得， 由图象可知，所以，即， 即； 又因为，即， 所以，则， 结合，可得， 所以； 令得， 所以曲线的对称中心为． 【小问2详解】 把曲线向右平移个单位后的曲线为； 把曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线； 把曲线向上平移个单位，得到曲线； 令，得， 结合正弦函数图象可得不等式的解集为. 19. 已知函数. （1）求的图象的对称轴、单调递增区间； （2）当时，求的最值，以及取得最值时的取值； （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）对称轴，增区间为； （2）当时，取最小值，当时，取最大值2； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质求解. （2）由，确定，结合正弦函数的最值求解. （3）化简，参变分离，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【小问1详解】 依题意，， 令，解得， 所以函数的对称轴方程为； 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，，则， 当，即时，函数取得最小值； 当，即时，函数取得最大值2， 所以当时，取最小值；当时，取最大值2. 【小问3详解】 依题意，当时，有解， 而，即当时，有解， ，当时，令， 函数在上单调递减，当时，，即，而， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南外国语学校高一1月月考数学试题 2026.1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1. 角的终边上有一点，，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 若，，则角的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 化简：（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，的最小正周期是的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（ ） A. B. C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D. 盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若α终边上一点的坐标为，则 B. 若角α为锐角，则2α为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 D. 若且，则 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若是锐角，则 D. 若是钝角，则 11. 下列关于函数的相关命题，叙述正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一条对称轴为 C. 的单调增区间为 D. 若时，函数有两个不同零点，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. ____． 13. 设函数，已知，，且的最小值为．将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，则在区间上的最大值为______． 14. 已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． （1）若，求扇形的弧长l； （2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积； 16. 已知是第二象限角，， （1）求； （2）求． 17. 已知，，且，．求． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及对称中心坐标； （2）将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 19. 已知函数. （1）求的图象的对称轴、单调递增区间； （2）当时，求的最值，以及取得最值时的取值； （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $