第六单元 比例尺（解决问题讲义）数学青岛版五四学制五年级下册

第六单元 比例尺 1.比例尺的认识： ----认识比例尺的意义和表示形式，建立比例尺的概念，明确比例尺与实际距离、图上距离的关联 2.比例尺的分类与读写： ----掌握数值比例尺和线段比例尺的特点，能正确读写不同形式的比例尺 3.图上距离、实际距离与比例尺的换算： ----理解三者之间的数量关系，掌握“图上距离÷比例尺=实际距离”“实际距离×比例尺=图上距离”的换算方法 4.比例尺的实际应用： ----能运用比例尺知识解决测量、绘图、路线规划等实际问题，提升应用意识 5.比例尺的估测与估算： ----结合生活场景，学会估测简单图形的比例尺，培养估算能力和空间观念 类型1 比例尺的意义解决问题： 典型例题1：广州塔又称“小蛮腰”，目前为我国第一高塔，总高度为600m，下图是某位画家按比例所绘的广州塔。请算出图的比例尺是多少？ 【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺，比例尺＝图上距离÷实际距离，据此解答即可。 变式训练：学步桥位于古都邯郸，其名源于成语“邯郸学步”。在一幅比例尺为1∶160的地图上，桥长20cm。在另一幅比例尺为1∶800的地图上，学步桥长多少厘米？ 类型2 比例尺的应用解决问题： 典型例题2：一辆汽车从A地出发，3小时行驶了195km，再照同样的速度行驶5小时就能到达B地。在比例尺是1∶2000000的地图上，A，B两地之间的距离是多少？ 【分析】根据题意，先计算出汽车的速度，再根据：速度×时间＝路程，计算出从A地到B地的实际距离，最后依据：图上距离＝实际距离×比例尺计算出在地图上的距离，据此解答。 变式训练：在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是4.5厘米。两辆汽车分别从甲乙两地同时相向而行，甲车平均每小时行55.5千米，乙车平均每小时行44.5千米。两车行驶多少小时后途中相遇？ 类型3 图形的放大与缩小解决问题： 典型例题3：图中每个小方格表示1平方厘米。 （1）按2∶1画出三角形放大后的图形。 （2）放大后三角形的面积是（    ）平方厘米。 （3）以AC为轴，旋转一周，形成的立体图形是（    ），体积是（    ）立方厘米。 【分析】（1）由图可知，三角形的底为3厘米，高为2厘米，分别将三角形的底和高按2∶1放大后，再画出图形即可； （2）根据三角形的面积＝底×高÷2计算面积； （3）以AC为轴，三角形旋转一周形成的图形是圆锥，高是AC，底面半径是BC，再根据V＝πr2h计算体积。 变式训练：操作。 （1）画出图形①按3∶1放大后得到的图形②。下图中每个小正方形的边长表示1厘米。 （2）观察放大前后的图形，发现图形①放大后，（    ）变了，（    ）没变。 （3）如果以图形②的一条较长的直角边所在直线为轴旋转一周，那么会形成一个（    ），这个图形的体积是（    ）立方厘米。 A夯实基础 1．AB两地间实际距离42千米，在比例尺1∶3000000的地图上应画（    ）厘米。 A．14 B．1.4 C．12.6 D．1.26 2．把一个图形先按2∶1的比放大，再把放大后的图形按1∶3的比缩小，最后得到的图形与原图形相比，（    ） A．放大了 B．缩小了 C．大小不变 D．不确定 3．一幅图的比例尺是1：6000000，下面图（ ）是这幅图的比例尺． A． B． C． D． 4．一个零件的高是5，在图纸上的高是2，那么这幅图纸的比例尺( )。 5．在比例尺1∶10000000的中国地图上，1厘米代表实际距离( )千米。 6．一所大学的一座教学楼长150米，宽90米，在一张学校平面图上用30厘米的线段表示教学楼的长，该图的比例尺是( )，在图上的宽应画( )。 B培优拔高 7．一座教学楼南北方向长30米，在图纸上的长度是6厘米，在这张图纸的量得一圆形水池的直径为2厘米，请你求出这个水池的实际面积是多少平方米？ 8．“丝绸之路”是古代连接中西方的商道。传统的丝绸之路起自我国古代都城长安，以罗马为终点，在一幅比例尺为1∶7000000的地图上约长92厘米，传统的丝绸之路实际全长约为多少千米？ 9．在一幅比例尺是的地图上，量得地与地的距离是。甲、乙两辆汽车分别从地和地同时出发，相向而行，2小时后相遇。已知甲、乙两车的速度之比是，甲车每小时行驶多少千米？ 10．在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，量的A、B两地的距离是20cm。如果甲、乙两辆客车同时从A、B两地相对开出，经过4小时相遇．甲客车每时行72km，乙客车每时行多少千米？ 11．在比例尺是的图上，甲、乙两地相距9厘米，一辆客车与一辆货车分别同时从甲乙俩地相向而行，2小时后相遇。已知客车与货车的速度比是5∶4，货车的速度是多少？ C思维拓展 12．在比例尺是1∶20000图纸上量得北京天安门广场南北长为4.4厘米，东西宽为2.5厘米。北京天安门广场的实际面积是多少平方米？ 13．在比例尺1∶250000的地图上，量得两地距离约26厘米，两地实际距离是多少千米？ 14．长春到吉林的铁路长124千米，如果用1∶400000的比例尺，画在一幅地图上，需要画多长的线段？ 15．一辆汽车以每小时60千米的速度从甲地开往乙地，3小时到达，在比例尺是1∶3000000的地图上，让一只蜗牛从甲地爬往乙地，已知这种蜗牛每分钟爬12厘米，求这只蜗牛需要多少分钟才能爬到乙地？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 比例尺 1.比例尺的认识： ----认识比例尺的意义和表示形式，建立比例尺的概念，明确比例尺与实际距离、图上距离的关联 2.比例尺的分类与读写： ----掌握数值比例尺和线段比例尺的特点，能正确读写不同形式的比例尺 3.图上距离、实际距离与比例尺的换算： ----理解三者之间的数量关系，掌握“图上距离÷比例尺=实际距离”“实际距离×比例尺=图上距离”的换算方法 4.比例尺的实际应用： ----能运用比例尺知识解决测量、绘图、路线规划等实际问题，提升应用意识 5.比例尺的估测与估算： ----结合生活场景，学会估测简单图形的比例尺，培养估算能力和空间观念 类型1 比例尺的意义解决问题： 典型例题1：广州塔又称“小蛮腰”，目前为我国第一高塔，总高度为600m，下图是某位画家按比例所绘的广州塔。请算出图的比例尺是多少？ 【答案】 【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺，比例尺＝图上距离÷实际距离，据此解答即可。 【详解】 答：这幅图的比例尺是。 变式训练：学步桥位于古都邯郸，其名源于成语“邯郸学步”。在一幅比例尺为1∶160的地图上，桥长20cm。在另一幅比例尺为1∶800的地图上，学步桥长多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】比例尺=图上距离∶实际距离，所以由题可知，在地图上桥长20厘米，比例尺为1∶160，所以可知实际长度为3200厘米，则在1∶800的地图上，用乘法求得桥长4厘米。 【详解】（厘米） 答：学步桥长4厘米。 类型2 比例尺的应用解决问题： 典型例题2：一辆汽车从A地出发，3小时行驶了195km，再照同样的速度行驶5小时就能到达B地。在比例尺是1∶2000000的地图上，A，B两地之间的距离是多少？ 【答案】26cm 【分析】根据题意，先计算出汽车的速度，再根据：速度×时间＝路程，计算出从A地到B地的实际距离，最后依据：图上距离＝实际距离×比例尺计算出在地图上的距离，据此解答。 【详解】 答：A、B两地之间的距离是26cm。 变式训练：在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是4.5厘米。两辆汽车分别从甲乙两地同时相向而行，甲车平均每小时行55.5千米，乙车平均每小时行44.5千米。两车行驶多少小时后途中相遇？ 【答案】1.8小时 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离，根据1千米＝100000厘米，用求出的距离除以进率100000即可换算为千米。 再根据“相遇时间＝路程÷速度和”用两地之间的距离除以速度和，即可求出两车行驶多少小时后途中相遇，据此解答。 【详解】4.5÷＝4.5×4000000＝18000000（厘米） 18000000÷100000＝180（千米） 180÷（55.5＋44.5） ＝180÷100 ＝1.8（小时） 答：两车行驶1.8小时后途中相遇。 类型3 图形的放大与缩小解决问题： 典型例题3：图中每个小方格表示1平方厘米。 （1）按2∶1画出三角形放大后的图形。 （2）放大后三角形的面积是（    ）平方厘米。 （3）以AC为轴，旋转一周，形成的立体图形是（    ），体积是（    ）立方厘米。 【答案】（1）作图见详解 （2）12 （3）圆锥；18.84 【分析】（1）由图可知，三角形的底为3厘米，高为2厘米，分别将三角形的底和高按2∶1放大后，再画出图形即可； （2）根据三角形的面积＝底×高÷2计算面积； （3）以AC为轴，三角形旋转一周形成的图形是圆锥，高是AC，底面半径是BC，再根据V＝πr2h计算体积。 【详解】（1）2×2＝4（厘米） 3×2＝6（厘米） 所以，按2∶1画出三角形放大后的图形作图如下： （2）4×6÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 所以放大后三角形的面积是12平方厘米。 （3）3×3×3.14×2× ＝9×3.14×2× ＝28.26×2× ＝56.52× ＝18.84（立方厘米） 因此，以AC为轴，旋转一周，形成的立体图形是圆锥，体积是18.84立方厘米。 变式训练：操作。 （1）画出图形①按3∶1放大后得到的图形②。下图中每个小正方形的边长表示1厘米。 （2）观察放大前后的图形，发现图形①放大后，（    ）变了，（    ）没变。 （3）如果以图形②的一条较长的直角边所在直线为轴旋转一周，那么会形成一个（    ），这个图形的体积是（    ）立方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）大小；形状 （3）圆锥；339.12 【分析】（1）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。 （2）图形变大了，但形状没有发生变化，叫做图形的放大。 （3）以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。以图形②的一条较长的直角边所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥，底面半径是6厘米，高9厘米，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 【详解】 （1） （2）观察放大前后的图形，发现图形①放大后，大小变了，形状没变。 （3）3.14×62×9÷3 ＝3.14×36×9÷3 ＝339.12（立方厘米） 如果以图形②的一条较长的直角边所在直线为轴旋转一周，那么会形成一个圆锥，这个图形的体积是339.12立方厘米。 A夯实基础 1．AB两地间实际距离42千米，在比例尺1∶3000000的地图上应画（    ）厘米。 A．14 B．1.4 C．12.6 D．1.26 【答案】B 【分析】这道题是已知比例尺、实际距离，求图上距离，根据图上距离＝实际距离×比例尺，解答即可。 【详解】42千米＝4200000厘米 4200000×＝1.4（厘米）； 故答案为：B 【点睛】牢记公式图上距离＝实际距离×比例尺，注意数清楚0的个数，及单位换算。 2．把一个图形先按2∶1的比放大，再把放大后的图形按1∶3的比缩小，最后得到的图形与原图形相比，（    ） A．放大了 B．缩小了 C．大小不变 D．不确定 【答案】B 【分析】根据题意可知，把原图的距离设为1，按2∶1的比放大后，对应边长变成2，然后再把放大后的图形按1∶3的比缩小，对应边长变成2×，＜1，最后得到的图形与原图形相比，缩小了，据此解答。 【详解】把一个图形先按2∶1的比放大，再把放大后的图形按1∶3的比缩小，最后得到的图形与原图形相比，缩小了。 故答案为：B。 3．一幅图的比例尺是1：6000000，下面图（ ）是这幅图的比例尺． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】略 4．一个零件的高是5，在图纸上的高是2，那么这幅图纸的比例尺( )。 【答案】4∶1 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，已知图上距离和实际距离，即可求出这幅图纸的比例尺。 【详解】5mm＝0.5cm 2cm∶0.5cm＝4∶1 【点睛】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算。 5．在比例尺1∶10000000的中国地图上，1厘米代表实际距离( )千米。 【答案】100 【分析】根据比例尺的定义，即可得出答案。比例尺＝图上距离÷实际距离。 【详解】比例尺是1∶10000000的地图上，图上1厘米表示实际距离10000000厘米，10000000厘米＝100千米。 即图上1厘米表示实际距离100千米。 【点睛】本题的关键是根据比例尺的意义求出实际距离。 6．一所大学的一座教学楼长150米，宽90米，在一张学校平面图上用30厘米的线段表示教学楼的长，该图的比例尺是( )，在图上的宽应画( )。 【答案】 1：500 18厘米 【分析】用平面图上表示教学楼长的线段长度除以教学楼的长，求出改图的比例尺。再用教学楼的宽乘比例尺，求出平面图上表示教学楼宽的线段长度。 【详解】150米＝15000厘米 30÷15000＝＝ 90米＝9000厘米 9000×＝18（厘米） 该图的比例尺是1∶500，在图上的宽应画18厘米。 【点睛】本题考查比例尺的计算方法，关键是明确图上距离与实际距离的比即为比例尺。 B培优拔高 7．一座教学楼南北方向长30米，在图纸上的长度是6厘米，在这张图纸的量得一圆形水池的直径为2厘米，请你求出这个水池的实际面积是多少平方米？ 【答案】78.5平方米 【分析】先根据比例尺＝图上距离∶实际距离，求出这张图纸的比例尺。再根据图上距离÷比例尺＝实际距离，求出水池实际直径的长；然后根据圆的面积公式，求出这个水池的实际面积即可。 【详解】6厘米∶30米 ＝6厘米∶3000厘米 ＝6∶3000 ＝（6÷6）∶（3000÷6） ＝1∶500 （厘米） 1000厘米＝10米 （平方米） 答：这个水池的实际面积是78.5平方米。 8．“丝绸之路”是古代连接中西方的商道。传统的丝绸之路起自我国古代都城长安，以罗马为终点，在一幅比例尺为1∶7000000的地图上约长92厘米，传统的丝绸之路实际全长约为多少千米？ 【答案】6440千米 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，用92÷即可求出传统的丝绸之路的实际距离，再把结果换算成千米作单位，据此解答。 【详解】92÷ ＝92×7000000 ＝644000000（厘米） 644000000厘米＝6440千米 答：传统的丝绸之路实际全长约为6440千米。 9．在一幅比例尺是的地图上，量得地与地的距离是。甲、乙两辆汽车分别从地和地同时出发，相向而行，2小时后相遇。已知甲、乙两车的速度之比是，甲车每小时行驶多少千米？ 【答案】60千米 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两地的实际距离，再根据速度和＝路程÷时间，求出甲、乙的速度和，再由“甲车与乙车速度的比是2：3，”利用按比例分配的方法列式解答即可。 【详解】 （千米） 答：甲车每小时行驶60千米。 【点睛】本题主要应用的知识点是：实际距离＝图上距离÷比例尺，速度和×相遇时间＝路程及利用按比例分配的方法解决问题。 10．在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，量的A、B两地的距离是20cm。如果甲、乙两辆客车同时从A、B两地相对开出，经过4小时相遇．甲客车每时行72km，乙客车每时行多少千米？ 【答案】78千米 【分析】先根据实际距离＝，求出甲、乙两地之间的实际距离；再根据路程÷时间＝速度和，速度和－甲客车速度即可求出乙客车速度。 【详解】20÷＝60000000（厘米） 60000000厘米＝600千米 600÷4﹣72 ＝150﹣72 ＝78（千米） 答：乙客车每小时行78千米。 【点睛】灵活运用公式实际距离＝，速度和＝路程÷相遇时间，即可解答此类问题。 11．在比例尺是的图上，甲、乙两地相距9厘米，一辆客车与一辆货车分别同时从甲乙俩地相向而行，2小时后相遇。已知客车与货车的速度比是5∶4，货车的速度是多少？ 【答案】80千米/时 【分析】这幅地图的线段比例尺是图上1厘米代表实际40千米，已知图上，甲、乙两地相距9厘米，据此即可求出甲、乙两地的实际距离。根据“速度＝路程÷时间”即可求出客、货车的速度之和。再把客、货车的速度之和平均分成（5＋4）份，先用除法求出1份的速度，再用乘法求出4份（货车的速度）的速度是多少。 【详解】40×9＝360（千米） （360÷2）÷（5＋4）×4 ＝180÷9×4 ＝20×4 ＝80（千米/时） 答：货车的速度是80千米/时。 【点睛】解答此题的关键是先求出甲、乙两地的实际距离，再求出客、货车的速度之和，然后再根据按比例分配求出货车的速度。 C思维拓展 12．在比例尺是1∶20000图纸上量得北京天安门广场南北长为4.4厘米，东西宽为2.5厘米。北京天安门广场的实际面积是多少平方米？ 【答案】440000平方米 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出长和宽的实际长度，再利用长方形的面积公式，即可求出天安门广场的实际面积。 【详解】4.4÷＝88000（厘米） 88000厘米＝880米 2.5÷＝50000（厘米） 50000厘米＝500米 880×500＝440000（平方米） 答：北京天安门广场的实际面积是440000平方米。 13．在比例尺1∶250000的地图上，量得两地距离约26厘米，两地实际距离是多少千米？ 【答案】65千米 【详解】26×250000=6500000（厘米）=65千米 答：两地实际距离是65千米． 14．长春到吉林的铁路长124千米，如果用1∶400000的比例尺，画在一幅地图上，需要画多长的线段？ 【答案】31厘米 【详解】124千米=12400000厘米 12400000×=31（厘米） 答：需要画31厘米长的线段． 15．一辆汽车以每小时60千米的速度从甲地开往乙地，3小时到达，在比例尺是1∶3000000的地图上，让一只蜗牛从甲地爬往乙地，已知这种蜗牛每分钟爬12厘米，求这只蜗牛需要多少分钟才能爬到乙地？ 【答案】0.5分 【详解】甲乙两地的实际距离：60×3＝180（千米）    180千米＝18000000（厘米） 甲地到乙地的图上距离：18000000×＝6（厘米） 蜗牛的爬行时间：6÷12＝0.5（分） 答：这只蜗牛需要0.5分钟才能爬到乙地。 1 学科网（北京）股份有限公司 $