第四单元 圆柱和圆锥（圆柱的表面积）（解决问题讲义）数学青岛版五四学制五年级下册

第四单元 圆柱和圆锥（圆柱的表面积） 1.圆柱表面积的构成： ----明确圆柱表面积=侧面积+两个底面面积，建立圆柱表面积的组成观念 2.圆柱侧面积的计算： ----掌握圆柱侧面积=底面周长×高（S侧=Ch=2πrh），理解侧面积公式的推导逻辑 3.圆柱底面积的计算： ----运用圆的面积公式（S底=πr²），准确计算圆柱一个底面的面积 4.表面积综合计算： ----结合实际场景，选择合适的公式组合计算圆柱表面积，能解决无盖、半侧等特殊情况的实际问题 5.单位统一与估算： ----计算前确保所有长度单位一致，结合生活实际掌握圆柱表面积的估测方法，培养估算能力 类型1 圆柱的侧面积解决问题： 典型例题1：用铁皮做10个底面半径是3厘米、长50厘米的圆柱形通风管，一共需要多少平方厘米的铁皮？ 【分析】先求出做1个通风管需要铁皮的面积，因为通风管没有上下底面，所以只需计算圆柱的侧面积，先利用“”求出做1个通风管需要铁皮的面积，再乘做通风管的数量，据此解答。 变式训练：学校门厅前面有两根圆柱子，它的底面直径是6分米，高是3.5米，给这根柱子侧面刷油漆，如果每平方米用油漆0.5千克，大约需要多少千克油漆？（得数保留整数） 类型2 圆柱的表面积解决问题： 典型例题2：小红想用硬纸制作一个底面周长是25.12厘米，高15厘米的圆柱形笔筒，大约需要多少平方厘米的硬纸？ 【分析】从题意可知：已知圆的周长，根据半径r＝C÷π÷2，代入数据计算，即可求出圆的半径。硬纸的面积＝圆柱的侧面积＋一个底面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面积：S＝πr2。分别代入数据计算，求出侧面积和底面积，再相加即可。 变式训练：一个圆柱形蓄水池，底面直径是5米，深2米。在它的四周和底面抹上水泥，如果每平方米需水泥5千克，那么抹这个蓄水池共需要多少千克水泥？ 类型3 组合体的表面积（圆柱）解决问题： 典型例题3：某路口的交警指挥台共有2层，每层的高度都是20厘米，直径分别是120厘米、100厘米。这个交警指挥台露在外面的面积是多少平方米（接触地面的面积除外）？ 【分析】观察可知，露在外面的有小圆柱的上底和侧面、大圆柱的侧面和上底去掉小圆柱的下底面积，把小圆柱上底移到下底，则所求面积等于小圆柱的侧面积加大圆柱的一个底面积再加大圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式，圆的面积公式，代入数据计算，再把单位转化为平方米即可。 变式训练：一个卫星专用零件是由一个圆柱和一个长方体焊接而成（如下图），它的表面积是多少平方厘米？ A夯实基础 1．一个圆柱高62.8厘米，它的侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的底面积是（    ）平方厘米。 A．31.4 B．628 C．314 D．62.8 2．把圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后沿半径竖直切开拼成一个近似的长方体。下面说法正确的是（    ） A．表面积和体积都没变 B．表面积变了，体积没变 C．体积变了，表面积没变 D．表面积和体积都变了 3．一根圆柱形木料，把它截成三段，如果底面积是25平方厘米，这时木料的表面积增加（    ）平方厘米。 A．50 B．75 C．150 D．100 4．把一根圆柱形木料截成4段，表面积增加了169.56平方厘米，这根木料的底面积是( )平方厘米。 5．把一个高5厘米的圆柱平均分成若干份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了30平方厘米，长方体的体积是( )立方厘米，长方体表面积是( )平方厘米。 6．木匠师傅把一根长9分米的圆柱形木料截成三根同样长的圆柱体，三根的表面积和比原来增加12.56平方分米，他又把其中的一根削成体积最大的圆锥体，削成的圆锥体的体积是 立方分米。 B培优拔高 7．乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 8．把一个直径为4厘米，高为8厘米的圆柱，沿底面直径切开，表面积增加了多少平方厘米？ 9．一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径为4分米，高为7分米。做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？（得数保留整数） 10．如图是由一个半圆柱形塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长10米，横截面是一个半径为2米的半圆形。 （1）这个塑料大棚的占地面积是多少平方米？ （2）覆盖这个塑料大棚至少需要多少平方米的塑料薄膜？（两端都覆盖） 11．旅居云南已经成为一种时尚，奇奇和妈妈在云南游玩时买了一款长檐帽（如图），帽顶部分是圆柱形，帽沿部分是一个圆环，帽顶的底面半径是10厘米，高是8厘米，帽沿的宽度是6厘米。如果要自制一个这样的帽子，至少需要多少平方厘米编织材料？（不计花边） C思维拓展 12．一个圆柱形油桶，底面直径是8分米，高是1.5米。制作这个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ 13．同学们运用所学知识制作圆柱体学具，东东想制作一个无盖的圆柱，玲玲则想制作一个体积尽可能大的空心圆柱，以下不同型号的图纸供选择使用。（每种图纸有若干份，π取3） （1）东东应该选择材料（    ），无盖圆柱的表面积是（    ）平方厘米。 列式计算： （2）玲玲应该选择材料（    ），空心圆柱的底面周长是（    ）厘米。 14．一个圆柱体木块的高是6分米，沿底面直径将圆柱分成两个完全一样的半圆柱（如下图），两个半圆柱的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了36平方分米。每个半圆柱的表面积是多少？ 15．某小学要修建一个圆柱形的水池，水池的半径为3米，深0.5米。要给这个水池的底面和内壁刷上油漆，油漆每升可以刷12平方米，刷完这个水池需要多少升油漆？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 圆柱和圆锥（圆柱的表面积） 1.圆柱表面积的构成： ----明确圆柱表面积=侧面积+两个底面面积，建立圆柱表面积的组成观念 2.圆柱侧面积的计算： ----掌握圆柱侧面积=底面周长×高（S侧=Ch=2πrh），理解侧面积公式的推导逻辑 3.圆柱底面积的计算： ----运用圆的面积公式（S底=πr²），准确计算圆柱一个底面的面积 4.表面积综合计算： ----结合实际场景，选择合适的公式组合计算圆柱表面积，能解决无盖、半侧等特殊情况的实际问题 5.单位统一与估算： ----计算前确保所有长度单位一致，结合生活实际掌握圆柱表面积的估测方法，培养估算能力 类型1 圆柱的侧面积解决问题： 典型例题1：用铁皮做10个底面半径是3厘米、长50厘米的圆柱形通风管，一共需要多少平方厘米的铁皮？ 【答案】9420平方厘米 【分析】先求出做1个通风管需要铁皮的面积，因为通风管没有上下底面，所以只需计算圆柱的侧面积，先利用“”求出做1个通风管需要铁皮的面积，再乘做通风管的数量，据此解答。 【详解】2×3.14×3×50×10 ＝6.28×3×50×10 ＝18.84×50×10 ＝942×10 ＝9420（平方厘米） 答：一共需要9420平方厘米的铁皮。 变式训练：学校门厅前面有两根圆柱子，它的底面直径是6分米，高是3.5米，给这根柱子侧面刷油漆，如果每平方米用油漆0.5千克，大约需要多少千克油漆？（得数保留整数） 【答案】7千克 【分析】圆柱的侧面积＝底面周长×高，即S侧＝πdh。先统一单位，算出一根柱子侧面积后要乘以2，算出总的侧面积后乘每平方米所需的油漆量0.5千克，就得到所需油漆总量。要注意得数要根据“进一法”保留整数。 【详解】6分米＝0.6米 3.14×0.6×3.5×2×0.5 ＝1.884×3.5×2×0.5 ＝6.594×2×0.5 ＝13.188×0.5 ≈7（千克） 答：大约需要7千克油漆。 类型2 圆柱的表面积解决问题： 典型例题2：小红想用硬纸制作一个底面周长是25.12厘米，高15厘米的圆柱形笔筒，大约需要多少平方厘米的硬纸？ 【答案】427.04平方厘米 【分析】从题意可知：已知圆的周长，根据半径r＝C÷π÷2，代入数据计算，即可求出圆的半径。硬纸的面积＝圆柱的侧面积＋一个底面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面积：S＝πr2。分别代入数据计算，求出侧面积和底面积，再相加即可。 【详解】侧面积：25.12×15＝376.8（平方厘米） 底面积：（25.12÷3.14÷2）2×3.14 ＝42×3.14 ＝16×3.14 ＝50.24（平方厘米） 硬纸的面积：376.8＋50.24＝427.04（平方厘米） 答：大约需要427.04平方厘米的硬纸。 变式训练：一个圆柱形蓄水池，底面直径是5米，深2米。在它的四周和底面抹上水泥，如果每平方米需水泥5千克，那么抹这个蓄水池共需要多少千克水泥？ 【答案】255.125千克 【分析】先求出抹水泥的面积，就是求这个圆柱形蓄水池的一个底面积与一个侧面积的和，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，求出表面积，再乘5，即可解答。 【详解】[3.14×（5÷2）2＋3.14×5×2]×5 ＝[3.14×2.52＋15.7×2]×5 ＝[3.14×6.25＋31.4]×5 ＝[19.625＋31.4]×5 ＝51.025×5 ＝255.125（千克） 答：抹这个蓄水池共需要255.125千克水泥。 类型3 组合体的表面积（圆柱）解决问题： 典型例题3：某路口的交警指挥台共有2层，每层的高度都是20厘米，直径分别是120厘米、100厘米。这个交警指挥台露在外面的面积是多少平方米（接触地面的面积除外）？ 【答案】2.512平方米 【分析】观察可知，露在外面的有小圆柱的上底和侧面、大圆柱的侧面和上底去掉小圆柱的下底面积，把小圆柱上底移到下底，则所求面积等于小圆柱的侧面积加大圆柱的一个底面积再加大圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式，圆的面积公式，代入数据计算，再把单位转化为平方米即可。 【详解】 （平方厘米） ＝2.512（平方米） 答：这个交警指挥台露在外面的面积是2.512平方米。 变式训练：一个卫星专用零件是由一个圆柱和一个长方体焊接而成（如下图），它的表面积是多少平方厘米？ 【答案】261.6平方厘米 【分析】焊接后，圆柱的1个底面变成了里面，不再需要计算表面积。同时，长方体的上面减少了一个圆形的面，将圆柱的上面借给长方体后，长方体的表面积不变，圆柱只剩下侧面积需要计算。所以，这个组合体的表面积＝长方体表面积＋圆柱侧面积。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，圆柱侧面积＝底面周长×高。据此解题。 【详解】（10×4＋10×2＋4×2）×2＋3.14×4×10 ＝（40＋20＋8）×2＋12.56×10 ＝68×2＋125.6 ＝136＋125.6 ＝261.6（平方厘米） 答：它的表面积是261.6平方厘米。 A夯实基础 1．一个圆柱高62.8厘米，它的侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的底面积是（    ）平方厘米。 A．31.4 B．628 C．314 D．62.8 【答案】C 【分析】圆柱的侧面展开图是一个正方形，则圆柱的底面周长等于圆柱的高；根据圆的周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱的底面半径，再根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出圆柱的底面积。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 一个圆柱高62.8厘米它的侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的底面积是314平方厘米。 故答案为：C 2．把圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后沿半径竖直切开拼成一个近似的长方体。下面说法正确的是（    ） A．表面积和体积都没变 B．表面积变了，体积没变 C．体积变了，表面积没变 D．表面积和体积都变了 【答案】B 【分析】将圆柱切拼成长方体的过程中，所占空间的大小不变，即体积没有增多或减少，所以体积不变。圆柱的侧面积等于长方体前后两个面的面积之和，圆柱的两个底面积的和等于长方体上下两个面的面积和；所以长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个左右面的面积和，由此即可判断。 【详解】根据题意，切拼如下图： 根据分析可知，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体后， 它的体积不变，表面积变大了。 因此选项A、C、D不符合题意，只有选项B符合题意。 故答案为：B 3．一根圆柱形木料，把它截成三段，如果底面积是25平方厘米，这时木料的表面积增加（    ）平方厘米。 A．50 B．75 C．150 D．100 【答案】D 【分析】截成3段，表面积是增加了4个圆柱的底面的面积，由此即可解答。 【详解】25×4＝100（平方厘米）， 表面积是增加了100平方厘米。 故答案为：D 【点睛】抓住圆柱切割特点，得出增加了的圆柱的底面的面数是解决此类问题的关键。 4．把一根圆柱形木料截成4段，表面积增加了169.56平方厘米，这根木料的底面积是( )平方厘米。 【答案】 28.26 【分析】将圆柱截成4段需截3次，每次截断增加2个底面，共增加6个底面。表面积增加的部分即为6个底面积之和，因此底面积＝增加的总面积÷6。 【详解】 （平方厘米） 把一根圆柱形木料截成4段，表面积增加了169.56平方厘米，这根木料的底面积是28.26平方厘米。 5．把一个高5厘米的圆柱平均分成若干份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了30平方厘米，长方体的体积是( )立方厘米，长方体表面积是( )平方厘米。 【答案】 141.3 180.72 【分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，体积不变，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面（长方体的左右两个面）的面积，每个切面的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径。根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，长方形的面积公式：S＝ab，先用增加的表面积除以2，得到一个切面的面积，再除以5得到圆柱的底面半径，代入圆柱的体积公式可得第一问。 根据，，圆的周长公式，代入数据可得圆柱的表面积，再加30即可得第二问。 【详解】（厘米） （立方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 把一个高5厘米的圆柱平均分成若干份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了30平方厘米，长方体的体积是141.3立方厘米，长方体表面积是180.72平方厘米。 6．木匠师傅把一根长9分米的圆柱形木料截成三根同样长的圆柱体，三根的表面积和比原来增加12.56平方分米，他又把其中的一根削成体积最大的圆锥体，削成的圆锥体的体积是 立方分米。 【答案】3.14 【分析】把一根圆柱形木料截成三根圆柱体，需截2次，每截一次增加2个底面，那么截2次增加4个底面； 已知表面积增加12.56平方分米，用增加的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积。 又把其中的一根削成体积最大的圆锥体，那么这个圆锥和小圆柱等底等高，则小圆柱的体积是圆锥体积的3倍； 先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出小圆柱的体积，再除以3，即是削成最大的圆锥的体积。 【详解】增加底面的个数： （3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 圆柱的底面积： 12.56÷4＝3.14（平方分米） 小圆柱的体积： 3.14×（9÷3） ＝3.14×3 ＝9.42（立方分米） 圆锥的体积： 9.42÷3＝3.14（立方分米） 削成的圆锥体的体积是3.14立方分米。 B培优拔高 7．乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】1218.32cm2 【分析】圆柱的侧面积＝π×半径×2×高、底面积＝π×半径2，抹奶油部分是三个圆柱侧面积加一个底面积，根据公式代入计算即可。 【详解】下层侧面积：3.14×10×2×6＝376.8（cm2） 中层侧面积：3.14×8×2×6＝301.44（cm2） 上层侧面积：3.14×6×2×6＝226.08（cm2） 大圆的面积：3.14×102＝314（cm2） 抹奶油部分面积：376.8＋301.44＋226.08＋314＝1218.32（cm2） 答：抹奶油部分的面积是1218.32平方厘米。 8．把一个直径为4厘米，高为8厘米的圆柱，沿底面直径切开，表面积增加了多少平方厘米？ 【答案】64平方厘米 【分析】观察可知，表面积增加的是两个长方形，长方形的一条边是圆柱的底面直径，另一条边是圆柱的高，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据解答。 【详解】（平方厘米） 答：表面积增加了64平方厘米。 9．一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径为4分米，高为7分米。做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？（得数保留整数） 【答案】101平方分米 【分析】由于水桶无盖，因此它的表面积仅包括一个底面的面积和侧面的面积，无需计算上盖的面积。那么圆柱形铁皮水桶的表面积为：S＝πr2＋2πrh（r是底面半径，h是高，π取3.14），已知底面直径为4分米，半径为4÷2＝2分米，高为7分米。把数据代入公式计算即可解答。 【详解】4÷2＝2分米 3.14×22＋2×3.14×2×7 ＝3.14×4＋87.92 ＝12.56＋87.92 ＝100.48（平方分米） 根据实际需要，100.48平方分米向上取整为101平方分米。 答：做这个水桶至少需要101平方分米的铁皮。 10．如图是由一个半圆柱形塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长10米，横截面是一个半径为2米的半圆形。 （1）这个塑料大棚的占地面积是多少平方米？ （2）覆盖这个塑料大棚至少需要多少平方米的塑料薄膜？（两端都覆盖） 【答案】（1）40平方米 （2）75.36平方米 【分析】（1）这个塑料大棚的占地形状是一个长10米，宽（直径）2×2＝4米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 （2）两端的半圆合并为一个半径2米的圆。塑料薄膜的面积＝一个圆的面积＋圆柱侧面积÷2，即S＝πr2＋2πrh÷2，代入数据计算即可。 【详解】（1）2×2×10＝40（平方米） 答：这个塑料大棚的占地面积是40平方米。 （2）22×3.14＋2×2×3.14×10÷2 ＝4×3.14＋2×2×3.14×10÷2 ＝12.56＋62.8 ＝75.36（平方米） 答：覆盖这个塑料大棚至少需要75.36平方米的塑料薄膜。 11．旅居云南已经成为一种时尚，奇奇和妈妈在云南游玩时买了一款长檐帽（如图），帽顶部分是圆柱形，帽沿部分是一个圆环，帽顶的底面半径是10厘米，高是8厘米，帽沿的宽度是6厘米。如果要自制一个这样的帽子，至少需要多少平方厘米编织材料？（不计花边） 【答案】1306.24平方厘米 【分析】看图可知，帽顶底面半径＋帽沿宽＝圆环大圆半径，帽顶底面半径＝圆环小圆半径，编织材料的面积＝圆柱底面积＋圆柱侧面积＋圆环的面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，圆环的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），据此列式解答。 【详解】10＋6＝16（厘米） 3.14×102＋2×3.14×10×8＋3.14×（162－102） ＝3.14×100＋502.4＋3.14×（256－100） ＝314＋502.4＋3.14×156 ＝314＋502.4＋489.84 ＝1306.24（平方厘米） 答：至少需要1306.24平方厘米编织材料。 C思维拓展 12．一个圆柱形油桶，底面直径是8分米，高是1.5米。制作这个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ 【答案】477.28平方分米 【分析】圆柱形油桶是个圆柱体，底面半径是4分米，高是1.5米（15分米）。制作这个油桶需要做圆形底面2个和侧面，根据S＝πr2计算底面面积，根据S＝2πrh计算侧面面积，再求和就是需要铁皮多少平方分米，据此解答。 【详解】3.14×（8÷2）2×2＋2×3.14×（8÷2）×（1.5×10） ＝3.14×42×2＋2×3.14×4×15 ＝3.14×16×2＋6.28×4×15 ＝100.48＋376.8 ＝477.28（平方分米） 答：至少需要铁皮477.28平方分米。 13．同学们运用所学知识制作圆柱体学具，东东想制作一个无盖的圆柱，玲玲则想制作一个体积尽可能大的空心圆柱，以下不同型号的图纸供选择使用。（每种图纸有若干份，π取3） （1）东东应该选择材料（    ），无盖圆柱的表面积是（    ）平方厘米。 列式计算： （2）玲玲应该选择材料（    ），空心圆柱的底面周长是（    ）厘米。 【答案】（1）②和③；72；见详解 （2）②；12 【分析】（1）根据圆柱的侧面积的一条边等于圆柱的底面周长，另一条边等于圆柱的高，因此根据圆的周长公式计算两个圆的周长，再确定选哪个长方形作侧面，再用侧面积加圆的面积即可得表面积。 （2）空心圆柱要尽可能大，则底面周长要尽可能长，据此选择。 【详解】（1）（厘米） （厘米） 选②和③ （立方厘米） 东东应该选择材料②和③，无盖圆柱的表面积是72平方厘米。 （2） 玲玲应该选择材料②，空心圆柱的底面周长是12厘米。 14．一个圆柱体木块的高是6分米，沿底面直径将圆柱分成两个完全一样的半圆柱（如下图），两个半圆柱的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了36平方分米。每个半圆柱的表面积是多少？ 【答案】53.325平方分米 【分析】由题意可知，两个半圆柱的表面积之和比原来圆柱的表面积增加的是长为圆柱的高，宽为圆柱的底面直径的两个长方形的面积之和，用36除以2可得一个长方形的面积，再根据长方形面积公式的逆运算，用面积除以长（圆柱的高）可得圆柱的底面积直径。要求每个半圆柱的表面积，用一个长方形的面积加圆柱侧面积的一半再加圆柱的一个底面积。根据圆柱的侧面积公式、圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】（平方分米） （分米） （平方分米） 答：每个半圆柱的表面积是53.325平方分米。 15．某小学要修建一个圆柱形的水池，水池的半径为3米，深0.5米。要给这个水池的底面和内壁刷上油漆，油漆每升可以刷12平方米，刷完这个水池需要多少升油漆？ 【答案】3.14升 【分析】根据题意，要给圆柱形水池的底面和内壁刷上油漆，那么刷油漆的面是圆柱的下底面和侧面，则刷油漆的面积S＝S侧＋S底＝2πrh＋πr2，代入数据计算求出刷油漆的面积，再用刷油漆的面积除以每升油漆可刷的面积，即可求出刷完这个水池需要油漆的升数。 【详解】2×3.14×3×0.5＋3.14×32 ＝2×3.14×3×0.5＋3.14×9 ＝9.42＋28.26 ＝37.68（平方米） 37.68÷12＝3.14（升） 答：刷完这个水池需要3.14升油漆。 1 学科网（北京）股份有限公司 $