3.4 圆周角和圆心角的关系（第1课时）（导学案）数学北师大版九年级下册

3.4 圆周角和圆心角的关系 导学案 第1课时 圆周角和圆心角的关系 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理。 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题。 3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”。 学习重点：圆周角的概念、圆周角定理及其推论的运用。 学习难点：分情况证明圆周角定理时，对外角和等边三角形等几何性质的灵活应用，及对三种位置关系的全面理解。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论: 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠BOC. 2.情景引入 如图，在足球射门的游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠BAC）有关．当球员在B、D、E三点射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠BAC，∠BAC，∠BAC．这三个角的大小有什么关系？在这三点射门的效果一样吗？ 图中的三个角∠ABC，∠ADC，∠AEC，以前见过这种类型的角吗？它们有什么共同特征？ 新知自研：自研课本第78--80页的内容． 【学法指导】 自研课本P78-80页的内容，思考： ●探究一：圆周角的定义 ◆1.想一想 图中的三个角∠BAC，∠BAC，∠BAC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？ 解：顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交. ◆2.知识归纳 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角概念的理解： (1)角的顶点在圆上； (2)角的两边都与圆相交.（两个条件缺一不可） ◆3.练一练 下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由. 解：（1)不是，因为顶点在圆内 (2)不是，因为顶点在圆外 (3)不是，因为边AC没有与圆相交 (5)不是，是圆心角 (4)（6）是圆周角 ●探究二：圆周角定理 ◆1.做一做 如图，∠AOB=80°． （1）请你画几个所对的圆周角？这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流． （2）这些圆周角和圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流． 解：（1）∠D=∠E= ∠F=40° 使用量角器进行测量可得弧AB所对的圆周角的度数都相等． （2）∠D=∠E= ∠F=∠AOB. 利用量角器得出弧AB所对的圆周角都等于40°，都等于弧AB所对的圆心角80°的一半． ◆2.议一议 在图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？说说你的想法，并与同伴交流． 解：仍然成立 ◆3.知识归纳 圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. ◆4.新知探究 已知：如图，∠C是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角. 求证：∠C=∠AOB. 分析：根据圆周角与圆心的位置关系，分三种情况讨论： （1）圆心O在∠C的一条边上； （2）圆心O在∠C的内部； （3）圆心O在∠C的外部. 证明：（1）当圆心O在圆周角∠C的一边上时，如图(1)． ∵∠AOB是△ACO的外角， ∴∠AOB=∠C+∠A． ∵OA=OC， ∴∠A=∠C． ∴∠AOB=2∠C， 即∠C=∠AOB. （2）当圆心O在圆周角∠C的内部时，如图(2)． 如图，连接CO并延长，交圆O于D， ∵∠AOD是△AOC的外角，∠BOD是△BOC的外角， ∴∠AOD=∠ACO+∠A，∠BOD=∠BCO+∠B． ∵OA=OC，OB=OC， ∴∠A=∠ACO，∠BCO=∠B． ∴∠AOD=2∠ACO，∠BOD=2∠BCO． ∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO =2(∠ACO+∠BCO)=2∠ACB． 即∠ACB=∠AOB. （3）当圆心O在圆周角∠C的外部时，如图(3)． 如图，连接CO并延长，交圆O于D， ∵∠AOD是△AOC的外角，∠BOD是△BOC的外角， ∴∠AOD=∠ACO+∠A，∠BOD=∠BCO+∠B． ∵OA=OC，OB=OC， ∴∠A=∠ACO，∠BCO=∠B． ∴∠AOD=2∠ACO，∠BOD=2∠BCO． ∴∠AOB=∠AOD－∠BOD=2∠ACO-2∠BCO =2(∠ACO－∠BCO)=2∠ACB． 即∠ACB=∠AOB. ◆5.练一练 如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是(　　) A．25°   B．30°  C．40°  D．50° 解：A ●探究三：圆周角定理的推论 ◆1.想一想 （1）在足球射门的游戏中，球员在B、D、E三点射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ 解：它们都是所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于∠AOC度数的一半，所以这三个角相等． （2）如图，在☉O中，那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么? 解：∠C=∠G. 理由：如图，连接AO，BO，EO，FO， ∵， ∴∠AOB=∠EOF， ∵∠C=∠AOB，∠G=∠EOF， ∴∠C=∠G. ◆3.知识归纳 圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等. ◆3.练一练 如图，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝(　　) A．150°   B．75° C．60°  D．15° 解：B 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，E在⊙O上． (1)∠AOD＝52°，求∠DEB的度数； (2)若AC＝，CD＝1，求⊙O的半径． 【解答】解：(1)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB， ∴ ， ∴. (2)设⊙O的半径为x，则OC＝OD－CD＝x－1. ∵， ∴，解得x＝4， ∴⊙O的半径为4. 例2 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在弧AB上，连接CD交AB于点E，点B是的中点. 求证：∠B＝∠BEC. 【解答】证明：∵B是的中点， ∴， ∴∠BCE＝∠BAC. ∵∠BEC＝180°-∠B-∠BCE，∠ACB＝180°-∠BAC-∠B， ∴∠BEC＝∠ACB. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠BEC. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨什么是圆周角，圆周角定理及其推论的探究过程； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．如图，在☉O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于(　　) A.40° B.45° C.50° D.60° 解：D． 2.如图，AB是☉O的直径，C、D、E是☉O上的点，则∠1+∠2等于（　　） A．90° B．45° C．180° D．60° 解：A． 3.如图，☉O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（　　） A．15° B．25° C．30° D．75° 解：C. 4.如图，点A、B、C是☉O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（　　） A．12.5° B．15° C．20° D．22.5° 解：B． 5. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C, D为半圆上的两点，∠CAD=25°，则∠COD 的度数为_____. 解：50° 6.如图，点B，C在☉O上，且BO＝BC，则圆周角∠BAC ＝______. 解：30° 7.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ADB=______. 解:50° 8.如图，OA,OB,OC都是☉O的半径，∠AOB=50°,∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数. 解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB所对的弧为, ∴∠ACB=∠AOB=25°. 同理∠BAC=∠BOC=35°. 9.如图，△ABC的三个顶点都在☉O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长． 解: 题型一： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半的运用 1．如图，若△BOC是等边三角形，则∠BAC的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【分析】根据圆周角的定理解答即可． 【解答】解：∵△BOC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∵∠BAC30°， 故选：C． 【点评】本题考查圆周角的定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键． 2．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB等于（　　） A．20° B．25° C．35° D．45° 【分析】根据圆周角定理解答． 【解答】解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， 由圆周角定理得，∠ACB∠AOB＝45°， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．如图，⊙O中，OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上，则下列语句中，错误的是（　　） A．BE＝CE B． C．∠AOB＝2∠ADC D．∠BCD＝∠CBO 【分析】连接OC，利用垂径定理可得BE＝CE，，从而可得∠AOB＝∠AOC，再利用圆周角定理可得∠AOC＝2∠ADC，然后利用等量代换可得∠AOB＝2∠ADC，即可判断A，B，C；根据等腰三角形的性质可得∠CBO＝∠OCB，再结合图形可得∠BCD＞∠OCB，即可判断D． 【解答】解：连接OC， ∵OA⊥弦BC， ∴BE＝CE，， ∴∠AOB＝∠AOC， ∵∠AOC＝2∠ADC， ∴∠AOB＝2∠ADC， 故A，B，C都不符合题意； ∵OB＝OC， ∴∠CBO＝∠OCB， ∵∠BCD＞∠OCB， ∴∠BCD＞∠CBO， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是 　 　． 【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝60°，而OB＝OC，于是可判断△OBC为等边三角形，所以OB＝BC＝1． 【解答】解：连接OB、OC，如图， ∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°， 而OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形， ∴OB＝BC＝2， 即⊙O的半径为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质． 5已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一动点，AG，DC的延长线交于点P．连接BC． （1）若∠DGF＝115°，求∠BCD的度数； （2）若AB＝4，∠B＝60°，求CD的长． 【分析】（1）利用圆周角定理即可解决问题； （2）连接OC．证明△OBC是等边三角形，解Rt△OEC即可解决问题． 【解答】解：（1）连接OD． ∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径， ∴， ∵∠DGF＝115°， ∴∠AGD＝65°， ∴∠AOD＝2∠AGD＝130°，∠DOB＝2∠DCB， ∵∠AOD+∠DOB＝180°， ∴130°+2∠DCB＝180°， ∴∠DCB＝25°； （2）连接OC． ∵OB＝OC，∠B＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴EC＝OC•， ∵AB⊥CD， ∴DE＝EC， ∴CD＝2EC＝2． 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 题型二 同弧或等弧所对圆周角相等的运用 6．如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点P，连接BC，AD．若∠D＝35°，则∠C的大小为（　　） A．25° B．30° C．20° D．35° 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠D＝∠C＝35°，即可解答． 【解答】解：∵∠D和∠C都是所对的圆周角， ∴∠D＝∠C＝35°， 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 7．如图，点A、B、C、D均在⊙O上，连接AB、CD相交于点M，连接AC、BD，若∠CDB＝30°，∠ACD＝40°，则∠BMC的度数为（　　） A．70° B．60° C．40° D．30° 【分析】由圆周角定理推出∠B＝∠C＝40°，由三角形外角的性质即可得到∠BMC＝∠D+∠C＝70°． 【解答】解：∵∠B＝∠C＝40°， ∴∠BMC＝∠D+∠C＝40°+30°＝70°． 故选：A． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理． 8．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是弧BAC上一点，则 ∠D的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．20° 【分析】欲求∠D的度数，需先求出同弧所对的∠A的度数；Rt△ABC中，已知∠ACB的度数，即可求得∠A，由此得解． 【解答】解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°； ∴∠A＝90°﹣∠ACB＝40°； ∴∠D＝∠A＝40°． 故选：A． 【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键． 9．如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度数是（　　） A．34° B．36° C．38° D．42° 【分析】连接BD，根据圆周角定理可求得∠BDC＝∠BEC，∠CBD＝90°，再结合已知条件，利用三角形外角性质求得∠BEC的度数，继而求得∠BCD的度数，最后利用角的和差即可求得答案． 【解答】解：如题，连接BD， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CBD＝90°，∠BDC＝∠BEC， ∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝22°+16°＝38°， ∴∠BDC＝38°， ∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝90°﹣38°＝52°， ∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ACE＝52°﹣16°＝36°， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理及三角形外角性质，结合已知条件求得∠BDC的度数是解题的关键． 10．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED的度数是 　 　°． 【分析】连接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圆周角定理即可得∠CED∠COD＝21°． 【解答】解：连接OC、OD， ∵AB＝CD，∠AOB＝42°， ∴∠AOB＝∠COD＝42°， ∴∠CED∠COD＝21°． 故答案为：21． 【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 题型三 圆周角定理的证明 11．如图，⊙O中，AB＝CD，求证：△ABE≌DCE． 【分析】首先利用圆周角定理得到∠B＝∠C，然后利用AAS判定两三角形全等即可． 【解答】解：由题意得：∠B＝∠C， 在△ABE与△DCE中， ∴△ABE≌△DCE（AAS）． 【点评】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定的知识，解题的关键是了解同弧所对的圆周角相等，难度较小． 12．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD． （1）求证：AC＝BD； （2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC． 【分析】（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则AC＝BD； （2）因为AB＝CD，所以，即∠ACB＝∠DBC．结合OB＝OC，得出E、O都在BC的垂直平分线上，即可作答． 【解答】证明：（1）∵AB＝CD， ∴， ∴， 即． ∴AC＝BD． （2）连接OB、OC、BC． ∵AB＝CD， ∴， ∴∠ACB＝∠DBC． ∴EB＝EC， ∵OB＝OC， ∴E、O都在BC的垂直平分线上． ∴EO⊥BC． 【点评】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13．如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM＝MD，连接OD，交AC于点N． （1）证明：OD⊥AC； （2）试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据∠ABD＝∠DBO，证得，进而根据垂径定理证得OD⊥AC； （2）先证明ON是△ABC的中位线，得出AB＝2ON，进而得出结论． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBO， ∴， ∴OD⊥AC； （2）解：猜想 ODAB． ∵，OD⊥AC， ∴AN＝NC． ∵，AN＝NC， ∴ON是△ABC 的中位线， ∴AB＝2ON，AB∥ON． ∴∠ABM＝∠NDM． ∵BM＝MD，∠BMA＝∠DMN， ∴△ABM≌△NDM（ASA）， ∴AB＝ND＝2ON． ∴OD＝ON+NDAB． 【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质． 14．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF； （2）当点E为OA中点时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于的角． 【分析】（1）由D是弧AC的中点，得出，再由垂径定理得出，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH＝∠CAD，即可证明出结论； （2）结合垂径定理求出△OAD是等边三角形，根据等边三角形的性质、圆周角定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵D是弧AC的中点， ∴， ∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径， ∴， ∴， ∴∠ADH＝∠CAD， ∴AF＝DF． （2）解：∠DAF，∠ADF，∠CAB，∠B，理由如下： 连接OD， ∵点E为OA中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分OA， ∴AD＝OD＝OA， ∴△OAD是等边三角形， ∴∠AOD＝∠DAB＝60°， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∵∠B+∠ODB＝∠AOD＝∠DAB， ∴∠B∠DAB＝30°， 由（1）得，， ∴∠ADF＝∠DAF＝∠B＝30°∠DAB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CAB＝60°﹣30°＝30°∠DAB， ∴等于∠DAB的角有：∠DAF，∠ADF，∠CAB，∠B． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． ▲1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. ▲2、圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. ▲3、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 圆周角和圆心角的关系 导学案 第1课时 圆周角和圆心角的关系 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理。 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题。 3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”。 学习重点：圆周角的概念、圆周角定理及其推论的运用。 学习难点：分情况证明圆周角定理时，对外角和等边三角形等几何性质的灵活应用，及对三种位置关系的全面理解。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 垂径定理: 的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论: 平分弦（不是 ）的直径垂直于弦，并且 . 顶点在 ，角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠BOC. 2.情景引入 如图，在足球射门的游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠BAC）有关．当球员在B、D、E三点射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠BAC，∠BAC，∠BAC．这三个角的大小有什么关系？在这三点射门的效果一样吗？ 图中的三个角∠ABC，∠ADC，∠AEC，以前见过这种类型的角吗？它们有什么共同特征？ 新知自研：自研课本第78--80页的内容． 【学法指导】 自研课本P78-80页的内容，思考： ●探究一：圆周角的定义 ◆1.想一想 图中的三个角∠BAC，∠BAC，∠BAC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？ ◆2.知识归纳 圆周角的定义：顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角. 圆周角概念的理解： (1)角的顶点在 ； (2)角的两边都与圆 .（两个条件缺一不可） ◆3.练一练 下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由. ●探究二：圆周角定理 ◆1.做一做 如图，∠AOB=80°． （1）请你画几个所对的圆周角？这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流． （2）这些圆周角和圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流． ◆2.议一议 在图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？说说你的想法，并与同伴交流． ◆3.知识归纳 圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 . ◆4.新知探究 已知：如图，∠C是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角. 求证：∠C=∠AOB. 分析：根据圆周角与圆心的位置关系，分三种情况讨论： （1）圆心O在∠C的一条边上； （2）圆心O在∠C的内部； （3）圆心O在∠C的外部. 证明：（1）当圆心O在圆周角∠C的一边上时，如图(1)． （2） 当圆心O在圆周角∠C的内部时，如图(2)． （3） 当圆心O在圆周角∠C的外部时，如图(3)． ◆5.练一练 如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是(　　) A．25°   B．30°  C．40°  D．50° ●探究三：圆周角定理的推论 ◆1.想一想 （1）在足球射门的游戏中，球员在B、D、E三点射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ （2）如图，在☉O中，那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么? ◆3.知识归纳 圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的 相等. ◆3.练一练 如图，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝(　　) A．150°   B．75° C．60°  D．15° 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，E在⊙O上． (1)∠AOD＝52°，求∠DEB的度数； (2)若AC＝，CD＝1，求⊙O的半径． 例2 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在弧AB上，连接CD交AB于点E，点B是的中点. 求证：∠B＝∠BEC. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨什么是圆周角，圆周角定理及其推论的探究过程； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．如图，在☉O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于(　　) A.40° B.45° C.50° D.60° 2.如图，AB是☉O的直径，C、D、E是☉O上的点，则∠1+∠2等于（　　） A．90° B．45° C．180° D．60° 3.如图，☉O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（　　） A．15° B．25° C．30° D．75° 4.如图，点A、B、C是☉O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（　　） A．12.5° B．15° C．20° D．22.5° 5. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C, D为半圆上的两点，∠CAD=25°，则∠COD 的度数为_____. 6.如图，点B，C在☉O上，且BO＝BC，则圆周角∠BAC ＝______. 7.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ADB=______. 8.如图，OA,OB,OC都是☉O的半径，∠AOB=50°,∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数. 9.如图，△ABC的三个顶点都在☉O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长． 题型一： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半的运用 1．如图，若△BOC是等边三角形，则∠BAC的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 2．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB等于（　　） A．20° B．25° C．35° D．45° 3．如图，⊙O中，OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上，则下列语句中，错误的是（　　） A．BE＝CE B． C．∠AOB＝2∠ADC D．∠BCD＝∠CBO 4．如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是 　 　． 5已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一动点，AG，DC的延长线交于点P．连接BC． （1）若∠DGF＝115°，求∠BCD的度数； （2）若AB＝4，∠B＝60°，求CD的长． 题型二 同弧或等弧所对圆周角相等的运用 6．如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点P，连接BC，AD．若∠D＝35°，则∠C的大小为（　　） A．25° B．30° C．20° D．35° 7．如图，点A、B、C、D均在⊙O上，连接AB、CD相交于点M，连接AC、BD，若∠CDB＝30°，∠ACD＝40°，则∠BMC的度数为（　　） A．70° B．60° C．40° D．30° 8．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是弧BAC上一点，则 ∠D的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．20° 9．如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度数是（　　） A．34° B．36° C．38° D．42° 10．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED的度数是 　 　°． 题型三 圆周角定理的证明 11．如图，⊙O中，AB＝CD，求证：△ABE≌DCE． 12．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD． （1）求证：AC＝BD； （2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC． 13．如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM＝MD，连接OD，交AC于点N． （1）证明：OD⊥AC； （2）试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明． 14．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF； （2）当点E为OA中点时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于的角． ▲1、圆周角的定义：顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角. ▲2、圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 . ▲3、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的 相等. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $