3.3 垂径定理（导学案）数学北师大版九年级下册

3.3 垂径定理 导学案 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形。 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题。 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题。 学习重点：垂径定理与推论的理解与应用。 学习难点：正确分析弦与圆心的关系，灵活运用定理由几何量到代数量的转化。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 创设情景，引入新课 1.知识回顾 ①圆即是 图形，也是 图形.其对称轴是任意一条过圆心的 .对称中心为 . ②在 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. ③在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别. 2.情景引入 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 新知自研：自研课本第70--72页的内容． 【学法指导】 自研课本P70-72页的内容，思考： ●探究一：垂径定理 ◆1.议一议 如图，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M. （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ (2)你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 【解答】解：线段: 弧: 理由如下： ◆2.验证结论： 思考：能不能用所学过的知识证明上述你的结论？ 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M. 求证：AM=BM， ◆3.知识归纳 垂径定理: 垂直于弦的直径 这条弦,并且 弦所对的弧. 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ (结论) 【注意】垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. ◆4.练一练 ①判断下列图形，能否使用垂径定理？ 【注意】定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦. ②如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=____cm. ●探究二：垂径定理的推论 ◆1.想一想 如图，AB是☉O 的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1） 右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 【分析】理由如下： ◆2.知识归纳 垂径定理的推论: 平分弦（不是直径）的直径 弦,并且 弦所对的弧. 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. ◆3.练一练 如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是、的中点，则∠MON的度数是(　　) A．100°  B．110° C．120°   D．130° 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径. 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解题的关键是用 表示出OF，再利用 求解. 【解答】 例2 如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长． 【分析】先利用垂径定理得到AE= ，PF= ,然后根据 的性质求解. 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论垂径定理以及推论； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，OB，下列结论中不一定正确的是(　　) A.AE＝BE B. C.OE＝DE D.∠AOD＝∠BOD 2.如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是(　　) A．2cm  　　　　B．3cm C．4cm  　　　　D．4cm 3.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到弦AB的距离为( ) A.8cm B.5cm C.9cm D.12cm 4.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（　　） A.（0，0） B.（2，-1） C.（0，1） D.（2，1） 5. 的直径, ，则弦_____. 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m. 7. 如图，☉O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围________. 8.已知：☉O中弦AB∥CD 求证： 9.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径． 题型一 垂径定理有关的概念 1．下列命题中不正确的是（　　） A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 C．图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等 D．平分弦的直径一定垂直于这条弦 2．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（　　） A．CE＝DE B． C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE 3．如图，AB为半圆O的一条弦（非直径），连结OA、OB，分别以A、B为圆心，大于AB一半的长为半径画弧，两弧交于点P，连结OP，交AB于点Q，下列结论不一定正确的是（　　） A．AB⊥OQ B．AQ＝BQ C．∠ABO＝60° D．∠AOB＝2∠AOQ 题型二 利用垂径定理求线段长 4．如图，在⊙O中，①分别以弦AB的端点A，B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；②作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则MN＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，则OP＝（　　） A． B． C． D．3 6．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．若DE＝3，⊙O的半径长为，求BC的长． 题型三 利用垂径定理求角度 7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，∠COB＝52°，则∠DCO的度数为（　　） A．52° B．50° C．48° D．38° 8．如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 9．如图，AB为⊙O的直径，AD是⊙O的弦，E是AD的中点，连接OE并延长交⊙O于点C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数． 题型四 垂径定理分类讨论问题 10．已知半径为5的⊙O中，弦AB＝5，弦AC＝5，则∠BAC的度数是（　　） A．15° B．210° C．105°或15° D．210°或30° 11．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为（　　）cm． A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 12． 已知⊙O的直径AB＝20，弦CD⊥AB于点E，且CD＝16，则AE的长为 　　． 题型五 垂径定理与证明 13．如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF． 14．如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD． 15．如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形； （2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦． 题型六 利用垂径定理解决实际问题 16．如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧（ 所在圆的圆心为O），弓弦部分AB的长为4dm，点D是弓臂 的中点，OD交AB于点C，D、C两点之间的距离为1dm，则弓臂 所在圆的半径为（　　） A．2dm B．2.5dm C．3dm D．4dm 17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O直径长为6米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．2米 C．米 D．米 18．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为18.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为6.2m．求此桥拱圆弧的半径（精确到0.1m）． ▲1、垂径定理: 垂直于弦的直径 这条弦,并且 弦所对的弧. ▲2、垂径定理的推论: 平分弦（不是直径）的直径 弦,并且 弦所对的弧. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 垂径定理 导学案 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形。 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题。 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题。 学习重点：垂径定理与推论的理解与应用。 学习难点：正确分析弦与圆心的关系，灵活运用定理由几何量到代数量的转化。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 创设情景，引入新课 1.知识回顾 ①圆即是轴对称图形，也是中心对称图形.其对称轴是任意一条过圆心的 直线 .对称中心为 圆心 . ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. ③在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 . 2.情景引入 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 新知自研：自研课本第70--72页的内容． 【学法指导】 自研课本P70-72页的内容，思考： ●探究一：垂径定理 ◆1.议一议 如图，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M. （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ 解：（1）这个图形是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线． (2)你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 【解答】解：线段: AM=BM 弧: 理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，和,与重合． ◆2.验证结论： 思考：能不能用所学过的知识证明上述你的结论？ 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M. 求证：AM=BM， 解：证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ∴ ◆3.知识归纳 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AM=BM,(结论) 【注意】垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. ◆4.练一练 ①判断下列图形，能否使用垂径定理？ 解：× √ × 【注意】定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦. ②如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=____cm. 解：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴AE= = =8 cm. ∴ AB=2AE=16cm. ●探究二：垂径定理的推论 ◆1.想一想 如图，AB是☉O 的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ 右图是轴对称图形，对称轴是直线CD所在的直线. （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 【分析】已知： ① CD是直径② AM=BM可推得△AOM≌△BOM ③CD⊥AB,④ 理由如下：连接AO,BO,则AO=BO, 又∵AE=BE， ∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. ∴由垂径定理可得 ◆2.知识归纳 垂径定理的推论: 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 如右圆的两条直径是互相平分的，但不一定是互相垂直的. ◆3.练一练 如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是、的中点，则∠MON的度数是(　　) A．100°  B．110° C．120°   D．130° 解：D 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径. 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解题的关键是用半径表示出OF，再利用勾股定理求解. 【解答】解：连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. ∵OE⊥CD， ∴CF=CD=×600=300(m)， 根据勾股定理，得 解得R=545, ∴这段弯路的半径约为545m. 例2 如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长． 【分析】先利用垂径定理得到AE=PE，PF=BF,然后根据三角形中位线的性质求解. 【解答】解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB， ∴AE＝PE，BF＝PF， ∴EF是△ABP的中位线， ∴EF＝AB＝×10＝5(cm)． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论垂径定理以及推论； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，OB，下列结论中不一定正确的是(　　) A.AE＝BE B. C.OE＝DE D.∠AOD＝∠BOD 解：C． 2.如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是(　　) A．2cm  　　　　B．3cm C．4cm  　　　　D．4cm 解：D． 3.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到弦AB的距离为( ) A.8cm B.5cm C.9cm D.12cm 解：D. 4.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（　　） A.（0，0） B.（2，-1） C.（0，1） D.（2，1） 解：B． 5. 的直径, ，则弦_____. 解： 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m. 解：250 7. 如图，☉O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围________. 解： 8.已知：☉O中弦AB∥CD 求证： 解：证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则 （垂直弦的直径平分弦所对的弧） ∴ 9.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径． 解：∵弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高， ∴OE⊥AB于F，∴AF=AB=3m， ∵设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m， ∴AO=r，OF=r-2， 在Rt△AOF中，由勾股定理可知：， 即，解得r=m． 即，AB所在圆O的半径为m． 题型一 垂径定理有关的概念 1．下列命题中不正确的是（　　） A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 C．图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等 D．平分弦的直径一定垂直于这条弦 【分析】根据轴对称图形，中心对称图形，旋转变换的性质以及垂径定理一一判断即可． 【解答】解：A、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，正确，本选项不符合题意． B、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确，本选项不符合题意． C、图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等，正确，本选项不符合题意． D、平分弦的直径一定垂直于这条弦，错误，这条弦不能是直径，本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查命题与定理，轴对称图形，中心对称图形，垂径定理等知识，解题的关键是掌握基本概念，属于中考常考题型． 2．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（　　） A．CE＝DE B． C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE 【分析】根据垂径定理分析即可． 【解答】解：根据垂径定理和等弧对等弦，得A、B、C正确，只有D错误． 故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦，且平分弦所对的弧．以及等弧对等弦的性质． 3．如图，AB为半圆O的一条弦（非直径），连结OA、OB，分别以A、B为圆心，大于AB一半的长为半径画弧，两弧交于点P，连结OP，交AB于点Q，下列结论不一定正确的是（　　） A．AB⊥OQ B．AQ＝BQ C．∠ABO＝60° D．∠AOB＝2∠AOQ 【分析】利用基本作图得到OQ⊥AB，则可对A选项进行判断；再根据垂径定理可对B选项进行判断；由于AB为任意一条弦，则△OAB不一定为等边三角形，所以∠ABO不一定为60°，于是可对C选项进行判断；利用等腰三角形的“三线合一”得到OQ平分∠AOB，从而可对D选项进行判断． 【解答】解：由作法得OQ⊥AB，所以A选项不符合题意； ∴AQ＝BQ，所以B选项不符合题意； ∵AB不一定等于OA， ∴△OAB不一定为等边三角形， ∴∠ABO不一定为60°，所以C选项符合题意； ∵OA＝OB，OQ⊥AB， ∴OQ平分∠AOB， ∴∠AOB＝2∠AOQ，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了基本作图． 题型二 利用垂径定理求线段长 4．如图，在⊙O中，①分别以弦AB的端点A，B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；②作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则MN＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】首先根据尺规作图得出OM是AB的垂线，然后根据垂径定理求出BN的长，再根据勾股定理求出ON的长，进一步即可求出MN． 【解答】解：由作图可知OM⊥AB， 由垂径定理得：BN， 在Rt△ONB中，由勾股定理得：6， ∴MN＝OM﹣ON＝10﹣6＝4， 故选：A． 【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，熟知垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 5．已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，则OP＝（　　） A． B． C． D．3 【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根据勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB， 则OB＝5， ∵PA＝2，PB＝4， ∴AB＝PA+PB＝6， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC＝3， ∴PC＝PB﹣BC＝1， 在Rt△OBC中，根据勾股定理得： OC2＝OB2﹣BC2＝52﹣32＝16， 在Rt△OPC中，根据勾股定理得： OP， 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理． 6．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．若DE＝3，⊙O的半径长为，求BC的长． 【分析】过O点作OH⊥BC于H，由题意易得∠DEO＝90°，∠OHB＝90°，∠DOE＝∠OBH，然后可证△ODE≌△BOH，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可得BH，再根据垂径定理可求得BC的长． 【解答】解：如图，过O点作OH⊥BC于H， ∵DE⊥AB，OH⊥BC， ∴∠DEO＝90°，∠OHB＝90°， ∵BC∥OD， ∴∠DOE＝∠OBH， 在△ODE和△BOH中， ， ∴△ODE≌△BOH（AAS）， ∴DE＝OH＝3， 在Rt△OBH中，BH2， ∴BC＝2BH＝2×2＝4． 【点评】本题主要考查圆的基本性质、垂径定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型三 利用垂径定理求角度 7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，∠COB＝52°，则∠DCO的度数为（　　） A．52° B．50° C．48° D．38° 【分析】证明∠CEO＝90°，利用三角形内角和定理求解． 【解答】解：∵AB是直径，CE＝ED， ∴AB⊥CD， ∴∠CEO＝90°， ∴∠DCO＝90°﹣52°＝38°， 故选：D． 【点评】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握垂径定理及推论． 8．如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 【分析】如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得DEPT，当PT是直径时，DE的长最大，再证明∠AOB＝90°，即可解决问题． 【解答】解：如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT． ∵OA⊥PC，OB⊥CT， ∴CD＝DP，CE＝TE， ∴DEPT， ∴当PT是直径时，DE的长最大， 连接OC， ∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT， ∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT， ∴∠AOB＝∠COA+∠COB∠POT＝90°， 故选：B． 【点评】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题． 9．如图，AB为⊙O的直径，AD是⊙O的弦，E是AD的中点，连接OE并延长交⊙O于点C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数． 【分析】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，由E是AD的中点得到OE⊥AD，则利用互余可计算出∠AOE＝70°，加上∠OAC＝∠AOC，于是可根据三角形内角和定理计算出∠AOC． 【解答】解：∵E是AD的中点， ∴OE⊥AD， ∴∠AEO＝90°， ∵∠BAD＝20°， ∴∠AOE＝70°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠AOC， ∴∠AOC（180°﹣∠AOC）（180°﹣70°）＝55°． 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 题型四 垂径定理分类讨论问题 10．已知半径为5的⊙O中，弦AB＝5，弦AC＝5，则∠BAC的度数是（　　） A．15° B．210° C．105°或15° D．210°或30° 【分析】连接OC，OA，OB，根据已知可得到△OAC是等边三角形，△OAB是等腰直角三角形，从而分两种情况进行分析，不难求得∠BAC的度数． 【解答】解：连接OC，OA，OB ∵OC＝OA＝AC＝5 ∴△OAC是等边三角形 ∴∠CAO＝60° ∵OA＝OB＝5，AB＝5 ∴OA2+OB2＝50＝AB2 ∴△OAB是等腰直角三角形． ∴∠OAB＝45° 点C的位置有两种情况： 如图，C不在弧AB上时：∠BAC＝∠CAO+∠OAB＝60°+45°＝105° 如图，C在弧AB上时：∠BAC＝∠CAO﹣∠OAB＝60°﹣45°＝15°． 故选：C． 【点评】本题利用了等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理求解． 11．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为（　　）cm． A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【分析】过O点作OE⊥AB于点E，交CD于F点，连接OA、OC，如图，根据平行线的性质OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE＝4cm，CF＝3cm，再分别利用勾股定理计算出OE＝3cm，OF＝4cm，讨论：当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝7cm；当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝1cm． 【解答】解：过O点作OE⊥AB于点E，交CD于F点，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BEAB＝4cm，CF＝DFCD＝3cm， 在Rt△OAE中，∵OA＝5cm，AE＝4cm， ∴OE3（cm）， 在Rt△OCF中，∵OC＝5cm，CF＝3cm， ∴OF4（cm）， 当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7（cm）； 当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1（cm）； 综上所述，EF的值为1cm或7cm， 即AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 12．已知⊙O的直径AB＝20，弦CD⊥AB于点E，且CD＝16，则AE的长为 　　． 【分析】分两种情况讨论，应用勾股定理，垂径定理，求出OE的长，即可解决问题． 【解答】解：（1）当CD在点O右侧， 连接OC， ∵直径AB⊥CD， ∴CE＝CD＝8， ∴OE＝＝＝6， ∴AE＝AO+OE＝10+6＝16； （2））当CD在点O左侧， 连接OC， ∵直径AB⊥CD， ∴CE＝CD＝8， ∴OE＝＝＝6， ∴AE＝AO﹣OE＝10﹣6＝4． 故答案为：16或4． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是分两种情况讨论． 题型五 垂径定理与证明 13．如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF． 【分析】由垂径定理得MN⊥AB，再证MN⊥CD，然后由垂径定理即可得出结论． 【解答】证明：∵E为AB中点，MN过圆心O， ∴MN⊥AB， ∵AB∥CD， ∴MN⊥CD， ∴CF＝DF． 【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，证明MN⊥CD是解题的关键． 14．如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD． 【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH＝BH，而OC＝OD，由等腰三角形三线合一的性质得OH平分CD，然后即可证得AC＝BD． 【解答】证明：作OH⊥AB于H，如图， 则AH＝BH， ∵OC＝OD，OH⊥AB， ∴CH＝DH， ∴CH﹣AH＝DH﹣BH， 即AC＝BD． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形三线合一的性质． 15．如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形； （2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦． 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出OD＝OE，即可判定矩形ADOE是正方形； （2）连接AC，由圆心角、弦的关系可得AB＝CD，由圆周角定理可得∠BAC∠BOC＝45°，∠ACD∠AOD＝45°，可证AB⊥CD，可得结论． 【解答】（1）证明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°， ∴四边形ADOE是矩形， ∵AB，AC是⊙O的等垂弦， ∴AB＝AC， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OD＝OE， ∴矩形ADOE是正方形． （2）证明：设AB交CD于点E，连接AC， ∵OD⊥OA，OC⊥OB， ∴∠AOD＝∠BOC＝90°， ∴∠AOB＝∠COD， ∴AB＝CD， ∵∠BAC∠BOC＝45°，∠ACD∠AOD＝45°， ∴∠BEC＝∠ACB+∠BAC＝90°， ∴AB⊥CD， ∵AB＝CD，AB⊥CD， ∴AB，CD是⊙O的等垂弦． 【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义是解题关键． 题型六 利用垂径定理解决实际问题 16．如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧（ 所在圆的圆心为O），弓弦部分AB的长为4dm，点D是弓臂 的中点，OD交AB于点C，D、C两点之间的距离为1dm，则弓臂 所在圆的半径为（　　） A．2dm B．2.5dm C．3dm D．4dm 【分析】利用垂径定理得到OD⊥AB，然后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：∵点D是弓臂 的中点， ∴OD⊥AB， ∴AC＝2dm， ∵CD＝1dm， ∴OC＝（r﹣1）dm， ∵OA2﹣OC2＝AC2，即r2﹣（r﹣1）2＝22， ∴r＝2.5（dm）， 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握垂径定理． 17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O直径长为6米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．2米 C．米 D．米 【分析】连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD＝BDAB＝2（米），再由勾股定理得OD（米），然后求出CD的长即可． 【解答】解：连接OC，OC交AB于D， 由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB， ∴AD＝BDAB＝2（米），∠ADO＝90°， ∴OD（米）， ∴CD＝OC﹣OD＝（3）米， 即点C到弦AB所在直线的距离是（3）米， 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 18．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为18.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为6.2m．求此桥拱圆弧的半径（精确到0.1m）． 【分析】设弦AB所在圆的圆心为O，弧AB的中点为C，弦AB的中点为D，连接OD，OC，OA，圆O的半径为r m，由垂径定理得AD＝BD＝9.1m，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：如图2所示，设弦AB所在圆的圆心为O，弧AB的中点为C，弦AB的中点为D，连接OD，OC，OA，圆O的半径为r， 由垂径定理可知OC⊥AB，OD⊥AB， ∴O，C，D三点共线， ∴，CD＝6.2m， ∴OD＝（r﹣6.2）m， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝AD2+OD2， ∴r2＝9.12+（r﹣6.2）2， 解得 r＝9.8m， ∴此桥拱圆弧的半径约为9.8m． 【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． ▲1、垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. ▲2、垂径定理的推论: 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $