3.4 圆周角和圆心角的关系（第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形）（导学案）数学北师大版九年级下册

3.4 圆周角和圆心角的关系 导学案 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 1. 掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题。 2.培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。 学习重点：直径所对的圆周角是直角及其逆命题以及圆内接四边形对角互补的运用。 学习难点：用逻辑推理和逆向推理手段证明圆周角与弦、直径及四边形性质的关系。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①圆周角定义: 顶点在 ,并且两边都和圆 的角叫圆周角. ②圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 . 如下图，∠ABC = . 2.情景引入 问题：如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？ 新知自研：自研课本第82--83页的内容． 【学法指导】 自研课本P82-83页的内容，思考： ●探究一：圆周角定理的推论 ◆1.想一想 (1)观察下图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？ （2）观察下图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？ ◆2.知识归纳 圆周角定理的推论： 直径所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 . 几何语言： 几何语言： ∵BC为直径 ∵∠BAC=90° ∴ ∴ ◆3.问题解决 回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？ ◆4.练一练 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　) A．30°   B．45°   C．60°  D．75° ●探究二：圆内接四边形及其性质 ◆1.议一议 (1)如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？ (2)如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？ ◆2.知识归纳 圆内接四边形： 四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的 。 思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？ 圆周角定理的推论3(圆内接四边形性质): 圆内接四边形的 . 几何语言： ∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+ =180°（圆内接四边形的对角互补） ◆3.想一想 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？ 圆内接四边形性质的推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的 (就是和它相邻的内角的对角)． ◆4.练一练 （1）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　) A．120° B．100° C．80° D．60° （2）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝110°，则∠DCE的度数为（　　） A.45° B.50° C.55° D.75° ◆5.议一议 思考：在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流. ①定理迁移法：例如，以圆周角定理为基础，直接迁移推导推论 “直径所对圆周角为 90°”. ②逆向推理验证法：对推论和性质进行逆向思考验证。比如已知 “圆周角为 90°”，反向推导 “其所对弦为直径”。 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长. 例2 如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径. 求证：∠BAE＝∠CAD. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论圆周角和直径的关系及圆内接四边形的性质； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是(　　) A.20° B.15° C.35° D.70° 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝(　　) A．65°   B．120°  C．125°  D．130° 3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　) A．120°   B．100° C．80°  D．60° 4.如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC =27°，∠BEC =64°，则∠AOD等于( ) A．37° B．74° C．54° D．64° 5. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=_____，∠D=_____. 6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝_____°． 7. 如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于__________. 8. ⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D=________. 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于______． 10.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为_____. 11.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB＝45°．求⊙O半径的长． 12.如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 题型一 直径所对的圆周角是90°的运用 1．如图，BD是⊙O的直径，点A和点C都在⊙O上，若∠CBD＝50°，则∠CAB的度数是（　　） A．50° B．40° C．70° D．60° 2．如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠ECD＝40°，则∠BDC的度数是（　　） A．45° B．40° C．30° D．25° 3．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（　　） A．2 B．3 C．5 D．22 4．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数． 题型二 利用圆内接四边形的性质求角度 5．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（　　） A．140° B．130° C．120° D．100° 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC＝CD，∠C＝120°，∠D＝80°，则∠AOB的度数为（　　） A．100° B．115° C．120° D．135° 7．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（　　） A．70° B．35° C．40° D．20° 8．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF． （1）求证：∠E＝∠C； （2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数． 题型三 利用圆内接四边形的性质求线段长 9．（2024•榆阳区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝150°，AC＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．2 B．6 C．4 D．8 10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（　　） A． B．5 C． D．10 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（　　） A． B． C．2 D． 12．已知⊙O的直径为10，四边形ABDC内接于⊙O，AD平分∠CAB． （1）如图1，若BC为⊙O的直径，求BD的长； （2）如图2，若∠BDC＝120°，求BD的长． 题型四 利用圆内接四边形的性质证明 13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，连接AC、BD，若DA＝DB，求证：CD平分∠ACE． 14．已知四边形ABCD内接于⊙O，，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形． 15．如图，AB为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，OD∥BE，连接AD并延长交BE延长线于C．求证：DC＝DE． 16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且DA平分∠BDF． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O半径． ▲1、圆周角定理的推论： 直径所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 . ▲2、圆内接四边形： 四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的 。 ▲3、圆周角定理的推论3(圆内接四边形性质): 圆内接四边形的 . 圆内接四边形性质的推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的 (就是和它相邻的内角的对角)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 圆周角和圆心角的关系 导学案 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 1. 掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题。 2.培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。 学习重点：直径所对的圆周角是直角及其逆命题以及圆内接四边形对角互补的运用。 学习难点：用逻辑推理和逆向推理手段证明圆周角与弦、直径及四边形性质的关系。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. ②圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如下图，∠ABC =∠AOC. 2.情景引入 问题：如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？ 新知自研：自研课本第82--83页的内容． 【学法指导】 自研课本P82-83页的内容，思考： ●探究一：圆周角定理的推论 ◆1.想一想 (1)观察下图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？ 【解答】解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°. 证明：∵BC为直径, ∴∠BOC=180°, ∴∠BAC=∠BOC, （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）. （2）观察下图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？ 【解答】解：弦BC是直径. 证明：连接OB、OC, ∵∠BAC=90°, ∴∠BOC=2∠BAC=180°, （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）, ∴B、O、C三点在同一直线上, ∴BC是⊙O的一条直径. ◆2.知识归纳 圆周角定理的推论： 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 几何语言： 几何语言： ∵BC为直径 ∵∠BAC=90° ∴∠BAC=90° ∴BC为直径 ◆3.问题解决 回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？ 解：利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心. ◆4.练一练 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　) A．30°   B．45°   C．60°  D．75° 解：C ●探究二：圆内接四边形及其性质 ◆1.议一议 (1)如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？ 解∠BAD与∠BCD互补, ∵AC为直径, ∴∠ABC=90°,∠ADC=90°, ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°, ∴∠BAD+∠BCD=180°, ∴∠BAD与∠BCD互补. (2)如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？ 解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立, 连接OB，OD, ∵∠BAD=∠2,∠BCD=∠1, （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半） ∵∠1+∠2=360°, ∴∠BAD+∠BCD=180°, ∴∠BAD与∠BCD互补. ◆2.知识归纳 圆内接四边形： 四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆。 思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？ 圆周角定理的推论3(圆内接四边形性质): 圆内接四边形的对角互补. 几何语言： ∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补） ◆3.想一想 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？ 解：∠A与∠DCE相等 由圆内接四边形的性质可得∠A＋∠BCD＝180°. 又∠BCD＋∠DCE ＝180°，所以∠A＝∠DCE． 圆内接四边形性质的推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)． ◆4.练一练 （1）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　) A．120° B．100° C．80° D．60° 解析：∵∠BOD＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A. （2）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝110°，则∠DCE的度数为（　　） A.45° B.50° C.55° D.75° 解：C ◆5.议一议 思考：在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流. ①定理迁移法：例如，以圆周角定理为基础，直接迁移推导推论 “直径所对圆周角为 90°”. ②逆向推理验证法：对推论和性质进行逆向思考验证。比如已知 “圆周角为 90°”，反向推导 “其所对弦为直径”。 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长. 解：∵AB为直径, ∴∠BCA=90°, 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10, ∴AC=AB=5. 例2 如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径. 求证：∠BAE＝∠CAD. 证明:如图，连接BE. ∵ AE是⊙O的直径， ∴ ∠ABE＝90°， ∴ ∠BAE＋∠E＝90°. ∵ AD是△ABC的高， ∴ ∠ADC＝90°， ∴ ∠CAD＋∠C＝90°. ∵， ∴ ∠E＝∠C. ∵ ∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°， ∴ ∠BAE＝∠CAD. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论圆周角和直径的关系及圆内接四边形的性质； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是(　　) A.20° B.15° C.35° D.70° 解：A． 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝(　　) A．65°   B．120°  C．125°  D．130° 解：C． 3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　) A．120°   B．100° C．80°  D．60° 解：A 4.如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC =27°，∠BEC =64°，则∠AOD等于( ) A．37° B．74° C．54° D．64° 解：B． 5. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=_____，∠D=_____. 解：70º,100º 6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝_____°． 解：130 7. 如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于__________. 解:110° 8. ⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D=________. 解：90º. 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于______． 解：69° 10.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为_____. 解：3 11.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB＝45°．求⊙O半径的长． 解：∵ AC是⊙O的直径， ∴ ∠ABC＝90°． ∵ ∠ADB＝45°， ∴ ∠ACB＝∠ADB＝45°． ∵ AB＝2， ∴ BC＝AB＝2， ∴ AC＝＝2， ∴ ⊙O半径的长为． 12.如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 题型一 直径所对的圆周角是90°的运用 1．（2024•巴中模拟）如图，BD是⊙O的直径，点A和点C都在⊙O上，若∠CBD＝50°，则∠CAB的度数是（　　） A．50° B．40° C．70° D．60° 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CDB＝40°，从而利用同弧所对的圆周角相等可得∠CAB＝∠CDB＝40°，即可解答． 【解答】解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∵∠CBD＝50°， ∴∠CDB＝90°﹣∠CBD＝40°， ∴∠CAB＝∠CDB＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 2．如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠ECD＝40°，则∠BDC的度数是（　　） A．45° B．40° C．30° D．25° 【分析】连接AD，可得∠CAD＝90°，进一步求得∠ADC＝50°，再根据B是的中点即可求出∠BDC＝25°． 【解答】解：连接AD， ∵CD是直径， ∴∠CAD＝90°， ∵∠ECD＝40°， ∴∠ADC＝90°﹣40°＝50°， ∵B是的中点， ∴∠BDC∠ADC＝25°． 故选：D． 【点评】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点并能灵活运用． 3．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（　　） A．2 B．3 C．5 D．22 【分析】作DE⊥AB于点E，根据AB是⊙O的直径，得∠C＝90°，再根据角平分线的性质得DE＝CD＝1，再证明Rt△BDE≌Rt△BDC，得BE＝BC，根据勾股定理就可以求出直径了． 【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵BD平分∠CDE， ∴DE＝CD＝1， ∴AD＝3， ∵BD＝BD， ∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL）， ∴BE＝BC， 在Rt△ADE中，根据勾股定理， AE2， 设BE＝BC＝x，在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB2＝AC2+BC2， 即（2x）2＝42+x2， ∴x， ∴⊙O的直径AB为3． 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题． 4．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数． 【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC∠COD＝63°，再由得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数． 【解答】解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵， ∴∠B＝∠D＝45°， ∵∠DAC∠COD126°＝63°， ∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°． 所以∠AGB的度数为108°． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 题型二 利用圆内接四边形的性质求角度 5．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（　　） A．140° B．130° C．120° D．100° 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠B＝180°， ∵∠D＝50°， ∴∠B＝180°﹣50°＝130°， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC＝CD，∠C＝120°，∠D＝80°，则∠AOB的度数为（　　） A．100° B．115° C．120° D．135° 【分析】连接BD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDB＝∠CBD＝30°，求出∠ADB，再根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ADB即可． 【解答】解：连接BD， ∵∠C＝120°，BC＝DC， ∴∠CDB＝∠CBD（180°﹣∠C）＝30°， ∵∠ADC＝80°， ∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDB＝80°﹣30°＝50°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝100°， 故选：A． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠ADB的度数是解此题的关键． 7．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（　　） A．70° B．35° C．40° D．20° 【分析】连接DE，根据圆内接四边形的内对角互补和直径所对的圆周角是直角即可求得结论． 【解答】解：如图，连接DE， ∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BED＝180°， ∵∠BCD＝110°， ∴∠BED＝70°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF． （1）求证：∠E＝∠C； （2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数． 【分析】（1）连接BF，根据圆周角定理求出∠AFB＝90°，求出∠CFB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得出DF＝CD＝BD，求出∠C＝∠CFD，根据圆内接四边形的性质求出∠E＝∠CFD即可； （2）求出∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，根据三角形的外角性质求出答案即可． 【解答】（1）证明：连接BF， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴∠CFB＝180°﹣∠AFB＝90°， ∵BD＝CD， ∴CD＝DF＝BD， ∴∠C＝∠CFD， ∵四边形AEDB是⊙O的内接四边形， ∴∠CFD＝∠E， ∴∠E＝∠C； （2）解：由（1）知：∠E＝∠C＝∠CFD， ∵∠E＝50°， ∴∠C＝∠CFD＝∠E＝50°， ∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝50°+50°＝100°． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质，圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 题型三 利用圆内接四边形的性质求线段长 9．（2024•榆阳区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝150°，AC＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．2 B．6 C．4 D．8 【分析】根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC∠ABC＝180°， ∵∠ADC＝150°， ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝2AC＝2×4＝8， ∴⊙O的半径长为4， 故选：C． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（　　） A． B．5 C． D．10 【分析】根据勾股定理求得BD＝10，根据圆内接四边对角互补，得出∠BCD＝90°，继而根据勾股定理即可求解． 【解答】解：如图所示，连接BD， ∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝6， ∴， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∵． ∴BC＝CD， 故选：A． 【点评】本题考查了圆内接四边形对角互补，勾股定理，同弧所对弦相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得∠A的度数，然后根据斜边长求得等腰直角三角形的直角边长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝135°， ∴∠A＝180°﹣135°＝45°， ∵BH⊥AD，AB＝4， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了圆内接四边形及勾股定理的知识，解题的关键是从题目中得到等腰直角三角形，难道不大． 12．已知⊙O的直径为10，四边形ABDC内接于⊙O，AD平分∠CAB． （1）如图1，若BC为⊙O的直径，求BD的长； （2）如图2，若∠BDC＝120°，求BD的长． 【分析】（1）若BC为⊙O的直径，则△BCD是直角三角形，求出△BCD是等腰直角三角形，然后根据勾股定理求得BD的长度； （2）根据圆内接四边形的性质求出∠BAC，求出∠BAD，根据圆周角定理救出∠BOD，再根据等边三角形的性质得出即可． 【解答】解：（1）如图1， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°． ∵AD平分∠CAB， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴BD＝CD， 在Rt△BDC中，斜边BC＝10，由勾股定理得：BD2+CD2＝BC2， ∴2BD2＝102， 解得：BD＝5； （2）如图②，连接OB，OD， ∵四边形ABDC内接于⊙O， ∴∠BDC+∠BAC＝180°， ∵∠BDC＝120°， ∴∠BAC＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝30°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝60°， ∵⊙O直径是10， ∴半径OB＝OD＝5， ∴△BOD是等边三角形， ∴BD＝OB＝5． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，角平分线性质等知识点，能熟记圆周角定理和圆内接四边形的性质（圆内接四边形的对角互补）是解此题的关键． 题型四 利用圆内接四边形的性质证明 13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，连接AC、BD，若DA＝DB，求证：CD平分∠ACE． 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠DAB＝∠DCE，再根据DA＝DB得出∠DAB＝∠DBA，故可得出∠DBA＝∠DCE，再由圆周角定理得出∠DBA＝∠DCA，故可得出∠DCA＝∠DCE，故可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DAB＝∠DCE． ∵DA＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA， ∴∠DBA＝∠DCE． ∵∠DBA与∠DCA是同弧所对的圆周角， ∴∠DBA＝∠DCA， ∴∠DCA＝∠DCE，即CD平分∠ACE． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 14．已知四边形ABCD内接于⊙O，，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形． 【分析】由圆内接四边形的性质得到∠ABC＝60°，由得到AB＝AC，根据等边三角形的判定可得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°， ∵， ∴AB＝AC， 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧和弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质和等边三角形的判定是解决问题的关键． 15．如图，AB为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，OD∥BE，连接AD并延长交BE延长线于C．求证：DC＝DE． 【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADO，再利用圆内接四边形的对角互补以及平角定义可得∠DEC＝∠A，然后再利用平行线的性质可得∠ADO＝∠C，从而利用等量代换可得∠DEC＝∠C，最后利用等角对等边即可解答． 【解答】证明：∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO， ∵四边形ABED是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠DEB＝180°， ∵∠DEB+∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝∠A， ∵OD∥BC， ∴∠ADO＝∠C， ∴∠DEC＝∠C， ∴DC＝DE． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且DA平分∠BDF． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O半径． 【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答； （2）过点A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质以及垂径定理可得AG过圆心，利用勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF， ∴∠ADF＝∠ADB， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ADF＝∠ABC， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC； （2）解：过点A作AG⊥BC于G，连接OC， ∵AB＝AC， ∴BG＝CGBC＝5， ∴AG12，AG垂直平分BC， ∵OB＝OC， ∴圆心O在BC的垂直平分线AG上， ∴OG⊥BC， 设⊙O的半径为r， 在Rt△OBG中，OB2＝OG2+BG2， ∴r2＝（12﹣r）2+52， ∴r， ∴⊙O的半径为． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． ▲1、圆周角定理的推论： 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. ▲2、圆内接四边形： 四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆。 ▲3、圆周角定理的推论3(圆内接四边形性质): 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形性质的推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $