2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·常州）

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·常州） （共28小题 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1的值等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值，可得答案． 【详解】解：． 故选：C． 2．方程x2＝x的两个实数根是（    ） A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 【答案】C 【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得． 【详解】解：∵x2＝x， ∴x2﹣x＝0， 则x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝0，x2＝1， 故选：C． 3．有15位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前8位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这15位同学的（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知15人成绩的 中位数是第8名的成绩．根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前8 名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】解：由于15个人中，第8名的成绩是中位数，故小方同学知道了自己的 分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数． 故选B． 4．一只不透明的袋子中装有1个黑球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黑球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：由一只不透明的袋子中装有1个黑球和3个白球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案． 详解：∵一只不透明的袋子中装有1个黑球和3个白球，这些球除颜色外都相同， ∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黑球的概率为：． 故选A． 5．在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的扇形的面积为（ ）. A．6π B．4π C．2π D．π 【答案】A 【详解】试题分析：根据扇形的面积公式S=进行解答即可．依题意到所求扇形的面积==6π． 故选A． 6．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则CO：C ′O的值为（     ） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．1：3 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质知：BC∥C′B′，则△BCO∽△B′C′O′，根据该相似三角形的对应边成比例得到答案． 【详解】解：如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2． ∵△ABC与△A′B′C′是位似图形， ∴BC∥C′B′， ∴△BCO∽△B′C′O′． ∴CO：C′O=BC：B′C′=1：2． 故选：A． 7．国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为m，该药品的原价是100元，两次降价后的价格是n元，则n与m关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据降价规律列出与的函数关系式，再结合函数性质与特殊值分析图象． 先根据降价规律列出二次函数关系式，确定其为开口向上的曲线；再代入特殊值计算得，结合选项验证，选出符合条件的图象． 【详解】解：∵药品原价为100元，平均每次降价的百分率为m， ∴第一次降价后价格：，第二次降价后价格： ∴此函数是二次函数，形式为， ∵， ∴图象是开口向上的曲线，选项B直线，对应一次函数，不符合题意； 在函数中，取特殊值，计算对应n， ， 当时，，与计算结果一致，故选项A符合题意； 当时，，但实际计算得，故选项C不符合题意； 当时，，与计算结果36不符，故选项D不符合题意；． 故选：A． 8．如图，在等腰三角形中，的垂直平分线交于点，则线段与线段的数量关系是（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题以尺规作图为背景，考查垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质．连接．依据线段垂直平分线的性质以及含角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【详解】解：连接． ∵， ， 垂直平分， ， ， ， 在中，， ， ∴， 故选：D． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．一套满分130分的试题中，基础题、中档题、难题的分值之比为．小明做对了所有的基础题，那他至少能够得 分． 【答案】 【分析】本题考查了比例的应用．根据基础题、中档题、难题的分值之比为，可确定基础题占总分的比例，从而计算基础题的总分． 【详解】解：由题意，基础题、中档题、难题的分值之比为，则基础题占总分的比例为，满分分， 故基础题总分为分。 小明做对了所有基础题，因此他至少得分． 故答案为：． 10．某班派6名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是:67，61，59，63，57，66(单位:千克)这组数据的中位数是 ． 【答案】62 【详解】解析：解：数据67，61，59，63，57，66从小到大排列为：57，59，61，63，66，67 故这组数据的中间两位数是：61,63，所以这组数据的中位数是62.故答案为：62． 11．关于的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得； 故答案为：． 12．如图，圆内接四边形是由四个全等的等腰梯形组成，是的直径，则为 度．    【答案】30 【分析】连接，根据题意可得，从而得到，再由是的直径，可得，然后根据圆周角定理解答，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵圆内接四边形是由四个全等的等腰梯形组成， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故答案为：30 13．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 连接，由，可知由垂直平分线的性质可知，，，进而可知，可知为等边三角形，可知，再结合可求结果． 【详解】解：连接， ∵在中，， ， ∵是的垂直平分线， ， ∴， 则， 同理， 则， ∴为等边三角形， ， ， ， 故答案是：3． 14．如图，线段为圆的直径，，为的中点，点为圆上的动点，连接，以为直角边向上作等腰，使，连接，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，作等腰，且，连接，可证明得到，则，故点D在以H为圆心，半径为的圆上运动，当点H在上时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，作等腰，且，连接， ∵线段为圆的直径，，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D在以H为圆心，半径为的圆上运动， ∴当点H在上时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 15．已知点，，均在抛物线上．则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越近的点的纵坐标越小， ， ， 故答案为：． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D'处，折痕为EF，则DD'的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质即可求得AD′=CD=6；连接AC，根据勾股定理求得AC=10，证得（AAS），根据全等的性质得：D′F=BE，根据勾股定理列出关于线段BE的方程，解方程求得BE的长，即可求得，然后通过证，利用相似三角形的性质即可求得DD′． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB= CD=6， ∵AD′=CD， ∴AD′=6； 连接AC， ∵AB=6，BC=AD=8，∠ABC=90°， ∴由勾股定理得：， ∵∠BAF=∠D′AE=90°， ∴∠BAE=∠D′AF， 在△BAE和△D′AF中 ， ∴（ASA）， ∴D′F=BE，∠AEB=∠AFD′， ∴∠AEC=∠D′FD， 由题意知：AE=EC； 设BE=x，则AE=EC=8-x， 在Rt△ABE中，∠B=90°，由勾股定理得： （8-x）2=62+x2， 解得：， ∴BE=，AE=8-=， ∴，则：， ∵∠AD′F=∠D′AE=90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 17．如图，在中，直径弦于E，若，则弦心距的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，也考查了勾股定理．连接，设的半径为R，先根据垂径的定理得到，再根据勾股定理得到，解得，然后利用进行计算． 【详解】解：连接，如图，    设的半径为R， ∵弦， ∴（）， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴（）． 故答案为． 18．我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．            刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；请写出圆内接正二十四边形的周长 ，计算 ．（参考数据：，） 【答案】 48Rsin7.5° 3.12 【分析】根据圆的内接正二十四边形的每条边所对应的圆心角是15°，可知：正二十四边形的周长为：，进而可求出π的近似值. 【详解】∵圆的内接正二十四边形的每条边所对应的圆心角是15°， ∴正二十四边形的周长为：， ∴， 故答案是：48Rsin7.5°，3.12. 三、解答题（本大题共10小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程或计算： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用因式分解法解方程； （2）根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质特殊角三角函数值计算即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ∴，； （2）解：原式 20．（6分）一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中1个黄球、1个蓝球、2个红球． （1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）； （2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值． 【答案】（1）；（2）8. 【分析】（1）先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球恰好都是红球的所占的结果数，然后根据概率公式求解； （2）根据概率公式得到，然后利用比例性质得，求解即可． 【详解】解：（1）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好都是红球的占2种， 所以两次摸出的球恰好都是红球的概率==； （2）根据题意得, 解得n=8． 21．（6分）某学校对初中毕业班经过初步比较后，决定从九年级（1）、（4）、（8）班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是它们五项素质考评的得分表：（以分为单位，每项满分为10分） 班级 行为规范 学习成绩 校运动会 艺术获奖 劳动卫生 九年级（1）班 10 10 6 10 7 九年级（4）班 10 8 8 9 8 九年级（8）班 9 10 9 6 9 (1)请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将他们的得分进行排序． (2)学校根据表中五个项目的重要程度，设定一个各项考评内容的占分比例，行为规范：学习成绩：校运动会：艺术获奖：劳动卫生，按这个比例对各班的得分重新计算，比较出大小关系，并从中推荐一个得分最高的班作为市级先进班集体的候选班． 【答案】(1)见解析 (2)推荐九年级（3）班作为市级先进班集体的候选班 【分析】（1）分别求出三个班的平均数，中位数，众数，即可解答； （2）根据题目所给的各项占分比例，计算3个班的得分，再进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：平均分： 九年级（1）班：（分）， 九年级（2）班：（分）， 九年级（3）班：（分）， 中位数： 九年级（1）班：10分， 九年级（2）班：8分， 九年级（3）班：9分， 众数： 九年级（1）班：10分， 九年级（2）班：8分， 九年级（3）班：9分， ∵三个班平均分相同， ∴平均数不能反映三个班的考评结果的差异， 中位数：九年级（1）班九年级（3）班九年级（2）班， 众数：九年级（1）班九年级（3）班九年级（2）班； （2）解：九年级（1）班：（分）， 九年级（2）班：（分）， 九年级（3）班：（分）， ∵， ∴推荐九年级（3）班作为市级先进班集体的候选班． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1. (1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由； (2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长； (3)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 或 【分析】（1）由直线y＝与x轴、y轴分别交于A，B两点，可求得点A与点B的坐标，继而求得∠OBA＝30°，然后过点O作OH⊥AB于点H，利用三角函数可求得OH的长，根据直线与圆的位置关系即可得出答案； （2）当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，易得⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°－30°－30°＝120°，则可求得弧长；同理可求得当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长； （3）首先求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，点D的坐标，然后利用对称性可以求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，点D的坐标． 【详解】（1）解：原点O在⊙P外．理由如下： 直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当x=0时，y=－2， 当y=0时，x=2， ∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，－2)． 在Rt△OAB中， tan∠OBA＝， ∴∠OBA＝30°． 如图①，过点O作OH⊥AB于点H， 在Rt△OBH中，OH＝OB·sin∠OBA＝． ∵＞1， ∴原点O在⊙P外； （2）如图②，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时， ∵PB＝PC， ∴∠PCB＝∠OBA＝30°， ∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角的度数为180°－30°－30°＝120°， ∴弧长为； 同理：当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为． ∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长为； （3）如图③，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，作PD⊥x轴， ∴PDy轴， ∴∠APD＝∠ABO＝30°． 在Rt△DAP中， AD＝DP·tan∠DPA＝1×tan30°＝， ∴OD＝OA－AD＝2－， ∴此时点D的坐标为（2-，0）； 当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为（2+，0） 综上所述，当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为（2-，0）或（2+，0）． 23．（8分）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． 若花圃的面积刚好为45m2，求花圃的长与宽． 【答案】长为9，宽为5 【分析】设花圃的宽AB为米，由BC上用其他材料造了宽为1米的两个门，故长边为，令面积为45，解得即可． 【详解】解：设花圃的宽AB为米， 有题意可得： 解得：，， ∴当时，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意， 答：花圃的长为9米，宽为5米． 24．（8分）探究与发现： 【问题提出】 如图1，在中，，，点为的中点，、分别为、上的点，且，探究、、三条线段之间的数量关系． 【初步思考】 小明同学的方法是：将绕点逆时针旋转得到，并连接．通过证明，从而得出结论． 【问题解决】 (1)请根据小明的思路，写出完整的证明过程； (2)直接写出、、三条线段之间的数量关系； (3)如图2，若点、分别在、的延长线上，其他条件不变，那么（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得出全等三角形，再根据等边及等角证得，，即可得出结论； （2）由（1）的证明过程可直接得出结论； （3）根据旋转的性质得出全等三角形，再根据等边及等角证得，由等角证得平行线，进而求得，得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，将逆时针旋转得到，并连接， ， ，，， ，， ， ， 故， ， 由于逆时针旋转得到， 故、在一条直线上， 又， ， 在和中， ， ， ． （2）由（1）知，． （3）当点、分别在、的延长线上时，如图所示， 将逆时针旋转得到，并连接， ， ，，， ， 故， ， 由于逆时针旋转得到， 故、在一条直线上， 又， ， 在和中， ， ， ． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的； (2)以点O为位似中心在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)已知点在线段上，则点P在位似上的对应点坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．也考查了平移变换． （1）利用点平移的坐标变换规律得到点的坐标，然后描点可得； （2）把点A、B的横纵坐标都乘以2得到点的坐标，然后描点可得； （3）把点P的横纵坐标都乘以2得到其对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：点P在位似上的对应点坐标为． 故答案为：． 26．（10分）婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．则． 证明：∵，，∴， ∴，，∴， ∵，∴． 又∵，∴，∴． … 任务： (1)将上述证明过程补充完整； (2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若，则．请证明该命题． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）可推出∠DMF＝∠ADM，进而得证； （2）先推出FM＝AF＝FD，进而可推出∠CBD+∠BME＝90°即可得证． 【详解】（1）在Rt△ADM中，∠ADM＝90°， ∴∠DMF＝90°﹣∠AMF， ∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD， ∴∠DMF＝∠ADM， ∴FM＝FD， ∴AF＝FD （2）在Rt△AMD中，AF＝FD， ∴FM＝AF＝FD， ∴∠MAD＝∠AMF， ∠ADM＝∠FMD， ∵， ∴∠MAD＝∠CBD， ∵∠BME＝∠FMD， ∴∠BME＝∠ADM， ∴∠CBD+∠BME＝∠MAD+∠ADM＝90°， ∴∠BEM＝90°， ∴FE⊥BC． 27．（10分）【阅读材料】 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图1，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为10； 第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为3； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根． 【方法理解】 在图3的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号），观察图形可知_____； 图3 【灵活应用】 仿照上述方法，画出两种能够求出方程的解的图示（标注必要数据）． 【答案】（方法理解）③，25；（灵活应用）见详解，答案不唯一， 【分析】本题考查了用几何图形解一元二次方程，掌握数形结合思想是解题的关键． 【方法理解】根据数形结合思想求解； 【灵活应用】先把方程按照题中的方法进行部分分解，再作图． 【详解】解：（方法理解）， ， 能体现方程的解法的是 ③， ， 故答案为：③，25； （灵活应用）， ， 或， 能够求出方程的解的图示如下： ． 28．（10分）随着人工智能的发展，机器人逐渐被群众所熟知，通过程序的设置，机器人能够根据指令精准地完成一系列动作．如：根据指令，机器人能在平面内完成下列动作：先原地顺时针旋转，再朝着此时面对的方向沿直线行进距离（其中．如图，在平面直角坐标系中，机器人“创创”的初始位置是原点，且面对轴的正方向，根据指令，“创创”到达点． (1)点的坐标为_____； (2)若“创创”根据第二个指令完成动作后恰好在轴上． ①若，则_____； ②若，求的值． (3)若“创创”根据第二个指令完成动作，另一机器人“新新”在轴负半轴的点处，面对轴的正方向，根据指令完成动作，其中，且“创创”和“新新”的行进轨迹有公共点，求的最大值． 【答案】(1) (2)①6；②105或165 (3) 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了用坐标确定点的位置，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，新定义-指令的理解和运用等知识，读懂题意，根据题意找到需要的等量关系，运用勾股定理求点的坐标是解题的关键． （1）根据新定义可得是等腰直角三角形，则，即可解答； （2）①先计算，根据含角的直角三角形的性质可得，可得答案； ②分两种情况：交点在F的左边和右边，根据三角函数可解答； （3）由题意得：机器人“新新”的行进轨迹是：线段，根据题意可知：线段所在的直线与以点A为圆心，以为半径的圆（不含端点）相切，切点是Q，根据三角函数可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，过点A作轴于D，则， 由题意得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点A的坐标为； 故答案为：； （2）解：过点A作轴于F，则， ①如图2，由题意得：， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：6； ②根据题意可知：“创创”根据第二个指令完成动作后，可在点F的两侧， i）点B在点F的右侧时，如图3，当时，， ∵， ∴， ∴； ii）点B在点F的左侧时，同理可得：； 综上，θ的值是105或165； （3）解：根据题意，得“新新”的行进轨迹是线段． “创创”和“新新”的行进轨迹有公共点，且要取最大值， 线段所在的直线与以点为圆心，为半径的半圆（不含端点）相切，切点为． 如图，过点A、P作轴的垂线，垂足分别为点D、P，过点作轴的垂 线，这些垂线相交于点E、F． ，， ，则，． ． ． ∴, 此时． 的最大值为． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·常州） （共28小题 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1的值等于（    ） A． B． C．1 D． 2．方程x2＝x的两个实数根是（    ） A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 3．有15位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前8位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这15位同学的（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 4．一只不透明的袋子中装有1个黑球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黑球的概率为（　　） A． B． C． D． 5．在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的扇形的面积为（ ）. A．6π B．4π C．2π D．π 6．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则CO：C ′O的值为（     ） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．1：3 7．国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为m，该药品的原价是100元，两次降价后的价格是n元，则n与m关系的图象是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在等腰三角形中，的垂直平分线交于点，则线段与线段的数量关系是（   ） A． B．5 C．3 D． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．一套满分130分的试题中，基础题、中档题、难题的分值之比为．小明做对了所有的基础题，那他至少能够得 分． 10．某班派6名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是:67，61，59，63，57，66(单位:千克)这组数据的中位数是 ． 11．关于的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 12．如图，圆内接四边形是由四个全等的等腰梯形组成，是的直径，则为 度．    13．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为 ． 14．如图，线段为圆的直径，，为的中点，点为圆上的动点，连接，以为直角边向上作等腰，使，连接，则的最大值为 ． 15．已知点，，均在抛物线上．则，，的大小关系为 ． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D'处，折痕为EF，则DD'的长为 ． 17．如图，在中，直径弦于E，若，则弦心距的长是 ．    18．我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．            刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；请写出圆内接正二十四边形的周长 ，计算 ．（参考数据：，） 三、解答题（本大题共10小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程或计算： (1)； (2)． 20．（6分）一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中1个黄球、1个蓝球、2个红球． （1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）； （2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值． 21．（6分）某学校对初中毕业班经过初步比较后，决定从九年级（1）、（4）、（8）班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是它们五项素质考评的得分表：（以分为单位，每项满分为10分） 班级 行为规范 学习成绩 校运动会 艺术获奖 劳动卫生 九年级（1）班 10 10 6 10 7 九年级（4）班 10 8 8 9 8 九年级（8）班 9 10 9 6 9 (1)请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将他们的得分进行排序． (2)学校根据表中五个项目的重要程度，设定一个各项考评内容的占分比例，行为规范：学习成绩：校运动会：艺术获奖：劳动卫生，按这个比例对各班的得分重新计算，比较出大小关系，并从中推荐一个得分最高的班作为市级先进班集体的候选班． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1. (1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由； (2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长； (3)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标． 23．（8分）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． 若花圃的面积刚好为45m2，求花圃的长与宽． 24．（8分）探究与发现： 【问题提出】 如图1，在中，，，点为的中点，、分别为、上的点，且，探究、、三条线段之间的数量关系． 【初步思考】 小明同学的方法是：将绕点逆时针旋转得到，并连接．通过证明，从而得出结论． 【问题解决】 (1)请根据小明的思路，写出完整的证明过程； (2)直接写出、、三条线段之间的数量关系； (3)如图2，若点、分别在、的延长线上，其他条件不变，那么（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的； (2)以点O为位似中心在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)已知点在线段上，则点P在位似上的对应点坐标为 ． 26．（10分）婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．则． 证明：∵，，∴， ∴，，∴， ∵，∴． 又∵，∴，∴． … 任务： (1)将上述证明过程补充完整； (2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若，则．请证明该命题． 27．（10分）【阅读材料】 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图1，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为10； 第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为3； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根． 【方法理解】 在图3的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号），观察图形可知_____； 图3 【灵活应用】 仿照上述方法，画出两种能够求出方程的解的图示（标注必要数据）． 28．（10分）随着人工智能的发展，机器人逐渐被群众所熟知，通过程序的设置，机器人能够根据指令精准地完成一系列动作．如：根据指令，机器人能在平面内完成下列动作：先原地顺时针旋转，再朝着此时面对的方向沿直线行进距离（其中．如图，在平面直角坐标系中，机器人“创创”的初始位置是原点，且面对轴的正方向，根据指令，“创创”到达点． (1)点的坐标为_____； (2)若“创创”根据第二个指令完成动作后恰好在轴上． ①若，则_____； ②若，求的值． (3)若“创创”根据第二个指令完成动作，另一机器人“新新”在轴负半轴的点处，面对轴的正方向，根据指令完成动作，其中，且“创创”和“新新”的行进轨迹有公共点，求的最大值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $