精品解析：江苏省徐州市三校2025-2026学年高三上学期12月联考数学试卷

江苏省徐州市三校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集运算求解. 【详解】由，得，则， 由，解得，则， 所以． 故选：B． 2. 设复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法、除法运算，得到，即可求解. 【详解】由， 得， 则的实部为， 故选：D 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的位置关系与充分、必要条件的概念求解. 【详解】当时，，即，解得， 当时，，，此时； 当时，即， ，即，此时； 故“”是“”的充要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 4. 已知等比数列的前n项和为且，若，，，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质及等比数列前n项和公式，结合已知条件对各选项进行逐一分析判断． 【详解】是等比数列，设首项是，公比为， ，，， 当时，， 令，且，则 ， ， 选项A：，，且， ，故不恒成立，故A错误； 选项B：，， 不恒成立，故B错误； 选项C：当时，，， ， 当时，， ，故， 综上，恒成立，故C正确； 选项D：， 不成立，故D错误． 故选：C． 5. 已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（ ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线和的方程得到点为以为直径的圆上的点，然后根据三角形面积公式得到当点到直线的距离最大时，的面积最大，然后求最大值即可. 【详解】 直线的方程可整理为，令，解得， 所以直线恒过定点， 直线的方程可整理为，令，解得， 所以直线恒过定点， 因为，所以， 所以点为以为直径的圆上的点， ，中点为， 则点的轨迹方程为， ， 所以当点到直线的距离最大时，的面积最大， ，直线的方程，即， 设点到直线的距离为，圆心直线的距离为，半径为， 则， 所以的面积最大值为. 故选：B. 6. 已知、，且，则（ ） A. B. C. D. 无法确定、的大小 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数、，利用导数分析这两个函数的单调性，结合零点存在定理可得出、的大小关系. 【详解】令，则， 当时，，故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在定理得， 令，则， 由上面的求解可知在上单调递增， 且存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故的零点，，所以. 故选：A. 7. 已知函数，则（ ） A. 若函数相邻两条对称轴的距离为，则 B. 当，时，的值域为 C. 当时，是的对称中心 D. 若在内有且仅有两个零点，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得，根据周期公式以及函数图象可判断A错误，结合正弦函数图象性质可得B正确，将代入检验可得C错误，根据整体代换法以及正弦函数图象性质，结合零点个数限定出不等式，解得，可得D错误. 【详解】易知， 对于A，若函数相邻两条对称轴的距离为，即可得，因此可得，即A错误； 对于B，当，可得， 当时，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又 所以的值域为，即B正确； 对于C，当时，，将代入检验可得， 显然不是的对称中心，即C错误； 对于D，若，可得， 若在内有且仅有两个零点，可得，解得， 因此D错误. 故选：B 8. 点，分别为双曲线（，）的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，e为双曲线的离心率，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得且，进而得到，即可得. 【详解】由题设为平行四边形，且，如下图， 又，则为矩形，则， 而，可得，则， 所以，可得，即. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可判断AB选项，再根据向量夹角公式可判断C选项，结合向量垂直的坐标表示及基本不等式可判断D选项. 【详解】由，， A选项：， 则，解得，则，， 所以不存在，使，即，不共线，A选项错误； B选项：，则，解得， 即，，， 所以与同向的单位向量为，B选项正确； C选项：时，， 又与的夹角为锐角， 则，解得，且， 即，C选项错误； D选项：由，得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，D选项正确； 故选：BD. 10. 已知内接于圆O，，设，则（ ）． A. B. 若，则圆O的面积为 C. 若，则圆O的面积为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形外心性质可判断A；利用同角三角函数的平方关系求出，利用余弦定理得到，再利用正弦定理求出外接圆的半径可判断B；利用三点共线得到为外接圆的直径可判断C；取的中点，上靠近的一个三等分点，由已知得三点共线，利用外心性质结合余弦定理可判断D. 【详解】设中角所对的边分别为，则， 对于A，因为内接于圆O，所以圆O是的外接圆， 即为各边垂直平分线的交点，设的垂直平分线与交于点，如下图： 则，故A正确； 对于B，若，则， 由余弦定理得，所以， 设外接圆的半径为， 则由正弦定理得，所以， 所以圆O的面积为，故B错误； 对于C，因为，若，则三点共线， 即外接圆的圆心在上，所以为等腰直角三角形， 则，外接圆的半径为，面积为，故C正确； 对于D，取的中点，上靠近的一个三等分点， 则， 因为，所以， 因为，则，所以三点共线，如下图： 因为，，， 所以在中，， 在中，， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（    ） A. 圆的方程是 B. 若，满足圆的方程，则的最小值是 C. 若圆上存在4个点到直线的距离为，则 D. 过直线上的一点向圆引切线，，则四边形的面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：设，根据化简方程可得圆的方程；选项B：设，根据点到直线的距离公式列出不等式可求结果；选项C：根据条件判断出圆心到直线的距离所满足的不等关系即可求解出结果；选项D：根据面积公式判断出取最小值时四边形的面积取最小值，由此可计算出结果. 【详解】选项A：设，由题意可得， 化简可得，故A正确； 选项B：由选项A知圆:的圆心为，半径长为， 设，则直线与圆:有公共点， 代入点到直线的距离公式，得：，解得， 所以的最小值是，故B错误； 选项C：圆的圆心为，半径为4，因为圆上存在4个点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离小于3，所以，解得，故C正确； 选项D：如图所示，设，    因为， 当取最小值时，取最小值，即有最小值， 当时，此时取最小值，即为圆的圆心为到直线的距离， 所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据赋值法，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为64， 所以，或舍去， 二项式的通项公式为， 令， 所以展开式中的常数项为. 故答案为： 13. 已知函数，则满足的实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令函数并确定函数的奇偶性，再利用导数确定函数的单调性，进而求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R，令函数， 则，即函数是R上的奇函数， 又，当且仅当时取等号， 因此函数在R上单调递增， 所以不等式， 则，解得，所以实数m的取值范围是. 故答案为： 14. 已知甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6，若甲连续投掷飞镖n次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，至少需要投掷飞镖________次.（参考数据：） 【答案】3 【解析】 【分析】设投掷飞镖n次中靶次，则且，利用二项分布概率公式及求n的范围，即可得结果. 【详解】若投掷飞镖n次中靶次，则，且， 所以，即， 两边取对数有，则次，， 所以至少需要投掷飞镖3次. 故答案为：3 15. 已知数列为等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）设，且，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得，进而得到数列的通项公式； （2）根据题意，利用二项展开式，求得，得到，结合乘公比错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，则，解得， 所以． 【小问2详解】 解：由， 则，所以， 所以， 则， 两式相减，得 ， 所以． 16. 为研究高中生数学成绩优秀与平时认真完成作业的关系，从某校的学生中随机抽了500人，得到如下列联表： 是否认真完成作业组别 认真完成作业 不认真完成作业 合计 数学成绩优秀 180 20 200 数学成绩不优秀 80 220 300 合计 260 240 500 （1）记该校平时认真完成作业的学生的数学成绩优秀的概率为P．求P的估计值（保留三位小数）． （2）根据小概率值的独立性检验，分析高中生平时是否认真完成作业与数学成绩优秀有关． 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）0.692 （2）有关 【解析】 【分析】（1）由列联表数据及古典概型的概率求法求概率； （2）由卡方公式求卡方值，再根据独立性检验基本思想即可得结论. 【小问1详解】 由列联表可知，认真完成作业的260人中有180人成绩优秀，所以P的估计值为； 【小问2详解】 零假设：数学成绩优秀与是否认真完成作业无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为数学成绩优秀与是否认真完成作业有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． 17. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 连接，交于，连接. 因为中，为对角线交点，所以为的中点， 又是中点，所以， 又平面，所以平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，进而得到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离公式求解即可. （3）求出相关平面的法向量，利用向量法求二面角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理得， 则，所以. 又底面，，平面，所以，. 所以以为原点，以,,所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面法向量为，则， 即，令，则，，所以． 所以点到平面的距离． 【小问3详解】 由（2）得，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 所以平面与平面所成锐二面角余弦值为 ． 18. 已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点． （1）分别求的方程． （2）已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． （ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为，求面积的取值范围． 【答案】（1）曲线，曲线； （2）（i）圆过定点；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据判断曲线焦点的位置，再根据离心率，得出的值； （2）（i）首先计算出，的坐标，根据中点坐标公式得出圆心的坐标，在利用，得到圆的半径，最后将圆心与半径代入得圆的标准方程，即可得出圆过定点；（ii）根据圆的面积公式，得出圆D的面积最小时，，得出圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，可求的取值范围，根据切线性质可求，最后再构造出函数，结合函数单调性求出面积的取值范围. 【小问1详解】 因为，则，可知曲线的焦点在轴上，曲线的焦点在轴上； 对于曲线，，解得：； 对于曲线，，解得：； 即，所以曲线，曲线. 【小问2详解】 （i）由题意可知：，， 设，因为在上，则，可得， 直线的方程为，令得：，即； 直线的方程为，令得：，即； 则， 且， 可知圆的圆心为，半径， 则圆的方程为：，整理可得， 令得，所以圆过定点； （ii）因为，则，当且仅当时，等号成立， 所以当圆D的面积最小时，圆心为，半径，方程为， 设，，则，即； 则， 因为，是圆D的两条切线，则，， 可知，， 设，则，, 因为， 令，则，可得， 因为在内单调递减，且，， 可得，所以面积的取值范围为. 19. 已知函数的最小值为0，其中． （1）求 的值； （2）若对任意的，有成立，求实数 的最小值； （3）证明：． 【答案】（1） ； （2）； （3）由（2）知：令得：， 令得： 当时，(1)； 当时，， ， ， 将(1)(2)(3),......,(n)式相加得： 不等式左边： ； 不等式右边： ； 所以. 【解析】 【分析】（1）对进行求导，已知最小值为0，可得极小值也为0，得 ，从而求出 的值； （2）由题意任意的，有成立，可以令先通过，大致确定 取值范围，再利用分类讨论法求出的最值； （3）由（2）知:令得:令得: ，累加即可的证. 【小问1详解】 由函数，则其定义域为，且. 由，得:，又由 ，得:， 在单调递减，在单调递增， ； 【小问2详解】 设， 则在恒成立等价于， 注意到，又， ①当时，由得. 在单减，单增，这与式矛盾； ②当时，在恒成立，符合， 的最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于含参函数的恒成立问题的处理，常采用两种方法：①参变分离求最值；②将左右两边移到一边重新构造一个含参函数，讨论含参函数的单调性，确定哪一个点处取得最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省徐州市三校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知等比数列的前n项和为且，若，，，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（ ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 20 6. 已知、，且，则（ ） A. B. C. D. 无法确定、的大小 7. 已知函数，则（ ） A. 若函数相邻两条对称轴的距离为，则 B. 当，时，的值域为 C. 当时，是的对称中心 D. 若在内有且仅有两个零点，则 8. 点，分别为双曲线（，）的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，e为双曲线的离心率，则为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 10. 已知内接于圆O，，设，则（ ）． A. B. 若，则圆O的面积为 C. 若，则圆O的面积为 D. 若，则 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（    ） A. 圆的方程是 B. 若，满足圆的方程，则的最小值是 C. 若圆上存在4个点到直线的距离为，则 D. 过直线上的一点向圆引切线，，则四边形的面积的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 13. 已知函数，则满足的实数m的取值范围是______． 14. 已知甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6，若甲连续投掷飞镖n次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，至少需要投掷飞镖________次.（参考数据：） 15. 已知数列为等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）设，且，求数列的前n项和． 16. 为研究高中生数学成绩优秀与平时认真完成作业的关系，从某校的学生中随机抽了500人，得到如下列联表： 是否认真完成作业组别 认真完成作业 不认真完成作业 合计 数学成绩优秀 180 20 200 数学成绩不优秀 80 220 300 合计 260 240 500 （1）记该校平时认真完成作业的学生的数学成绩优秀的概率为P．求P的估计值（保留三位小数）． （2）根据小概率值的独立性检验，分析高中生平时是否认真完成作业与数学成绩优秀有关． 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点． （1）分别求的方程． （2）已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． （ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为，求面积的取值范围． 19. 已知函数的最小值为0，其中． （1）求 的值； （2）若对任意的，有成立，求实数 的最小值； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $