山东省实验中学2025-2026学年高二上学期第四次诊断性考试数学试题

山东省实验中学2024级高二第四次诊断性考试 数学试题 2026.1 （本试卷共4页，19题；全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线与互相垂直，则（ ） A. B. C. 4 D. 1 2. 已知，，且，则和可分别作为（ ） A. 双曲线和抛物线的离心率 B. 双曲线和椭圆的离心率 C. 椭圆和抛物线的离心率 D. 两双曲线的离心率 3. 双曲线上一点到右焦点的距离是，则下列结论正确的是（ ） A. 到左焦点的距离为 B. 到左焦点的距离为 C. 到左焦点的距离不唯一 D. 这样的点不存在 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. 36 B. C. D. 6 5. 如图，正方体的棱长为2，动点分别在面对角线和上，若大于零），则与所成的角（ ） A. 与都有关 B. 与有关，与无关 C. 与有关，与无关 D. 与都无关 6. 已知为坐标原点，直线与圆交于，两点，若为的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. 11 D. 12 7. 已知数列 的前项和为，,当时，是与的等差中项，则 等于 A. 162 B. 81 C. 54 D. 18 8. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记圆：，圆：，则（ ） A. B. 若坐标原点在圆上，则点在圆上 C. 若圆与圆内切，则 D. 当时，圆与圆的相交弦方程为 D．若圆与圆相交，则圆的面积大于1 10. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，是数列的前项和.以下说法正确的是（ ） A. B. 是数列的第8项 C. 当时，最大 D. 是公差为的等差数列 11. 如图，在棱长为1的正四面体中，为底面的重心，，分别为线段，上的点（不含端点），，分别为，延长线上的点，，，，交于，交于，则（ ） A. 若，则平面 B. C. 若且平面过点，则的最小值为4 D. 若为正四面体的外接球球心且，平面过点，则点到平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与双曲线有公共点，则可取的一个值是________． 13. 在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是__________. 14. 将正整数按一定次序排列得到排列，若排列中的任意一项都满足：，则满足题意的排列的个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面直角坐标系中定点为坐标原点．动点满足，记的轨迹为曲线 （1）求曲线的方程 （2）过点的直线被曲线所截得的弦长为，求直线的方程． 16. 已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 17. 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点. （1）若为棱的中点，求证； （2）若三棱台的体积为7，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 18. 已知是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，． （1）求与的通项公式； （2）若数列的前项和，求及的最小值； （3）设，求数列的前项和． 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左右顶点分别为，过作直线，交椭圆上的另一点，过作直线交椭圆上的另一点，两条直线的斜率为． （i）若，则直线是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由； （ii）若直线过点，分别记和的面积为，求的取值范围． 山东省实验中学2024级高二第四次诊断性考试 数学试题 2026.1 （本试卷共4页，19题；全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD D．若圆与圆相交，则圆的面积大于1 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】（只需，答案不唯一） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】89 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）或 【16题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 【17题答案】 【答案】（1） 证明：如图： 取中点，连接，， 因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以. 又为正三角形，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （2）存在，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 【18题答案】 【答案】（1）， （2），最小值为 （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $