专题16 三角函数的图象与性质（竞赛培优专项训练）高一数学人教A版全国通用

专题16 三角函数的图象与性质 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 三角函数的定义域 3 考点二 三角函数的值域或最值 5 考点三 三角函数的奇偶性 7 考点四 三角函数的对称性 8 考点五 三角函数的单调性 9 考点六 三角函数的周期性 12 考点七 三角函数的图象及应用 15 考点八 三角函数的实际应用 21 考点九 由三角函数性质求参 28 考点十 三角函数与绝对值函数的综合 32 考点十一 三角函数性质的综合应用 36 考点十二 三角函数的新题型 46 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题18道） 【归纳重点知识】 知识点01 三角函数的图象及性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）正．弦函数的图象中，五个关键点是：．（2）余弦函数的图象中，五个关键点是：． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 [-1，1] [-1，1] 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 知识点02 三角函数的图象及性质 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 【注意】两种变换的区别：(1)先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是｜φ｜个单位长度；(2)先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度. 【熟记重要结论（二级结论）】 1.对称性与周期性 ①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. ②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. 2.奇偶性 ①若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z). ②若函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z). ③若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝(k∈Z). 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 4.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定. 考点一 三角函数的定义域 1．已知函数．函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由，得到，， 即， 所以函数的定义域为，， 故选：A． 2．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 3．已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，则． 故选：D. 4．函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】要使有意义， 则，解得， 解得. 故函数的定义域是； 考点二 三角函数的值域或最值 5．对于的最大值为（   ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】D 【解析】令，因为，所以，则， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：D 6．设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 则， 又因为，所以， 令，当单调递减，当单调递增， 所以当时，，当或时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 7．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 令（）， 则， 其对称轴为，顶点处（）取得最大值， 令，解方程，得或（即最小值为4的对应值）， 要使取到最大值5，需包含在内，即，对应； 要使的最小值为4，需的范围包含或， 且不出现负数（否则），故（时为负）， 综上，的取值范围是. 故选：B. 8．函数的值域是 . 【答案】 【解析】由函数的解析式可知：， ， 当时，即时，显然不成立， 当时，， 因为，且， 所以有或， 所以该函数的值域为， 9．设，则的最大值为 . 【答案】 【解析】对展开化简得：， 令，，使用辅助角公式得：， 其中，， 故， ，当时取得最大值， 故. 当且仅当且时取到等号， ，存在，使得， 故最大值为， 考点三 三角函数的奇偶性 10．已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，则， 又，则当时，， 故的最小值为. 故选：B． 11．将函数的图象向左平移（）个单位，得到函数的图象．当函数为奇函数时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 因为函数为奇函数， 所以，所以， 由于，所以的最小值为. 故选：B. 12．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的图象向左平移个单位长度， 可得，若图象关于原点对称， 则满足，得， 因为，故当时，取得最小值， 故选：C. 考点四 三角函数的对称性 13．已知函数，若，则=（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由题可得：, 所以， 故选：B 14．若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以，，即，， 所以，所以. 故选：D 15．把函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在内两根分别为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 . 其中为锐角，且. 当. 因为方程在内两根分别为， 根据正弦函数的对称性可得， 所以. 所以. 故选：A 考点五 三角函数的单调性 16．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数， 故函数的单调递增区间，即函数的减区间． 令，，求得， 故所求的函数的单调递增区间是. 故选：B 17．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 故， 令，即， 即函数的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，A正确； 对于B，当时，， 由于在上不单调，故不是的单调增区间，B错误； 对于C，时，， 由于在上不单调，故不是的单调增区间，C错误； 对于D，时，， 由于在上单调递减，故是的一个单调减区间，D错误； 故选：A 18．下列关系式成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据正弦函数和正切函数的单调性，结合同角的三角函数关系式、诱导公式逐一判断即可. 【解析】A：因为，所以， 因为，所以，于是，对； B：由上，因为，所以， 由，错； C：由上， 所以，对； D：由诱导公式可得，对. 故选：ACD 19．下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，正弦函数在上单调递增，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C ，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：A 20．已知函数，若，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】时，，，， 所以，同理时，也有，所以是偶函数， 当时，单调递增， ，， 则，， 所以，所以. 故选：C 考点六 三角函数的周期性 21．不等式在内的整数解的个数为（　　） A．16 B．14 C．15 D．17 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以， 解得， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 所以不等式在内的整数解的个数为， 故选：A 22．定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数是偶函数，又是最小正周期为的周期函数， 当时，， ，故D正确． 故选：D． 23．已知函数 ，则（    ） A．其最小正周期为，最小值为0 B．其最小正周期为，最小值为0 C．其最小正周期为，最大值为 D．其最小正周期为，最大值为 【答案】C 【解析】因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为. ， 由二次函数的性质知，当时，取得最大值，为； 当时，取得最小值，为. 故选：C. 24．在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【解析】①，正弦函数的最小正周期为，但取绝对值后，负半轴图像沿轴翻折到正半轴， 由于，因此的最小正周期为； ②，，因此的最小正周期为； ③，当时，；当时，，其图像关于轴对称，不是周期函数，故最小正周期不存在； ④，最小正周期，所以最小正周期为； 综上，最小正周期为的函数是①②. 故选：A. 25．函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，函数的最小正周期为，解得，则， 故. 故选：A. 26．已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心可以为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因函数的最小正周期为，则 即得， 由，可得：， 即函数的对称中心为(*)， 当时，，得对称中心为，故正确； 经检验其它选项均不符合(*)式. 故选： 考点七 三角函数的图象及应用 27．已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】依题意，得，得， 所以，，， 需要将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 28．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 则需将替换为，即， 再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为， 即， 最终得到的函数解析式为，故D正确． 故选：D． 29．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性及函数在上即可判断. 【解析】函数的定义域为， ，， 所以函数为奇函数，排除AB， 当时，，，故，排除D. 故选：C. 30．在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在同一坐标系作函数 以及 的图象即可求解. 【解析】 以及 的图象如上图，由图可知，； 故选：A. 31．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 【答案】AC 【解析】由题意可得，，则， 因在取得最大值，则， 得， 因，则，故A正确； 由A选项知，， 因，则， 因正弦函数图象在上单调递增，故B错误； ，故C正确； 由题意得，， 则，故为偶函数，故D错误. 故选：AC 32．（多选）已知函数）的部分图象如图所示，将方程的所有正实数根从小到大排列得到，则（    ） A． B．存在正整数使得 C． D． 【答案】CD 【解析】由图可知，，所以，即，所以，故A选项错误； 因为，所以， 由图，，解得，所以， 又由于对任意正整数除以4的余数总是0或1， 所以，故B选项错误； 由，所以， 又因为，所以，故C选项正确； 令，则或，其中为整数， 则或，其中为整数， 按大小排序后，可知，代入满足D项等式，故D选项正确. 故选：CD. 33．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 【答案】AD 【解析】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，所以. 设函数的周期为，则，则，所以， 此时. 已知函数图象过点，则， 即，所以，则， 因为，所以，那么. 对于A，，所以选项A正确； 对于B，将的图象向左平移个单位长度， 得到， 所以选项B错误； 对于C，因为，所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误； 对于D，令，解得，此时， 所以图象的对称中心为，选项D正确. 故选：AD. 34．（多选）函数的部分图象如图所示，若是的两个零点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．若在区间上至少有10个零点，则实数的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据函数图像先求的解析式，再利用三角函数的性质逐一验证即可求解. 【解析】由图象知，，则，根据周期公式，可得，故A正确； 又因为，解得， 代入得，因为，所以， 所以， 令可得对称轴方程， 当时，故B错误， 因为是的两个零点，令，则， 所以或， 解得，或， 根据题意，取，所以， 当时，，故C正确； 由C知在上的10个零点依次为：. 由在区间上至少有10个零点，则. 所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 考点八 三角函数的实际应用 35．(多选)大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色．某摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，）．下列说法正确的有（    ） A．求摩天轮转动一周的解析式 B．游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米 C．游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米 D．若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，分钟后游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意知，，，解得， 又，所以， 时，，解得， 因为，所以， 所以，；故A正确， 对于B，令，得，解得， 即，可得，而，结合题意可得， 当时，即，游客甲距离地面的高度第一次恰好达到52米， 所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米；故B错误， 对于C，由题意知， 设任意一段连续的5分钟时间内的起始时刻为， 此时， ， 则高度变化为， 由和差化积公式得， 结合正弦函数的性质可得， 则在一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米，故C正确， 对于D，由题意知， 因中间间隔5个座舱，从第1个座舱到第6个座舱需要5分钟， 则有， 依题意，即， 即，所以，解得，； 所以，；时，，不合题意；当时，， 即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，经过17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同，故D正确. 故选：ACD 36．（多选）水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 【答案】ABC 【解析】A选项，从图象可以看出，m，A正确； B选项，点A运动一周所用的时间为秒，即1分钟，B正确； C选项，由图象可知，，， ，故， 将代入可得，即， 又，故，解得， 故初始状态时直线OA与水面所成的角为，C正确； D选项，，令，得， 即点A到水面的初始高度为5m，D错误. 故选：ABC 37．（多选）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转 度可使油倒出（精确到） 【答案】 【解析】 设壶嘴最低点，最高点分别是， 图中圆柱轴截面矩形，距离点最近的顶点是点，另外三个顶点分别为， 当水平液面经过点时，可将油倒出， 设倾斜角为，当液面经过点时，， 先考虑液面不超过点，即的情况， 设液面与分别交于点， 设的中点为，过作的垂线，垂足为， 则，，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 在中，， 即， 即， 即，所以， 即， 因为，所以至少将油壶倾斜即可将油倒出. 故答案为： 38．如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条水平直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的半径为 ． 【答案】10 【解析】设该球体建筑物的半径为，根据题意作示意图如下，均为球的半径， ， ， ， ，即 ． 故答案为：． 39．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为R的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于点，经过t秒后运动到点，则当筒车旋转90秒时，此盛水筒对应的点P的横坐标为 . 【答案】 【解析】因，则，， 每旋转一周用时180秒，则筒车旋转90秒时共旋转， 则此时点P在角的终边上，， 故点P的横坐标为. 故答案为： . 40．一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则 .    【答案】 【解析】由题意，延长CD直角走廊的边PA，PB分别相交于E，F， 则，其中， 又由，， 可得， 于是，其中. 故答案为：    考点九 由三角函数性质求参 41．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， 由，得，又函数在上单调递增， 而函数的单调递增区间为， 因此，则， 解得，而，所以. 故选：B 42．已知函数为偶函数，在区间上单调递减，且在该区间内没有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数为偶函数，所以， 由，得， 因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：B 43．若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】利用辅助角公式得： （）， 其中， 因为 ，所以， 又因为，所以. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以为了使得函数在 上单调递减，必须且只需， 所以， 所以,解得. 当时,在 上单调递减，符合题意. 故a的最小值为1. 故选：B 44．函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】依题意，函数在上单调，函数图象对称轴为， ，解得， 由，解得，又，则或， 所以或，的取值不可能是. 故选：C 45．已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，， 函数（）在上单调递增， 所以，所以 当，， 且， 在上有且仅有1个零点， 所以或， 所以或， 综上的取值范围为， 故选：C 46．已知函数，，都恒成立， 且函数在上单调递增.则的值为（    ） A．3 B．9 C．3或9 D． 【答案】A 【解析】，由， 则有，即，， 由，则，故，， 则，，， 化简得，，， 令，则，， 由函数在上单调递增，则，即， 又，则或， 当时，， 则，，又，则， 当时，， 由在上单调递增，故在上单调递增， 故时符合题意； 当时，， 则，，又，则， 当时，， 由在上单调递减，在上单调递增， 故在上不单调，故不合题意； 综上所述：. 故选：A. 47．已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，，又因为在上单调递增，结合正切函数的单调性得，解得， 的取值范围为． 48．已知，，若存在最大值，则正数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，其中， 又因为，所以， 又因为m为正数，所以，， 所以， 又因为存在最大值， 所以，又因为， 从而可得， 所以， 解得. 考点十 三角函数与绝对值函数的综合 49．若函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．的值域为 D．在定义域内有个零点 【答案】ACD 【解析】对于A：函数的定义域为， 因为， 所以是R上的偶函数，故A正确； 对于B：当时，， 当，即，时，， 当，即，时，. 因为在时，函数值的变化规律在不同区间不同，且是偶函数，如图： 所以不存在非零常数，使得对于任意都成立， 所以不是周期函数，故B错误； 对于C：由B可知，当时，， 当，即， 时，，此时. 当，即， 时，，此时. 又是偶函数，其图象关于轴对称， 所以的值域为,故C正确； 对于D：函数的定义域为， 则的零点个数即方程的根的个数， 即函数与函数图象交点的个数， 因为是偶函数，且也是偶函数， 所以只需考虑时方程的根的个数． 当时，， 在同一直角坐标系内画出，的简图如下： 由图象可知，当时，函数与函数有个交点， 即方程有个实数根， 根据偶函数的对称性，当时方程也有个实数根， 综上：在定义域内有个零点，故D正确． 故选：ACD． 50．（多选）关于函数，下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在区间单调递减 C．在有3个零点 D．的最大值为 【答案】BD 【解析】对于A，， 即不是的最小正周期，故A错误； 对于B，当时，，在区间单调递减，故B正确； 对于C，当时，， 由此可知在有无数个零点，故C错误； 对于D，注意到， 即是以为周期的一个周期函数， 故我们只需考虑它在一个周期内的最大值的情况即可， 由C选项分析可知，当时，， 此时，当且仅当时，等号成立， 综上所述，的最大值为，故D正确． 故选：BD． 51．已知函数，下列叙述正确的有（   ） A．函数是偶函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上有4个零点 D．的最大值为2 【答案】AD 【解析】对于A，因为函数的定义域为R， 又， 所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，当时，， 所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C，因为函数是偶函数，且， 故只需研究函数在上的零点个数即可， 当时，， 令，得， 所以函数在上只有一个零点， 同理函数在上也只有一个零点，    所以函数在上有3个零点，故C错误； 对于D，因为当时， ， 此时函数的最大值为2，    又因为函数为偶函数，图象关于轴对称， 所以当时，函数的最大值为2， 综上，函数的最大值为2，故D正确. 故选：AD. 52．(多选)已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（     ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．在上有4个零点 【答案】ABD 【解析】当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 所以， 的图象如下：   ， 由图象可知，的最小正周期为，A选项正确；     由图象可知，的值域为，B选项正确； 由图象可知，在上有增有减，C选项错误；     由图象可知，在上有4个零点，D选项正确. 故选：ABD. 考点十一 三角函数性质的综合应用 53．已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论： 甲：函数的图象关于对称； 乙：函数在上单调递增； 丙：函数在区间上有3个零点； 丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】设函数的最小正周期为. 对于甲：因为函数的图象关于对称，则； 对于乙：因为函数在上单调递增， 则，可得，又 所以，，又因为，则； 对于丙：因为函数在区间上有个零点，则，可得， 所以，，由于，则； 对于丁：因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 则，即， 因为，所以，满足条件， 故丙的结论错误，此时，，则， 因为，故，所以，， 且当时，，即函数在上单调递增， 乙同学的结论正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对每位同学的结论进行推敲，求出符合条件的的范围或值，进而判断. 54．已知函数且，则（    ） A．函数在上单调递减 B．函数的最小正周期为 C．函数的图像关于对称 D．函数的值域为 【答案】ABD 【解析】A：， 当时，， 由余弦函数的性质可以判断函数在上单调递减，因此本选项说法正确； B： ， 所以函数的最小正周期为，因此本选项说法正确； C：因为， 所以函数的图像不关于对称，因此本选项说法不正确； D：， 当时，， 因为，且，所以，故，所以， 所以此时函数单调递减， 当时，， 因为，且，所以，故，所以 所以此时函数单调递增， 所以有， 因为，所以， 因此当时，函数的值域为. 又因为， 所以函数的周期为， 因此函数的值域，也就是函数在区间上的值域， 所以函数的值域为，因此本选项说法正确. 故选：ABD 55．函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. (1)求、； (2)当时，设的最大值为，求的值域； (3)把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？请说明理由. 【解析】（1）函数的最小正周期为，则，∴， ∵为该函数的一个对称中心，则，即， 又，∴， ∴， （2）由（1）知， 的值域即为在区间上最大值与最小值之差的取值范围. ∵，∴可分下列两种情况讨论： ①若的对称轴在区间内，不妨设对称轴在内，则的最大值为1， 当，即时，此时取最小值为. ②若的对称轴不在区间内，则在区间内单调， 则且，即，. 在两端点处取得最大值与最小值，则， 此时即时，取最大值为1. 即的值域为. （3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 当时，，，可以作为三边长， 将问题转化为证明任意两数之和大于第三个数. 先证明：， 由题意可知，，，， ， ， 故， 同理， 又. 综上，，能作为三边长. 56．已知函数 (1)求函数的增区间 (2)直接写出取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，函数， 令，解得， 故函数的单增区间为； （2）由题意，可得，即的最大值为， 令，即， 故，解得， 故取得最大值时的集合； （3）由， 可得， 即， 即， 即， 又根据题意，方程在上有四个不同的实数根， 即方程在上有四个不同的实数根， 令，则， 又，则，所以，即， 令，则，如图， 所以要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根 故， 由于时，无解，故， 则， 令则且， 故， 由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意， 故，如图： 当时，， 当且仅当时，取等号， 故. 57．已知函数. (1)求的最小正周期 (2)已知，函数是偶函数，求的值. (3)函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围. 【解析】（1）函数 ， 所以函数的最小正周期. （2）由（1）得，由函数是偶函数， 得，解得，而， 所以或. （3）当时，，由函数在区间上有且仅有2个零点， 得，解得 所以的取值范围为. 58．已知的最小正周期为 (1)求函数的表达式与最值； (2)求证：函数有且只有一个零点； (3)将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数，求证：，其中为（2）中函数的零点． 【解析】（1） ， 因为的最小正周期为， 所以，解得， 所以，则的最大值为1，最小值为. （2）由题意可知，定义域． ①当时，单调递增， 且，， ②当时，由，所以， 而，所以在恒成立， 综上，存在唯一的，使得，且． （3）由题意可知，， ①下证不等式右边：， 因为，代入上式， 要证（）式成立，只要证， 令，则， 上式化为证，即证：， 由，显然成立． ②下证不等式左边：因为，所以， 所以，所以， 所以． 下证，即证，即． 由于，所以， 所以，得证． 59．已知函数（）的最大值为2. (1)求m的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，并求在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：相邻两条对称轴之间的距离为； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）因为函数，，所以由三角函数恒等式化简得：， ， 又因为的最大值为1，所以函数的最大值为： ， 又因为函数的最大值为2，所以，得出. （2）选择条件①，将代入函数，则函数， 将代入可得：，即， 则，解得，导致函数不唯一， 不符合题意，所以选择该条件得0分, 选择条件②：因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为， 根据周期公式，可得，所以， 当时，， 当，即时，取得最大值为1，则函数取得最大值为2， 当，即时，，则函数取得最小值为， 选择条件③：因为的最小正周期，根据周期公式，得， 将代入可得：，即， 所以或， 当时，得出， 又因为，所以，（舍去）， 当时，解得， 又因为，所以，，即， 当时，， 所以当，即时，则函数取得最大值为2， 当，即时，则函数取得最小值为1. 考点十二 三角函数的新题型 60．如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（    ） A．对任意的 B．对任意的 C．在区间上单调递增 D．对任意的 【答案】D 【分析】根据给定的定义，举例说明判断ABC；利用轴对称性推理判断D. 【解析】对于AB，当时，，，AB错误； 对于C，，C错误； 对于D，正方形关于直线对称，和的终边也关于直线对称， 则和的终边和正方形的交点也关于直线对称，所以，D正确. 故选：D 61．（多选）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 D．与的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】A选项，因为， 所以， 由有意义可得，， 所以，， 所以函数的定义域为，A错误； B选项，因为， 令，，可得，， 所以图象的对称中心为，B正确； C选项，令，， 可得，， 所以的单调递减区间为，C正确； D选项，设函数的图象关于直线对称的图象经过点， 则点关于直线的对称点在函数的图象上， 所以，所以， 所以与的图象关于直线对称，D正确； 故选：BCD. 62．（多选）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”，下列结论中正确的是（    ） A．将图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 B．在区间上的所有零点之和为 C．在区间上单调递减 D．在区间上有且仅有5个极大值点 【答案】ABC 【解析】因为，， 所以 ， 对于A：将图象向右平移个单位长度得到， 为奇函数，函数图象关于原点对称，故A正确； 对于B：令，即，解得， 又，所以或或或， 所以在区间上的所有零点之和为，故B正确； 对于C：由，所以，所以在上单调递减，故C正确； 对于D：由，则，令，解得， 所以在区间上的极大值点有，，，共个，故D错误； 故选：ABC 63．(多选)在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作．给出下列结论，其中正确的为（    ） A．函数在上单调递增 B．若，则 C．若，，，则的最小值为0 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于，因为， 当时，，， 由正弦函数的性质可知在，上不单调，故错误； 对于B，由，可得， 而，故正确； 对于C，， 令，因为，所以，则， 则有， 所以（1）， 所以，故正确； 对于D，因为， 所以当时，，故正确． 故选：BCD． 64．对于定义在相同定义域D上的函数以及实数k，给出如下两个关系： ①若存在使得，则称函数与具有关系，且称点和为函数和的点； ②若存在，使得，则称函数与具有关系，且称点和为函数和的点. (1)若，；，，判断与是否具有关系，是否具有关系.若具有求出相应的点或点，若不具有，说明理由； (2)若与具有关系，求k的取值范围； (3)若函数与具有关系，且距离最近的两个点的距离为，求的值. 【解析】（1）与具有关系，理由如下： 当时，，， 当，，当时，， 此时，则与具有关系； 与不具有关系，理由如下： ， 所以与不具有关系； （2）， ， 因为，则当时，，则， 所以，则； （3）由题意可得，所以， 所以，，所以， 如图所示： 若，则，满足条件，所以，； 若，则，不合题意； 综上． 1．（2024·厦门大学强基计划）在上的零点个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】依题意，， 而，显然且，因此， 由，得，解得或， 所以在上的零点个数是2. 故选：B 2．（2024·厦门大学强基计划）对于，则的值域为（    ） A． B． C． D．以上全错 【答案】C 【解析】因为，所以，， 设，则. 再设，因为，所以， 且. 所以，. 观察可知，在，为增函数， 又时，；时，，所以， 又，所以. 故选：C 3．（2024·安徽阜阳竞赛）已知函数，有下列四个结论：①函数的图象关于原点对称；②为函数的周期；③的值域为；④设函数的奇偶性与函数相同，且函数在上单调递减，则的最小值为2．则正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】， 为偶函数，又其定义域为R，故其图象关于y轴对称，故①错； ， 为函数的周期，故②正确； 当时，， ， ，此时， 为函数的周期， 的值域为，故③正确； 函数为偶函数， 为偶函数， ，故， 又，， ，即， 由，，得， 函数在上单调递减， ，解得，故④错误． 故选：B. 4．（多选）（2024·广东汕头竞赛）已知函数，的部分图象如图所示，则（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，得到的图象 C．，都有 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数 【答案】AD 【解析】由函数的部分图象， 可得，. 再根据五点法可得，得，故. ，故A正确； ，故B错误； 取时，显然不成立，故C错误； 令，由，可得， 要使方程在上有两个不相等的实数根， 只需函数在上有两个不同的零点， 即，故D正确. 故选：AD. 5．（多选）（2024·山东滨州竞赛）设函数为常数，，若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到 【答案】ACD 【解析】对于B，因为函数在区间上为单调函数， 所以，故B错误； 对于A，因为，所以是的零点， 所以是图象的一个对称中心，故A正确； 对于C，由B可知. 又因为，所以，在同一个周期内， 又，所以是的一条对称轴， 所以 则与是相邻的对称中心与对称轴， 因为，，所以， 又，故，则， 所以是图象的一条对称轴，故C正确； 对于D，因为是的一条对称轴， 所以，，， 所以，解得， 所以， 因为向左平移个单位长度得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题的突破口是利用余弦函数的对称性，结合条件求得的对称轴与对称中心，进而求得，由此得解. 6．（多选）（2024·第四届英才杯数学竞赛）若定义在上不恒为0的，，且，则下列说法中，正确的有（    ） A．可以是 B．若时，，则在上单调递增 C．任意满足题意的函数，设定义在（是整数）的，则使得 D． 【答案】AD 【解析】，有， 且，即. A项，若，由，解得，函数定义域为. 则； 且；所以. 所以函数，满足题意，故A正确； B项，由对任意都有， 令，可得，所以， 任取，得，可得， 所以，所以函数是上的奇函数. 设，可得，则， 则有， 所以当时，恒成立，可得， 即，即， 所以在为减函数，则在上单调递增必不成立，故B错误； C项，由已知，令，， 要使， 则首先有意义，且有意义， 故，， 由，故， 则， 由， 则，所以，即， 当时，，所以恒成立； 即恒有， 所以不存在，使得，故C错误； D项，因为函数为奇函数， 可得， 所以 ， 所以，又， 则，故D项正确. 故选：AD. 7．（多选）（2024·山东滨州数学竞赛）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（    ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 【答案】BCD 【解析】设游客甲距离地面的高度与时间的函数为， 由题意，，所以， 由开启后的第8分钟这一时刻游客甲和乙首次距离地面高度相同知， 摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的速度约为，故， 则， 又当时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以， 即，所以，所以， 不妨取，则，故，A错误； 由于摩天轮速旋一周需24分钟，故第二次游客甲和乙第二次距离地面高度相同时， 需经历分钟，B正确； 根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为： ， 则开启后第10分钟游客乙距离地面高度为米，C正确； 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客甲在下降， 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客乙也在下降， 即开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同，D正确. 故选：BCD 8．（第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）由单摆实验得到如图所示曲线，现用正弦函数模型来拟合，其中.已知，则在实数范围内的最大值为 . 【答案】 【解析】观察图象可得，且为函数在轴右侧第一个最高点， 故，解得，， 即，解得，其中. ，. 另一方面函数， 则， ，当且仅当时，等号成立， 9．（2024·四川宜宾数学联赛（初赛））已知函数，若，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对于，，定义域关于原点对称， 因为 ， 所以的图象关于对称， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，可得在上单调递增， 因为， 所以， 因为在上单调递增，所以， 即使成立， 令，， 即求在上的最小值， 令， 当时，，所以， 可得， 所以，即， 令，， 所以在上的最小值为2， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题解题方法是确定函数的对称性与单调性，把不等式化简变形，然后再利用换元法把问题转化为一元二次不等式能成立问题，再分离参数后变成求函数的最大值． 10．（2024·四川宜宾数学联赛（初赛））已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值为 . 【解析】由条件对任意的实数x都成立，可知是函数的最大值， 当时， 解得，又因，所以最小值为2. 故答案为：2 11．（2024·全国数学联赛吉林赛区预赛）设函数 ，若关于的方程 在 上有奇数个不同的实数解，则实数的值为 . 【答案】 或 . 【解析】所以， ， 所以， 所以关于直线对称. 又， 因为关于的方程 在 上有奇数个不同的实数解， 所以的图象在 上有奇数个不同的交点， 因为关于直线对称， 所以时，的图象在 上有奇数个不同的交点， 因为区间是半开半闭区间， 所以时，的图象在 上有奇数个不同的交点， 综上的值为或. 12．（2024·全国数学竞赛浙江赛区初赛）函数的最大值与最小值之积为 ． 【答案】/0.75 【解析】解 ： 令，， 当时，原函数变形为， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号， 故或， 所以或， 当时，． 综上可得，， 所以函数的最大、最小值分别为，其积为． 故答案为： 13．（2024·全国数学联赛北京赛区预赛）已知函数，且为奇函数. 若方程在上有四个不同的实数解 ，则 的平方值为 . 【答案】/ 【解析】 ， 为奇函数的图像关于点对称， 所以，所以， ， ， 方程，即方程在上有四个不同的实数解， 则或，即或， 当，即时， 则，， ， 当，即时， ， ， ， 所以，的平方值为. 故答案为：. 14.(2024·山东滨州数学竞赛)已知函数，若在区间上的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】 ，因为，可得， 显然当时，可得，由的值域为， 利用三角函数图像性质可得，解得，即的取值范围是. 15．（2024·北京大学强基计划）在 中，求 的最小值或下确界. 【答案】 【解析】在中，要使最小，则为钝角三角形，不妨假设为钝角，则，， 所以，则， ，，所以 则 则， 当为等腰三角形，且无限接近于时，无限接近于， 即的下确界为 16．(2024·全国“极光杯”数学竞赛)已知直线和是函数图像两条相邻的对称轴． (1)求的解析式和单调区间； (2)保持图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图像．若在区间恰有两个极值点，求的取值范围． 【解析】（1）由题设条件知的最小正周期，所以． 又因为，，所以，． 令，得的单调递增区间为， 令，得的单调递减区间为． （2）由题可知， 所以当时，． 若在区间恰有两个极值点， 则在区间恰有两个极值点， 因此，解得的取值范围是． 17．(2023·山东师大附中竞赛)水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（），设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为．    (1)求与的函数解析式； (2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）； (3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出与的函数解析式．（参考数据：） 【解析】（1）由题意设（，，）， 则，，则， 由题意，是锐角，所以， 所以，又，解得， 所以与的函数解析式； （2）河水上涨米，水面仍在圆心的下方， 在中，， 所以． （3）水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半， 即，所以， 所以与的函数解析式． 18．(2024·山东青岛数学竞赛)已知函数的图像在区间上是连续不断的曲线，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求t的取值范围； (3)若，，（，），求证：函数在区间上具有性质 【解析】（1）因为. 所以函数在上具有性质 （2）解法1：由题意，存在，使得. 所以，得. 又因为，且. 所以，即的取值范围是 解法2：当时，函数在单调递减， 所以不符合题意； 当时，因为直线是函数的一条对称轴. 而函数在区间上具有性质，所以. 所以，即的取值范围是 （3）设， 则有，. ，…，. 以上各式相加得 （ⅰ）当，，，…，中存在一个为0时， 不妨设，. 即. 即. 所以在区间上具有性质 （ⅱ）当，，，…，中均不为0时，由于其和为0. 则其中必存在正数和负数、不妨设. 其中，i， 由于的图像在区间上是连续不断的曲线，所以当时，由零点存在性定理知，至少存在一个实数，使得. 即. 即存在，使得. 所以在区间上也具有性质 练上，所以在区间上具有性质 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 三角函数的图象与性质 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 三角函数的定义域 3 考点二 三角函数的值域或最值 4 考点三 三角函数的奇偶性 4 考点四 三角函数的对称性 5 考点五 三角函数的单调性 5 考点六 三角函数的周期性 6 考点七 三角函数的图象及应用 7 考点八 三角函数的实际应用 9 考点九 由三角函数性质求参 12 考点十 三角函数与绝对值函数的综合 13 考点十一 三角函数性质的综合应用 13 考点十二 三角函数的新题型 16 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题18道） 【归纳重点知识】 知识点01 三角函数的图象及性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）正．弦函数的图象中，五个关键点是：．（2）余弦函数的图象中，五个关键点是：． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 [-1，1] [-1，1] 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 知识点02 三角函数的图象及性质 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 【注意】两种变换的区别：(1)先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是｜φ｜个单位长度；(2)先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度. 【熟记重要结论（二级结论）】 1.对称性与周期性 ①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. ②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. 2.奇偶性 ①若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z). ②若函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z). ③若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝(k∈Z). 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 4.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定. 考点一 三角函数的定义域 1．已知函数．函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是 ． 考点二 三角函数的值域或最值 5．对于的最大值为（   ） A．－1 B． C．0 D． 6．设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．函数的值域是 . 9．设，则的最大值为 . 考点三 三角函数的奇偶性 10．已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． 11．将函数的图象向左平移（）个单位，得到函数的图象．当函数为奇函数时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点四 三角函数的对称性 13．已知函数，若，则=（   ） A． B． C．1 D．2 14．若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．把函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在内两根分别为，则（    ） A．2 B． C． D． 考点五 三角函数的单调性 16．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 17．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（    ） A． B． C． D． 18．下列关系式成立的有（   ） A． B． C． D． 19．下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 20．已知函数，若，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 考点六 三角函数的周期性 21．不等式在内的整数解的个数为（　　） A．16 B．14 C．15 D．17 22．定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（ ） A． B． C． D． 23．已知函数 ，则（    ） A．其最小正周期为，最小值为0 B．其最小正周期为，最小值为0 C．其最小正周期为，最大值为 D．其最小正周期为，最大值为 24．在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 25．函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（    ） A． B． C． D． 26．已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心可以为（） A． B． C． D． 考点七 三角函数的图象及应用 27．已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 28．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 29．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 30．在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 31．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 32．（多选）已知函数）的部分图象如图所示，将方程的所有正实数根从小到大排列得到，则（    ） A． B．存在正整数使得 C． D． 33．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 34．（多选）函数的部分图象如图所示，若是的两个零点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．若在区间上至少有10个零点，则实数的最小值为 考点八 三角函数的实际应用 35．(多选)大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色．某摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，）．下列说法正确的有（    ） A．求摩天轮转动一周的解析式 B．游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米 C．游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米 D．若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，分钟后游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同 36．（多选）水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 37．有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转 度可使油倒出（精确到） 38．如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条水平直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的半径为 ． 39．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为R的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于点，经过t秒后运动到点，则当筒车旋转90秒时，此盛水筒对应的点P的横坐标为 . 40．一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则 .    考点九 由三角函数性质求参 41．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 42．已知函数为偶函数，在区间上单调递减，且在该区间内没有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 43．若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 44．函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 45．已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 46．已知函数，，都恒成立， 且函数在上单调递增.则的值为（    ） A．3 B．9 C．3或9 D． 47．已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 48．已知，，若存在最大值，则正数m的取值范围是 . 考点十 三角函数与绝对值函数的综合 49．若函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．的值域为 D．在定义域内有个零点 50．（多选）关于函数，下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在区间单调递减 C．在有3个零点 D．的最大值为 51．已知函数，下列叙述正确的有（   ） A．函数是偶函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上有4个零点 D．的最大值为2 52．(多选)已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（     ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．在上有4个零点 考点十一 三角函数性质的综合应用 53．已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论： 甲：函数的图象关于对称； 乙：函数在上单调递增； 丙：函数在区间上有3个零点； 丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 54．已知函数且，则（    ） A．函数在上单调递减 B．函数的最小正周期为 C．函数的图像关于对称 D．函数的值域为 55．函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. (1)求、； (2)当时，设的最大值为，求的值域； (3)把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？请说明理由. 56．已知函数 (1)求函数的增区间 (2)直接写出取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围． 57．已知函数. (1)求的最小正周期 (2)已知，函数是偶函数，求的值. (3)函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围. 58．已知的最小正周期为 (1)求函数的表达式与最值； (2)求证：函数有且只有一个零点； (3)将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数，求证：，其中为（2）中函数的零点． 59．已知函数（）的最大值为2. (1)求m的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，并求在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：相邻两条对称轴之间的距离为； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 考点十二 三角函数的新题型 60．如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（    ） A．对任意的 B．对任意的 C．在区间上单调递增 D．对任意的 61．（多选）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 62．（多选）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”，下列结论中正确的是（    ） A．将图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 B．在区间上的所有零点之和为 C．在区间上单调递减 D．在区间上有且仅有5个极大值点 63．(多选)在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作．给出下列结论，其中正确的为（    ） A．函数在上单调递增 B．若，则 C．若，，，则的最小值为0 D．若，则的最小值为 64．对于定义在相同定义域D上的函数以及实数k，给出如下两个关系： ①若存在使得，则称函数与具有关系，且称点和为函数和的点； ②若存在，使得，则称函数与具有关系，且称点和为函数和的点. (1)若，；，，判断与是否具有关系，是否具有关系.若具有求出相应的点或点，若不具有，说明理由； (2)若与具有关系，求k的取值范围； (3)若函数与具有关系，且距离最近的两个点的距离为，求的值. 1．（2024·厦门大学强基计划）在上的零点个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·厦门大学强基计划）对于，则的值域为（    ） A． B． C． D．以上全错 3．（2024·安徽阜阳竞赛）已知函数，有下列四个结论：①函数的图象关于原点对称；②为函数的周期；③的值域为；④设函数的奇偶性与函数相同，且函数在上单调递减，则的最小值为2．则正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（多选）（2024·广东汕头竞赛）已知函数，的部分图象如图所示，则（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，得到的图象 C．，都有 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数 【答案】AD 5．（多选）（2024·山东滨州竞赛）设函数为常数，，若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到 6．（多选）（2024·第四届英才杯数学竞赛）若定义在上不恒为0的，，且，则下列说法中，正确的有（    ） A．可以是 B．若时，，则在上单调递增 C．任意满足题意的函数，设定义在（是整数）的，则使得 D． 7．（多选）（2024·山东滨州数学竞赛）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（    ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 8．（第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）由单摆实验得到如图所示曲线，现用正弦函数模型来拟合，其中.已知，则在实数范围内的最大值为 . 9．（2024·四川宜宾数学联赛（初赛））已知函数，若，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 10．（2024·四川宜宾数学联赛（初赛））已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值为 . 11．（2024·全国数学联赛吉林赛区预赛）设函数 ，若关于的方程 在 上有奇数个不同的实数解，则实数的值为 . 12．（2024·全国数学竞赛浙江赛区初赛）函数的最大值与最小值之积为 ． 13．（2024·全国数学联赛北京赛区预赛）已知函数，且为奇函数. 若方程在上有四个不同的实数解 ，则 的平方值为 . 14.(2024·山东滨州数学竞赛)已知函数，若在区间上的值域为，则的取值范围是 . 15．（2024·北京大学强基计划）在 中，求 的最小值或下确界. 16．(2024·全国“极光杯”数学竞赛)已知直线和是函数图像两条相邻的对称轴． (1)求的解析式和单调区间； (2)保持图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图像．若在区间恰有两个极值点，求的取值范围． 17．(2023·山东师大附中竞赛)水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（），设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为．    (1)求与的函数解析式； (2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）； (3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出与的函数解析式．（参考数据：） 18．(2024·山东青岛数学竞赛)已知函数的图像在区间上是连续不断的曲线，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求t的取值范围； (3)若，，（，），求证：函数在区间上具有性质 19．（2024·湖南株洲“同济大学杯”数学竞赛）如图，扇形ABC是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记． (1)若点P是弧的中点，求三条街道的总长度； (2)通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； (3)由于环境的原因，三条街道每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $