专题03 数学归纳法（竞赛培优专项训练）高二数学人教A版全国通用

专题03 数学归纳法 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 对数学归纳法的理解 1 考点二 利用数学归纳法证明恒等式 5 考点三 利用数学归纳法证明不等式 9 考点四 利用数学归纳法证明整除问题 16 考点五 利用数学归纳法证明探究性问题 17 考点六 利用数学归纳法证明其它问题 19 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题9道） 【归纳重点知识】 知识点 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． 【熟记重要结论（二级结论）】 1．数学归纳法证题时初始值n0不一定是1. 2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法． 3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功． 考点一 对数学归纳法的理解 1．用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 2．下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 3．用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 4．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 5．（多选）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 6．（多选）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 考点二 利用数学归纳法证明恒等式 7．(多选)有一列数，前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）． A． B． C．，，若数列为等比数列，公比为，则 D． 8．（多选）定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A． B．当时， C． D．当时， 9．（多选）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 10．已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 考点三 利用数学归纳法证明不等式 11．（多选）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知数列满足，则下列说法正确的是（　　） ①当时，； ②当时，数列是常数列； ③当时，； ④当时，数列单调递减； A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④ 13．在数列中，，，则下列结论成立的是（    ） A．存在正整数a，使得为常数列 B．存在正整数a，使得为单调数列 C．对任意的正整数a，集合为有限集 D．存在正整数a，使得任意的m，，当时， 14．（多选）已知函数，数列满足，则（    ） A．方程的解集为 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 15．如图所示，，，…，，…是曲线C：上的点，，，…，，…是x轴正半轴上的点，且，，…，，…均为等腰直角三角形（为坐标原点）． (1)计算，，，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想； (3)求数列的前n项和． 16．设数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且满足. ①证明：是等比数列； ②设数列的前n项和为，证明：. 考点四 利用数学归纳法证明整除问题 17．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 18．是否存在正整数，使得对任意正整数都能被36整除？若存在，求出的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由. 考点五 利用数学归纳法证明探究性问题 19．给出下列不等式： ， ， ， ， （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 20．设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 考点六 利用数学归纳法证明其它问题 21．请解决下列问题： （1）如图，设点是线段的三等分点，若，，试用表示，并判断与的关系； （2）受（1）的启示，如果点是的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论． 22．（1）证明：； （2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，； （3）利用（2）的结论判断是否为有理数？ 23．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若且，则． （1）判断是否正确，说明理由； （2）证明：“”是“”的充分条件； （3）证明：若，则． 24．已知的三边长都是有理数，求证： （1）是有理数； （2）对任意正整数，和是有理数. 25．如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推. （1）写出点和的坐标； （2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明. 26．已知为有穷正整数数列，，且.从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列.若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖数列. (1)判断数列和数列是否为全覆盖数列； (2)在数列中，若，求证：当时，； (3)若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列. 27．设，若，且不存在，使得依次成等差数列，则称为的简单集，元素个数最多的简单集称为的最大简单集，的最大简单集的元素个数记为. (1)写出4的所有最大简单集，并求； (2)设，证明：，并求； (3)设，若对任意，都有恒成立，证明：. 1．（2025·东南大学强基计划），用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求  . 2．（2024·北京大学强基计划），用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求  . 3．（2024·中国科技大学创新营数学考试），求所有的，使得中有无穷多项为正整数. 4．（2024年全国第四届章鱼杯联赛）数列满足且，，，构成等差数列. (1)试求出所有三元实数组(α,β,γ)，使得为等比数列. (2)若，求的通项公式. 5．(全国高中数学联赛模拟试题)设数列满足.求证：. 6．(全国高中数学联赛模拟试题)已知.证明：当时，. 7．．(全国高中数学联赛模拟试题)求所有的函数，满足，且对于所有整数，有. 8．(浙江数学夏令营)已知数列满足，，. （1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围； （2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值. 9.(2019全国高中数学联赛A卷)设m为整数，.整数数列满足：不全为零，且对任意正整数n，均有.证明：若存在整数r、s(r>s≥2)使得，则. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数学归纳法 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 对数学归纳法的理解 1 考点二 利用数学归纳法证明恒等式 5 考点三 利用数学归纳法证明不等式 9 考点四 利用数学归纳法证明整除问题 16 考点五 利用数学归纳法证明探究性问题 17 考点六 利用数学归纳法证明其它问题 19 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题9道） 【归纳重点知识】 知识点 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． 【熟记重要结论（二级结论）】 1．数学归纳法证题时初始值n0不一定是1. 2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法． 3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功． 考点一 对数学归纳法的理解 1．用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 2．下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】对于①，时，成立,而时,,不满足题意， 根据数学归纳法证明的要求可知，正整数的第一个取值不是1，故①错误； 对于②，当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： ，故②错误； 对于③，由题意，无法推出时，均有成立，故③错误； 对于④，在时，没有用到的假设结论，故④错误. 故选：D. 3．用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 4．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】D 【解析】若成立，由题意知：当时，均有成立，但不能保证的情况，故A错误； 若成立，则当时，均有成立，但不能保证的情况，故B错误； 由题意知：若成立，则当时，均有成立”．故C错误； ，则当时，均有成立，故D正确； 故选：D 5．（多选）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【答案】AB 【解析】A：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立； B：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立； C：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时内角和为命题成立； D：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题不成立. 综上可知，满足条件的选项为AB. 故选：AB. 6．（多选）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 【答案】BC 【解析】当时，可得；当时，可得； 即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确； 当时，可得； 当时，可得； 两式相减得：， 所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误； 故选：BC. 考点二 利用数学归纳法证明恒等式 7．(多选)有一列数，前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）． A． B． C．，，若数列为等比数列，公比为，则 D． 【答案】BD 【解析】由题意知，，（）. 则，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； 可见数列为周期为6（1，1，2，3，1，0）的周期数列. 选项A：，故A错误； 选项B：一个周期的和为：1+1+2+3+1+0=8. ，故B正确； 选项C：设数列为公比为的等比数列，则， 将代入得，， 即， 所以，整理得，解得. 当时，，则， 当时，，则，故C错误； 选项D：证明. 当时，左边，右边，等式成立； 假设时，成立， 当时，左边， 右边，因此左边=右边， 故对任意，，D正确. 故选：BD. 8．（多选）定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A． B．当时， C． D．当时， 【答案】ABD 【解析】对于A：当时，，所以， 又，所以，故A正确； 对于B：当时，，， 所以， 所以，故B正确； 对于C：当时， 当时， 所以，则在上单调递增， 在上单调递减， 所以，故C错误； 对于D：由上述推导可归纳， 对任意正整数，当时，， 当，即当时，，符合题意； 假设时成立，即当时，； 则当时 ，也成立， 所以当时，， 则， 所以当时， 即当时，，故D正确. 故选：ABD 9．（多选）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由，且是公比为的等比数列， 所以为，为，为，， 由上观察归纳有，，显然时，满足， 若时，成立， 又是公比为的等比数列， 则，， 所以，有，满足归纳结论， 综上，，，A错，B对； 由，则，C对； 由 ，D对. 故选：BCD 10．已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【解析】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）证明： 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 考点三 利用数学归纳法证明不等式 11．（多选）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】CD 【解析】当时，，不合要求，舍去 当时，，不合要求，舍去； 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 下证：当时，成立， 当时，成立， 假设当时，均有，解得： 当时，有， 因为， 所以成立， 由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立， 故选：CD 12．已知数列满足，则下列说法正确的是（　　） ①当时，； ②当时，数列是常数列； ③当时，； ④当时，数列单调递减； A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④ 【答案】B 【解析】对于①，当时，，故①错误； 对于②，当时，有，这意味着只要就有，而，从而由数学归纳法即可证明，故②正确； 对于③，当时，下面用数学归纳法证明，当时，由知结论成立；假设当时结论成立，即， 则由可知，所以， 展开即，即， 同时，由可得， 即时，结论成立，所以对于任意正整数，都有，故③正确； 对于④，当时，， 所以是递减数列，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④. 故选：B 13．在数列中，，，则下列结论成立的是（    ） A．存在正整数a，使得为常数列 B．存在正整数a，使得为单调数列 C．对任意的正整数a，集合为有限集 D．存在正整数a，使得任意的m，，当时， 【答案】C 【解析】对于A，若为偶数时，=a，不符题意，若为奇数时，无解，A错误； 对于B，若为偶数，，，若为单调数列，即为递减数列， 而，可以为奇数，此时，，不满足递减数列， 若为奇数，，，若为单调数列，即为递增数列， 而，，不满足递增数列，B错误； 对于C，，对任意正整数，存在正整数，使得，记， ①若为奇数，当时，成立， 为偶数，成立， 假设当时，若是奇数，则，若是偶数，则， 那么时，若是奇数，则是偶数，； 若是偶数，则，若此时是奇数，则满足， 若是偶数，则满足，即时结论成立； ②若为偶数，当时，成立，成立， 假设当时，若是奇数，则，若是偶数，则， 那么时，若是奇数，则是偶数，； 若是偶数，则，若此时是奇数，则满足， 若是偶数，则满足，即时结论成立， 因此对任意的正整数，若为奇数，则，若为偶数，则， 所以对任意的正整数，集合为有限集，C正确； 对于D，当时，，即各项的数值各不相同， 则当，集合有无穷多个元素，与集合为有限集，矛盾，D错误. 故选：C 14．（多选）已知函数，数列满足，则（    ） A．方程的解集为 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 【答案】ABC 【解析】对于A，已知，令，即. 设，则，原方程可化为，即， 则，解得或或. 当时，；当时，；当时，. 所以方程的解集为，故A选项正确； 对于B，若，可用数学归纳法证明：，即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立， 即由数学归纳法可得成立， 而， 又，， 故，故，故为递增数列， 若，则恒成立，故B选项正确； 对于C，若，可用数学归纳法证明：，即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立， 即由数学归纳法可得成立，即由数学归纳法可得成立. 而， 又，， 故，故，故为递减数列， 存在常数，使得恒成立， 故C选项正确； 对于D， 若，则，， 则，即， 因，则对任意恒成立，即为递增数列， 则对任意恒成立， 因，则， 则， 则， 则， 因， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则， 因函数为上的单调递增函数，且值域为， 则当时，，再结合对数函数的图象可知， 则不存在常数，使得恒成立，故D选项错误. 故选：ABC. 15．如图所示，，，…，，…是曲线C：上的点，，，…，，…是x轴正半轴上的点，且，，…，，…均为等腰直角三角形（为坐标原点）． (1)计算，，，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想； (3)求数列的前n项和． 【解析】（1）依题意，有，得. 由，得，即， 由可得，，，猜测. （2）（ⅰ）当时，可求得，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即有， 则当时，由归纳假设得，即得， 即， 解得（不合题意，舍去）. 即当时，命题也成立. 由（ⅰ）、（ⅱ），对所有，； （3）， . 16．设数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且满足. ①证明：是等比数列； ②设数列的前n项和为，证明：. 【解析】（1）由题意，，则， 当时，， 显然满足上式，则. （2）由， 当时，，即； 当时，， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 由（1）知，， 则， 即， 由①知，，则， 下面利用数学归纳法证明：. 当时，，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 则时，需证明，即证， 由，只需证明， 即证，即证， 即证， 由于，则， 所以. 综上所述，，所以. 考点四 利用数学归纳法证明整除问题 17．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【解析】①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 18．是否存在正整数，使得对任意正整数都能被36整除？若存在，求出的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【解析】由，得，， ，.要使得对都能被36整除，最小的正整数的值为9， 由此猜想最小的正整数的值为9，即. 下面用数学归纳法证明： （1）当时，显然成立. （2）假设时，能被36整除，即能被36整除. 当时，， 由于是2的倍数，故能被36整除. 这就是说，当时，也能被36整除. 由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除，的最小值为9. 考点五 利用数学归纳法证明探究性问题 19．给出下列不等式： ， ， ， ， （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【解析】解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点： ，，，， 猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为， 所以，不等式的一般结论为： （2）证明：①当时显然成立；    ②假设时结论成立，即：成立，   当时，    即当时结论也成立. 由①②可知对任意，结论都成立. 20．设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 【解析】（1）∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． （2）猜想：当，时，有． 证明：①当时，猜想成立． ②假设当（，）时猜想成立，． 当，． ∵， ∴，则， 即， ∴当时，猜想成立. 由①②知，当，时，有． 考点六 利用数学归纳法证明其它问题 21．请解决下列问题： （1）如图，设点是线段的三等分点，若，，试用表示，并判断与的关系； （2）受（1）的启示，如果点是的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论． 【解析】解：（1）如图：点、是线段的三等分点， 则，同理， 所以, 即：，， （2）设，．，，是的等分点， 则； 证明：，，是线段的等分点， 先证明：，、． 由，， 因为和是相反向量， 则， 所以． 记， 相加得 ． 22．（1）证明：； （2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，； （3）利用（2）的结论判断是否为有理数？ 【解析】（1） 所以原式得证. （2）为奇数时， 时，，其中，成立 时， ，其中，成立 时， ，其中，成立， 则当时， 所以得到 因为均为整数，所以也均为整数， 故原式成立； 为偶数时， 时，，其中， 时， ， 其中，成立， 时， ， 其中，成立， 则当时， 所以得到 其中， 因为均为整数，所以也均为整数， 故原式成立； 综上可得：对任何正整数，存在多项式函数，使得对所有实数均成立，其中，均为整数，当为奇数时，，当为偶数时，； （3）由（2）可得 其中均为有理数， 因为为无理数，所以均为无理数， 故为无理数， 所以不是有理数. 23．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若且，则． （1）判断是否正确，说明理由； （2）证明：“”是“”的充分条件； （3）证明：若，则． 【解析】证明如下： （1）正确，证明如下： 由①，，由②知； 从而，； 由③知； （2）由②知，若，则，故只需证明任意正整数即可； 由（1）知，，假设正整数，则； 由数学归纳法知：任意正整数； 即“”是“”的充分条件； （3）先证：若，则： 由②知，若，∵，∴则； 由③知，且 于是，从而 由②知，， 再证：若，则 由上述证明可知，又，则 于是，同理，从而 ∴，于是， ∴，同理 ∴ 24．已知的三边长都是有理数，求证： （1）是有理数； （2）对任意正整数，和是有理数. 【解析】（1）由AB､BC､AC为有理数及余弦定理知 是有理数. （2）用数学归纳法证明和都是有理数. ①当时，由（1）知是有理数， 从而有=1-cos2A也是有理数. ②假设当时， 和都是有理数. 当时， 由 由①和归纳假设，知和都是有理数. 即当时，结论成立. 综合①､②可知，对任意，和都是有理数. 【点睛】数学归纳法证明过程中注意必须由假设的结论出发加以推导，如果推导出结论过程中没有用到假设的结论，则不正确. 25．如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推. （1）写出点和的坐标； （2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明. 【解析】（1）由得：，即； 直线方程为：，即， 令，解得：，； 直线方程为：，由得：，即； 直线方程为：，即， 令，解得：，； 直线方程为：， 由得：，即； 直线方程为，即， 令，解得：，； （2）由（1）猜想的坐标为， 设，，则直线的方程为：， 令，解得：，， 直线的斜率为，即，即， ， 用数学归纳法证明的坐标如下： ①当时，满足； ②假设当时，成立， 那么当时，由得： ，解得：， 即当时，成立； 综上所述：. 26．已知为有穷正整数数列，，且.从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列.若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖数列. (1)判断数列和数列是否为全覆盖数列； (2)在数列中，若，求证：当时，； (3)若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列. 【解析】（1）对于，有，但该数列不存在和为的子列，故不是全覆盖数列； 对于，有， 由； ； 可知是全覆盖数列； （2）由题知，．若不成立，则，那么与假设矛盾， ∵，即，① 又， ∴， ∴， 由①②得，， ∴， 当时，， 得，命题成立， 此时，当时，成立， 当时，得， 同理可得，， 归纳可得，当时，， 综上可得，命题成立； （3）下面证明，当时，对于任意的， 存在子列，其中，使得， （i）当时，，∴当时，有， 当时，则， ∴．对于任意，命题成立， 或．对于任意，命题成立， （ii）假设当时，命题成立． 即对于任意的正整数，存在子列， 其中，使得， 则当时，对于任意的正整数； ①当正整数时，由假设成立， 存在子列，其中， 使得； ②当正整数时， ∵，∴．若，则此时成立， 若，则， 由假设，存在子列，其中， 使得， 整理得， 此时，即命题成立； 综上，对于任意的，存在子列， 其中，使． ∴数列为全覆盖数列． 27．设，若，且不存在，使得依次成等差数列，则称为的简单集，元素个数最多的简单集称为的最大简单集，的最大简单集的元素个数记为. (1)写出4的所有最大简单集，并求； (2)设，证明：，并求； (3)设，若对任意，都有恒成立，证明：. 【解析】（1）若，， 由简单集及最大简单集定义可知，4的最大简单集为或． 故. （2）设．若为的最大简单集， 且，则． 由于为的简单集，为的简单集， 由最大简单集的定义可知， 故． 因此当时，①， 下面求： 由于，由①可知． 其中中最多只能取三个数：或； 中最多也只能取三个数：或． 若，共四种情况：或或或. 在和中，成等差数列； 在和中，成等差数列； 以上情况均不满足定义，故． 若，则和恰有一个集合有三个数， 依据对称性，不妨设该集合为，三个数为或． 则中选两个数，且不能选7（否则成等差数列）， 故只有三种情况：5，6；5，8；6，8． 若选两数为，则在与中，为等差数列； 若选两数为，则在中，为等差数列； 在中，为等差数列； 若选两数为，则在与中，为等差数列； 均不满足定义，故． 又为简单集，故. （3）一方面，对，若是的最大简单集， 则必为的简单集，故②， 下面证明：当，不满足结论“对任意，恒成立”． 即证：当时，存在，使得. 证明：当时，由①②可知，， 又因为为简单集，所以， 故可知，当时，存在，满足且， 故当，不满足结论“对任意，恒成立”，得证. 另一方面，我们先求出. 对于，可知． 若，因为，所以在中最多选个数， 故必选，因此也不能选； 同理，在中最多选个数，故必选，因此也不能选； 又由选可知，不能选；选可知，不能选； 此时，最大简单集中不能出现，因此必选； 而中，成等差数列，故； 对于，由， 若，同理可知，必属于最大简单集， 此时，最大简单集中不能出现， 则在中需选个数，共种情况， 或或或， 其中分别包含等差数列；；；，故. 下面再证明： 当时，对任意，都有恒成立， 即证：对任意，都有恒成立， 下面用数学归纳法证明： （i）当时，由①及上面分析可知； 当时，； 当时，； 当时， （ii）假设当时，有， 则当时，由（1）可知. 故当时，命题也成立． 根据（i）（ii）可知，对任意，都有恒成立. 自然地，当时，，故对任意时，恒成立． 综上所述，若，则“”是“对任意，都有恒成立”的充要条件. 即：若对任意，都有恒成立，则有，得证. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是理解并应用定义挖掘以下性质并应用： （1）当时，； （2）对，若是的最大简单集，则必为的简单集，且. 1．（2025·东南大学强基计划），用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求  . 【答案】 【解析】因为，， 所以， 同理， 猜想：， ①当时，成立； ②假设时成立，即， 则时， ， 所以，猜想成立， 综上可得：对，都有成立； 故数列为公差为2，首项为的等差数列， 则. 2．（2024·北京大学强基计划），用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求  . 【答案】 【解析】因为，， 所以， 同理， 猜想：， ①当时，成立； ②假设时成立，即， 则时， ， 所以，猜想成立， 综上可得：对，都有成立； 故数列为公差为2，首项为的等差数列， 则. 3．（2024·中国科技大学创新营数学考试），求所有的，使得中有无穷多项为正整数. 【答案】 【解析】由题可知， 若，则，即； 若，则，即； ①当时，可用数学归纳法证， 若，则， 则数列递减，不存在无穷多项为正整数. ②当时，同①可用数学归纳法证：且递增. 则不存在无穷多项为正整数. ③当时，，同②可用数学归纳法证：且递增， 则不存在无穷多项为正整数. ④当时， 为常数列，符合要求. 综上，时，存在无穷多项为正整数. 4．（2024年全国第四届章鱼杯联赛）数列满足且，，，构成等差数列. (1)试求出所有三元实数组(α,β,γ)，使得为等比数列. (2)若，求的通项公式. 【解析】（1）依题意得 设， 则   又因为，则 从而为常数， 由的任意性知 ，于是，又由于等比数列中不能有， 故， 于是， 此时恒为 ，满足等比数列的要求. （2）记   注意到是关于的一元二次方程的两根，故 下面归纳证明：， 当时，结论显然成立； 对，假设结论对成立， 注意到，故 从而结论对也成立，完成归纳. 综上. 5．(全国高中数学联赛模拟试题)设数列满足.求证：. 【解析】令，得，则. 令，得，则.① 令，得.② 根据①得：，于是，.③ 另一方面，由②､①得 .④ 由③､④得递推关系式 . 由此可得，猜测. 下面用数学归纳法证明这个猜想： 对于，结论显然成立； 假定，则有， 所以当时等式成立.因此，成立. 对于，有. 所以. 6．(全国高中数学联赛模拟试题)已知.证明：当时，. 【解析】（1）当时，左边；右边； 因为，所以，所证不等式成立. （2）假设时不等式成立，即成立. 当时， ， 所以，当时，不等式也成立. 由（1）､（2）可知，当时，所证不等式成立. 7．．(全国高中数学联赛模拟试题)求所有的函数，满足，且对于所有整数，有. 【解析】令，得，即 .① 令，得，所以或2. 若，由①，. 令，得.但不成立，矛盾. 若，由条件，对任意的整数，有. 令，得，即. 所以，为偶函数. 根据①由数学归纳法可证明，对任意正整数，有. 再由为偶函数知对于任意的整数，有. 经验证，满足条件. 综上，满足条件的函数只有一个：. 8．(浙江数学夏令营)已知数列满足，，. （1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围； （2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值. 【解析】解 （1）必要条件：，解得，此时. 设时，， 则当时，， 因为，，故， 由数学归纳法可知时，有. （2）由题意有，，，则，. 因为，故， 若，则，则恒成立，这不可能成立， 故， 猜想：，下面利用数学归纳法证明. 当时， 设当时，有， 则当时， ； 另一方面： . 由数学归纳法可得猜想成立. 因为对任意大于1的正整数，有恒成立， 故，故对任意大于1的正整数，有恒成立， 取，则， 取，则，故， 而，故. 下证：, 当时，由的取值范围的来源可得不等式成立， 设当时，， 则当时， 而 ()， 所以， 又 而 ， 故成立， 由数学归纳法得到对任意的恒成立， 故的最小值为： 9.(2019全国高中数学联赛A卷)设m为整数，.整数数列满足：不全为零，且对任意正整数n，均有.证明：若存在整数r、s(r>s≥2)使得，则. 【解析】不妨设互素(否则，若，则与互素，并且用代替条件与结论均不改变). 由数列递推关系知① 以下证明：对任意整数n≥3，有② 事实上，当n=3时②显然成立.假设n=k时②成立(其中k为某个大于2的整数)，注意到①，有，结合归纳假设知 ， 即n=k+1时②也成立.因此②对任意整数n≥3均成立. 注意，当时，②对n=2也成立. 设整数r、s(r>s≥2)，满足. 若，由②对n≥2均成立，可知 ， 即，即③ 若，则，故r>s≥3. 此时由于②对n≥3均成立，故类似可知③仍成立. 再证明a2，m互素： 事实上，假如a2与m存在一个公共素因子p，则由①得p为的公因子，而互素，故，这与矛盾. 因此，由③得.又r>s，所以. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $