21.1.1　四边形及其内角和（教学课件）-2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形　 21.1　四边形及多边形　 21.1.1 　四边形及其内角和 初中数学人教版（2024）八年级下册 学习目标 1.理解并掌握四边形的概念及相关定义.(重点) 2.探索四边形的内角和与外角和，并能解决问题.(重点、难点) 3.了解四边形的不稳定性. 课堂引入 1.类比三角形的概念，你能说出什么是四边形吗？ 2.任意三角形的内角和等于180°，试着猜想四边形的内角和是多少度. 一、 四边形的定义及相关概念 问题1　自学阅读课本第46~47页，并回答以下问题： (1)四边形的概念是什么？ (2)四边形的表示方法是什么？四边形的对角线是什么？ (3)四边形的外角是什么？ 知识梳理 1.定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段　　　　 相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.四边形用表示它的各个顶点的字母表示，如图中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”. 2.连接四边形 的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 3.四边形的角的一边与另一边的 组成的角叫作四边形的外角. 首尾顺次 不相邻 延长线 二、 四边形的内角和与外角和 问题2　(1)我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°.那么，任意一个四边形的内角和是多少度？ 提示　如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC， 则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形， 在ABC中，由三角形内角和定理， 得∠1+∠B+∠3=180°，∠2+∠4+∠D=180°， 由此可得∠DAB+∠B+∠BCD+∠D =∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D =(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D) =180°+180°=360°. 即四边形的内角和等于360°. (2)如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和，四边形的外角和等于多少？ 提示　∵∠DAB与∠1是邻补角， ∴∠DAB+∠1=180°， 同理，∠ABC十∠2=180°. ∠BCD+∠3=180°，∠CDA+∠4=180°， ∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°. 而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°， ∴∠1十∠2+∠3+∠4=360°. 这样，我们就证明了四边形的外角和等于360°. 知识梳理 1.四边形的内角和等于 . 2.四边形的外角和等于 . 360° 360° 例1　如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 解　如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°. ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°， ∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°. 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 跟踪训练1　如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ADC=110°. (1)求∠ABE的度数； 解　∵∠A+∠C+∠ADC+∠ABC=360°，∠A=∠C=90°，∠ADC=110°， ∴∠ABC=70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠ABC=×70°=35°. 跟踪训练1　如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ADC=110°. (2)求证：DF∥BE. 证明　由(1)可知∠CBE=∠ABE=35°， 又∵∠C=90°，∴∠BEC=55°， ∵DF平分∠ADC，∠ADC=110°， ∴∠FDC=55°，∴∠FDC=∠BEC， ∴BE∥DF. 三、 四边形的不稳定性 问题3　如图(1)，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图(2)，在四边形木架上再钉一根本条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ 提示　四边形木架的形状会改变；再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，这时形状不会改变. 知识梳理 1.三角形具有 . 2.四边形具有 . 稳定性 不稳定性 例2　如图，ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD上钉上一根木条，现量得BC=8 cm，CD=6 cm，AB=4 cm，AD=5 cm，试问一根3 cm长的木条，能否满足要求，并说明理由. 解　能满足要求，理由如下： 如图，∵四边长分别为BC=8 cm，CD=6 cm，AB=4 cm，AD=5 cm，它的形状是不稳定的， ∴BC-AB<AC<BC+AB，DC-AD<AC<DC+AD， ∴4<AC<12，1<AC<11， ∴AC的取值范围是4<AC<11， 同理AD-AB<BD<AD+AB，BC-DC<BD<BC+DC， ∴1<BD<9，2<BD<14， ∴BD的取值范围是2<BD<9. ∴一根3 cm长的木条能满足要求. 跟踪训练2　下列图形具有稳定性的是 √ 解析　具有稳定性的图形是三角形. 课堂小结 1.下列多边形中，是四边形的是 课堂练习 √ 2.如图，从△ABC纸片中剪去△ADE，得到四边形DBCE，且∠1+∠2=245°，则∠A的度数是 A.25° B.55° C.65° D.115° √ 解析　∵∠1+∠2=245°， ∴∠C+∠B=115°， ∴∠A=180°-∠C-∠B=65°. 课堂练习 3.以下生活现象不是利用三角形稳定性的是 √ 课堂练习 解析　A项，木窗框与对角钉的木条形成三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B项，活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C项，伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D项，小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性. 课堂练习 4.如图，求图形中x的值. 解　140+90+2x=360，解得x=65. 所以图形中x的值为65. 课堂练习 谢谢 $