21.2.1　平行四边形及其性质第2课时（教学课件）-2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形　 　 21.2.1　平行四边形及其性质 第2课时　 平行四边形性质综合应用 初中数学人教版（2024）八年级下册 学习目标 1.掌握两条平行线之间的距离相等的性质.(重点) 2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.(难点) 3.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路. 课堂引入 1.平行四边形的定义是什么？ 2.平行四边形的边、角、对角线有什么性质？ 一、 平行四边形的性质综合应用 例1　如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O.过点O作直线EF，分别交AB，CD于点E，F.求证：OE=OF. 证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OD=OB， ∴∠ODF=∠OBE，∠DFO=∠BEO， ∴△DOF≌△BOE(AAS)， ∴OE=OF. 反思感悟 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等. 跟踪训练1　如图，在▱ABCD中，▱ABCD的周长为16，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，则△CDE的周长是多少？ 解　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，OA=OC， ∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+CD)=16. ∴AD+CD=8. ∵OE⊥AC，OA=OC， ∴AE=CE， ∴△CDE的周长为CD+CE+DE=CD+AE+DE=AD+CD=8. 二、 两条平行线之间的距离 问题　(1)若m∥n，作AB∥CD∥EF，分别交m于点A，C，E，交n于点B，D，F. 由平行四边形的定义易知四边形ABDC，CDFE均为　　　　　.由平行四边形的性质得　　　　　　.  结论：　　　　　　　　　　 　　.  平行四边形 两条平行线之间的任何平行线段都相等 AB=CD=EF (2)若m∥n，AB，CD，EF垂直于n，交n于B，D，F，交m于A，C，E. 同前面易得　　　　　　.结论：在两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离都　　　.  相等 AB=CD=EF 知识梳理 1.两点间的距离：连接两点的线段的长度.   2.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.   3.(1)两条平行线之间的任何两条平行线段都 . (2)两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这 .两条平行线间的距离处处相等. 相等 两条平行线之间的距离 例2　(课本P58例3)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，求证∠B=∠C. 证明　如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F. ∵AE，DF的长都是平行线AD，BC之间的距离， ∴AE=DF. 又AB=DC， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF. ∴∠B=∠C. 跟踪训练2　(1)如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4 cm，S△ABC=12 cm2，求△ABD中AB边上的高. 解　S△ABC=AB·BC=×4BC=12(cm2)， ∴BC=6 cm. ∵AB∥CD， ∴点D到AB边的距离等于BC的长度， ∴△ABD中AB边上的高为6 cm. (2)如图所示，M是▱ABCD的边AD上任意一点，若△CMB的面积为S，△CDM的面积为S1，△ABM的面积为S2，则下列S，S1，S2的大小关系中正确的是 A.S>S1+S2 B.S=S1+S2 C.S<S1+S2 D.S与S1+S2的大小关系无法确定 √ 解析　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC， ∵△CMB的面积为S=BC·高，△CDM的面积为S1=MD·高，△ABM的面积为S2=AM·高， 而它们的高都是等于平行四边形的高， ∴S1+S2=MD·高+AM·高=(MD+AM)·高=AD·高=BC·高=S， 则S，S1，S2的大小关系是S=S1+S2. 三、 平行四边形中“平行线+角分线” 例3　如图，在 ▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，BC=5，EF=1，则AB长为 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 解析　∵四边形ABCD是平行四边形，BC=5， ∴AD∥BC，AD=BC=5，DC=AB， ∴∠AFB=∠CBF，∠DEC=∠BCE， ∵BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E， ∴∠ABF=∠CBF，∠DCE=∠BCE， ∴∠AFB=∠ABF，∠DEC=∠DCE， ∴AF=AB，DE=DC=AB， ∵EF=1， ∴AF+DE=2AB=AE+EF+DE=AD+EF=5+1=6， ∴AB=3. 反思感悟 过平行四边形一个内角的角平分线交平行四边形的对边或对边的延长线围成一个等腰三角形，从而得到的两条线段相等. 跟踪训练3　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，∠DAB的平分线AE交线段CD于点E，则EC=　　 .  解析　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC=AB. ∴∠DEA=∠EAB， ∵∠DAB的平分线AE交DC于点E， ∴∠EAB=∠DAE， ∴∠DEA=∠DAE， ∴AD=DE， ∵AD=3，AB=5， ∴EC=DC-DE=AB-AD=5-3=2. 2 课堂小结 1.如图，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积 A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定 课堂练习 √ 解析　∵a∥b， ∴a，b之间的距离是固定的， ∵△ABC的高和a，b之间的距离相等， 所以△ABC的高、底边都是固定的， 所以它的面积不变. 2.如图，E是平行四边形内任一点，若S▱ABCD=8，则图中阴影部分的面积是　　.  4 解析　设两个空白部分三角形的底为AB，DC，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴S△ABE+S△DCE=AB·h1+DC·h2 =AB(h1+h2)=S▱ABCD=4， ∴阴影部分的面积为8-4=4. 课堂练习 3.如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC=10，BC边上的高为6，则阴影部分的面积为　　 .  30 解析　如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OB=OD，∠OBE=∠ODH， ∵∠EOB=∠HOD，∴△OBE≌△ODH(ASA)，同理△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB， ∴S阴影=S△BCD=S▱ABCD=×6×10=30. 课堂练习 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F.求∠1的大小. 解　∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°， ∴AD∥BC，即ED∥BF，∠ADC=∠ABC=70°， 又∵BE∥DF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴∠EBF=∠EDF. ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBF=∠ABC=35°， ∴∠EDF=35°， ∴∠1=∠ADC-∠EDF=70°-35°=35°. 课堂练习 谢谢 $