内容正文：
第二十一章四边形
21.2.2 平行四边形的判定
第2课时
平行四边形的判定定理4及应用
初中数学人教版（2024）八年级下册
学习目标
1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.(重点)
2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.(难点)
课堂引入
如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立：
(1)∵AB∥CD， ，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)∵AB=CD， ，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(3)如果只考虑一组对边，它们满足什么条件时，这个四边形能成为平行四边形？
一、
平行四边形的判定
问题 我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形，如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，求证：四边形ABCD是平行四边形.
提示 如图，连接AC.
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴BC=DA.
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识梳理
平行四边形判定定理4：一组对边 的四边形是平行四边形.
几何语言：
如图，在四边形ABCD中，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行且相等
例1 (课本P62例5)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：DE綉BF.
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB綉CD，
又EB=AB，DF=CD，
∴EB綉DF，
∴四边形EBFD是平行四边形.
∴DE綉BF.
跟踪训练1 (1)已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的是
A.AB∥CD，AB=CD
B.AB∥CD，BC∥AD
C.AB∥CD，BC=AD
D.AB=CD，BC=AD
√
(2)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC.求证：四边形BFCE是平行四边形.
证明 ∵AB=DC，
∴AB+BC=DC+BC，即AC=DB，
在△ACE和△DBF中，
∴△ACE≌△DBF(SAS)，
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，∴CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形.
二、
平行四边形的性质与判定的综合运用
例2 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？
解 BF=CE.理由如下：
∵DF∥BC，EF∥AC，
∴四边形FECD是平行四边形，
∠FDB=∠DBE，
∴FD=CE.
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD=∠EBD，
∴∠FBD=∠FDB，
∴BF=FD，
∴BF=CE.
跟踪训练2 如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，折痕l交CD边于点E，连接BE.求证：四边形BCED'是平行四边形.
证明 由题意得∠DAE=∠D'AE，∠DEA=∠D'EA，∠D=∠AD'E，
∵DE∥AD'，∴∠DEA=∠EAD'，
∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA，
∴∠DAD'=∠DED'，
∴四边形DAD'E是平行四边形，∴DE=AD'.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴CE∥D'B，CE=D'B，
∴四边形BCED'是平行四边形.
课堂小结
1.在四边形ABCD中，AD∥BC，再从下列四个条件中：①AB∥CD；②AB=CD；③AD=BC；④∠B=∠C任选一个，能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是 .
课堂练习
①或③
解析 添加①，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形；
添加②，不能判定四边形ABCD为平行四边形；
添加③，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形；
添加④，不能判定四边形ABCD为平行四边形.
2.如图所示，在四边形ABCD中，∠1=∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形.可添加的条件是 .(只填一个即可)
AB=CD(答案不唯一)
解析 添加AB=CD，
∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂练习
3.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40 cm，两邻边的比是3∶2，则较长边的长度是
A.8 cm B.10 cm
C.12 cm D.14 cm
√
课堂练习
4.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形.
证明 ∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴AB=DE.
∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE，
∴四边形ABED为平行四边形.
课堂练习
易证 AE∥CF，只需再证 AE = CF 或 AF∥CE .
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD = BC，AD∥BC，
∴∠ADE = ∠CBF.
又 AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
∴易得∠AED = ∠CFB = 90°，AE∥CF.
∴△AED≌△CFB（AAS），∴AE = CF.
∴四边形 AFCE 为平行四边形.
5. 如图，在 ▱ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过 A，C 两点分别作 AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F .
求证：四边形 AFCE 是平行四边形.
【选自教材第62页 练习 第2题】
6. 如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个平行四边形？为什么？
解：有 6 个平行四边形.
A
B
C
D
E
F
O
□ ABOF
□ AOEF
□ ABCO
□ BCDO
□ CDEO
□ DEFO
【选自教材第62页 练习 第3题】
谢谢
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