21.3.1　矩形第1课时 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形　 　21.3.1　矩　形 第1课时　矩形的性质 初中数学人教版（2024）八年级下册 学习目标 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.(重点) 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.(难点) 3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.(重点) 课堂引入 回顾一下平行四边形及其边、角、对角线都有哪些性质. 一、 矩形的定义及性质 问题1　如图，现有一个活动的平行四边形，使它的一个内角变化，当内角变化为90°时，这是我们学过的哪个图形？ 提示　我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，会得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示. 问题2　因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？请同学们以小组为单位，测量身边的矩形(如书本等)的四个角度数和对角线的长度，并记录测量结果. 根据测量结果证明以下猜想. (1)猜想1：矩形的四个角都是直角； 提示　如图，四边形ABCD是矩形，∠A=90°. 求证：∠B=∠C=∠D=∠A=90°. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∠A=90°， ∴∠C=∠A=90°，∠B=∠D，AD∥BC. ∴∠B+∠A=180°， ∵∠A=90°， ∴∠B=180°-∠A=180°-90°=90°， ∴∠D=90°， ∴∠B=∠C=∠D=∠A=90°. 提示　如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：AC=DB. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠DCB=∠ABC=90°， 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB， ∴AC=DB. (2)猜想2：矩形的对角线相等. 知识梳理 1.矩形的定义：有一个角是 的平行四边形叫作 ，矩形也就是长方形. 2.作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，另外，矩形还有以下性质： (1)矩形的四个角都是 ； (2)矩形的对角线 . 几何语言： 如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. 直角 矩形 直角 相等 例1　下列选项中，矩形具有的性质是 A.四边相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角 √ 跟踪训练1　矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 √ 解析　矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等. 例2　(课本P69例1)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形ABCD的对角线的长. 解　∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分， ∴OA=OB， 又∠AOB=60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8. 跟踪训练2　(1)如图，矩形ABCD的对角线交于点O.若∠BAO=55°，则∠AOD等于 A.110° B.115°　　　　 C.120°　 D.125° √ 解析　∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分，∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=55°， ∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°. (2)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE∥BD，且交CB的延长线于点E，求证：∠EAB=∠CAB. 证明　∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB. ∴∠OAB=∠OBA. ∵AE∥BD， ∴∠EAB=∠OBA. ∴∠EAB=∠CAB. 二、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 问题3　如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半. 在Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？ 提示　BO是Rt△ABC中斜边AC上的中线，根据矩形的性质，可得BD=AC，所以BO=BD=AC. 知识梳理 直角三角形斜边上的中线等于 . 几何语言： 如图，∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O在AC上， 且OA=OC， ∴OB=AC. 斜边的一半 例3　如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点. (1)若AB=10，AC=8，求四边形AEDF的周长； 解　∵AD是△ABC的高， E，F分别是AB，AC的中点， ∴DE=AE=AB=×10=5， DF=AF=AC=×8=4， ∴四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18. 例3　如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点. (2)求证：EF垂直平分AD. 证明　∵DE=AE，DF=AF， ∴E，F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 反思感悟 当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解. 跟踪训练3　(1)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线. ①若BD=3 cm，则AC=　　cm；  ②若∠C=30°，AB=5 cm，则AC=　　cm，BD=　　cm.  6 10 5 (2)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点.若AD=6，DE=5，则CD的长等于　　.  8 解析　∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE=5， ∴AC=2DE=10. 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10， 则根据勾股定理，得CD===8. 课堂小结 1.若直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为 A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 课堂练习 √ 解析　∵直角三角形的两条直角边长分别为5和12，∴斜边长为13， ∴斜边上的中线长为=6.5. 2.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是 A.20°　　　　B.40°　　　　C.80°　　　　D.10° √ 解析　如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OB=BD， OC=AC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠1， ∵∠1=40°， ∴∠AOB=∠1+∠OBC=2∠1=80°. 课堂练习 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则EF=　　　cm.  2.5 解析　∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD， ∵AB=6 cm，BC=8 cm， ∴由勾股定理得BD=AC==10(cm)， ∴DO=BD=5(cm)， ∵点E，F分别是AO，AD的中点， ∴EF=OD=2.5(cm). 课堂练习 4.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E. (1)求证：BD=BE； 证明　∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AC=BD， ∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形， ∴BE=AC，∴BD=BE. 课堂练习 4.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E. (2)若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积. 解　∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB=90°，BO=BD，AB=CD， ∴∠BCE=90°， ∵∠DBC=30°，∴DC=BD，∴DC=BO， ∵BO=4，∴BD=8，DC=4， 课堂练习 4.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E. (2)若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积. 解　∴在Rt△BCD中，BC==4， 由(1)知四边形ABEC是平行四边形， ∴CE=AB=CD=4， ∴S四边形ABED=S矩形ABCD+S△BCE=BC·CD+CE·BC =4×4+×4×4=24. 课堂练习 谢谢 $