21.3.1　矩　形 第2课时（教学课件）-2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形　 　21.3.1　矩　形 第2课时　矩形的判定 初中数学人教版（2024）八年级下册 学习目标 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理.(重点) 2.能应用矩形的判定定理解决简单的证明题和计算题.(难点) 课堂引入 1.矩形的定义是什么？ 2.矩形有哪些性质？这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？ 一、 矩形的判定定理1 问题1　类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形， 且AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. 提示　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥DC， 又AC=BD，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB(SSS)， ∴∠ABC=∠DCB， ∵AB∥DC， ∴∠ABC+∠DCB=180°， ∴∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 知识梳理 矩形的判定定理1：对角线 的平行四边形是矩形. 几何语言： 如图，∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形. 相等 例1　如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数. 解　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD， 又OA=OD， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°. 又∠OAD=50°， ∴∠OAB=40°. 跟踪训练1　如图，在▱ABCD中，∠1=∠2.四边形ABCD是矩形吗？为什么？ 解　四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=AC，OB=BD， 又∵∠1=∠2， ∴OA=OB， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形. 二、 矩形的判定定理2 问题2　前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 提示　逆命题成立；四个角都是直角的四边形是矩形；如图，至少有三个角是直角的四边形是矩形. 知识梳理 矩形的判定定理2：有 是 的四边形是矩形. 几何语言： 如图，∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 三个角 直角 例2　(课本P71例2)如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形. 证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°. 又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC， ∴∠DAF+∠ADF=∠BAD+∠ADC=(∠BAD+∠ADC)=90°， ∴∠F=90°， 同理∠H=∠AEB=90°， ∴∠FEH=∠AEB=90°， ∴四边形EFGH是矩形. 反思感悟 题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形. 跟踪训练2　如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形. 证明　∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC. 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE=∠CAE=∠CAM， ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=(∠BAC+∠CAM)=90°. 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC=∠CEA=90°， ∴四边形ADCE为矩形. 课堂小结 判定一个四边形是矩形的思路 1.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是 A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC 课堂练习 √ 2.如图，直线EF∥MN，PQ分别交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的平分线，则四边形ABCD是 A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 √ 课堂练习 3.(课本P71练习第2题)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=2， 求▱ABCD的面积. 解　∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∴OA=OC=OB=OD， ∴AC=BD， 课堂练习 3.(课本P71练习第2题)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=2， 求▱ABCD的面积. 解　∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∵OA=AB=2，AC=2OA=4， ∴由勾股定理得BC==2， ∴▱ABCD的面积是BC·AB=2×2=4. 课堂练习 4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.求证：四边形ADCF是矩形. 证明　∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是线段AD的中点， ∴AE=DE， ∵∠AEF=∠DEB， ∴△BDE≌△FAE(AAS)， ∴AF=BD， 课堂练习 4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.求证：四边形ADCF是矩形. 证明　∵D是线段BC的中点， ∴BD=CD，∴AF=CD， ∵AF∥CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB=AC， ∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCF为矩形. 课堂练习 谢谢 $