21.3.2　菱　形第1课时 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章四边形　 　21.3.2　菱　形 第1课时　菱形的性质 初中数学人教版（2024）八年级下册 学习目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理.(重点) 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.(难点) 课堂引入 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到的，即当平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形. 一、 菱形的定义及性质 问题1　预习课本P72~P73思考： 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变，仅改变边的长度，让它有一组邻边相等，如图所示，这个特殊的平行四边形叫什么呢？ 提示　菱形. 问题2　预习课本P72~P73思考： (1)将一张矩形的纸按如图所示的方式对折、再对折，然后沿图③中的虚线剪下，打开后你知道它是什么图形吗？ 提示　菱形. (2)在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形(如图)，并回答以下问题： 提示　是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴. ①菱形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴； 提示　菱形的四条边都相等； ②根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系？ ③猜想菱形的两条对角线有什么关系？并证明你的猜想. 提示　菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证：AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD(平行四边形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中，∵OB=OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 知识梳理 1.定义：有一组 的平行四边形叫作菱形. 注意点：(1)菱形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一组邻边相等，二者缺一不可. (2)菱形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是菱形. 邻边相等 知识梳理 2.菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 (1)对称性：是轴对称图形. (2)边：四条边都相等. (3)对角线：互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 (1)角：对角相等. (2)边：对边平行且相等. (3)对角线：互相平分 例1　如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=12 cm，AC=6 cm，求菱形的周长. 解　∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， AO=AC，BO=BD. ∵AC=6 cm，BD=12 cm， ∴AO=3 cm，BO=6 cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理得 AB===3(cm)， ∴菱形的周长=4AB=4×3=12(cm). 跟踪训练1　(1)在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是 A.10 B.12 C.15 D.20 √ (2)如图，菱形ABCD的周长为48 cm，对角线AC，BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为　　cm.  6 二、 菱形的面积 问题3　(1)如图，菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形ABCD的面积呢？ 提示　能，过点A作AE⊥BC于点E，如图， 则S菱形ABCD=底×高=BC·AE. (2)前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢？ 提示　∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴S菱形ABCD=S△ABC+S△ADC =AC·BO+AC·DO =AC·(BO+DO) =AC·BD. 知识梳理 菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半. 例2　(课本P73例3)如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位). 解　设AC，BD相交于点O. ∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°， 在Rt△ABO中，AO=AB=×20=10(cm)， BO===10(m)， ∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20≈34.64(m)， 花坛的面积S菱形ABCD=4×S△ABO=4×AO·BO=200≈346.4(m2). 反思感悟 菱形面积的计算方法： (1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积. (2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍). (3)两条对角线长度乘积的一半. 跟踪训练2　(1)已知菱形的两对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长和面积. 解　如图，∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=6， ∴AC⊥BD，AO=AC=4，BO=BD=3， 在Rt△AOB中，AB===5， ∴C菱形ABCD=4×5=20， S菱形ABCD=×6×8=24. (2)如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA=5，OB=12.求菱形ABCD两对边的距离h. 解　在Rt△AOB中，OA=5，OB=12， ∴S△AOB=OA·OB=×5×12=30， ∴S菱形ABCD=4S△AOB=4×30=120. ∵AB===13， 又S菱形ABCD=AB·h=13h， ∴13h=120，解得h=. ∴菱形ABCD两对边的距离h为. 课堂小结 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 课堂练习 √ 2.如图，已知菱形ABCD的两条对角线BD，AC分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的高DE为 A.2.4 cm B.4.8 cm C.5 cm D.9.6 cm √ 课堂练习 3.填空. (1)已知菱形ABCD的周长是12 cm，那么它的边长是　　cm；  (2)菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11 cm，菱形的周长为　　cm.  3 44 课堂练习 4.如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm. 求：(1)对角线AC的长度； 解　∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AED=90°，DE=BD=×10=5(cm). ∴AE===12(cm). ∴AC=2AE=2×12=24(cm). 课堂练习 4.如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm. 求：(2)菱形ABCD的面积. 解　菱形ABCD的面积为BD·AC=×10×24=120(cm2). 课堂练习 谢谢 $