21.3.2　菱　形第2课时 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章四边形　 　21.3.2　菱　形 第2课时　菱形的判定 初中数学人教版（2024）八年级下册 学习目标 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理.(重点) 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.(难点) 情境引入 我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形.除此之外，还能找到其他的判定方法吗？本节我们来学习. 一、 菱形的判定定理1 问题1　预习课本P74~P75思考： 如图，用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想？ 提示　当两根木条互相垂直时，这个平行四边形变成菱形. 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 知识梳理 菱形的判定定理1：对角线 的平行四边形是菱形. 几何符号语言： ∵如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形. 互相垂直 例1　如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，求证：四边形AFCE是菱形. 证明　∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥FC， ∴∠1=∠2， ∵EF垂直平分AC， ∴AO=CO. 又∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF， ∴EO=FO， ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形. 跟踪训练1　如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：▱ABCD是菱形. 证明　∵AB=5，AO=4，BO=3， ∴AB2=AO2+BO2， ∴△OAB是直角三角形， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形. 二、 菱形的判定定理2 问题2　预习课本P74~P75思考： 已知线段AC，用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线. 小刚的作法如下：如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D四点，四边形ABCD是菱形. 根据小刚的作法猜想有什么条件可以判定一个四边形是菱形？对你的猜想进行证明. 提示　猜想：四条边都相等的四边形是菱形. ∵AB=CD，BC=AD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. 知识梳理 菱形的判定定理2： 的四边形是菱形. 几何符号语言： ∵如图，AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 四条边相等 例2　如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH， 求证：四边形EFGH是菱形. 证明　如图，连接AC，BD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. ∵点E，F，G，H为各边中点， ∴EF=GH=BD，FG=EH=AC， ∴EF=FG=GH=EH， ∴四边形EFGH是菱形. 跟踪训练2　如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB=BC，那么以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的有　　　　 .(填序号)  ①②③④ 解析　由平移的性质可得AB∥CE，AC∥BE， ∴四边形ABEC是平行四边形，故①正确； ∵平移△ABC到△BDE的位置， ∴AB=BD=CE，BC=DE， ∵AB=BC， ∴BD=CE=BC=DE， ∴四边形BDEC是菱形，故②正确； ∴BE⊥CD，DC平分∠BDE，故④正确； ∵AC∥BE， ∴AC⊥DC，故③正确. 三、 菱形性质和判定的综合应用 例3　如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； 证明　∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC且2DE=BC. 又∵BE=2DE，EF=BE， ∴EF=BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形. 又∵EF=BE，∴四边形BCFE是菱形. 例3　如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF. (2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积. 解　∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°. ∴△EBC是等边三角形. ∴BC=CE=4， 过点E作EH⊥BC(图略)，则HE==2， ∴菱形BCFE的面积为4×2=8. 跟踪训练3　如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 解　四边形ABCD是菱形.理由如下： ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 过点A分别作BC，CD边上的高AE，AF，如图， 由题意得AE=AF. ∵S▱ABCD=BC·AE=CD·AF， ∴BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形. 课堂小结 1.下列命题中正确的是 A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 课堂练习 √ 2.如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，下列添加的条件中错误的是 A.AB=BC B.AC⊥BD C.∠ABC=90° D.∠1=∠2 √ 解析　A项，添加AB=BC，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意； B项，添加AC⊥BD，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意； C项，添加∠ABC=90°，可判断平行四边形ABCD为矩形，符合题意； D项，添加∠1=∠2，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意. 课堂练习 3.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，添加下列条件，能判定▱ADCE是菱形的是 A.∠BAC=90° B.∠DAE=90° C.AB=AC D.AB=AE √ 课堂练习 解析　添加∠BAC=90°， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD=BC=CD， ∴平行四边形ADCE是菱形，选项A正确； 添加∠DAE=90°， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是矩形，选项B错误； 课堂练习 解析　添加AB=AC，可得到AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴四边形ADCE是矩形，选项C错误； 添加AB=AE， ∵AE=AB，AB不一定等于AD， ∴AE不一定等于AD，无法判断▱ADCE是菱形，选项D错误. 课堂练习 4.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长. 解　∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠DAC=∠ACD， ∴AD=DC， ∴四边形ABCD为菱形， ∴四边形ABCD的周长=4×2=8. 课堂练习 谢谢 $