21.3.3　正方形第1课时 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形　 　21.3.3　正方形 第1课时　正方形的性质 初中数学人教版（2024）八年级下册 学习目标 1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.(难点) 情境引入 正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是菱形，又是矩形，它具有的性质有哪些呢？下面我们一起来学习正方形的有关知识. 一、 正方形的定义及性质 问题1　预习课本P75~P76思考： (1)矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 提示　如图，当矩形的一组邻边相等时，就成了正方形. (2)菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 提示　如图，当菱形的一个角是直角时，就成了正方形. 知识梳理 正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 问题2　预习课本P75~P76思考： 正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.说出正方形的性质并试着证明. 提示　(1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四条边相等，四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AB=AD(正方形的定义). 又∵正方形是平行四边形， ∴正方形是矩形(矩形的定义)， 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AB=BC=CD=AD. 提示　(2)正方形的对角线相等且互相垂直平分. 已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD. 证明：∵正方形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD. 知识梳理 正方形的性质： (1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等. (2)正方形的对角线相等且互相垂直平分. 问题3　预习课本P75~P76思考： (1)请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ (2)正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论一下，能列表或用框图表示出来吗？ 提示　正方形是轴对称图形，有4条对称轴. 提示　如图所示. 例1　正方形具有而菱形不一定具有的性质是 A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对边相等 D.邻边相等 √ 解析　因为正方形的四条边相等，对角相等，对角线相等、垂直且互相平分；菱形的四条边相等，对角相等，对角线垂直且互相平分，所以正方形具有但是菱形不一定具有的性质就是对角线相等. 跟踪训练1　矩形、菱形、正方形都具有的性质是 A.对角互补 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.四条边相等 √ 解析　A项，菱形的对角不互补，故本选项错误； B项，矩形的对角线不互相垂直，故本选项错误； C项，平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确； D项，矩形的四条边不相等，故本选项错误. 例2　(课本P76例5)求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O. 证明　∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°， AO=BO=CO=DO， ∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形， 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形. 跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形.求证：∠EAD=∠EDA=15°. 证明　∵△BEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=∠BAD=∠CDA=90°， ∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°， ∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°. 二、 正方形性质的综合应用 例3　如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F.求证：AP=EF. 证明　如图，连接PC，AC. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FCE=90°，AC垂直平分BD， ∴AP=PC. 又∵PE⊥BC，PF⊥DC， ∴四边形PECF是矩形， ∴PC=EF， ∴AP=EF. 反思感悟 在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线的性质、角平分线的性质、等腰三角形等来证明. 跟踪训练3　(1)如图，在正方形ABCD外侧，作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为 A.75°　　　　B.60°　　　　C.55°　　　　D.45° 解析　∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE=60°，AD=AE， ∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=×(180°-150°)=15°， ∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°. √ (2)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF. 证明　∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， 在△ABE和△BCF中， 　 ∴△ABE≌△BCF(SAS). 课堂小结 1.一个正方形的对角线长为2 cm，则它的面积是 A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2 课堂练习 √ 解析　根据正方形的性质可得，正方形面积为×2×2=2(cm2). 2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是　　　.  22.5° 解析　∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC=90°，∠BAC=45°， 又∵AE=AB， ∴∠ABE=∠AEB=67.5°， ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°. 课堂练习 3.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为　　.  3 解析　∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵∠B=60°. ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=3， ∵四边形ACEF是正方形， ∴EF=AC=3. 课堂练习 4.如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠AED=∠FBC中，正确的是　　　　.(填序号)  ①②④ 解析　在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD， ∵CE=DF， ∴AD-DF=CD-CE， 即AF=DE， ∵∠BAF=∠D=90°， ∴△ABF≌△DAE(SAS)， ∴AE=BF，故①正确； 课堂练习 4.如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠AED=∠FBC中，正确的是　　　　.(填序号)  ①②④ 解析　∴∠ABF=∠DAE， ∵∠DAE+∠BAO=90°， ∴∠ABF+∠BAO=90°， 在△ABO中，∠AOB=180°-(∠ABF+∠BAO)=180°-90°=90°， ∴AE⊥BF，故②正确； 课堂练习 4.如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠AED=∠FBC中，正确的是　　　　.(填序号)  ①②④ 解析　假设AO=OE，连接BE(图略)， ∵AE⊥BF(已证)， ∴AB=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)， ∵在Rt△BCE中，BE>BC， ∴AB>BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾， 所以假设不成立，AO≠OE，故③错误； 课堂练习 4.如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠AED=∠FBC中，正确的是　　　　.(填序号)  ①②④ 解析　∵△ABF≌△DAE，AD∥BC， ∴∠AFB=∠AED，∠AFB=∠CBF， ∴∠AED=∠FBC，故④正确， 综上所述，正确的有①②④. 课堂练习 谢谢 $