21.3.3　正方形第2课时 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

这是初中数学人教版（2024）八年级下册“正方形的判定”第二课时同步教学课件，包含学习目标、课堂引入、判定探究、知识梳理、例题及跟踪训练等内容，以操作、证明、应用为支架引导学生掌握正方形判定方法。 资料注重数学核心素养培养，通过折叠矩形、活动菱形框架等操作发展几何直观，结合严谨证明（如对角线垂直的矩形是正方形）提升推理能力，知识梳理构建四边形关系网络，助力学生理解判定逻辑，为教师提供清晰教学路径和多样化实例。 八年级学生已具备平行四边形、矩形、菱形的知识基础，需通过具体操作和分层训练突破正方形判定的综合应用难点，为后续几何学习及中考复习夯实基础。

第二十一章　四边形　 21.3.3　正方形 第2课时　正方形的判定 初中数学人教版（2024）八年级下册 学习目标 1.探索并证明正方形的判定.(重点) 2.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.(难点) 课堂引入 1.什么是正方形？正方形有哪些性质？ 2.矩形、菱形的判定方法有哪些？ 一、 正方形的判定 问题1　预习课本P77~P78思考： (1)准备一张矩形的纸片，按照如图方式折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可测量验证. 满足怎样条件的矩形是正方形？ 提示　一组邻边相等的矩形是正方形. (2)证一证：对角线互相垂直的矩形是正方形. 如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，且AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 提示　∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB， ∴AD=AB=BC=CD， ∴矩形ABCD是正方形. 问题2　预习课本P77~P78思考： (1)把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 满足怎样条件的菱形是正方形？ 提示　有一个角是直角的菱形是正方形. (2)证一证：对角线相等的菱形是正方形. 如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 提示　∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB. ∵AC=DB， ∴AO=BO=CO=DO， ∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°， ∴菱形ABCD是正方形. 知识梳理 正方形的判定的几种途径： 证明　∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA， 又AE=BF=CG=DH， ∴EB=FC=GD=HA， ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG， ∴HE=EF=FG=GH. 例1　(课本P77例6)如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明　∴四边形EFGH是菱形， ∵△AEH≌△BFE， ∴∠2=∠3， 又∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠HEF=180°-(∠1+∠3)=90°. ∴四边形EFGH是正方形. 例1　(课本P77例6)如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形. 跟踪训练1　(1)如图，在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是 A.AC=BD，AB∥CD，AB=CD B.AD∥BC，∠BAD=∠BCD C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D.AO=CO，BO=DO，AB=BC √ 解析　对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. (2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F. 求证：四边形CEDF为正方形. 证明　∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC=∠DFC=90°. 又∵∠C=90°， ∴四边形CEDF是矩形. 过点D作DG⊥AB于点G(图略). ∵AD是∠CAB的平分线， ∴DE=DG. 同理DG=DF， ∴DE=DF. ∴四边形CEDF为正方形. 二、 正方形的性质和判定的综合应用 例2　如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE. (1)求证：BF=DE； 证明　在正方形ABCD中， AB=AD，∠BAD=90°， ∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°， ∴∠BAF=∠DAE， 在△ADE和△ABF中， ∴△ADE≌△ABF(SAS)， ∴BF=DE. 例2　如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE. (2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变)，四边形AFBE是什么特殊四边形？请说明理由. 解　当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形， 理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC， ∴BE⊥AC，BE=AE=AC， ∵AF=AE， ∴BE=AF=AE. 又∵BE⊥AC，AF⊥AC， 例2　如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE. (2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变)，四边形AFBE是什么特殊四边形？请说明理由. 解　∴∠FAE=∠BEC=90°， ∴BE∥AF， ∵BE=AF， ∴四边形AFBE是平行四边形， ∵∠FAE=90°，AF=AE， ∴▱AFBE是正方形. 跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，过点A作DE的垂线，垂足为F，过点B作DE的垂线，垂足为G，过点A作BG的垂线，垂足为H.求证：四边形AFGH是正方形. 证明　由题意，得∠AFG=∠FGH=∠AHG=90°， ∴四边形AFGH是矩形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵∠DAF+∠FAE=90°，∠HAB+∠FAE=90°， ∴∠DAF=∠BAH， 在△AFD和△AHB中， ∴△AFD≌△AHB， ∴AF=AH， ∴四边形AFGH是正方形. 课堂小结 1.下列命题正确的是 A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 课堂练习 √ 2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是 A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 √ 课堂练习 3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°； ③AC=BD；④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的组合是　　　 (只填写序号).  ②③和①④ 课堂练习 4.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N. (1)求证：∠ADB=∠CDB； 证明　∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SAS)， ∴∠ADB=∠CDB. 课堂练习 4.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N. (2)当∠ADC=　　　时，四边形MPND是正方形，并说明理由.  解　当∠ADC=90°时，四边形MPND是正方形. 理由如下：∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°， ∵∠ADC=90°， ∴四边形MPND是矩形， ∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°， ∵∠PMD=90°，∴∠MPD=∠PDM=45°， ∴PM=MD， ∴矩形MPND是正方形. 课堂练习 谢谢 $