山东省青岛市城阳区中央民族大学附中青岛学校2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试卷

2025-2026学年山东大学附中八年级（上）月考数学试卷（1月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其因具有低成本、高性能的特点，迅速在AI领域崭露头角.以下是四款国内常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    ) A. DeepSeek B. 文心一言 C. 纳米AI搜索 D. 通义千问 2.若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为(    ) A. B. C. D. 3.如图，小聪把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.若，则下列式子中正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.一次函数与正比例函数的图象位置可能是(    ) A. B. C. D. 7.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是(    ) A. B. C. D. 8.小伟参加如弈围棋学生社团2025年度校园挑战赛，共进行了12场比赛.积分统计小组根据小伟这12场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是(    ) A. 比赛最高得分是50分 B. 比赛得分的中位数是50分 C. 比赛得分数据集中在分之间 D. 比赛得分的上四分位数是分 9.如图，在中，，按以下步骤作图：①利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使；②分别以点D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；③作射线BF交AC于点若的面积为2，，P为AB上一动点，则GP的最小值为(    ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10.定义：函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n的点叫做这个函数图象的“n阶和点”.例如：为一次函数的“3阶和点”.若直线上存在“2阶和点”，则m的取值范围为(    ) A. B. C. D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.如图，点A，B和点C，D分别在一把点尺的两边上，连接AD，AC，AC平分，则若，则        . 12.如图，在中，，将沿着BC的方向平移至，若平移的距离是4，则图中阴影部分图形的面积为        . 13.如图所示的是函数与的图象，求方程组的解为______. 14.若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是      . 15.如图，在中，，，，D是直角边AC上的一个动点，连接BD，以BD为边向外作等边，连接在点D运动的过程中，线段CE的长的最小值为        . 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题6分 解方程组： 17.本小题6分 解不等式组：，并写出所有的整数解. 18.本小题6分 如图，已知，垂足C是BE的中点，求证： 19.本小题8分 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上. 将向右平移6个单位长度得到，请画出； 画出关于点O的中心对称图形 20.本小题10分 如图，是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使，，垂足为点  求证：；  若，求的周长. 21.本小题10分 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.小明家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车.小明的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分满分100分，如表： 续航里程分 百公里加速分 智能化水平分 甲款汽车 82 90 100 乙款汽车 80 100 90 同时小明的爸爸又收集了12位网友对这两款汽车的评价满分10分，并整理、描述、分析如下： a：网友评价得分满分10分 甲：3，5，5，6，6，6，6，7，7，8，9，10； 乙：4，5，7，7，7，7，7，7，7，8，9， 网友评价得分统计表： 平均数 中位数 众数 方差 下四分位数 甲款汽车 m 6 a 乙款汽车 7 7 n 7 根据以上信息，回答下列问题： 表格中的______，______，______； 由表中成绩和扇形图所示权重已算得甲款车的总评成绩为89分，请计算乙款车的总评成绩； 综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小明的爸爸应选择购买哪款汽车？请说明理由. 22.本小题10分 用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①.经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量单位：与充电时间单位：的函数图象分别为图②中的线段AB， 根据以上信息，回答下列问题： 在日前电量的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用______ h； 求线段AB，AC对应的函数表达式； 已知该手机正常使用时耗电量为每小时，手机充满电正常使用4小时后，若接下来用快速充电器充电，则需要______小时才能充满. 23.本小题10分 某网店对“老干妈”品牌的甲、乙两种辣椒产品进行网络直播销售.根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种辣椒产品. “老干妈”产品信息 ①2箱甲种产品和2箱乙种产品共需240元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多40元； ③3箱甲种产品和4箱乙种产品共需400元. 从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格； 在的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以100元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润. 24.本小题12分 如图1，直线AB过点，且与y轴交于点，与x轴交于点 求直线AB的函数表达式； 如图2，作直线OC，点P在直线OC上，当的面积为面积的3倍时，求点P的坐标； 在y轴上是否存在一点G，使是以AB为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 25.本小题12分 【问题情境】在和中，，， 【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接BD、AE，延长AE交BD于点F，则AE与BD的数量关系是______，位置关系是______； 【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接AE交DC于点H，连接BD交AE于点F，中结论是否仍然成立，为什么？ 【衍生拓展】如图3，在的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，请直接写出的度数______. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A，B，D不是中心对称图形，C是中心对称图形， 故选： 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 本题考查中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：设点P的坐标为， ，， 解得：，， 点P在第二象限， ，， 点P的坐标为， 故选： 设点P的坐标为，根据题意列出方程式，进而得出答案． 本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：如图， 直尺的对边平行，， 两直线平行，内错角相等， 直角三角板是含有角的三角板， ， ， 故选： 如图，先利用平行线的性质求出，再根据进行计算即可． 本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 4.【答案】C  【解析】解：A、不等式的两边同时除以2，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意； B、不等式的两边同时减去3，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意； C、不等式的两边同时乘，不等式仍成立，即，故本选项符合题意； D、不等式的两边同时减去b，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意． 故选： 根据不等式的性质进行判断． 本题主要考查了不等式的性质，运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 5.【答案】B  【解析】【解答】 解：是线段AC的垂直平分线， ， ， ， 故选： 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可． 本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 6.【答案】C  【解析】解：A、由一次函数图象可知，，故正比例函数应过一、三象限，但图中过二、四象限，不符合题意； B、由一次函数图象可知，，故正比例函数应过一、三象限，但图中一次函数与正比例函数图象不符，不符合题意； C、由一次函数图象可知，，故正比例函数过二、四象限，与图中一致，符合题意； D、由一次函数图象可知，，故正比例函数应过二、四象限，但图中过一、三象限，不符合题意， 故选： 通过一次函数的图象确定斜率和截距的符号，再判断正比例函数的图象是否与b的符号匹配，匹配则符合题意． 本题考查了一次函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，解题的关键是根据图象判断系数k、b的符号，验证两个函数的系数符号是否一致． 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 【解答】 解：设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：， 故选 8.【答案】C  【解析】解：由箱线图可知， 比赛最高得分是55分，故选项A说法错误，不符合题意； 比赛得分的中位数是45分，故选项B说法错误，不符合题意； 比赛得分数据集中在分之间，说法正确，故选项C符合题意； 比赛得分的下四分位数是分，故选项D说法错误，不符合题意． 故选： 根据箱线图信息解答即可． 本题考查了中位数，理解“四分位数”的定义是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：，，的面积为2， ， ， 如图，过点G作于 由作图可知，GB平分， ，， ， 根据垂线段最短可知，GP的最小值为1， 故选： 利用三角形的面积公式求出GC，过点G作于根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题． 本题考查作图-基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10.【答案】D  【解析】解：直线上存在“2阶和点”， 一次函数的图象与以原点为中心，两对角线在坐标轴上，边长为的正方形有交点． 一次函数的图象经过，则， 一次函数的图象经过，则， 直线上存在“2阶和点”， 或 故选： 由题意可知一次函数的图象与以原点为中心，两对角线在坐标轴上，边长为的正方形有交点，求得一次函数的图象分别经过，点时的m的值，结合图象即可求得m的取值范围． 本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，理解新定义，数形结合是解题的关键． 11.【答案】2  【解析】解：由题知， 因为， 所以 因为AC平分， 所以， 所以， 所以 故答案为： 根据平行线的性质及角平分线的定义得出，据此得出即可解决问题． 本题主要考查了平行线的性质及等腰三角形的判定，熟知平行线的性质是解题的关键． 12.【答案】20  【解析】解：将沿着BC的方向平移至，平移的距离是4， ，， 四边形ACFD是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ，， 图中阴影部分图形的面积为 故答案为： 由平移的性质结合已知条件易得，四边形ACFD是平行四边形，且，这样结合，即可求得阴影部分的面积了． 本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：函数与的图象，同时经过点，因此，同时满足两个函数的解析式； 所以方程组的解为 由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此所求方程组的解即为两函数图象的交点坐标． 方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 14.【答案】  【解析】解：解不等式组， 得：， 由题意可得：， ， 故答案为： 根据不等式组有2个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得的取值范围，正确得出关于m的不等式组是解题的关键． 本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，正确进行计算是解题关键． 15.【答案】1  【解析】解：在中，，，，如图，延长BC到点F，使得，连接AF，EF， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， 点E在经过点F且与AF垂直的射线FE上运动，作交射线FE于点H，则， ， ， ， 的最小值为1， 故答案为： 延长BC到点F，使得，连接AF，EF，由，，，可得：，，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明≌，得到，推出，得到点E在经过点F且与AF垂直的射线FE上运动，作交射线FE于点H，则，得到，由可得，即可求解． 本题考查了旋转的性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线． 16.【答案】  【解析】解：， ②-①得，， 将代入①得，， 解得：， 所以原方程组的解为 方程组利用加减消元法求解即可． 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 17.【答案】，整数解为，，0，1，  【解析】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为， 该不等式组的整数解为，，0，1， 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 18.【答案】证明：， ， 是BE中点， ， 在和中， ，   【解析】利用HL证明即可解决问题． 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是正确寻找证明全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 19.【答案】解：如图，即为所求． 如图，即为所求．   【解析】先根据平移的定义分别画出点，，，再顺次连接即可得； 先根据中心对称的定义分别画出点，，，再顺次连接即可得． 本题主要考查了作图-平移变换、作图-旋转变换，熟练掌握平移和中心对称图形的画法是解题关键． 20.【答案】证明：为等边三角形，BD是中线，  ，，  ，  ，    ；  解：，  ，，  ，    为等边三角形，BD是中线，  ，  的周长  【解析】根据等边三角形的性质可知，再证明，即可得出结论；  由可得出，故可得出AC的长，进而可得出结论． 本题考查的是等边三角形的性质，关键是等边三角形性质定理的应用． 21.【答案】  87分  推荐乙车  【解析】解：根据题意，得甲甲款汽车评价数据排序如下：3，5，5，6，6，6，6，7，7，8，9，10， 中位数是第6，7两个数据的平均数为，下四分位数为 由乙款汽车评价数据可得， 故答案为：6；7；； 由题意，乙款车的总评成绩分 乙车的中位数大于甲车，乙车的方差小于甲车，更稳定，从安全角度思考， 我推荐乙车． 根据中位数的定义，得，计算即可． 根据加权平均数的计算方法求解即可． 从中位数，方差等，比较即可解答． 本题考查中位数，平均数，根据统计数据作决策．熟练掌握定义，计算公式是解题的关键． 22.【答案】4  线段AB对应的函数表达式为；线段AC对应的函数表达式为  1  【解析】解：根据题意得：， 快速充电器比普通充电器少用 故答案为：4； 设线段AB对应的函数表达式为， 将，代入得：， 解得：， 线段AB对应的函数表达式为； 设线段AC对应的函数表达式为， 将，代入得：， 解得：， 线段AC对应的函数表达式为； 该手机正常使用时耗电量为每小时，手机充满电正常使用4小时后剩余电量， 还需补充电量， 快速充电器的充电速度为， 所需时间 故答案为： 利用快速充电器比普通充电器少用时间=用普通充电器将其充满电所需时间-用快速充电器将其充满电所需时间，即可求出结论； 设线段AB对应的函数表达式为，根据点A，B的坐标，利用待定系数法，即可求出线段AB对应的函数表达式；设线段AC对应的函数表达式为，根据点A，C的坐标，利用待定系数法，即可求出线段AC对应的函数表达式； 计算出还需电量，结合AB的斜率计算即可． 本题考查了一次函数的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；找准等量关系，正确列出一元一次方程． 23.【答案】解：设甲种产品每箱的价格是x元，乙种产品每箱的价格是y元， 当选择①②时，， 解得：； 当选择②③时，， 解得：； 当选择①③时，， 解得： 答：甲种产品每箱的价格是80元，乙种产品每箱的价格是40元； 设该店购进m箱甲种产品，则购进箱乙种产品， 根据题意得：， 解得： 设该店购进的这批产品全部售完后获得的总利润为w元，则， 即， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为元 答：当甲种产品数量为400时，该店所获总利润最大，最大利润为16000元．  【解析】设甲种产品每箱的价格是x元，乙种产品每箱的价格是y元，在①②③中任选2个作为已知条件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设该店购进m箱甲种产品，则购进箱乙种产品，根据购进甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该店购进的这批产品全部售完后获得的总利润为w元，利用总利润=销售每箱甲种产品的利润购进甲种产品的数量+销售每箱乙种产品的利润购进乙种产品的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 24.【答案】  点或  在y轴上存在一点G，使是以AB为腰的等腰三角形，此时点G的坐标为或或  【解析】解：设AB的表达式为：， 直线AB过点， ， ， 直线AB的表达式为：； 由点C的坐标得，直线OC的表达式为：， 取，过点M作直线， 的面积为面积的3倍， 点， 直线PM的表达式为：， 在BC的上方取，过点N作， 则此时的面积为面积的3倍，则点， 直线的表达式为：， 分别将和MP的表达式和OC联立得：或， 解得：或， 点或； ①当时，此时G在y轴正半轴上，如图所示， ， ， ； ②当，且G在y轴负半轴上时，如图所示， 令，则，解得， ， ， ，， ， ， ， ； ③当，且G在y轴正半轴上时，如图所示， 由②得，， ， 此时， 综上所述，在y轴上存在一点G，使是以AB为腰的等腰三角形，此时点G的坐标为或或 由待定系数法求出函数表达式，进而求解； 取，过点M作直线，则的面积为面积的3倍，在BC的上方取，过点N作，则此时的面积为面积的3倍，即可求解； 总共分三种情况讨论：当时，由等腰三角形的性质得到，即可求出点G的坐标；当时，又分2两种情况讨论，先由A，B的坐标，勾股定理求出AB的值，即可求出点G的坐标． 本题为一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 25.【答案】  中结论仍然成立．理由如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ，     【解析】解：如图1， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ； 故答案为：，； 中结论仍然成立．理由如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ； 如图3，过点C作，，垂足分别为M、N， ≌， ，， ，， ， ，， 平分， ， ， ， 故答案为： 证明≌，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答； 证明≌，得到，又由，得到，即可解答； 如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，由≌，得到，，证明得到，得到CF平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到 本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明≌，得到三角形的面积相等，对应边相等． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $