寒假作业2：一元二次函数、方程和不等式-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一寒假作业2：一元二次函数、方程和不等式 【基础巩固】 一、单选题 1.(2024·广东省·单元测试)若，且，则下列不等式中成立的是(    ) A. B. C. D. 2.(2026·全国·期末考试)对于任意实数，以下四个命题中的真命题是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 3.(2026·河南省周口市·月考试卷)若不等式，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.(2025·河南省洛阳市·期末考试)今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为(    ) A. B. C. D. 无法确定 二、多选题 5.(2024·河南省濮阳市·月考试卷)设正实数，满足，则(    ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 6.(2025·湖北省黄石市·月考试卷)已知，，，，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题 7.(2026·全国·期末考试)已知均为实数且，，则的最小值为          ． 是          ． 8.(2024·广东省·月考试卷)已知，且，若恒成立，则实数的取值范围为          。 四、解答题 9.(2025·湖南省·联考题)设，，，均为正数，且，证明：； 已知，且，比较和的大小． 10.(2025·广东省·月考试卷)如图，某小区有一块五边形的空地，延长交的延长线于点，四边形为矩形，，，，为了合理利用该空地，在线段上取一点，使得四边形为矩形，矩形作为小区广场，其余为绿化带，其中点在上，点在上． 设，，求的值，并分别求，的取值范围； 求广场面积的最大值，并指出此时点的位置． 【拓展提升】 一、单选题 1.(2025·广东省·期中考试)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为(    ) A. B. C. D. 2.(2024·湖北省黄石市·月考试卷)设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题 3.(2025·安徽省·月考试卷)已知，，，则的可能取值有(    ) A. B. C. D. 4.(2025·浙江省绍兴市·联考题)已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题 5.(2026·全国·期末考试)已知，，则的最大值为           6.(2026·全国·期末考试)命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是          ． 四、解答题 7.(2025·江苏省南京市·期中考试)某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两侧墙的长度均为米． 当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ 现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功，试求的取值范围． 【基础巩固】 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了比较大小，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．利用不等式的基本性质即可判断出． 【解答】 解：，； ，，； ． 故选D． 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了不等式的性质判断不等关系，属于基础题． 【解答】 解：若，当，则，A错误； 若，，取，满足条件，但，B错误； 若，取，则，C错误； 若，则必有，故，则，D正确， 故选： 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查不等式的基本性质，属于中档题． 利用待定系数法，令，求出满足条件的，，利用不等式的基本性质，可得的取值范围 【解答】 解：令 即解得：， 即 ，， 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查不等式的实际应用，利用作差法比较大小，属于基础题． 由题意可知，，再利用作差法比较大小即可． 【解答】 解：由题意可得，，，， 且，， ， ． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了基本不等式及相关结论的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于基础题． 【解答】 解：因为正实数，满足， 由基本不等式得，，当且仅当时取等号，A错误； ，当且仅当时取等号，B正确； ，当且仅当时取等号， 所以，C错误； 因为，当且仅当时取等号， 所以 ，D正确． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由基本不等式求最值，是基础题． 由基本不等式求判断得答案． 【解答】 解：因为，，所以，故A错误，B正确， ，故C正确，D错误． 故选BC． 7.【答案】  【解析】【分析】 由变形可得，利用基本不等式即可得到结果． 【解答】 解：，； ，又，且， 由基本不等式有，即，当且仅当时取等； 又均为正数，解得：，当且仅当时取等； 所以的最小值为． 故答案为：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用基本不等式求最值，解一元二次不等式，把不等式恒成立问题转化为最值求解，属于基础题． 运用      ，得出 ，求解即可． 【解答】 解：因为， ， 所以     ， 当且仅当  ，即时等号成立， 因为恒成立， 所以 ， 解得． 则实数的取值范围为． 故答案为：． 9.【答案】解：，， 由，，得， 所以． 因为，且， 所以 ， 所以．  【解析】本题考查利用不等式的基本性质证明不等关系，属于基础题． 根据不等式的性质证明即可； 利用作差法比较大小． 10.【答案】解：如图，延长交于，延长交于， 则，， ，， ∽， ，即， ， 故，的取值范围分别是，． 设广场面积为，则， ， ，即， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为． 此时，，是的中点． 因此，当是的中点时，广场面积取得最大值，且最大值为．  【解析】本题考查了基本不等式在实际问题中的应用，考查推理能力和运算能力，属于中档题． 根据∽得到，从而得到的值以及对应的，的范围； 利用基本不等式求解即可． 【拓展提升】 1.【答案】B  【解析】解：当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查绝对值不等式恒成立问题的解法，参数分离法和分类讨论思想的应用，以及基本不等式的应用属于较难题． 由题意可得恒成立，根据和分类讨论，运用基本不等式可得最值，进而得到所求范围． 【解答】 解：恒成立， 即为恒成立， 当时，可得恒成立， 由 ，当且仅当时， 取得最小值， 即有，则 当时，可得恒成立， 由 ， 当且仅当时， 取得最大值， 即有，则， 综上可得． 故选D． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用基本不等式求最值，属于较难题． 由已知条件可知且，分两种情况进行讨论，当时，，利用基本不等式求出最小值，当时，，利用基本不等式求出最小值，即可求出答案． 【解答】 解：由，，得． 则且． 当时， ． 当且仅当，即时取等号，此时的最小值． 当时， ． ，，． ． 当且仅当，即，即． 计算得出或时舍取等号，此时最小值为． 综上，最小值为或． 故选AB． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查基本不等式的变形及应用． 根据基本不等式当且仅当时取等及不等式当且仅当时取等以及不等式的性质即可判断每个不等式是否成立，从而得出结果． 【解答】 解：对于，，当且仅当时等号同时成立， 而，故不一定成立； 对于，，当且仅当时取等号； 对于，，当且仅当时取等号； 对于，当，时， ，，，此时． 故选AD． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由基本不等式求最值或取值范围，属于较难题． 【解答】 解：，，则 ， 令， 则， 令，即， 可得， 由， 当且仅当，时上式取得等号， 可得， 则的最大值为， 故答案为： 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查命题的否定以及根据命题真假求参数，属于基础题． 【解答】 解：若，使是假命题，则，使是真命题， 当时，转化为，符合题意 当时，显然符合题意 当时，则， 解得， 综上， 7.【答案】解：设甲工程队的总造价为元， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立， 当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元 由题意可得，对任意的恒成立， 即有， 即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ， 又，的取值范围为．  【解析】本题考查利用基本不等式解决实际问题，属于中档题． 由题意得出甲工程队报价元关于左右两侧墙的长度的函数，利用均值不等式求最小值即可； 由题意得不等式恒成立，分离参数后，利用均值不等式求最小值即可得解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $