寒假作业1：集合与常用逻辑用语-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一寒假作业1：集合与常用逻辑用语 【基础巩固】 一、单选题 1.(2026·全国·期末考试)设集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.(2024·湖南省长沙市·联考题)设集合，若，则(    ) A. B. C. D. 3.(2025·北京市市辖区·月考试卷)已知全集，，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 4.(2026·全国·期末考试)设命题：所有的等边三角形都是等腰三角形，则的否定为(    ) A. 所有的等边三角形都不是等腰三角形 B. 有的等边三角形不是等腰三角形 C. 有的等腰三角形不是等边三角形 D. 不是等边三角形的三角形不是等腰三角形 二、多选题 5.(2024·广东省茂名市·期中考试)下列说法正确的是  (    ) A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 若“”的必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 6.(2025·辽宁省沈阳市·月考试卷)下列四个命题中正确的是(    ) A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 三、填空题 7.(2026·全国·期末考试)已知集合，若，满足条件的所有集合中元素的和          ． 8.(2024·湖北省黄石市·月考试卷)月日，第届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕．中国体育代表团在巴黎奥运会获得金、银、铜共枚奖牌，取得了我国年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩．小明统计了班级名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有名同学同时喜欢这三类体育项目，名同学不喜欢乒乓球，名同学不喜欢跳水，名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为          ． 四、解答题 9.(2025·福建省·联考题)设集合， 若，求； 若，求实数的取值范围． 【拓展提升】 一、单选题 1.(2024·福建省·月考试卷)若集合，，，则，，之间的关系是(    ) A. B. C. D. 2.(2024·湖南省衡阳市·月考试卷)如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题 3.(2024·江苏省扬州市·月考试卷)中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二五五数之，剩三七七数之，剩二，问：物几何”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为(    ) A. B. C. D. 4.(2025·湖北省·月考试卷)下列说法正确的是(    ) A. 命题：，，，则：，， B. “，”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 三、填空题 5.(2025·辽宁省·联考题)牛栏山一中高一年级某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有          人 四、解答题 6.(2025·河北省沧州市·联考题)已知有限集，，如果中的元素满足，就称为“完美集”． 判断：集合是否是“完美集”并说明理由； 、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于； 若为正整数，求：“完美集”． 【基础巩固】 1.【答案】A  【解析】【分析】 求出集合，然后直接利用集合的交集与补集的概念求解即可． 【解答】 解：因为集合，，， ． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合相等及集合中元素的互异性，属于基础题． 根据两集合相等，列出方程组，求出的值，即可求出答案． 【解答】 解：因为，， 若，则，中两元素都为，不满足集合中元素的互异性， 所以，解得 所以 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合的基本关系和基本运算，属于基本题型． 根据基本关系和基本运算逐一排除即可． 【解答】 解：因为全集，，  根据集合的关系可知A错误， ，故B错误， ，故C错误， 正确， 故选D． 4.【答案】B  【解析】【分析】 全称命题的否定是存在量词命题，为基础题． 【解答】 解：的否定为“有的等边三角形不是等腰三角形”． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查命题真假的判断，充分必要条件的判断及存在量词命题的否定． 结合选项依次判断即可． 【解答】 解：是无理数，但是有理数，A错误 当，时，，但，B错误 命题“，”的否定是“，”，C正确 若“”的必要不充分条件是“”， 则且两个等号不同时取得，解得， D正确． 故选CD． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查集合中元素的性质，掌握集合元素的性质是解答本题的关键，属于中档题． 利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定，解不等式得到的取值范围，用列举法表示出整数解集合即可判定，由，，，用列举法可判定，分别代入，，，，，找出满足条件的元素可判断． 【解答】 解：分别取，同正、同负和一正一负时， 可以得到的值分别为，，，故A正确； 由得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 当时，； 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 所以集合含有四个元素，，，，故D错误， 故选ABC． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查并集运算，集合的子集等，属于较难题． 【解答】 解： 因此 经检验，满足条件 所以所有的子集中一共会出现个，个，个，因此的元素之和为 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查集合的实际应用，属于中档题． 设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为，，，只喜欢游泳和跳水的同学的人数为，只喜欢游泳和乒乓球的同学的人数为，只喜欢跳水和乒乓球的同学的人数为，由题意列方程组，由方程组可的解． 【解答】 解：设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为，，，只喜欢游 泳和跳水的同学的人数为，只喜欢游泳和乒乓球的同学的人数为， 只喜欢跳水和乒乓球的同学的人数为，如图， 得， 得， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为． 故答案为． 9.【答案】解：当时，，而，因此， 所以或． 由，得， 当时，则，解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是．  【解析】本题考查交并补混合运算，含参数的交集运算问题，属于基础题． 把代入，利用并集、补集的定义求解即得． 利用给定交集的结果，借助集合的包含关系，列式求解即得． 【拓展提升】 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合之间关系的判断． 利用集合中元素满足的条件，化为统一形式进行判断即可． 【解答】 解：，表示比的倍数多的整数， ，表示比的倍数多的整数， ，表示比的倍数多的整数， 可得：是的子集，与相等，  ． 故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了充分，必要条件的判断，属于中档题． 根据表示不超过的最大整数，结合充分必要条件的定义即可得出答案． 【解答】 解：因为表示不超过的最大整数， 所以即在某相邻的两个整数之间， 而表示这两个数可以在两个相邻整数之间，也可在某个整数两侧距离不超过， 例如与，但是， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合的交集运算、元素与集合的关系，属于基础题． 将选项中的数字逐一代入集合、、的表达式，检验是否为、、的元素，即可选出正确选项． 【解答】 解：，则 ，则 ，则，则，选项A正确． 因为，则，选项B错误； ，则 ，选项C错误； ，则 ，则 ，则，则，选项D正确； 故选AD． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的知识要点：命题的否定，不等式的性质，一元二次不等式的解的情况，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 直接利用命题的否定判断；不等式的性质，充分条件和必要条件判断，；一元二次不等式的解的情况，充分条件和必要条件的应用判断。． 【解答】 解：对于：命题：，，， 则：，，，故A正确； 对于：当“，”时，“”成立， 反之不成立，如，，满足，但不满足，， 故“，”是“”成立的充分不必要条件，故B正确； 对于：“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于：“关于的方程有一正一负根”的充要条件为：， 整理得，故D正确． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：由题意作出图，设这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人， 则可得，解得， 即这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人， 故答案为：． 6.解：由， ， 则集合是“完美集”； 若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或舍去， 所以，又，均为正数， 所以、至少有一个大于； 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 于是，则无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，， 故只能，，求得， 于是“完美集”只有一个，为； 当时， 由， 即有， 而 ， 又， 因此，故矛盾， 所以当时不存在完美集， 综上知，“完美集”为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $